動能計算器 Eₖ = ½mv²：功與能、平方律與能量單位換算

計算器説明

動能計算器解 $E_k = \tfrac12 m v^2$ ：輸入質量 $m$ （kg）和速度 $v$ （m/s），得到物體因運動而具有的能量 $E_k$ （J）；也可以由動能與質量反解速度，或由動能與速度反解質量。它回答的是「一個運動着的物體能做多少功」——剎停它要吸收多少能量，它撞上去能造成多大破壞，或者要把它加速到這個速度需要輸入多少能量。

行駛的汽車、飛行的子彈、奔跑的人、墜落的雨滴、管道里的水流，都帶着動能。本頁同時是本站物理類計算器裏「功與能」的錨點：功—能定理、能量的單位與換算（J、kJ、kW·h、kcal、eV）、能量是標量的含義、經典公式的適用邊界都在這裏展開；重力勢能、動量兩篇只作概括並鏈回這裏。SI 單位制與量綱、矢量與標量的一般討論見牛頓第二定律。

它不做的事：不算轉動動能（ $\tfrac12 I\omega^2$ ，車輪、飛輪），不算相對論動能（接近光速），不做單位換算（km/h 要先換成 m/s，g 要先換成 kg），也不處理能量在碰撞中的分配（那是動量守恆的領域）。

公式與變量

E_k = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2

反解：

v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}},\qquad m = \frac{2E_k}{v^2}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$m$	質量	質量 m (kg)	kg	$m > 0$ ；默認 1
$v$	速度（速率）	速度 v (m/s)	m/s	任意實數；默認 10。平方後符號消失， $-3$ 與 $3$ 給出同樣的動能
$E_k$	動能	動能 Eₖ (J)	J = kg·m²/s² = N·m	輸出，恆 $\ge 0$ ；反解模式下作為輸入，為負時速度字段為空

單位一致性： $\text{kg} \times (\text{m/s})^2 = \text{kg·m}^2/\text{s}^2 = \text{N·m} = \text{J}$ 。常用換算（本計算器不做，需手算）：

單位	換算為 J	説明
1 kJ	1 000	汽車、人體運動的常用量級
1 kW·h	3 600 000（精確）	電錶單位，「1 度電」
1 cal	4.184（熱化學卡，約定值）	1 kcal = 4 184 J，食品標籤上的「卡路里」是 kcal
1 eV	1.602 176 634 × 10⁻¹⁹（精確，2019 年 SI 修訂後）	原子、粒子尺度
1 erg	10⁻⁷	CGS 制，g·cm²/s²

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 動能」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-kinetic）。打開時「質量 m」= 1、「速度 v」= 10 已填好，「動能 Eₖ」帶「計算」標記顯示 50。
求動能改寫質量和速度即可。速度先換成 m/s（km/h ÷ 3.6），質量先換成 kg。
反解速度清空「速度 v」，填「動能 Eₖ」與「質量 m」，速度字段切換為「計算」並顯示 $\sqrt{2E_k/m}$ （取正值）。
反解質量清空「質量 m」，填「動能 Eₖ」與「速度 v」，質量字段顯示 $2E_k/v^2$ 。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零。反解速度時若動能填了負數，速度字段為空（負數開平方無實數解）。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 LaTeX E_k = \tfrac{1}{2} m v^2 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 phys-kinetic 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零，單位 kg、m/s、J。

算例 1：默認輸入，1 kg 以 10 m/s 運動

輸入： $m = 1$ ， $v = 10$ 。 $E_k = \tfrac12 \times 1 \times 10^2 = 50$ 。界面顯示：動能 Eₖ 50。

輸入 $m = 2$ ， $v = 3$ ： $E_k = \tfrac12 \times 2 \times 9 = 9$ ，界面顯示 9。改 $v = -3$ （向反方向運動），界面仍顯示 9——動能是標量，只與速率有關，與方向無關。

算例 2：汽車從 100 km/h 剎停要吸收多少能量

1500 kg 的汽車以 100 km/h 行駛。

換單位： $v = 100 / 3.6 = 27.77777778$ m/s。
輸入 $m = 1500$ ， $v = 27.77777778$ ： $E_k = \tfrac12 \times 1500 \times 27.77777778^2 = 578703.7037037$ 。

界面顯示：動能 Eₖ 578703.7037037，約 579 kJ，即 0.161 kW·h 或 138 kcal——剎車片要把這麼多能量變成熱。以 50 km/h（13.88888889 m/s）行駛時界面顯示 144675.92592593：速度減半，動能只有四分之一。

如果忘了換單位，直接填 $v = 100$ ，界面給出 7500000——大了 $3.6^2 = 12.96$ 倍。速度在公式裏被平方，單位錯誤也被平方放大，這是本頁最常見的失誤。

圖 1：算例 2 的汽車。動能隨速度按平方增長：50 → 100 km/h 是 4 倍，100 → 120 km/h 雖然只快 20%，動能卻多 44%

算例 3：子彈與跑步者——誰的動能大

子彈： $m = 0.008$ kg（8 g）， $v = 400$ m/s。 $E_k = \tfrac12 \times 0.008 \times 160000 = 640$ 。界面顯示：640。

跑步者： $m = 70$ kg， $v = 5$ m/s。 $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 25 = 875$ 。界面顯示：875。

跑步者的動能比子彈還大 37%，但兩者的破壞力天差地別——子彈把 640 J 集中在幾平方毫米的截面上、幾十微秒內釋放。動能告訴你「總量」，破壞效果還取決於面積、時間與材料，這正是動能與動量、衝量要分開討論的原因。順帶一提：一隻 58 g 的網球以 50 m/s 發球，動能 72.5 J。

算例 4：反解速度與質量

反解速度：一個 80 kg 的人要具有 1000 J 的動能，需要多快？清空 $v$ ，填 $E_k = 1000$ ， $m = 80$ ： $v = \sqrt{2 \times 1000 / 80} = \sqrt{25} = 5$ 。界面顯示：速度 v 5。

把算例 2 反過來： $E_k = 578703.7037037$ ， $m = 1500$ ，界面顯示速度 v 27.77777778，回到 100 km/h。再問「1 度電（3 600 000 J）能把 1500 kg 的車加速到多快」：界面顯示 69.2820323 m/s，即約 249 km/h——不計任何損耗的理論值，説明 1 kW·h 其實是很大一份能量。

反解質量：動能 9 J、速度 3 m/s，清空 $m$ ： $m = 2 \times 9 / 9 = 2$ 。界面顯示：質量 m 2。

圖 1 的活版本：拖動質量滑塊，拋物線整體縮放；橫軸步長 1.3889 m/s 對應 5 km/h

原理與推導

功—能定理：½mv² 從哪裏來

對靜止的物體施加恆定合力 $F$ ，沿力的方向移動距離 $s$ ，力做的功是 $W = Fs$ 。由牛頓第二定律 $F = ma$ ，由勻變速運動 $v^2 = 2as$ （初速為零），於是

W = Fs = ma \cdot \frac{v^2}{2a} = \tfrac12 m v^2

合力做的功全部變成了物體的「運動能量」，這個量就被定義為動能。若初速不為零，同樣的推導給出 $W_{\text{合}} = \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = \Delta E_k$ ：合力做的功等於動能的變化，這就是功—能定理。它是 $F = ma$ 沿路徑積分的結果，對變力同樣成立（ $W = \int F\,\mathrm ds$ ）。

剎車就是功—能定理的應用：算例 2 的 578.7 kJ 動能要由制動力做負功耗掉。若制動力恆為 7500 N，剎車距離 $s = E_k / F = 578703.7 / 7500 = 77.16$ m；50 km/h 時只需 19.29 m——速度減半，剎車距離四分之一。這與牛頓第二定律頁算例 3 用 $a = -5\ \text{m/s}^2$ 算出的 77 m 完全一致，是同一件事的兩種算法。

為什麼是平方，為什麼有 ½

平方：加速到 $2v$ 比加速到 $v$ 多花的不只是「再來一份」。用同樣的力，從 $v$ 到 $2v$ 所用時間與從 0 到 $v$ 相同，但這段時間裏物體跑得更快、走的距離是前一段的 3 倍，力做的功也是 3 倍——所以 $E_k(2v) = 4E_k(v)$ 。圖 1 的拋物線與那條灰色直線的差距就是這個道理。

½：萊布尼茨 1686 年提出「活力」（vis viva） $mv^2$ 作為守恆量；科里奧利 1829 年把功定義為力乘距離後，為了讓「功 = 能量變化」不帶係數，能量就取成 $\tfrac12 mv^2$ 。 $\tfrac12$ 來自 $v^2 = 2as$ 裏的那個 2，也就是「平均速度是末速度的一半」。

動能是標量

速度是矢量，但 $v^2 = \vec v \cdot \vec v$ 是標量，動能沒有方向：向東 3 m/s 與向西 3 m/s 的動能相同（算例 1）。這和動量 $\vec p = m\vec v$ 形成鮮明對照：兩個相同的球迎面相撞，總動量為零而總動能不為零。二維、三維運動只需把速率代入，不必分解分量。

能量的單位與量級

焦耳是導出單位： $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$ ，即 1 N 的力推動 1 m 做的功。用 kg、m/s 代入公式自然得到 J；其它單位體系要麼帶換算係數，要麼得到別的單位（g 與 cm/s 給出 erg）。量級感：一個蘋果落下 1 m 約 1 J，人步行約 50–100 J，汽車高速行駛約 $10^5$ – $10^6$ J（算例 2），1 度電 $3.6 \times 10^6$ J，一天的食物約 $8 \times 10^6$ J（2000 kcal）。功率是能量的變化率， $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$ ，所以 kW·h 是「功率 × 時間」——1 kW 用 1 小時。

經典公式的邊界

$\tfrac12 mv^2$ 是相對論動能 $(\gamma - 1)mc^2$ 在 $v \ll c$ 時的近似，相對誤差約 $\tfrac34 (v/c)^2$ ： $v = 0.1c$ 時約 0.75%， $v = 0.5c$ 時已超過 15%。地球上一切宏觀運動（最快的航天器約 $10^{-4}c$ ）都在經典範圍內；電子、質子在加速器裏則必須用相對論公式。另一個邊界是轉動：滾動的輪子除了平動動能還有 $\tfrac12 I\omega^2$ ，本計算器不含這一項。

假設

質點平動：物體整體以同一速度運動，不含轉動動能與內部運動。
速率 $v \ll c$ ：經典力學範圍。
$m$ 、 $v$ 用 SI：kg 與 m/s；引擎不換算。
速度是相對某參考系的：動能與參考系有關，車裏的乘客相對車動能為零、相對地面不為零。
反解取正根： $v = \sqrt{2E_k/m}$ ；反解質量或速度時分母未填按 1 兜底。

適用範圍與限制

能算: $E_k$ 、 $m$ 、 $v$ 三者知二求一。
只能近似: 實際剎車、碰撞中的能量去向（熱、形變、聲）不在公式內；空氣阻力使加速所需能量多於 $\tfrac12 mv^2$ 。
不能算: 轉動動能、相對論動能、多物體系統的總動能（逐個算後相加）、碰撞後的速度分配（用動量守恆）、勢能與機械能守恆（用重力勢能頁配合本頁手算）。
不做: 單位換算（km/h、g、kW·h、kcal）；負動能反解無輸出。
數值: 極大 / 極小值以科學計數法顯示（如電子的動能 $\sim 10^{-19}$ J）。

常見誤區

km/h 不換 m/s：誤差被平方放大到 12.96 倍（算例 2 的 7 500 000 vs 578 704）。
忘了 ½： $mv^2$ 是動能的兩倍；歷史上「活力」就是這樣寫的，但今天的焦耳按 $\tfrac12 mv^2$ 定義。
以為速度翻倍動能也翻倍：是四倍。剎車距離、撞擊能量都按平方走，這是限速的物理依據。
給動能加方向：動能是標量，反向運動動能相同；「動能為負」沒有意義。
把動能和動量混為一談：動量 $mv$ 是矢量、隨 $v$ 線性；動能 $\tfrac12 mv^2$ 是標量、隨 $v$ 平方。算例 3 的子彈動能小於跑步者，動量（3.2 vs 350 kg·m/s）更小得多。
卡路里與千卡：食品標籤的「卡路里」是 kcal（4184 J），不是 cal。

典型使用場景

交通安全

不同車速下的動能與剎車距離；説明「速度提高 20%、動能增加 44%」；碰撞測試中防撞結構要吸收的能量。

體育與器械

球類、器械的出手能量（網球、棒球、標槍）；跑步、騎行不同速度下的動能；健身器械的能量輸出估算。

機械與能源

飛輪儲能（平動部分）、水流與風的動能（ $\tfrac12 \rho A v^3$ 的功率來源）、鍛錘與打樁機的衝擊能量。

教學

功—能定理的引入；平方律的直覺；J、kW·h、kcal 的換算；標量與矢量的對比（配合動量頁）。

常見問題

速度是負數為什麼動能是正的？

公式裏速度被平方， $(-3)^2 = 9$ 。動能只依賴速率，是標量。

反解速度得到的是正數，物體向負方向運動怎麼辦？

自行加負號。引擎只返回算術平方根。

動能和動量有什麼區別？

動量 $p = mv$ 是矢量，描述「要多大的衝量才能讓它停下」；動能 $\tfrac12 mv^2$ 是標量，描述「要做多少功才能讓它停下」。兩者關係 $E_k = p^2 / (2m)$ ：算例 2 的汽車動量 41666.67 kg·m/s， $41666.67^2 / 3000 = 578703.7$ J。

怎麼算剎車距離？

$s = E_k / F$ （制動力恆定）。算例 2：578703.7 J ÷ 7500 N = 77.16 m。

轉動的物體動能怎麼算？

平動 $\tfrac12 mv^2$ 加轉動 $\tfrac12 I\omega^2$ 。勻質實心圓柱滾動時轉動部分是平動的一半，總動能 $\tfrac34 mv^2$ 。本計算器只算平動部分。

多大的速度需要用相對論公式？

相對誤差約 $\tfrac34(v/c)^2$ 。要求 1% 以內時 $v < 0.115c \approx 3.5 \times 10^7$ m/s；宏觀物體永遠達不到，粒子物理必須用。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-kinetic 定義（compute(known, solveFor) 三向求解，反解速度取 Math.sqrt 正根）；本頁所有數字由該引擎復算。
BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019（访问日期：2026-09-09）——焦耳的定義、eV 與 kW·h 等非 SI 單位的換算表。
NIST, CODATA 2018: electron volt（访问日期：2026-09-09）—— $1\ \text{eV} = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}$ J（精確）。
Wikipedia, Kinetic energy（访问日期：2026-09-09）——經典與相對論動能、轉動動能、與動量的關係。
Wikipedia, Work (physics) — Work–energy principle（访问日期：2026-09-09）——功—能定理的推導。
Wikipedia, Vis viva（访问日期：2026-09-09）——萊布尼茨的 $mv^2$ 與 $\tfrac12$ 係數的歷史。
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics——功、能、功率的量與單位定義。

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來源與審閲

更新: 2026-09-09