動量計算器 p = mv：衝量、動量守恆與碰撞

計算器説明

動量計算器解 $p = mv$ ：輸入質量 $m$ （kg）和速度 $v$ （m/s），得到一維動量 $p$ （kg·m/s）；也可以由動量與速度反解質量，或由動量與質量反解速度。動量是「運動的量」——牛頓的原話——它回答的是：要讓這個運動着的物體停下來，需要多大的力作用多久；以及兩個物體相撞後會以什麼速度運動。

汽車追尾、枱球相碰、槍的後坐力、火箭噴氣推進、安全氣囊為什麼有用，都是動量問題。與本站其他物理頁一樣，這裏採用「一維帶符號」口徑：先選一個正方向，同向的速度為正、反向為負，動量隨之帶符號——這一點與動能截然不同。SI 單位、量綱、矢量與標量的一般討論見牛頓第二定律，功與能的討論見動能計算器，本頁只寫動量獨有的部分：衝量、守恆與碰撞。

它不做的事：不直接算碰撞（要用本計算器分別算碰前、碰後的動量再手動列守恆式）、不算角動量（ $L = I\omega$ ）、不做二維矢量分解、不做單位換算（km/h、g 請先換成 m/s、kg）、不涉及相對論動量（ $\gamma mv$ ）。

公式與變量

\vec p = m\,\vec v \qquad\text{（一維：}p = mv\text{，}p\text{ 與 }v\text{ 同號）}

反解：

m = \frac{p}{v},\qquad v = \frac{p}{m}

衝量與守恆（計算器不直接算，供手算）：

\vec F\,\Delta t = \Delta\vec p,\qquad \sum \vec p_{\text{前}} = \sum \vec p_{\text{後}}\ \text{（合外力為零）}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$m$	質量	質量 m (kg)	kg	$m > 0$ ；默認 1
$v$	速度（帶符號）	速度 v (m/s)	m/s	任意實數；默認 5。負號表示與正方向相反
$p$	動量	動量 p (kg·m/s)	kg·m/s = N·s	輸出，符號與 $v$ 相同；反解模式下作為輸入
$J = F\Delta t$	衝量	（不顯示）	N·s	等於動量的變化 $\Delta p$

單位一致性： $\text{kg} \times \text{m/s} = \text{kg·m/s}$ ；由 $F\Delta t = \Delta p$ 又有 $\text{N·s} = \text{kg·m/s}^2 \cdot \text{s} = \text{kg·m/s}$ ，兩種寫法是同一個單位。它沒有專名，這是 SI 裏少數「重要卻沒有名字」的導出單位之一。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 動量」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-momentum）。打開時「質量 m」= 1、「速度 v」= 5 已填好，「動量 p」帶「計算」標記顯示 5。
求動量改寫質量和速度。速度先換成 m/s，反向運動填負數。
反解質量清空「質量 m」，填「動量 p」和「速度 v」，質量字段切換為「計算」並顯示 $p/v$ 。
反解速度清空「速度 v」，填「動量 p」和「質量 m」，速度字段顯示 $p/m$ ，符號隨 $p$ 。
算碰撞分別為每個物體算碰前動量，相加得總動量；碰後把總動量與總質量（粘在一起時）填進「動量 p」與「質量 m」反解共同速度。見算例 3。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零。質量填 0 反解速度顯示 ∞（除以零）。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 LaTeX p = mv 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 phys-momentum 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零，單位 kg、m/s、kg·m/s。

算例 1：默認輸入與符號

輸入： $m = 1$ ， $v = 5$ 。 $p = 1 \times 5 = 5$ 。界面顯示：動量 p 5。

輸入 $m = 3$ ， $v = 4$ ：界面顯示 12。輸入 $m = 2$ ， $v = -3$ ：界面顯示 −6——向負方向運動，動量為負。這是動量與動能的第一處分野：同一個物體、同樣的速率，動能頁會顯示 9 J，與方向無關。

算例 2：汽車、子彈、卡車——動量的量級

物體	$m$ (kg)	$v$ (m/s)	界面顯示 $p$
汽車 100 km/h	1500	27.77777778	41666.66666667
卡車慢行	20000	2	40000
子彈	0.008	400	3.2
足球射門	0.45	30	13.5
步行的人	70	1.4	98
奔跑的人	70	5	350

一輛 100 km/h 的汽車和一輛以 2 m/s（7.2 km/h）蠕行的 20 噸卡車動量幾乎相同——要讓它們停下來需要同樣大小的「力 × 時間」。子彈動量只有 3.2 kg·m/s，比一個足球還小，但它的動能 640 J 比足球（202.5 J）大得多：動量隨速度線性增長，動能隨速度平方增長，速度越高兩者差距越大。射擊時槍的後坐動量也是 3.2 kg·m/s，4 kg 的槍後坐速度 $3.2 / 4 = 0.8$ m/s，這就是「反衝」。

算例 3：完全非彈性碰撞——動量守恆，動能不守恆

2 kg 的滑塊以 3 m/s 撞上靜止的 1 kg 滑塊，兩者粘在一起。

碰前：輸入 $m = 2$ ， $v = 3$ ，界面顯示 6；靜止滑塊動量 $1 \times 0 = 0$ 。總動量 6 kg·m/s。
碰後：粘在一起總質量 3 kg。清空 $v$ ，填 $p = 6$ ， $m = 3$ ：界面顯示速度 v 2。
核對：輸入 $m = 3$ ， $v = 2$ ，界面顯示 6，與碰前相同——動量守恆。

動能呢？碰前 $\tfrac12 \times 2 \times 3^2 = 9$ J，碰後 $\tfrac12 \times 3 \times 2^2 = 6$ J，少了 3 J，變成了形變、熱和聲音。動量在任何碰撞中都守恆（只要沒有外力），動能只在完全彈性碰撞中守恆。 這是用動量而不是動能分析碰撞的根本原因。

圖 1：算例 3。總動量碰前碰後都是 6 kg·m/s；動能從 9 J 降到 6 J。向右取正，若兩者迎面相撞則要帶負號相加

算例 4：反解與衝量

反解質量：動量 12 kg·m/s、速度 4 m/s，清空 $m$ ： $m = 12 / 4 = 3$ 。界面顯示：質量 m 3。

反解速度：動量 100 kg·m/s、質量 0.5 kg，清空 $v$ ： $v = 100 / 0.5 = 200$ 。界面顯示：速度 v 200。再問：多重的卡車以什麼速度才有算例 2 那輛汽車的動量？填 $p = 41666.66666667$ ， $m = 20000$ ，界面顯示 2.08333333 m/s。

衝量（手算）：算例 2 的足球從靜止被踢到 30 m/s， $\Delta p = 13.5$ kg·m/s；腳與球接觸約 0.01 s，平均力 $F = \Delta p / \Delta t = 13.5 / 0.01 = 1350$ N。算例 2 的汽車要停下來， $\Delta p = 41666.67$ ：5 s 內正常剎車平均力 8333 N；0.1 s 內撞牆則是 416 667 N，是剎車的 50 倍。安全氣囊、緩衝區、蹦極繩做的都是同一件事——把 $\Delta t$ 拉長，讓同樣的 $\Delta p$ 對應更小的 $F$ 。

圖 1 碰前的輸入可以直接填進面板復現；把速度改成 −3 觀察動量變號，把質量改成 3、速度改成 2 看到碰後同樣的 6。

原理與推導

牛頓第二定律的原始形式

牛頓在《原理》裏先定義「運動的量」為速度與物質的量的乘積——也就是動量——再把第二定律寫成「運動的變化與所加的動力成正比」： $\vec F = \dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$ 。質量不變時它退化為教科書上的 $F = ma$ （見牛頓第二定律），質量變化時（火箭噴氣、傳送帶上撒沙）只有動量形式是對的。動量因此比 $F = ma$ 更「原始」，也更普適——狹義相對論和量子力學裏守恆的都是動量，而不是 $mv$ 的某種變形。

衝量—動量定理

把 $F = \mathrm dp/\mathrm dt$ 對時間積分： $\int F\,\mathrm dt = \Delta p$ 。左邊叫衝量 $J$ ，力恆定時 $J = F\Delta t$ 。同樣的動量變化，作用時間越長所需的力越小——算例 4 的剎車與撞牆相差 50 倍。反過來，測出接觸時間就能估算碰撞中的平均力，這是體育科學和碰撞安全裏最常用的估算。

與動能頁的功—能定理並列：力乘時間給動量，力乘距離給動能。 $F\Delta t = \Delta p$ 與 $Fs = \Delta E_k$ 是同一條 $F = ma$ 沿時間和沿路徑兩種積分。

為什麼動量守恆

兩個物體相互作用時，牛頓第三定律説它們受到的力大小相等、方向相反、作用時間相同，所以衝量相等相反：一個得到 $+\Delta p$ ，另一個就得到 $-\Delta p$ ，總和不變。只要系統不受外力（或外力的衝量可忽略——碰撞時間極短時通常如此），總動量守恆。更深一層，諾特定理指出動量守恆源自空間的平移對稱性：物理定律在這裏和在那裏一樣，動量就守恆。這使它成為比「碰撞規律」大得多的原理，從枱球到星系碰撞都成立。

碰撞的分類

設兩個物體碰前動量之和為 $P$ ，碰後：

完全非彈性（粘在一起）：共同速度 $v = P / (m_1 + m_2)$ ，動能損失最大（算例 3）。
完全彈性：動量和動能都守恆，可解出兩個碰後速度；質量相等時兩球交換速度（枱球、牛頓擺）。
一般碰撞：介於兩者之間，用恢復係數 $e$ （分離速度 / 接近速度）描述， $e = 1$ 彈性， $e = 0$ 完全非彈性。

本計算器只算單個物體的 $p = mv$ ，碰撞要靠你把幾個動量加起來再反解——但守恆式本身就是這樣一條一條列出來的。

動量與動能的對照

	動量 $p = mv$	動能 $E_k = \tfrac12 mv^2$
類型	矢量（帶方向 / 符號）	標量（恆非負）
隨速度	線性	平方
由力產生	$F\Delta t$ （時間）	$Fs$ （距離）
碰撞中	總是守恆（無外力）	只在彈性碰撞中守恆
兩者關係	$E_k = p^2 / (2m)$	算例 2 的子彈： $3.2^2 / (2 \times 0.008) = 640$ J

兩個相同的球以相同速率迎面相撞：總動量為零，總動能不為零——它們相撞後可以完全停下（動量守恆允許），動能則全部變成了熱與形變。

假設

一維、帶符號：所有速度沿同一直線；二維碰撞需分別對 $x$ 、 $y$ 方向列守恆式。
質點：不含轉動（角動量 $L = I\omega$ 另算）。
經典速度： $v \ll c$ ；相對論動量 $\gamma mv$ 在 $0.1c$ 時比 $mv$ 大 0.5%。
守恆的前提是無外力：碰撞分析假定碰撞時間極短、外力（摩擦、重力）的衝量可忽略。
SI 單位：kg、m/s、kg·m/s；引擎不換算；反解分母未填按 1 兜底。

適用範圍與限制

能算: $p$ 、 $m$ 、 $v$ 三者知二求一，含負值。
只能近似: 真實碰撞的接觸時間、恢復係數需實測；用平均力代替隨時間變化的力。
不能算: 碰撞本身（需手動列守恆式，見步驟 5）、二維以上矢量、角動量、變質量系統的推力（ $F = u\,\mathrm dm/\mathrm dt$ ）、相對論與光子動量。
不做: 單位換算、衝量 / 力 / 時間的計算（手算 $F = \Delta p / \Delta t$ ）。
數值: $m = 0$ 反解速度顯示 ∞；極大值以科學計數法顯示。

常見誤區

忘記方向的符號：迎面相撞的兩個動量要一正一負相加；都填正數會把「相向」算成「同向」。
把動量和動能混為一談：卡車與汽車動量相同不代表動能相同；子彈動量小不代表動能小（算例 2）。
認為碰撞中動能守恆：只有完全彈性碰撞才守恆；日常碰撞都有動能損失（算例 3 的 3 J）。
km/h 不換 m/s：動量差 3.6 倍（動能會差 12.96 倍）。詳見牛頓第二定律的單位討論。
用 $F = ma$ 算火箭：質量在變，要用 $F = \mathrm dp/\mathrm dt$ 。
衝量與力混淆：衝量 N·s 是「力 × 時間」，安全氣囊改變的是力而不是衝量。

典型使用場景

交通安全

碰撞前後速度的估算（事故重建）、緩衝區與安全氣囊的作用（延長 $\Delta t$ ）、不同車輛動量的對比。

體育

擊球、踢球、拳擊中的動量傳遞與平均衝擊力（配合接觸時間）；起跳與落地的衝量；反衝對射擊、投擲的影響。

航天與機械

火箭與噴氣推進的反衝原理（噴出氣體的動量 = 飛行器獲得的動量）、鍛錘與打樁、機械衝擊載荷估算。

教學

動量守恆的引入、彈性與非彈性碰撞的區分、動量與動能的對照、牛頓第二定律的原始形式。

常見問題

動量為負是什麼意思？

物體沿與所選正方向相反的方向運動。動量是矢量，一維時用符號表示方向。

怎樣用這個計算器算碰撞？

分別算每個物體碰前的 $mv$ （注意符號）並相加得總動量；粘在一起時把總動量與總質量填進 $p$ 與 $m$ 反解共同速度。彈性碰撞需要再加動能守恆方程，手算。

動量和動能到底哪個決定「破壞力」？

都參與但角色不同：動量決定需要多大的「力 × 時間」來停下（決定平均衝擊力），動能決定要吸收多少能量（決定形變與破壞程度）。原理一節有對照表。

火箭在真空裏為什麼能加速？

噴出的氣體帶走向後的動量，火箭得到等量向前的動量——不需要「推空氣」。這是動量守恆，不是 $F = ma$ 能直接説明的。

衝量的單位為什麼和動量一樣？

$F\Delta t$ 的單位 N·s = kg·m/s² · s = kg·m/s。衝量就是動量的變化量。

光有動量嗎？

有， $p = E/c = h/\lambda$ ，但沒有靜質量， $p = mv$ 不適用；本計算器只處理有質量的物體。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-momentum 定義（compute(known, solveFor) 三向求解，字段單位 kg / m/s / kg·m/s）；本頁所有數字由該引擎復算。
Isaac Newton, Principia (1687), Definitions（Def. II「運動的量」）與 Axioms（Law II）, Motte 英譯（访问日期：2026-09-09）。
Wikipedia, Momentum（访问日期：2026-09-09）——定義、守恆、相對論推廣。
Wikipedia, Impulse (physics)（访问日期：2026-09-09）——衝量—動量定理與應用。
Wikipedia, Inelastic collision（访问日期：2026-09-09）——完全非彈性碰撞的公式與動能損失。
Wikipedia, Noether's theorem（访问日期：2026-09-09）——對稱性與守恆律的對應。
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics——動量、衝量的量與單位定義。

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來源與審閲

更新: 2026-09-09