牛頓第二定律計算器 F = ma：力、質量、加速度與 SI 單位

計算器説明

牛頓第二定律計算器解 $F = ma$ ：輸入質量 $m$ （kg）與加速度 $a$ （m/s²），得到合力 $F$ （N）；也可以由力和加速度反解質量，或由力和質量反解加速度。它回答的是力學裏最基本的一個問題——要讓這麼重的東西以這樣的加速度運動，需要多大的淨力；反過來，已知淨力和質量，物體會怎樣加速。

推購物車、汽車起步與剎車、電梯啓動時的超重感、火箭發射、測體重——都是 $F = ma$ 。它也是本站物理類計算器的「單位總綱」：牛頓（N）這個單位就是由它定義的， $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2$ ；動能、動量、勢能、勻變速運動幾篇用到的 SI 單位、量綱檢查、矢量與標量、 $g$ 的取值，都在本頁展開，其餘各篇只作概括並鏈回這裏。

它不做的事：不做受力分析—— $F$ 是合力（所有力的矢量和），摩擦、支持力、拉力要自己先合成；不處理二維 / 三維矢量分解，只算一維帶符號的量；不涉及相對論（質量隨速度變化）與變質量系統（火箭噴氣過程需用動量形式）。

公式與變量

\vec F_{\text{合}} = m\,\vec a \qquad\text{（一維：}F = ma\text{，}F\text{ 與 }a\text{ 同號同向）}

反解：

m = \frac{F}{a},\qquad a = \frac{F}{m}

符號	含義	計算器字段	單位	取值範圍與説明
$m$	質量（慣性的量度）	質量 m (kg)	kg	$m > 0$ ；默認 1。克要除以 1000，噸要乘 1000
$a$	加速度（速度的變化率）	加速度 a (m/s²)	m/s²	任意實數；默認 9.8（自由落體的近似值）。km/h 每秒要先換成 m/s²
$F$	合力（淨力）	力 F (N)	N = kg·m/s²	輸出；反解模式下作為輸入。符號表示方向：與所選正方向同向為正

單位一致性： $\text{kg} \times \text{m/s}^2 = \text{kg·m/s}^2 = \text{N}$ 。若質量用 g、加速度用 cm/s²，得到的是達因（dyn， $1\ \text{dyn} = 10^{-5}\ \text{N}$ ）；若質量用 lb、加速度用 ft/s²，得到的是磅達（pdl）。本計算器只按 SI 口徑顯示 N，不做換算。

在本計算器裏怎麼算

打開面板本頁對應「數學工具 → 公式 → 牛頓第二定律」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-newton2）。打開時「質量 m」= 1、「加速度 a」= 9.8 已填好，「力 F」帶「計算」標記顯示 9.8。
求合力改寫質量和加速度，力實時更新。先把質量換成 kg、加速度換成 m/s²（1 km/h = 1/3.6 m/s）。
反解質量清空「質量 m」，填「力 F」和「加速度 a」，質量字段切換為「計算」並顯示 $F/a$ 。
反解加速度清空「加速度 a」，填「力 F」和「質量 m」，加速度字段顯示 $F/m$ 。剎車、減速時把力填成負數，加速度就是負的。
讀結果數值最多保留 8 位小數並去掉末尾的零。 $a = 0$ 時反解質量顯示 ∞（除以零），這是提醒「零加速度下任何質量都可以，力應為 0」。
複製公式面板標題右側的複製按鈕把 LaTeX F = ma 複製到剪貼板。

算例

四組算例均由引擎 phys-newton2 的 compute 復算；顯示口徑為最多 8 位小數、去尾零，單位 kg、m/s²、N。

算例 1：默認輸入與圖 1 的 2 kg 木塊

輸入： $m = 1$ ， $a = 9.8$ 。 $F = 1 \times 9.8 = 9.8$ 。界面顯示：力 F 9.8——讓 1 kg 的物體以自由落體的加速度運動需要 9.8 N，也就是 1 kg 物體在地面附近受到的重力。這正是「1 kg 大約重 10 N」這條口訣的來源。

輸入： $m = 2$ ， $a = 3$ 。 $F = 2 \times 3 = 6$ 。界面顯示：力 F 6。反過來清空 $a$ 、填 $F = 6$ 、 $m = 2$ ，界面顯示加速度 a 3。

圖 1：算例 1 的受力圖。豎直方向兩力抵消，水平方向只有 6 N，所以合力就是 6 N，a = 3 m/s²。計算器裏填的 F 永遠是這個「合力」

算例 2：體重——g 取 9.8、9.81 還是 9.80665

一個 70 kg 的人受到的重力 $G = mg$ ，把 $g$ 當作加速度填入：

輸入 $a$	含義	界面顯示 F
9.80665	標準重力加速度 $g_0$ （精確定義值）	686.4655
9.81	多數大學教材	686.7
9.8	多數中學教材	686
1.62	月球表面	113.4

三種地球取法相差不到 0.1%，比體重秤本身的誤差還小；但在考試或工程文件裏必須用題目 / 規範指定的那個值，否則末位對不上。實際的 $g$ 隨地點變化：赤道海平面約 9.780，兩極約 9.832，同一個人在兩地的重力是 684.6 N 與 688.2 N——差 0.5%，比取值版本之間的差別大。

算例 3：汽車 8 秒加速到 100 km/h——最常見的單位陷阱

1500 kg 的汽車從靜止 8 s 內加速到 100 km/h，需要多大的平均合力？

先換單位： $100\ \text{km/h} = 100 \times 1000 / 3600 = 27.77777778\ \text{m/s}$ 。
加速度 $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222\ \text{m/s}^2$ 。
輸入 $m = 1500$ ， $a = 3.47222222$ ： $F = 1500 \times 3.47222222 = 5208.33333$ 。

界面顯示：力 F 5208.33333，約 5.2 kN。如果忘了換單位，直接用 $100 / 8 = 12.5$ 當加速度，界面會給出 18750——大了 3.6 倍。這是一個「合力」，發動機通過輪胎實際提供的推力還要加上空氣阻力與滾動阻力。

剎車反過來：同一輛車以 $-7500$ N 的合力剎車（清空 $a$ ，填 $F = -7500$ ， $m = 1500$ ），界面顯示加速度 a −5，負號表示與運動方向相反；從 27.78 m/s 減到 0 需要 5.56 s、滑行約 77 m（運動學部分見勻變速直線運動）。

算例 4：電梯裏的超重與反解

70 kg 的人站在以 1.2 m/s² 向上加速啓動的電梯裏。輸入 $m = 70$ ， $a = 1.2$ ：界面顯示力 F 84——這是讓他跟電梯一起加速所需的合力。地板對他的支持力則是 $mg + ma = 686.47 + 84 = 770.47$ N，體重秤會顯示約 78.6 kg，這就是「超重」；電梯向下加速時支持力變為 602.47 N，「失重」。計算器給的 84 N 只是合力那一項，其餘要自己加減。

反解質量：一個物體受 18 N 合力產生 3 m/s² 的加速度。清空 $m$ ，填 $F = 18$ ， $a = 3$ ：界面顯示質量 m 6。反解加速度：500 N 推 1200 kg 的車， $a = 500 / 1200 = 0.41666667$ ，界面顯示加速度 a 0.41666667。

圖 1 的輸入可以直接填進面板復現；把質量改成 4、8、16 觀察同一加速度下力成倍增長；再把加速度改成 9.8，看到的就是該質量的重力。

原理與推導

牛頓的原話與今天的寫法

《自然哲學的數學原理》（1687）第二定律的原文是：「運動的變化與所加的動力成正比，並且發生在該力所沿的直線方向上。」這裏的「運動」指動量 $p = mv$ ，所以更本來的寫法是 $\vec F = \dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$ ；質量不變時 $\dfrac{\mathrm d(m\vec v)}{\mathrm dt} = m\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = m\vec a$ ，才得到教科書上的 $F = ma$ 。兩種寫法在火箭（質量變化）這類問題上會分道揚鑣——見動量計算器。

它定義了牛頓這個單位

SI 裏質量、長度、時間是基本量，單位 kg、m、s；力是導出量，牛頓被定義為「使 1 kg 質量產生 1 m/s² 加速度的力」： $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m·s}^{-2}$ 。於是 $F = ma$ 在 SI 裏不帶任何換算係數——這是選擇 SI 的最大好處。在英制裏若用磅力（lbf）、磅質量（lb）、ft/s²，公式變成 $F = ma / g_c$ ， $g_c = 32.174$ ，出錯空間大得多。同一條鏈繼續往下：功 / 能 $\text{J} = \text{N·m}$ ，功率 $\text{W} = \text{J/s}$ ，壓強 $\text{Pa} = \text{N/m}^2$ ，動量 $\text{kg·m/s} = \text{N·s}$ 。

量綱：檢查公式對不對的最快辦法

給每個物理量記一個「量綱」：質量 $\mathsf M$ 、長度 $\mathsf L$ 、時間 $\mathsf T$ 。加速度 $[a] = \mathsf{L\,T^{-2}}$ ，力 $[F] = \mathsf{M\,L\,T^{-2}}$ 。任何正確的物理等式兩邊量綱必須相同： $[ma] = \mathsf M \cdot \mathsf{L\,T^{-2}} = [F]$ ，通過。如果你手算時寫出 $F = mv$ （量綱 $\mathsf{M\,L\,T^{-1}}$ ），一查就知道錯了。本站的動能頁、動量頁各自的公式都可以用這個辦法核對；單位換算錯（如 km/h 沒換 m/s）不會改變量綱，量綱檢查抓不到，只能靠算例 3 那種自覺。

矢量與標量：為什麼計算器只算「一維」

力、加速度、速度、位移、動量是矢量（有大小有方向），質量、時間、能量、功率是標量。 $\vec F = m\vec a$ 是矢量等式：合力的方向就是加速度的方向，大小是 $m$ 倍。真正的三維問題要按 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三個分量各寫一遍 $F_x = ma_x$ 等。本站的物理計算器都取「一維帶符號」口徑：先選一個正方向，同向的量為正、反向為負，於是矢量退化為一個帶符號的數——算例 3 的 $-5\ \text{m/s}^2$ 就是這樣。二維問題（斜面、拋體）請先把力分解到兩個垂直方向，分別使用本計算器。

g 到底是多少

$g$ 有三個層面：標準值 $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ ，1901 年第 3 屆國際計量大會（CGPM）定義，是一個精確的約定值，用來定義千克力等單位、校準儀器；教材約定值 9.8 或 9.81，是為了手算方便對標準值的舍入；實測值，隨緯度（離心效應與地球扁率）、海拔（每升高 1 km 減小約 0.0031）、局地地質變化，赤道約 9.780、兩極約 9.832。本站引擎的默認值：本頁與勻變速兩篇字段默認 9.8，重力勢能默認 9.80665。做題按題目給的值，做工程按規範給的值，做精密測量用當地實測值。

質量與重量不是一回事

質量是物體固有的、不隨地點改變的屬性（慣性的量度，SI 基本量）；重量是地球（或月球）對它的引力 $G = mg$ ，是一個力，單位 N。日常説「體重 70 kg」其實指質量，體重秤測的是支持力再除以 $g$ 換算成 kg 顯示——所以算例 4 的電梯裏它會「變重」。工程裏舊單位千克力（kgf）就是 1 kg 在 $g_0$ 下的重量， $1\ \text{kgf} = 9.806\,65\ \text{N}$ ，這是 $g_0$ 需要一個精確定義的歷史原因。

假設

$F$ 是合力：所有作用在物體上的力的矢量和，不是其中某一個力。
質量恆定：不適用於噴氣中的火箭、裝卸中的車廂等變質量系統。
慣性參考系：在加速的車廂或轉動的平台上觀察需引入慣性力。
一維、帶符號：所有量沿同一直線，方向用正負號表示。
經典力學範圍： $v \ll c$ ；接近光速時慣性隨速度增大， $F = ma$ 需修正。
SI 單位：kg、m/s²、N；界面不做單位換算，反解時分母兜底（ $a$ 或 $m$ 未填按 1）隻影響未填字段的臨時顯示。

適用範圍與限制

能算: $F$ 、 $m$ 、 $a$ 三者知二求一，含負值（反向）。
只能近似: 真實車輛、電梯的加速度並非恆定，算出的是平均合力； $g$ 取值版本帶來約 0.1% 的差異。
不能算: 受力分析（合成 / 分解多個力）、摩擦力與法向力、二維以上的矢量問題、變質量系統、相對論修正、轉動（需用力矩 $\tau = I\alpha$ ）。
不做: 單位換算（g→kg、km/h→m/s、N→kgf 或 lbf）、與運動學公式的聯動（速度、位移請用勻變速兩篇）。
數值: 分母為 0 的反解顯示 ∞；極大 / 極小值以科學計數法顯示。

常見誤區

km/h 當 m/s 用：差 3.6 倍（算例 3 的 5208 N vs 18750 N）。速度先除以 3.6。
克沒換千克：250 g 的物體填 250，得到的力大 1000 倍（500 N 應為 0.5 N）。
把某一個力當合力：推力 500 N、摩擦 200 N 時， $F = 300$ N 才是要填的數。圖 1 的重力與支持力互相抵消，不進入水平方向的 $F$ 。
把重量當質量：體重秤顯示的 kg 是質量；重力（N）要再乘 $g$ 。反過來「用力 700 N」不能直接當 70 kg。
g 的版本混用：同一道題裏一處 9.8、一處 9.81，末位會對不上；全程用同一個值。
忽略方向的符號：剎車的合力與加速度都是負的；只填正數會把減速算成加速。
零加速度反解質量得 ∞ 當結果：那是除以零的提示，題目條件矛盾。

典型使用場景

教學

從「1 kg 重約 9.8 N」出發理解牛頓這個單位；比較 $g$ 的取值版本；用受力圖區分合力與單個力；用量綱檢查公式。

交通與機械

車輛加減速所需的驅動力 / 制動力、電梯與起重機的額定加速度對應的動態載荷、傳送帶啓動時對貨物的摩擦力需求。

航天與體育

火箭起飛加速度對應的推力（推重比）、離心機與過山車的「幾個 g」、運動員起跑時地面給的推力。

日常估算

推車、拉行李所需的力；從秤的讀數變化估算電梯加速度（算例 4 的逆問題）。

常見問題

F 是合力還是我施加的那個力？

合力。你推 100 N、摩擦 40 N，填 60。計算器不做受力分析，圖 1 展示了什麼進入 $F$ 、什麼不進入。

g 該填 9.8 還是 9.81？

按題目或規範指定的值；沒有指定時中學一般 9.8，大學與工程一般 9.81，需要精確約定值時用 9.80665（標準重力加速度 $g_0$ ）。三者對結果的影響不到 0.1%。

質量為什麼不能填負數、加速度卻可以？

質量是標量且恆正；加速度是矢量，負號表示方向與所選正方向相反。面板會拒絕負質量（字段有 min: 0 規則），只有底層 compute() 不禁止，負質量的結果沒有物理意義。

為什麼 100 km/h 要換成 27.78 m/s？

牛頓的定義用 kg、m、s。 $1\ \text{km/h} = 1000\ \text{m} / 3600\ \text{s} = 0.27778\ \text{m/s}$ ；不換算得到的數既不是 N 也不是任何標準單位。

火箭為什麼不能直接用 F = ma？

火箭一邊噴氣一邊變輕， $m$ 隨時間變化，要用 $\vec F = \mathrm d\vec p/\mathrm dt$ 的動量形式（齊奧爾科夫斯基方程）。某一瞬間的加速度仍可用當時的質量代入 $a = F/m$ 估算。

與動能、動量計算器是什麼關係？

三者共用 kg、m、s 體系：力作用一段時間給動量（ $F\Delta t = \Delta p$ ），作用一段距離給動能（ $Fs = \Delta E_k$ ）。見動能計算器與動量計算器。

參考與延伸

CalcX 引擎源碼 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-newton2 定義（compute(known, solveFor) 三向求解，字段單位 kg / m/s² / N，反解分母缺省按 1 兜底）；本頁所有數字由該引擎復算。
BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019（访问日期：2026-09-09）——牛頓的定義、基本單位與導出單位表、標準重力加速度。
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity $g_n$ （访问日期：2026-09-09）—— $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ （精確）。
Isaac Newton, Principia (1687), Axioms, or Laws of Motion, Law II, Motte 英譯（访问日期：2026-09-09）——「運動的變化與所加動力成正比」的原始表述。
Wikipedia, Newton's laws of motion（访问日期：2026-09-09）——三定律的現代表述、動量形式與適用範圍。
Wikipedia, Gravity of Earth（访问日期：2026-09-09）—— $g$ 隨緯度、海拔的變化與各地實測值。
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics——力、質量、加速度、重量的量與單位定義。

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來源與審閲

更新: 2026-09-09