弧長・扇形計算ツール：弧長、扇形の面積と弦長

計算ツールについて

弧長・扇形計算ツールは、円の半径 $r$ と中心角 $\theta$ （度で入力）から3つの量を求めます：この円弧の長さ $L$ 、扇形（中心と弧で囲まれた「ピザの一切れ」）の面積 $A$ 、そして弧の両端を結ぶ弦の長さです。逆に、弧長と半径がわかっていれば中心角も求められます。

「円の一部」なら何にでも使えます：時計の針が動いた距離、カーブの長さ、ピザ1切れの面積、歯車の一部の歯距に対応する角度、地球表面を経線に沿って1°進む距離（km）。「度」と「ラジアン」という2つの角度単位を本当につなぐ場所でもあります——ラジアンの定義は弧長と半径の比そのものです。

やらないこと：円そのものの周長と面積は計算しません（角度に 360° を入れれば得られます）。弓形（弧と弦の間の部分）の面積も計算しません——ただし本ページに式を示しており、扇形の面積から三角形の面積を引けば得られます。角度を 0°–360° に正規化することもしませんし、単位換算もしません。

公式と変数

まず角度を度からラジアンに換算します： $\theta = \theta_{\deg} \times \pi / 180$ 。そのうえで

L = r\,\theta,\qquad A = \tfrac{1}{2}\,r^2\theta,\qquad \text{弦長} = 2r\sin\frac{\theta}{2}

弧長から角度を逆算： $\theta_{\deg} = \dfrac{L}{r} \times \dfrac{180}{\pi}$ 。弓形（弧と弦の間の領域）の面積は出力に含まれませんが、扇形から二等辺三角形を引いて求められます：

A_{\text{弓形}} = \tfrac{1}{2}\,r^2\,(\theta - \sin\theta)

記号	意味	計算ツールの項目	単位	範囲と説明
$r$	円の半径	半径 r	長さ	$r > 0$ ；既定は 10
$\theta_{\deg}$	中心角（度）	角度(°)	度	通常 $0 < \theta_{\deg} \le 360$ ；既定は 60；エンジンは範囲を制限せず、360° を超えると「1周を超える分」として計算します
$\theta$	中心角（ラジアン）	（中間量）	rad	$\theta = \theta_{\deg}\,\pi/180$ ；60° = π/3 ≈ 1.0472 rad
$L$	弧長	弧長	長さ	出力； $\theta_{\deg} = 360$ のとき周長 $2\pi r$ に等しい；入力に切り替えて角度を逆算できる
$A$	扇形の面積	扇形面積	長さ²	出力； $\theta_{\deg} = 360$ のとき円の面積 $\pi r^2$ に等しい
弦長	弧の両端点を結ぶ直線の長さ	弦長	長さ	出力； $\theta_{\deg} = 180$ のとき直径 $2r$ に等しく、弦長の最大値

半径・弧長・弦長は同じ長さの単位を使い、面積はその単位の2乗です。

この計算ツールの使い方

パネルを開く本ページは「数学ツール → 公式 → 弧長 / 扇形」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector）に対応します。開いた時点で半径 r = 10、角度 60° が入っており、弧長・扇形面積・弦長が自動計算されます。
弧長・面積・弦長を求める半径と角度（度であり、ラジアンではない）を書き換えると、「計算」の印が付いた3つの項目がリアルタイムに更新されます。小数第8位までで、末尾の0は省略されます。
弧長から角度を逆算する「角度(°)」を空にし、「弧長」に既知の弧長を入れて半径はそのままにします。角度の項目が「計算」に切り替わり、度数を表示します。このとき扇形面積と弦長は 0 と表示されます（エンジンが未知の角度を 0 として計算するため）。無視するか、逆算した角度を角度の項目に書き戻してから読んでください。
円全体と半円角度に 360 を入れると周長と円の面積が得られます（弦長は理論上 0 ですが、画面には 1.469576e-15 のような浮動小数点ノイズが表示されることがあります。これは 0 です）。180 を入れると半円の弧長・半円の面積と直径が得られます。
弓形の面積を求める出力された扇形の面積から三角形の面積 $\tfrac12 r^2 \sin\theta$ を引くか、 $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ に直接代入します。

計算例

4つの計算例はすべてエンジン arc-sector の compute で再計算しています。表示の口径は小数第8位まで、末尾の0は省略です。

例1：半径 6、中心角 60°

ラジアン $\theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755$ 。
弧長 $L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531$ 。
扇形の面積 $A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592$ 。
弦長 $= 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6$ 。

画面表示：弧長 6.28318531、扇形面積 18.84955592、弦長 6。中心角 60° では2本の半径と弦が正三角形を作るので、弦長はちょうど半径に等しくなります。

図1：例1。弧長と面積にはラジアンを代入します；弦長は 2r·sin(θ/2) で、θ/2 は度でもラジアンでも、sin と口径が一致していれば構いません

例2：パネルの既定値、半径 10、60°

$L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551$ 。
$A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756$ 。
弦長 $= 20 \sin 30° = 10$ 。

画面表示：10.47197551、52.35987756、10。例1と比べて半径が $10/6$ 倍になると、弧長と弦長は同じ比率で大きくなり、面積は $(10/6)^2 = 2.78$ 倍になります。

例3：優弧——半径 1.5、270°

$\theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898$ 。
$L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347$ （周長の4分の3）。
$A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376$ （円の面積の4分の3）。
弦長 $= 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034$ 。

画面表示：7.06858347、5.3014376、2.12132034。180° を超えると弦長は減り始めます——270° の弦は 90° の弦と同じ長さで、両者は同じ1本の弦の裏表だからです。

例4：弧長から角度を逆算する

弧長 5、半径 10 の弧はどのくらいの中心角に対応するでしょうか。角度を空にして、弧長 5、半径 10 を入力します。

$\theta = L/r = 0.5$ rad。
$\theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976°$ 。

画面表示：角度 28.64788976。このとき扇形面積と弦長の項目は 0 と表示されますが、これは逆算モードの口径です（「前提条件」を参照）。28.64788976 を角度の項目に書き戻すと、扇形面積 25、弦長 4.94808114 が得られます。

半径を 6 に固定し、中心角を 0° から 360° まで動かします：弧長は角度に比例して増え（0 → 37.70）、弦長は増えたあと減り、180° で最大値 12（直径）に達し、360° で 0 に戻ります。小さい角度では2つの曲線はほとんど重なります——弦長と弧長の比 $\sin(\theta/2)/(\theta/2)$ は 10° で 0.9987、60° で 0.9549、180° で 0.6366 です。

原理と導出

弧長：周長の一部

円全体の周長 $2\pi r$ は中心角 360° に対応します。中心角 $\theta_{\deg}$ の弧は円全体の $\theta_{\deg}/360$ を占めるので

L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta

括弧の中がラジアンです。ラジアンの定義：弧長と半径の比、 $\theta = L/r$ 。1ラジアンは「弧長がちょうど半径に等しい」中心角で、約 57.2958°；円全体は $2\pi$ ラジアンです。ラジアンで書くと $L = r\theta$ に定数がまったく現れません——数学と物理がほぼ常にラジアンを使う理由です。

扇形の面積：円の面積の一部

同じく比例で： $A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta$ 。別の見方では、扇形を無数の細い三角形に切り分けます。各三角形の底辺は微小な弧 $r\,d\theta$ 、高さは $r$ なので、面積は $\tfrac12 r \cdot r\,d\theta$ となり、足し合わせると $\tfrac12 r^2 \theta$ です。これは $A = \tfrac12 L r$ （「底辺 × 高さ / 2」で、弧を底辺、半径を高さとみなす）と同じ式です。

弦長：二等辺三角形

中心と弧の両端は二等辺三角形を作り、2つの等辺は $r$ 、頂角は $\theta$ です。中心から弦へ垂線を下ろすと2つの直角三角形に分かれ、それぞれの対辺は弦の半分、斜辺は $r$ 、頂角は $\theta/2$ なので、弦の半分 $= r\sin(\theta/2)$ 、弦長 $= 2r\sin(\theta/2)$ です。 $\theta = 180°$ のとき $\sin 90° = 1$ で、弦長 $= 2r$ は直径であり、弦長の最大値です。さらに角度を大きくすると弦長は減り、 $360°$ では両端が重なって弦長は 0 になります。

弓形の面積

弧と弦で囲まれた領域を弓形と呼びます。これは扇形からあの二等辺三角形を引いたものです：三角形の面積 $= \tfrac12 r^2 \sin\theta$ （2辺と挟角の式）なので、 $A_{\text{弓形}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ 。例1では $= 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865$ 。円形タンクの液面より下の断面積や、アーチの上の面積はこの式で求まります。

小角度の近似

$\theta$ が非常に小さいとき $\sin\theta \approx \theta$ （ラジアン）なので、弦長 ≈ 弧長、弓形の面積 ≈ $\tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6$ で 0 に近づきます。これが測量や天文学で「弦で弧を代用する」根拠です：1° の弧と弦の差はわずか 0.0013% で、地球上の 1° の弧長 111.195 km と弦長 111.194 km はほとんど区別できません。

なぜ1周は 360° なのか

360 は古代バビロニアの六十進法と、1年が約360日という粗い観測に由来し、約数を24個持つため等分に便利です。しかしこれは人為的な取り決めであって、幾何学的事実ではありません。ラジアンは円自身の比例関係、つまり1周 $2\pi$ で決まります。「ラジアン」という名称は 1873 年に James Thomson が提案し、その概念は Roger Cotes（1714）にさかのぼります。

前提条件

中心角は度で入力：エンジンは内部で $\pi/180$ を掛けてラジアンに換算します。手元の角度がすでにラジアンなら、 $180/\pi$ を掛けてから入力してください。
角度は正規化しない：400° を入れると「1周と40°」として計算され、弧長と面積は増え続け、弦長は $\sin 200°$ の計算で負になります。負の角度では弧長と面積も負になります。意味のある範囲は $0° < \theta \le 360°$ です。
正の半径： $r > 0$ 。角度の逆算では $r = 0$ はゼロ除算になります。
逆算が影響するのは角度の項目だけ：弧長から角度を逆算すると、扇形面積と弦長は「角度 = 0」として計算されて 0 と表示されるので、無視してください。
同じ長さの単位：半径・弧長・弦長は同じ単位で、面積はその2乗です。

適用範囲と限界

計算できること: 任意の正の半径と任意の中心角（度）に対する弧長・扇形の面積・弦長；弧長と半径からの中心角の逆算。結果は小数第8位まで。
近似しかできないこと: 円全体（360°）の弦長は理論上 0 ですが、画面には 1.469576e-15 のような浮動小数点ノイズが表示されることがあります。0 と読んでください。
計算できないこと: 弓形の面積（本ページの式で手計算）、弦長や面積からの角度・半径の逆算、楕円の弧、らせんの長さ、3次元曲面上の弧。
やらないこと: 角度を 0°–360° に制限すること、度分秒やラジアンでの入力、単位換算。
数値: 極端に大きな半径と極端に小さな角度の組み合わせでは $\sin(\theta/2)$ の相対精度が落ちますが、日常的な桁では影響ありません。

よくある誤り

「角度(°)」にラジアンを入れる：1.0472 を入れると 1.0472° として計算され、弧長は（半径 6 で）2π ではなく 0.1097 になります。この項目には度を入れてください。
手計算でラジアンへの換算を忘れる： $L = r\theta$ はラジアンのときだけ成り立ちます。60 をそのまま半径に掛けると 6.28 ではなく 360 になります。
弦長を弧長と思う：小さい角度では両者は近い値ですが、大きい角度では大きく違います——180° では弦長 12、弧長 18.85 です（半径 6）。
角度が 360° を超える：エンジンは折り返さないので、400° の弦長は負になります。先に角度から1周分を引いてください。
逆算モードで面積と弦長を読む：0 と表示されるのは口径の問題であって、幾何学的事実ではありません。
面積を比例で拡大する：半径が2倍になると弧長と弦長は2倍ですが、扇形の面積は4倍になります。
円全体の弦長の浮動小数点ノイズ：1.469576e-15 は 0 であって、「ごく小さな弦」ではありません。

典型的な利用場面

教育：ラジアンとは何か

半径に 1、角度に 57.29577951（1ラジアン）を入れると、弧長はちょうど 1 になります。次に角度に 360 を入れて、弧長が 6.28318531 = 2π になるのを確かめます。ラジアンとは「半径を物差しとして弧長を測る」ことです。

ピザとケーキの公平な分配

直径 30 cm のピザを8等分すると：r = 15、角度 45° で、1切れの面積は 88.35729338 cm²、外側の弧長は 11.78097245 cm、直線部分の弦長は 11.4805 cm。全体の面積 706.86 cm² の8分の1で、ちょうどです。

カーブ、アーチ、時計

道路のカーブは半径と回転角から長さが求まります。アーチは半径と開き角から弧長（材料の量）と弦長（スパン）が求まります。時針は1時間で 30°、分針は20分で 120° 回るので、針の長さと組み合わせれば針の先端が動いた距離がわかります。

地球と航海

r = 6371 km、1分（1/60°）の弧長 1.8532 km が海里の由来です。経線上の緯度差 1° ≈ 111.19 km。工学や測量で弦を弧の代用にする誤差は、小さい角度なら無視できます。

よくある質問

角度は度とラジアンのどちらを入力しますか？

度です。エンジンが内部で $\pi/180$ を掛けてラジアンに換算します。手元の値がラジアンなら、 $180/\pi$ （約 57.2958）を掛けてから入力してください。

円全体の周長と面積を求めるには？

角度に 360 を入れます：弧長が周長 $2\pi r$ 、扇形の面積が円の面積 $\pi r^2$ です。このとき弦長は理論上 0 ですが、画面にはごく小さな浮動小数点ノイズが出ることがあります。

弓形（弧と弦の間）の面積はどう求めますか？

扇形の面積から三角形の面積を引きます： $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ で、 $\theta$ はラジアンです。例1では 3.2611 になります。

なぜ 270° の弦長と 90° の弦長は同じなのですか？

両者は同じ1本の弦だからです：弦は円を2つの弧に分け、90° の劣弧と 270° の優弧は同じ弦を共有します。 $\sin 135° = \sin 45°$ です。

角度を逆算すると面積と弦長が 0 になるのはなぜですか？

エンジンは逆算モードで、未知の角度を 0 として他の出力を計算するため、意味のない値になります。逆算した角度を角度の項目に書き戻せば、正しい面積と弦長が表示されます。

弦長から角度を逆算できますか？

この計算ツールではできません（弧長からの逆算のみ対応）。手計算では $\theta = 2\arcsin\big(\text{弦長}/(2r)\big)$ で、弦長は直径を超えられない点に注意してください。

参考資料と関連情報

CalcX エンジンのソースコード src/data/formulas.ts にある arc-sector の定義（角度は度で入力、内部でラジアンに換算；arcLen、sectorArea、chordLen の3つの目標と弧長からの角度逆算）。本ページの数値はすべて同エンジンで再計算しています。
Wikipedia, Circular sector（访问日期：2026-09-08）——扇形の面積と弧長の公式。
Wikipedia, Arc length（访问日期：2026-09-08）——円弧の長さと一般の曲線の弧長。
Wikipedia, Radian（访问日期：2026-09-08）——ラジアンの定義、歴史、換算。
Wikipedia, Circular segment（访问日期：2026-09-08）——弓形の面積と弦長の公式。

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来源与审阅

更新: 2026-09-09