正多角形計算ツール：面積・周長・内角・辺心距離と外接円半径

計算ツールについて

正多角形計算ツールは、辺の数 $n$ と辺の長さ $s$ から、正多角形の面積 $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ 、周長 $P = ns$ 、1つの内角 $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ を求めます。逆に、面積と辺の数から辺の長さを逆算することもできます。

「正多角形」とは、すべての辺が等しく、すべての角が等しい多角形です：正三角形、正方形、正五角形、正六角形（ナット、ハチの巣）、正八角形（停止標識）……この2つの条件を満たす図形なら、1辺を測るだけで全体がわかります。三角形や正方形といった「小学校の幾何」と、円（ $n \to \infty$ の極限）を1本の線でつなぎ、「多角形で円を近似する」ことを理解する出発点になります。

このツールがしないこと：不規則な多角形（辺や角が等しくない図形は三角形に分割して1つずつ計算します）と星形多角形は扱いません。単位換算もしません——辺の長さがどの単位なら、面積はその2乗の単位です。

公式と変数

正 $n$ 角形の辺の長さを $s$ 、中心から各頂点までの距離（外接円の半径）を $R$ 、中心から各辺の中点までの距離（辺心距離、内接円の半径）を $a$ とします：

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{内}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

3つの補助量と、2通りの等価な面積の書き方（計算ツールの内部で使うのは最初の式だけで、残りは手計算と照合用です）：

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

面積から辺の長さを逆算：

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

記号	意味	計算ツールの項目	単位	範囲と説明
$n$	辺の数	辺数 n	個	整数、 $n \ge 3$ ；既定は 6。欄には `min: 3` のヒントがありますが、エンジンは非整数を止めません
$s$	辺の長さ	辺の長さ s	長さ	$s > 0$ ；既定は 5
$A$	面積	面積	長さ²	出力；逆算モードでは入力
$P$	周長	周長	長さ	出力、 $P = ns$
$\theta_{\text{内}}$	1つの内角	内角(°)	度	出力、 $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ 、 $n$ が大きくなると 180° に近づく
$a$	辺心距離（内接円の半径）	（表示なし）	長さ	中心から辺までの垂線の長さ。手計算で面積を出すときの「高さ」
$R$	外接円の半径	（表示なし）	長さ	中心から頂点までの距離；正六角形ではちょうど $R = s$
$\pi/n$	中心角の半分	（中間量）	ラジアン	式中の $\tan(\pi/n)$ はラジアン。度数法で手計算するときは $\tan(180^\circ/n)$ と書く

この計算ツールの使い方

パネルを開くこのページは「数学ツール → 公式 → 正多角形」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon）に対応します。開いた時点で「辺数 n」= 6、「辺の長さ s」= 5 が入っており、面積・周長・内角がすぐに計算されます。
面積・周長・内角を求める辺の数と辺の長さを書き換えます。「入力」の印が付いた2つがあなたの入れた値で、「計算」の印が付いた3つの欄がリアルタイムに更新されます。辺の数は3以上の整数を入れてください。
面積から辺の長さを逆算する「辺の長さ s」を空にし、「面積」にわかっている面積を入れ、「辺数 n」はそのままにします。辺の長さの欄が「計算」に切り替わって結果を表示します。このとき「周長」は 0 と表示されることに注意してください（エンジンは未入力の辺の長さを 0 として周長を計算し、逆算した辺の長さは書き戻されません）。結果を手で辺の長さの欄に戻すと周長が表示されます。
結果を読む数値は小数第8位まで（末尾の0は省略）表示されます。たとえば辺の長さ 5 の正六角形の面積は 64.95190528 と表示されます。内角は $n$ が整数のとき、ふつう整数か有限小数です（正五角形 108、正七角形 128.57142857）。
公式をコピーするパネル見出しの右側にあるコピーボタンで、公式テキスト A = n×s²/(4tan(π/n)) をクリップボードにコピーできます。

計算例

4つの計算例はいずれもエンジン regular-polygon の compute で再計算しています。表示の口径は小数第8位まで、末尾の0は省略です。

例1：既定の入力、辺の長さ 5 の正六角形

入力： $n = 6$ 、 $s = 5$ 。

中心角の半分は $\pi/6 = 30^\circ$ 、 $\tan 30^\circ = 0.57735027$ 。
面積 $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ 。
周長 $P = 6 \times 5 = 30$ 。
内角 $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ 。

画面表示：面積 64.95190528、周長 30、内角 120。手計算で照合：辺心距離 $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ 、面積 $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ で一致します。外接円の半径 $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ ——正六角形は「外接円の半径が辺の長さに等しい」唯一の正多角形で、6つの正三角形からできているからです。

図1：例1の正六角形。面積 = 6つの「底辺 s、高さ a」の二等辺三角形

例2：正三角形と正方形——既知の公式で照合する

$n = 3$ 、 $s = 4$ を入力：

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ 。
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ 。

画面表示：面積 6.92820323、周長 12、内角 60。これは中等教育で習う公式 $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ に等しいです。

$n = 4$ 、 $s = 4$ を入力： $\tan 45^\circ = 1$ 、 $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ 。画面表示：面積 16、周長 16、内角 90——正方形の公式 $s^2$ は、一般式の $n = 4$ の場合にすぎません。

例3：停止標識——辺の長さ 10 の正八角形

入力： $n = 8$ 、 $s = 10$ 。

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ 。
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ 。
$P = 80$ 、内角 $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ 。

画面表示：面積 482.84271247、周長 80、内角 135。閉じた式では $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ です。辺の長さの単位がセンチメートルなら、この標識1枚の面積は約 0.048 m² です。辺心距離 $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ なので、「対辺距離」（スパナの口の幅のような測り方）は $2a = 24.14$ です。

例4：辺の長さの逆算と、n が大きいときの円への接近

入力：面積 $A = 100$ 、 $n = 6$ （辺の長さは空）。

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ 。

画面表示：辺の長さ s 6.20403239、内角 120。「周長」は 0 と表示されます（手順3の口径を参照）。手で 6.20403239 を辺の長さに戻すと、周長は 37.22419436 と表示されます。

$n = 360$ 、 $s = 1$ を入力：面積 10312.97851164、周長 360、内角 179。周長が同じ 360 の円の面積は $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ で、多角形は円より 0.0025% 小さいだけです——辺の数が増えれば、正多角形と円はほとんど区別できません。これがアルキメデスが96角形で $\pi$ を挟み込んだときの考え方です。

例1の入力はそのままパネルに入れて再現できます。辺の数を 6 から 8、12、100 と変えて、内角が 180° に近づき、面積が「同じ周長の円」に近づく様子を見てください。

原理と導出

n 個の二等辺三角形に切る

正 $n$ 角形の中心と各頂点を結ぶと、合同な $n$ 個の二等辺三角形が得られます：底辺は $s$ 、2つの等辺は $R$ 、頂角は 360° を $n$ 等分した中心角 $2\pi/n$ です。さらに中心から底辺に垂線を下ろすと、二等辺三角形は2つの直角三角形に分かれ、直角を挟む辺はそれぞれ $s/2$ と辺心距離 $a$ 、鋭角は $\pi/n$ です。したがって

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

各二等辺三角形の面積は $\tfrac12 s a$ で、 $n$ 個を足すと：

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

「面積 = 周長 × 辺心距離 ÷ 2」という形は、円の $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ と完全に同型です——円は辺心距離が半径に等しく、周長が $2\pi r$ である「無限多角形」なのです。

内角が (n − 2)·180° / n になる理由

1つの頂点から残りの頂点に対角線を引くと、任意の $n$ 角形は $n - 2$ 個の三角形に分かれ、各三角形の内角の和は 180° なので、多角形の内角の和は $(n-2)\cdot 180^\circ$ です。正多角形は各角が等しいので、 $n$ 個の角に均等に分ければ1つの内角が得られます。別の見方：各外角は $360^\circ/n$ （多角形を1周すると合計 360° 回る）なので、内角 $= 180^\circ - 360^\circ/n$ となり、整理すると同じ式です。 $n = 3, 4, 5, 6, 8$ はそれぞれ 60°、90°、108°、120°、135° を与えます。

平面を敷き詰められる正多角形

1つの頂点のまわりに同じ正多角形を何個か並べるとき、内角の和がちょうど 360° でなければなりません。 $360^\circ / \theta_{\text{内}}$ が整数であることが必要で、正三角形（6個）、正方形（4個）、正六角形（3個）は可能です。正五角形は $360/108 = 3.33$ 、正八角形は $360/135 = 2.67$ でどちらも不可なので、単独で平面を敷き詰められる正多角形はこの3種類だけです。ハチの巣が正六角形を選ぶのは偶然ではありません：この3種類のうち、同じ面積を囲むときに周長が最短なのが正六角形なのです（Hales が1999年に証明した「ハニカム予想」）。

円への接近：多角形から π へ

周長を $P$ に固定すると、正 $n$ 角形の面積は $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ です。 $n \to \infty$ のとき $n\tan(\pi/n) \to \pi$ なので、 $A_n \to P^2/(4\pi)$ となり、これは周長 $P$ の円の面積そのものです。例4では $n = 360$ ですでに差は 0.0025% しかありません。アルキメデスは『円の計測』で内接と外接の正96角形を使い $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ を挟み込みましたが、使ったのはこの収束です。劉徽の「割円術」は正3072角形で $\pi \approx 3.1416$ を得ました。

外接円の半径や辺心距離から出発する

わかっているのが辺の長さではなく $R$ （円に内接する正多角形など）や $a$ （ナットの対辺距離など）である場合、先に辺の長さに換算してからこの計算ツールを使えます： $s = 2R\sin(\pi/n)$ 、 $s = 2a\tan(\pi/n)$ 。直接の等価な公式は $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ と $A = na^2\tan(\pi/n)$ です。

前提条件

図形が確かに正多角形であること：すべての辺が等しく、すべての内角が等しい。片方しか満たさない図形（たとえば辺は等しいが角が等しくない菱形）には当てはまりません。
凸多角形：式は凸の正多角形に対するものです。正五芒星などの星形多角形の「面積」は別の定義になり、対象外です。
平面幾何：ユークリッド平面上です。球面上の正多角形は内角の和がもっと大きくなります。
辺の数は3以上の整数：エンジンは検査しません。非整数の $n$ の出力に幾何学的な意味はありません。
同じ単位：辺の長さと辺心距離・半径は同じ長さの単位を使い、面積はその2乗の単位になります。
逆算の口径：面積から辺の長さを逆算するとき、周長の欄は未入力の辺の長さ（0）で計算されて 0 と表示されます。周長がゼロという意味ではありません。

適用範囲と限界

計算できること: $n \ge 3$ の任意の正多角形について、辺の長さから面積・周長・内角を求める。面積と辺の数から辺の長さを逆算する。
近似しかできないこと: 実測した「正」多角形には必ず製作誤差があります。面積の相対誤差は辺の長さの相対誤差の2倍です（ $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ）。
計算できないこと: 不規則な多角形（三角形に分割するか、座標法の「靴ひも公式」を使ってください）。 $R$ や $a$ を直接入力すること（上記の式で先に $s$ に換算します）。星形多角形。立体の表面積。
やらないこと: 辺心距離・外接円の半径・外角・対角線の本数（ $n(n-3)/2$ ）などの補助量は出力しません。必要なときは式から手計算してください。
数値: $n$ が極端に大きいと $\tan(\pi/n)$ は非常に小さくなりますが、倍精度では $n$ が $10^7$ のオーダーでも8桁以上の有効数字があり、日常の使用には影響しません。

よくある誤り

手計算で度数法なのに tan(π/n) と書く： $\pi/n$ はラジアンです。普通の電卓を度数モードで使うなら $\tan(180^\circ/n)$ と入力します。正六角形なら $\tan(0.5236^\circ)$ ではなく $\tan(30^\circ)$ です。
外接円の半径を辺の長さだと思う： $R = s$ になるのは正六角形だけです。正方形は $R = s/\sqrt 2$ 、正三角形は $R = s/\sqrt 3$ 、正八角形は $R = 1.3066\,s$ です。
「対辺距離」を辺の長さだと思う：ナットの呼び寸法（たとえば M10 ナットの 17 mm）は対辺距離 $2a$ で、辺の長さではありません。辺の長さは $s = 2a\tan(\pi/n)$ で、正六角形では $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ ：17 mm のナットは $a = 8.5$ mm、辺の長さは 9.81 mm です。
不規則な図形に式を当てはめる：5辺がすべて 5 でも角が等しくない五角形の面積は正五角形より小さくなります。式は正多角形にしか成り立ちません。
面積の単位で2乗を落とす：辺の長さ 5 cm の正六角形の面積は 64.95 cm² で、64.95 cm ではありません。
辺の数に小数や3未満を入れる：エンジンは計算しますが、結果に意味はありません（例4のあとの注記を参照）。
逆算モードの周長 0：それは口径による表示であり結果ではありません。逆算した辺の長さを戻せば表示されます。

典型的な利用場面

教育：三角形・正方形から円へ

まず $n = 3$ 、 $4$ でなじみの公式を照合し、次に $n$ を 100、1000 と増やして、内角が 180° に、面積が同じ周長の円の面積に近づくのを見ます——極限と $\pi$ の由来を一度に体験できます。

建築と造園：あずまや、花壇、床タイル

六角形のあずまやで辺の長さから床面積を求める（床材の計算）。正八角形の花壇の周長を求める（縁石の長さの計算）。どの正多角形のタイルなら隙間なく敷き詰められるかを判断する（3、4、6辺のみ）。

機械と金物：ナットと軸穴

ナットは正六角形です：対辺距離から辺の長さと断面積を換算します。正八角形・正十二角形のスプラインやスパナの口も同じです。

標識とデザイン

停止標識（正八角形）、ハチの巣模様（正六角形）、ワッペン（正五角形、正十角形）の寸法換算と面積の見積もり。

よくある質問

外接円の半径 R がわかっているとき、面積はどう計算しますか？

$A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ を使うか、先に辺の長さ $s = 2R\sin(\pi/n)$ を計算してツールに入力します。正六角形で $R = 5$ なら $s = 5$ 、面積は 64.95 です。

辺心距離（内接円の半径）a の場合は？

$A = na^2\tan(\pi/n)$ 、または $s = 2a\tan(\pi/n)$ 。正六角形で $a = 4.3301$ なら $s = 5$ です。

内角が 128.57142857 のような小数になるのはなぜですか？

正七角形の内角は $= 5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ で整数になりません。内角が整数になるのは $n$ が 360 を割り切るときだけです（ $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ）。

正多角形と円ではどちらの面積が大きいですか？

周長が同じなら円の面積が最大です。辺の数が多い正多角形ほど円に近づきます（等周不等式）。例4の360角形は円より 0.0025% 小さいだけです。

不規則な多角形は計算できますか？

できません。各頂点の座標がわかっているときは靴ひも公式 $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ を使います。辺と角がわかっているときは三角形に分割します。

辺の数に 2 や 1 を入れるとどうなりますか？

$n = 2$ では $\tan(\pi/2)$ が無限大になり面積 0、内角 0 になります。 $n = 1$ では $\tan\pi = 0$ で面積は無限大です。どちらも幾何学的な意味はなく、欄のヒントの最小値は 3 です。

参考資料と関連情報

CalcX エンジンのソースコード src/data/formulas.ts にある regular-polygon の定義（compute(known, solveFor) が area / perimeter / intAngle に対応し、area から s を逆算）。このページの数値はすべて同エンジンで再計算しています。
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）——面積・辺心距離・外接円半径の各種の等価な公式。
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）—— $A = \tfrac12 Pa$ の導出。
Euclid, Elements, Book IV、D. E. Joyce 編注版、Clark University（访问日期：2026-09-09）——円に内接・外接する正多角形の定規とコンパスによる作図。
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）——等面積の分割で正六角形の周長が最小であること、Hales が1999年に証明。
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）——単独で平面を敷き詰められるのは正三角形・正方形・正六角形だけであること。
アルキメデス『円の計測』命題3；劉徽『九章算術』「円田術」注の割円術——多角形で円に接近した原典。

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来源与审阅

更新: 2026-09-09