計算ツールについて 等加速度運動の変位計算ツールは s = v 0 t + 1 2 a t 2 s = v_0 t + \tfrac12 a t^2 s = v 0 t + 2 1 a t 2 v 0 v_0 v 0 a a a t t t s s s
これは運動学の4つの基本公式のうち2番目の式で、終速度計算ツール （v = v 0 + a t v = v_0 + at v = v 0 + a t 台形の面積 とのあまり目立たないつながりでもあります。
やらないこと：変位から時間を逆算しません（それは二次方程式で、このページの手計算の部分で方法を示します）。終速度は求めません（対になる終速度計算ツールを使います）。加速度が時間とともに変わる運動は扱いません。1次元だけを計算します——斜方投射や水平投射は水平方向と鉛直方向に分けてそれぞれ計算する必要があります。単位換算はしません。
計算例 4つの計算例はいずれもエンジン phys-displacement の compute で再計算しています。表示の口径は小数第8位まで、末尾の0は省略、単位は m/s・m/s²・s・m です。
計算例1：自由落下の 1 : 4 : 9
入力：v 0 = 0 v_0 = 0 v 0 = 0 a = 9.8 a = 9.8 a = 9.8 t = 1 t = 1 t = 1 s = 0 + 1 2 × 9.8 × 1 = 4.9 s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9 s = 0 + 2 1 × 9.8 × 1 = 4.9 4.9 。
時間を 2、3 に変えると、画面には順に 19.6 、44.1 と表示されます。3つの比は 4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9 4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9 4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9
計算例2：100 km/h から停止するまでの滑走距離
自動車が 100 km/h（27.78 m/s 27.78\ \text{m/s} 27.78 m/s − 5 m/s 2 -5\ \text{m/s}^2 − 5 m/s 2 終速度計算ツール で停止までの時間 5.55555556 s を逆算し、このページに戻ります：v 0 = 27.77777778 v_0 = 27.77777778 v 0 = 27.77777778 a = − 5 a = -5 a = − 5 t = 5.55555556 t = 5.55555556 t = 5.55555556 s = 27.78 × 5.56 − 1 2 × 5 × 5.56 2 = 154.32 − 77.16 = 77.16 s = 27.78 \times 5.56 - \tfrac12 \times 5 \times 5.56^2 = 154.32 - 77.16 = 77.16 s = 27.78 × 5.56 − 2 1 × 5 × 5.5 6 2 = 154.32 − 77.16 = 77.16 77.16049384 。
確認：時間を含まない公式 v 2 = v 0 2 + 2 a s v^2 = v_0^2 + 2as v 2 = v 0 2 + 2 a s s = 27.78 2 / ( 2 × 5 ) = 77.1604938 s = 27.78^2 / (2 \times 5) = 77.1604938 s = 27.7 8 2 / ( 2 × 5 ) = 77.1604938 1 2 × 27.78 = 13.89 m/s \tfrac12 \times 27.78 = 13.89\ \text{m/s} 2 1 × 27.78 = 13.89 m/s 制動距離は速度の2乗に比例します 。速度が2倍になれば距離は4倍——これが速度制限の物理的な根拠です。
図1：変位は v–t 図の下の面積（左：計算例2の制動の三角形）。s–t 図は放物線（右：計算例1の自由落下、1 : 4 : 9） 計算例3：変位から加速度と初速度を逆算する
加速度の逆算 ：自動車が静止から出発し、8秒で 100 m 走りました。平均加速度はいくらでしょうか。a a a v 0 = 0 v_0 = 0 v 0 = 0 t = 8 t = 8 t = 8 s = 100 s = 100 s = 100 a = 2 × 100 / 64 = 3.125 a = 2 \times 100 / 64 = 3.125 a = 2 × 100/64 = 3.125 3.125 。
終速度計算ツールの「8秒で 100 km/h」の a = 3.47222222 a = 3.47222222 a = 3.47222222 1 2 × 3.47222222 × 64 = 111.11 \tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11 2 1 × 3.47222222 × 64 = 111.11 v 0 = 0 v_0 = 0 v 0 = 0 a = 3.47222222 a = 3.47222222 a = 3.47222222 t = 8 t = 8 t = 8 111.11111104 ——末尾の 04 は小数第8位の加速度を代入し直したことで生じた丸めの尾であり、誤りではありません。
初速度の逆算 ：物体が a = − 5 a = -5 a = − 5 v 0 v_0 v 0 a = − 5 a = -5 a = − 5 t = 2 t = 2 t = 2 s = 50 s = 50 s = 50 v 0 = ( 50 + 10 ) / 2 = 30 v_0 = (50 + 10)/2 = 30 v 0 = ( 50 + 10 ) /2 = 30 30 。
計算例4：鉛直投げ上げと列車
鉛直投げ上げ （上向きを正、a = − 9.8 a = -9.8 a = − 9.8 t = 2 t = 2 t = 2 s = 39.2 − 19.6 = 19.6 s = 39.2 - 19.6 = 19.6 s = 39.2 − 19.6 = 19.6 19.6 ——最高点の高さ 19.6 m（このとき v = 0 v = 0 v = 0 t = 4 t = 4 t = 4 s = 78.4 − 78.4 = 0 s = 78.4 - 78.4 = 0 s = 78.4 − 78.4 = 0 0 ——球は投げた高さに戻りました。変位はゼロですが、球が進んだ道のり は 39.2 m です。変位は向きをもつ正味の変化、道のりは進んだ合計の長さです。
列車 ：20 m/s で走る列車が 0.5 m/s² で1分間加速します。v 0 = 20 v_0 = 20 v 0 = 20 a = 0.5 a = 0.5 a = 0.5 t = 60 t = 60 t = 60 s = 1200 + 900 = 2100 s = 1200 + 900 = 2100 s = 1200 + 900 = 2100 2100 。等速の部分の 1200 m と加速による 900 m がそれぞれの項になっています。
計算例1の入力はそのままパネルに入力して再現できます。時間を 1、2、4 に変えて、変位が 1 : 4 : 9 : 16 で増えるのを見てください。加速度を 1.62（月）に変えると、同じ3秒でも 7.29 m しか落ちません。
原理と導出 変位は v–t 図の下の面積
等速運動の変位 = v t = vt = v t v 0 v_0 v 0 v 0 + a t v_0 + at v 0 + a t = 1 2 ( v 0 + v 0 + a t ) t = v 0 t + 1 2 a t 2 = \tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2 = 2 1 ( v 0 + v 0 + a t ) t = v 0 t + 2 1 a t 2 1 2 \tfrac12 2 1 v 0 = 27.78 v_0 = 27.78 v 0 = 27.78 1 2 × 27.78 × 5.56 \tfrac12 \times 27.78 \times 5.56 2 1 × 27.78 × 5.56 台形の面積計算ツール が計算しているのはまさに同じことです。
平均速度で理解する
加速度が一定のとき、平均速度はちょうど初速度と終速度の算術平均 v ˉ = 1 2 ( v 0 + v ) \bar v = \tfrac12 (v_0 + v) v ˉ = 2 1 ( v 0 + v ) = v ˉ t = \bar v\, t = v ˉ t v = v 0 + a t v = v_0 + at v = v 0 + a t s = v 0 t + 1 2 a t 2 s = v_0 t + \tfrac12 at^2 s = v 0 t + 2 1 a t 2 s = 1 2 ( v 0 + v ) t s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t s = 2 1 ( v 0 + v ) t
時間を消去する：v 2 = v 0 2 + 2 a s v^2 = v_0^2 + 2as v 2 = v 0 2 + 2 a s
v = v 0 + a t v = v_0 + at v = v 0 + a t t = ( v − v 0 ) / a t = (v - v_0)/a t = ( v − v 0 ) / a v 2 = v 0 2 + 2 a s v^2 = v_0^2 + 2as v 2 = v 0 2 + 2 a s 1 2 m \tfrac12 m 2 1 m 1 2 m v 2 − 1 2 m v 0 2 = m a s = F s \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs 2 1 m v 2 − 2 1 m v 0 2 = ma s = F s 仕事とエネルギーの関係 です。合力がする仕事は運動エネルギーの変化に等しくなります。運動エネルギー計算ツール はここから引き継ぎます。
s–t 図は放物線
s s s t t t v 0 = 0 v_0 = 0 v 0 = 0 a a a t = 0 t = 0 t = 0 v 0 v_0 v 0 t = 4 t = 4 t = 4
時間の逆算がなぜ二次方程式になるのか
s s s v 0 v_0 v 0 a a a t t t 1 2 a t 2 + v 0 t − s = 0 \tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0 2 1 a t 2 + v 0 t − s = 0
ガリレオの斜面
自由落下は速すぎて、1638年にはそれを測る時計がありませんでした。ガリレオは球を滑らかな斜面に沿って転がし、水時計で計時して、距離が時間の2乗に比例すること、連続する等しい時間帯の距離の比が 1 : 3 : 5 : 7 であること、斜面の角度を大きくしても比が変わらないことを見いだしました。そこから鉛直の落下（傾角 90°）も同じだと推論しました。s = 1 2 g t 2 s = \tfrac12 g t^2 s = 2 1 g t 2 g g g