例を解く手順
- 01A と B を入力します(複素数式) —
3 + 4i、1 - 2i、2*e^(i*pi/3)、(1+i)/(2-i) はすべて解析されます。 - 02演算子を押すと、結果が直交形式で表示され、続いて |z|、ラジアンと度の arg、共役、極形式が示されます。
- 03根の問いではn を設定し、A のすべての n乗根を押します: 一覧は主根から始まり、偏角の順に並びます。
- 04直交 ↔ 極を使うと双方向に変換できます; DEG/RAD トグルは角度の単位を切り替え、変換値がそれに従います。
- 05結果ブロックを読み、他の場所で必要なときは |z| や arg(A) をスカラーとしてワークスペースに書き込みます。
ワーク例
A = 3 + 4i、B = 1 − 2i として、表示どおり:
| 演算 |
読み |
| A + B |
4 + 2i |
| A − B |
2 + 6i |
| A × B |
11 − 2i |
| A ÷ B |
−1 + 2i |
| A^B |
−21.08313969 − 24.00021071i |
| abs(A) |
|A| = 5; arg(A) = 0.927295218 rad = 53.13010235° |
| conj(A) |
3 − 4i |
| inv(A) |
1/A = 0.12 − 0.16i |
| sqrt(A) |
√A = ±(2 + i); z₀ = 2 + i = 2.23607·e^(0.463648i)、z₁ = −2 − i |
| exp(A) |
−13.12878308 − 15.20078446i; |z| = 20.08553692; arg = −2.283185307 rad = −130.8168819° |
| ln(A) |
1.609437912 + 0.927295218i |
| z³ = 8、n = 3 |
z₀ = 2、z₁ = −1 + 1.73205i = 2·e^(2.0944i)、z₂ = −1 − 1.73205i = 2·e^(−2.0944i) |
| 直交 → 極 |
3 + 4i = 5 ∠ 53.1301° = 5·e^(0.927295i) |
2つの表現は互いを検証します: 3² + 4² = 25 で |A| = 5 となり、5·e^(0.927295i) は 3 + 4i に戻ります。除算は共役の技そのものです — (3+4i)/(1−2i) = (3+4i)(1+2i)/5 = −1 + 2i — z³ = 8 は 120° 間隔の3つの立方根を返します。
すべての根を列挙する理由
複素数には n 個の異なる n乗根があり、1つではありません。パネルは |A|^(1/n) を計算し、(arg A + 2πk)/n で回転させます(k = 0 … n−1)。したがって z³ = 8 は実数の 2 だけでなく 2、−1 + 1.73205i、−1 − 1.73205i を与えます。同じ分岐の論理が ln(A) を支配します: パネルは主値(arg A ∈ (−π, π])を返し、そう明示します。つまり ln(A) = 1.609437912 + 0.927295218i で、他の分岐とは 2πk·i だけ異なります。exp と ln はこの分岐の選択を除いて逆関数です。
制限
- 根の次数 1–64。
- n 欄は 1 から 64 の整数を受け付け、それ以外は拒否します; z = 0 は唯一の根 0 を返します。
- 単一式、スカラー出力。
- 入力は科学計算機と同じ式エンジンで評価されますが、パネルは複素関数を描画せず、複素連立方程式も解かず、行列も扱いません — 複素行列は行列ツールの役割です。
- やらないこと。
- 単位を持たず、結果を分数に整形せず、LaTeX も出力しません; 書き下した導出にはステップ実行へ、さらなる数値計算には科学計算機へ結果を持って行ってください。
分岐と符号
2つの読みが人を驚かせます。第一に、sqrt(A) は ±(2 + i) と表示します — 2番目の根を決して隠さないため、両方の根です。第二に、ln は主分岐です: ln(−1) は期待される −πi ではなく 3.141592654i を返し、他の分岐はすべて 2πi のずれにあります。別の切断を使う教科書と比較するときは、パネルが間違っていると決める前に arg 行を確認してください。
役立つ場面
直交形式と極形式の AC インピーダンス
インピーダンスは複素数です: R + jX を A として入力し、大きさと位相のために極へ変換し、演算子ボタンでインピーダンスを乗除します。RLC インピーダンスパネルが直列回路を直接扱い、このパネルはその周りの代数向けです。
1の冪根とフェーザ
n を設定して等間隔の根を読みます; 極の文字列が回転角を直接示します。フェーザの問いでは、exp(A) と ln(A) が指数表示と直交表示の間を、入力し直さずに往復します。
プライバシー
すべての複素演算はブラウザー内でローカルに評価され、入力した内容は何もアップロードされません。
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Sources & review
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