モードの実行
- 01モードを選びます:微分、積分、極限、テイラー。
- 02`f(x)` と変数を入力します。構文は電卓風（
x^2、sin(x)*x、(e^x - 1)/x）で、変数の既定値は x です。 - 03モードのフィールドを埋め（積分は
a と b、極限は点、テイラーは次数と展開点）、計算を押します。 - 04結果を読みます。積分は誤差行を追加し、極限は左側と右側の値を出力し、
⚠ 行は特異点や非収束を警告します。 - 05フィールドを変更して再計算します。パネルは履歴を保持しないので、先に読み出しをコピーしてください。
検証済みの読み出し
同じ入力は以下の各行を再現します。
| モード |
入力 |
読み出し |
| 微分 |
f(x) = sin(x)*x、変数 x |
cos(x) * x + sin(x) |
| 積分 |
f(x) = 1/x、a = 1、b = 2 |
∫ ≈ 0.6931471806、Error estimate: ±7.27e-13 |
| 極限 |
sin(x)/x、x → 0 |
lim x→0 = 1、Left limit ≈ 1、Right limit ≈ 1、Extrapolation error estimate: ±8.88e-16 |
| 極限 |
(3*x^2 + 2)/(x^2 - 1)、x → +∞ |
lim x→+∞ = 3、Extrapolation error estimate: ±2.66e-15 |
| テイラー |
sin(x)、5次、0 のまわり |
x -0.166667x^3 +0.008333x^5 |
微分は厳密な代数で、並べ替えられていますが同一です。1/x の [1, 2] 上の積分は ln 2 で、0.6931471806 と自身の誤差付きで出力されます。+∞ では左/右の行はありません。サンプリングできる方向が1つだけです。
計算が行っていること
微分モードは記号的に微分するので、答えは数式です。残り3つは数値的です。積分は推定誤差が最大の場所で開いた求積則を細分化し、極限は縮小するスケールで両側をサンプリングして外挿し、テイラーは繰り返し微分します。だから積分と極限には誤差推定が付き、微分には決して必要ありません。
数字が止まる場所
- 誤差行は答えの一部です。
1/x の [1, 2] は 0.6931471806、誤差 ±7.27e-13 と読みます。この行より先の桁は手法に属します。- 発散はごまかさず拒否します。
1/x の [0, 1] は "Singularity at the left endpoint x = 0 is not integrable: after 21 halvings the tail is still 1.00× its initial value instead of vanishing" で失敗します。ln(x) の [0, 1] も −1 を返さず失敗します。- 両側極限が存在しないことがあります。
abs(x)/x の 0 は Left limit ≈ -1、Right limit ≈ 1 を出力し、両側極限が存在しないと警告します。- できないこと:
- 原始関数の式は返さず、導出のステップも一切表示しません。各ステップの規則にはステップ実行、関数を見るにはグラフ電卓、行列式・階数・固有値には行列パネルを使ってください。
テイラー出力は打ち切られ丸められる
象徴的な落とし穴はテイラーモードにあります。sin(x) を 0 のまわりで5次までとると x -0.166667x^3 +0.008333x^5 と表示されます。真の係数 1/6 と 1/120 は小数6桁に丸められ、1e-12 未満の係数は注記なく捨てられます。結果は局所近似であり、級数の恒等式ではありません — その前提で積分・微分し、入力した次数と点と一緒に読んでください。
どこに合うか
手計算の微分を確認する
sin(x)*x を cos(x) * x + sin(x) と比較するか、変数を t に変えてみてください。t^3 - 2*t は 3 * t ^ 2 - 2 を返し、誤った文字で微分したミスを捕まえます。
積分と展開
1/x の行は値プラス誤差のパターンを示します。閉じた形がない場合、その誤差行が印刷された桁に意味があるかを教えてくれます。e^x を 0 のまわりで4次までとると 1 +x +0.5x^2 +0.166667x^3 +0.041667x^4 で、線形化には十分です。
プライバシー
4つのモードはすべてブラウザー内で計算し、式とすべての結果はデバイス上に留まります。
参考文献
- Wikipedia, Taylor series, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 打ち切り、係数、剰余項。
- Wikipedia, Integral, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 定積分と端点での可積分性。
- NIST, Digital Library of Mathematical Functions, §3.5 Quadrature, dlmf.nist.gov （访问日期：2026-10-01）— 求積における誤差推定。
- P. J. Davis and P. Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, 2nd ed., Academic Press, 1984, sciencedirect.com （访问日期：2026-10-01）— 適応則と誤差制御。
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Sources & review
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