測定不確かさ：GUM とモンテカルロ計算

このページは測定不確かさのためのブラウザワークベンチです。測定モデル y = f(x₁, …, xₙ) を入力し、各入力に分布とその不確かさを与えると、GUM の1次近似則とモンテカルロ伝播を並行して実行します：合成標準不確かさ、包含区間、感度係数、そして指定した包含水準で線形化結果が成り立つかについての JCGM 101 §8 の判定です。サンプリングはシード付きなので、同じ入力から同じレポートが再現されます。

更新 2026-10-015 个来源约 5 分钟读完

伝播の実行方法

測定モデルを入力します。フィールド y = f(x₁, x₂, …) に 4 * pi^2 * L / T^2、または関数電卓が受け付ける任意の式を入れます。
入力ごとに 1 行を記入分布（正規、矩形、三角、スケール済みシフト t、対数正規、逆正弦）、そのパラメータ — 推定値と u、または中心と半幅 a — と、わかっている場合は自由度 ν。各行には、それが意味する u(xᵢ) が表示されます。
サンプリング設定を指定試行回数 M（既定 100 000）、シード、包含水準 68%–99.5%。計算例では既定値のままにします。
比較を読む両手法の y と u(y) のカード、2 つの包含区間の定義、続いて差分を並べた手法別の表です。
cᵢ と分散寄与は [Sensitivity](/science/uncertainty/sensitivity)、系列のばらつきに M を選ばせるには Adaptive M へ進みます。

計算例：振り子からの g

ページは振り子プリセットで開きます。Pendulum g = 4π²L/T² ボタンで復元できます。モデル 4 * pi^2 * L / T^2、L は正規 (1.000, 0.001)、T は正規 (2.006, 0.002) で ν = 9、M = 100 000、シード 20250101、包含水準 95%。

表示値	GUM 1次近似	モンテカルロ
y	9.8106522	9.8107275
u(y)	0.0218848	0.0219124
95% 区間（対称）	[9.763744, 9.8575604]	[9.7677391, 9.8537341]
包含係数 k	2.1434	1.9622
有効自由度 ν_eff	14.096	—

さらに 2 つの表示値：最短の 95% 区間は [9.7680546, 9.8540251] で、§8 のチェックは端点差 4.00e-3 と 3.83e-3 を δ = 5.00e-4 と比較するため、1次近似の結果を検証しないと判断します。感度は c_L = 9.8107、c_T = −9.7813、|c_L|u_L = 0.009811、|c_T|u_T = 0.01956 を与え、T が1次分散の 79.9%、L が 20.1% を担います。

GUM 1次近似とモンテカルロ

GUM の行は入力推定値の周りでモデルを線形化します — u_c²(y) = Σ cᵢ²u²(xᵢ) + 2Σ cᵢcⱼu(xᵢ)u(xⱼ)rᵢⱼ — 感度係数 cᵢ = ∂f/∂xᵢ は数値的に計算し、包含係数は有効自由度から求めます。モンテカルロの行は各入力分布から M 個のサンプルを抽出し、各抽出でモデルを評価し、サンプル出力から y、u(y)、区間を読み取ります。区間の定義は 2 つ報告されます：確率的対称（両側の裾が等しい）と最短（最小長）で、対称な出力でのみ一致します。

仮定と限界

区間端点はサンプル分位点です。: u(y) は 1/√M で収束し — ここでの MC ノイズは 6.93e-5 —、95% 端点は実行間でより大きく動きます：Adaptive M は端点のばらつきを 2.5e-4 と 2.1e-4、y と u(y) を 3.7e-5 と 2.7e-5 と報告します。
感度寄与は入力を順位づけるもので、分散分解ではありません。: モンテカルロ寄与は一度に 1 入力だけ変化させるため交互作用が欠けます。相関のある入力では共分散項が寄与から除外され別途表示されます（2 抵抗プリセットで 4.500e-1、そこでは両方の行が依然 50% と表示）。M = 100 000 ではそのプリセットの §8 チェックは比較を解決できず、判定もそう述べます。
できないこと：: 生の繰り返し測定を推定値と u に変換すること、単位換算、校正証明書の作成は行いません。入力する標本平均と標準偏差には統計電卓、モンテカルロなしの1次伝播には Science Lab の誤差パネルの方が軽量です。

包含係数が常に 2 とは限らない理由

上の 95% GUM 区間は k = 2.1434 を使い、1.96 ではありません：T は ν = 9 で宣言され、ウェルチ–サタスウェイトは ν_eff = 14.096 を返し、k は t 分位点 t₀.₉₇₅(ν_eff) です。モンテカルロの行は同じ 95% に対して k = 1.9622 を示します — 経験的半幅をサンプル標準偏差で割ったものです。両方の係数は 1 つの表に並び、§8 の判定は k ではなく端点で決まります：標準不確かさは 0.126% まで一致するのに、t ベースの区間は 9.8575604 に達し、サンプル区間は 9.8537341 で止まり、その差は δ を超えます。効果は ν が下がるほど大きくなり — t-repeat プリセット（ν = 3）では GUM の k が 3.1824、MC の k が 1.8558 です。どの区間を報告するかを明示してください。

こんな場面で

非線形モデル

平方プリセット、y = x²、x ~ N(0, 1) は線形化が見えないケースです：∂f/∂x = 2x は 0 で消えるため、GUM は u = 0 と報告し、モンテカルロは u(y) = 1.41508 と読みます。

相関のある入力

同じ標準器で校正した 2 つの 1 kΩ 抵抗、u = 0.5 Ω ずつ、r = 0.9：合成標準不確かさは 0.974679 と読め、独立として扱った 0.707107 と対照的です。感度の脚注には共分散寄与 4.500e-1 が付きます。

M の選び方

振り子では、Adaptive M は 16 系列 × 20 000 試行 — 320 000 回の抽出 — で収束し、y = 9.8107167、u(y) = 0.021842、最短 95% 区間 [9.76794, 9.85328] となりました。

参考文献

BIPM JCGM『JCGM 100:2008 — 測定データの評価：測定における不確かさの表現ガイド』 bipm.org （访问日期：2026-10-01）— 1次伝播と有効自由度。
BIPM JCGM『JCGM 101:2008 — 補足1：モンテカルロ法による分布の伝播』 bipm.org （访问日期：2026-10-01）— モンテカルロ試行、包含区間、§8 の許容差。
NIST『技術ノート 1297：NIST 測定結果の不確かさの評価と表現に関する指針』 nist.gov （访问日期：2026-10-01）— 包含係数。
Wikipedia『不確かさの伝播』 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 共分散項。
Wikipedia『ウェルチ–サタスウェイトの式』 en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 有効自由度。