비례식 계산기: A/B = C/D의 네 번째 항

비례식 계산기는 \dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}를 풉니다. 네 수 가운데 셋을 알면 네 번째를 제시합니다. 이것이 초등학교부터 중학교까지 계속 쓰는 「삼율법」(rule of three)입니다. 조리법의 분량을 늘리거나, 축척으로 지도 거리를 읽거나, 그림자로 나무 높이를 재거나, 분수를 백분율로 바꾸는 일이 본질적으로 모두 같은 작업입니다. 두 비가 같을 때 빠진 하나를 구하는 것입니다.

비례식 계산기: A/B = C/D의 네 번째 항

계산기 설명

비례식 계산기는 $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ 를 풉니다. 네 수 가운데 셋을 알면 네 번째를 제시합니다. 이것이 초등학교부터 중학교까지 계속 쓰는 「삼율법」(rule of three)입니다. 조리법의 분량을 늘리거나, 축척으로 지도 거리를 읽거나, 그림자로 나무 높이를 재거나, 분수를 백분율로 바꾸는 일이 본질적으로 모두 같은 작업입니다. 두 비가 같을 때 빠진 하나를 구하는 것입니다.

「비례」라는 말에는 두 층의 의미가 있습니다. $A : B$ 는 하나의 비(ratio)이고 비의 값 $k = A/B$ 는 하나의 수입니다. 「 $A : B = C : D$ 」라야 하나의 비례식(proportion)이고, 두 비가 같다는 뜻입니다. 계산기는 기본적으로 $A$ , $B$ 를 이미 아는 한 쌍, $C$ , $D$ 를 맞추어야 할 다른 한 쌍으로 보고, 가장 흔한 사용법은 $A$ , $B$ , $C$ 를 채워 $D$ 를 구하는 것입니다.

하지 않는 일도 있습니다. 정비례만 다룹니다. 한 양이 커질 때 다른 양이 같은 배수로 커지는 관계입니다. 반비례(사람이 많을수록 날짜가 줄어듦), 비례 배분(전체를 $2:3$ 으로 나누기), 연비( $A : B : C$ )는 먼저 정비례로 바꾸어야 쓸 수 있으며, 자세한 내용은 흔한 오해와 FAQ에 있습니다.

공식과 변수

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\;\Longleftrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

「외항의 곱은 내항의 곱과 같다」에서 어느 항이든 풀 수 있습니다.

D = \frac{B\,C}{A},\qquad C = \frac{A\,D}{B},\qquad A = \frac{B\,C}{D},\qquad B = \frac{A\,D}{C}

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$A$	첫째 쌍의 분자(첫째 항, 외항)	A	임의	기본값 3. $D$ 를 구할 때 분모이므로 0이면 안 됨
$B$	첫째 쌍의 분모(둘째 항, 내항)	B	임의	기본값 4. $A$ 와 같은 양의 단위이거나 $D$ 와 같은 양
$C$	둘째 쌍의 분자(셋째 항, 내항)	C	임의	$A$ 와 같은 종류의 양(같은 단위)
$D$	둘째 쌍의 분모(넷째 항, 외항)	D	임의	$B$ 와 같은 종류의 양; 기본적으로 $A$ , $B$ , $C$ 로 계산
$k$	비례상수	(표시 안 함)	단위 = $A$ 의 단위 / $B$ 의 단위	$k = A/B = C/D$ , 「 $B$ 1마다 $A$ 가 얼마」

단위 규칙: $A$ 와 $C$ 가 같은 단위, $B$ 와 $D$ 가 같은 단위이거나(가로로 보기: 달걀 3개 / 밀가루 300 g = 달걀 5개 / 밀가루 750 g), $A$ 와 $B$ 가 같은 단위, $C$ 와 $D$ 가 같은 단위입니다(세로로 보기: 지도 1 cm / 실제 25000 cm). 두 가지 배치 모두 대응 관계만 바르게 맞추면 같은 수가 나옵니다.

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 비례식 계산기」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.proportion)에 대응합니다. 열면 「A」= 3, 「B」= 4만 채워져 있고 C, D 두 필드는 「계산」 표시와 함께 0을 보여 줍니다. 아직 세 번째로 아는 수가 없어 엔진이 빈 필드를 0으로 취급하기 때문입니다.
D 구하기(가장 흔함): 「C」에 아는 값을 넣으면 「D」가 곧바로 $BC/A$ 가 됩니다. 예를 들어 6을 넣으면 8이 나옵니다.
C 구하기C를 채우지 않고 「D」에 값을 넣으면 「C」 필드가 「계산」으로 바뀌어 $AD/B$ 를 보여 줍니다.
A 또는 B 구하기구하려는 항을 비우고 나머지 셋을 채웁니다. 비운 필드가 자동으로 「계산」이 됩니다. 네 방향 모두 공식이 있으므로 어떤 조합이든 됩니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다( $4 \times 100 / 3 = 133.33333333$ ). 분모가 0이면 ∞ 또는 0이 표시됩니다(흔한 오해 참고).
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 A/B = C/D → D = B×C/A를 클립보드에 복사합니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 proportion의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.

예 1: 기본 입력, 3 : 4 = 6 : D

입력: $A = 3$ , $B = 4$ , $C = 6$ .

교차 곱셈: $3 \times D = 4 \times 6 = 24$ .
$D = 24 / 3 = 8$ .

화면 표시: D 8. 검산: $3/4 = 0.75$ , $6/8 = 0.75$ 로 두 비가 같습니다. 비례상수 $k = 0.75$ 이며, 「 $C$ 가 $A$ 의 2배이므로 $D$ 도 $B$ 의 2배」라고 읽을 수도 있습니다. 이 「가로 배수」와 「세로 비율」 두 길은 반드시 같은 답에 도달합니다.

$C$ 를 구하는 쪽으로 바꾸어 $A = 3$ , $B = 4$ 를 두고 C를 비운 채 D에 12를 넣으면 화면에 C 9( $3 \times 12 / 4$ )가 표시됩니다.

예 2: 조리법 확대 — 달걀 2개에 밀가루 300 g, 밀가루 750 g이면 달걀 몇 개?

입력: $A = 2$ (달걀), $B = 300$ (g 밀가루), $D = 750$ (g 밀가루), $C$ 를 구합니다.

$C = A D / B = 2 \times 750 / 300 = 1500 / 300 = 5$ .

화면 표시: C 5. 여기서 $A$ , $C$ 는 달걀 개수, $B$ , $D$ 는 밀가루 그램이라 「가로로 보면」 단위가 맞습니다. 배수 $750 / 300 = 2.5$ 이므로 달걀도 2.5배입니다. 결과가 정수가 아니면(예: 밀가루 700 g이면 달걀 4.67개) 조리법을 정확히 정수배로 늘릴 수 없다는 뜻이므로 반올림하거나 밀가루 양을 바꾸어야 합니다.

예 3: 그림자로 나무 높이 재기(닮은삼각형)

같은 시각의 햇빛은 평행합니다. 높이 3 m인 막대의 그림자가 4.5 m이고 옆 나무의 그림자가 12 m라면 나무는 얼마나 높을까요?

입력: $A = 3$ (막대 높이), $B = 4.5$ (막대 그림자), $D = 12$ (나무 그림자), $C$ (나무 높이)를 구합니다.

두 직각삼각형이 닮음이므로 대응변이 비례합니다: $\dfrac{3}{4.5} = \dfrac{C}{12}$ .
교차 곱셈: $4.5\,C = 3 \times 12 = 36$ , $C = 36 / 4.5 = 8$ .

화면 표시: C 8. 비례상수 $k = 3 / 4.5 = 0.66666667$ 입니다. 그림자 1 m마다 높이 0.667 m가 대응하므로 그림자 12 m는 높이 8 m에 대응합니다. 탈레스가 피라미드 높이를 잰 방법이 2천 년이 지나도 그대로입니다.

그림 1: 예 3. 햇빛이 평행하므로 두 삼각형이 닮음이고 대응변이 비례한다. A, C가 「높이」, B, D가 「그림자」이며 가로 방향 단위가 같다

예 4: 지도 축척과 백분율

축척 1 : 25000 지도에서 두 점이 3.6 cm 떨어져 있다면 실제 거리는? $A = 1$ , $B = 25000$ , $C = 3.6$ 을 넣으면 화면에 D 90000(cm), 즉 900 m가 표시됩니다. 여기서 $A$ , $B$ 가 모두 「길이」이고 $C$ , $D$ 도 모두 길이라 「세로로 보면」 단위가 맞습니다(지도 cm 대 실제 cm).

백분율: 45는 60의 몇 퍼센트일까요? 백분율은 「분모가 100인 비」이므로 $\dfrac{45}{60} = \dfrac{C}{100}$ 으로 놓습니다. $A = 45$ , $B = 60$ , $D = 100$ 을 넣으면 화면에 C 75, 즉 75%가 표시됩니다. 100을 D가 아니라 C에 넣으면( $A = 45$ , $B = 60$ , $C = 100$ ) 화면은 D 133.33333333을 보여 줍니다. 이는 「60은 45의 몇 퍼센트인가」를 답한 것으로 질문이 뒤바뀐 것입니다. 백분율의 증감과 역연산 등 더 많은 기준은 백분율 계산기를 보십시오.

예 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. C를 6에서 3, 9, 12로 바꾸면 D가 항상 C의 $4/3$ 배로 유지되는 것을 볼 수 있습니다. 비례상수가 일정한 것이 「정비례」의 표지입니다.

원리와 유도

교차 곱셈이 성립하는 이유

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ 의 양변에 $BD$ 를 곱합니다( $B$ , $D$ 모두 0이 아님). 왼쪽은 $\dfrac{A}{B} \cdot BD = AD$ , 오른쪽은 $\dfrac{C}{D} \cdot BD = BC$ 이므로 $AD = BC$ 입니다. 유클리드 《원론》 제5권은 이를 「외항의 곱은 내항의 곱과 같다」고 부릅니다. $A : B = C : D$ 를 한 줄로 쓰면 양 끝의 $A$ , $D$ 가 외항, 가운데의 $B$ , $C$ 가 내항입니다. 반대로 $AD = BC$ 의 양변을 $BD$ 로 나누면 원래 비례식으로 돌아오므로 두 표기는 완전히 동등합니다. 어느 항을 구하려면 $AD = BC$ 의 양변을 그 옆의 수로 나누면 됩니다.

비례상수와 정비례

$A/B = C/D = k$ 는 $A = kB$ , $C = kD$ 를 뜻합니다. 「분자는 언제나 분모의 $k$ 배」입니다. $y = kx$ 를 만족하는 두 양을 정비례한다고 합니다. 달걀 수와 밀가루 양, 지도 거리와 실제 거리, 그림자와 물체 높이가 그렇습니다. 좌표평면에 그리면 $(B, A)$ 와 $(D, C)$ 가 원점을 지나고 기울기가 $k$ 인 같은 직선 위에 놓입니다. 그래서 정비례 관계는 기울기로 검증할 수 있습니다. 두 점을 잡아 기울기를 계산해 $k$ 와 같고 직선이 원점을 지나면 정비례입니다.

반비례는 이 공식이 아니다

「일꾼 4명이 6일 걸리는 일을 8명이 하면 며칠?」에서 일꾼이 많을수록 날짜는 줄어들고 곱(총 24인·일)은 변하지 않습니다. 이것은 반비례 $xy = c$ 입니다. 이 계산기에 $A = 4$ , $B = 6$ , $C = 8$ 을 그대로 넣으면 D 12가 나와 방향이 완전히 틀립니다. 올바른 방법은 먼저 정비례로 다시 쓰는 것입니다: $4 \times 6 = 8 \times D$ , 즉 $\dfrac{4}{D} = \dfrac{8}{6}$ 이므로 $A = 4$ , $B = D$ (미지), $C = 8$ , $D = 6$ 으로 두고, 다시 말해 B를 구하면 3일이 나옵니다. 판단 기준은 간단합니다. 한 양이 커질 때 다른 양도 함께 커져야 정비례입니다.

닮은삼각형: 비례의 가장 중요한 기하학적 원천

두 삼각형의 세 각이 각각 같으면 대응변이 비례합니다(《원론》 제6권 명제 4). 예 3에서 막대·그림자·광선이 이루는 삼각형과 나무·그림자·광선이 이루는 삼각형은 직각 하나와 같은 태양 고도각을 공유하므로 세 번째 각도 자연히 같아져 「높이 : 그림자」가 양쪽에서 같습니다. 「작은 것을 재어 큰 것을 추정하는」 모든 측정, 즉 손가락 너비로 거리를 어림하거나 사진 속 아는 물체로 모르는 물체를 재거나 프로젝터로 확대하거나 카메라로 상을 맺는 일의 바탕에 이 명제가 있습니다.

비례에서 함수로

비례식의 $D$ 를 독립변수, $C$ 를 종속변수로 보면 $C = (A/B) \cdot D$ 가 가장 단순한 일차함수(정비례 함수)입니다. 중학교에서 이어 배우는 일차함수 $y = kx + b$ 는 절편이 하나 더 붙은 형태이고, 등차수열 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 는 독립변수가 양의 정수만 취하는 일차함수입니다. 등차수열을 보십시오. 비례는 이 개념들의 첫걸음입니다.

가정

정비례 관계가 성립: 두 양 사이에 정말로 「하나에 $k$ 를 곱하면 다른 하나에도 $k$ 를 곱한다」는 관계가 있어야 합니다. 조리법을 정수배로 늘릴 수 있고, 지도 곳곳의 축척이 같고, 햇빛이 평행하다는 것이 전제이며 계산기가 검사할 수 있는 것이 아닙니다.
네 항을 같은 순서로 배치: $A$ 는 $C$ 와, $B$ 는 $D$ 와 같은 종류의 양입니다. 위치를 잘못 놓으면 다른 문제의 답이 나옵니다(예 4의 백분율 참고).
분모가 0이 아님: $D$ 를 구할 때 $A \ne 0$ , $C$ 를 구할 때 $B \ne 0$ , $A$ 를 구할 때 $D \ne 0$ , $B$ 를 구할 때 $C \ne 0$ 입니다.
값은 정확: 측정 오차는 비례해서 전달되며, $C$ 의 상대오차는 $A$ , $B$ , $D$ 의 상대오차 합과 대략 같습니다.
화면 기준: $A$ , $B$ 만 미리 채워지고, 채우지 않은 필드는 엔진에서 0으로 계산에 참여합니다( $D$ 를 구할 때 $A$ 가 비어 있으면 1로 처리). 그래서 패널을 열 때 C, D가 0으로 표시됩니다.

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: $A/B = C/D$ 의 임의의 항, 여러 항을 동시에 비운 뒤의 부분 결과 포함.
근사만 가능: 실제 문제는 대개 근사적으로만 비례합니다(대량 구매에는 할인이 붙고, 지도 투영에는 왜곡이 있고, 나무 그림자는 경사면에 떨어집니다).
계산할 수 없음: 반비례(먼저 정비례로 바꾸십시오, 원리 참고), 비례 배분(먼저 「한 몫이 얼마」를 구해 몫 수를 곱합니다), 연비 $A : B : C$ (두 비례로 나누어 각각 계산), 복합 비례(여러 양이 동시에 변함).
하지 않음: 비를 약분하지 않고( $6 : 8 \to 3 : 4$ ), 비례상수 $k$ 를 출력하지 않으며, 단위 환산을 하지 않습니다.
수치: 결과는 소수점 이하 8자리까지 표시하고, 분모가 0이면 ∞를 표시합니다(예: $A = 0$ 에서 $D$ 를 구할 때).

흔한 오해

반비례를 정비례로 착각: 일꾼—날짜, 속력—시간, 톱니 수—회전수는 모두 반비례이므로 공식에 그대로 넣으면 방향이 뒤집힙니다(원리 절의 12일 대 3일).
네 항의 자리를 잘못 놓음: 예 4에서 100을 C에 두느냐 D에 두느냐에 따라 답이 75와 133.33으로 갈립니다. 비례식을 쓰기 전에 「누가 누구에 대응하는가」를 분명히 하십시오.
단위가 짝을 이루지 않음: $A$ 는 kg, $C$ 는 g이면 1000배 차이가 납니다. 같은 종류의 양은 같은 단위를 써야 합니다. 다른 종류의 양(달걀 개수와 밀가루 그램)도 가로로 맞추기만 하면 같은 비례식에 둘 수 있습니다.
「비」를 「분수」로 읽고 약분을 잘못함: $3 : 4 = 6 : 8$ 은 맞지만 $3 : 4 = 4 : 3$ 은 아닙니다. 비에는 방향이 있습니다.
분모가 0: $A = 0$ 에서 $D$ 를 구하면 ∞, $B = 0$ 에서 $D$ 를 구하면 0( $0 \times C / A$ )이 표시됩니다. 둘 다 결과가 아니라 문제 자체에 문제가 있다는 신호입니다.
백분율과 비례의 혼동: 45는 60의 75%, 60은 45의 133.33%, 「33.33% 증가」와 「25% 감소」— 같은 두 수에 네 가지 질문, 네 가지 답입니다.

대표적인 활용 사례

주방과 조리법

인원수에 맞추어 조리법을 늘리거나 줄이기, 음료 농도 맞추기(원액 : 물), 페인트나 콘크리트 배합비 조정.

지도, 도면과 모형

축척 환산(지도 거리 ↔ 실제 거리), 건축 도면에서 치수 읽기, 모형과 실물의 크기 대응.

측정과 닮은 도형

그림자로 높이 재기, 사진 속 아는 크기 물체로 다른 물체 크기 어림하기, 프로젝터 확대 배율.

가격과 환율

5 kg에 42.5원이면 8 kg은 얼마인지(68원), 1달러가 7.2원이면 250달러는 얼마인지(1800원), 단가가 같은지 확인하는 구매·견적 검산.

교육

교차 곱셈이 왜 성립하는지 체험하기, 정비례와 반비례의 구분, 닮은삼각형의 대응변 비례.

자주 묻는 질문

두 수만 알아도 계산할 수 있나요?

아니요. 비례식에는 네 항이 있고 최소 세 개를 알아야 합니다. $A$ , $B$ 만 채웠을 때 C, D가 0으로 표시되는 것은 「아직 입력하지 않음」이지 답이 아닙니다.

「120을 2 : 3으로 나누기」는 어떻게 계산하나요?

먼저 한 몫을 구합니다: $120 / (2 + 3) = 24$ , 두 몫은 각각 48과 72입니다. 이 계산기로도 됩니다: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{C}{120}$ , $A = 2$ , $B = 5$ , $D = 120$ 을 넣으면 $C = 48$ 입니다.

반비례는 이 계산기로 어떻게 쓰나요?

「곱이 같다」를 비례로 고쳐 씁니다: $x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ . 오른쪽에서 분자와 분모의 위치가 바뀌는 점에 주의하십시오.

연비 A : B : C = 2 : 3 : 5는 어떻게 계산하나요?

$A : B = 2 : 3$ 과 $B : C = 3 : 5$ 두 비례로 나누면 임의의 한 항을 알고 나머지 두 항을 차례로 구할 수 있습니다.

분모가 0일 때 왜 ∞가 표시되나요?

엔진은 $D = BC/A$ 로 계산하므로 $A = 0$ 이면 0으로 나누게 됩니다. 수학적으로 $0 : B = C : D$ 는 $C = 0$ 일 때만 의미가 있고(이때 $D$ 는 임의), 계산기가 이를 표현할 수 없어 ∞를 표시합니다.

비례식과 백분율 계산기는 무엇이 다른가요?

백분율은 「분모가 100으로 고정된 비례식」입니다. 백분율 계산기는 「 $A$ 는 $B$ 의 몇 퍼센트인가」, 「 $B$ 의 $p\%$ 는 얼마인가」, 증감 폭을 전문으로 다룹니다. 이 계산기는 더 일반적이지만 네 항을 직접 바르게 배치해야 합니다.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 proportion 정의(compute(known, solveFor)가 a / b / c / d 네 방향으로 풀고, 분모가 비어 있으면 1로 대체); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Wikipedia, Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09）—정비례, 반비례와 비례상수.
Wikipedia, Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09）—교차 곱셈의 유도와 사용 조건.
Euclid, Elements, Book V, D. E. Joyce 편주판（访问日期：2026-09-09）—에우독소스의 비례론, 「외항의 곱 = 내항의 곱」의 원래 표현.
Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4（访问日期：2026-09-09）—닮은삼각형의 대응변 비례.
Wikipedia, Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09）—「삼율법」의 역사와 알고리즘.
《구장산술》 권2 「속미(粟米)」: 금유술(今有術)—고대 중국의 비례 알고리즘(주어진 수에 구하는 비율을 곱한 값을 피제수로, 주어진 비율을 제수로 삼아 나눈다).

개인정보

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09） (资料日期: 2026-09-09)
Wikipedia: Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09） (资料日期: 2026-09-09)
Euclid, Elements, Book V(비례론; D. E. Joyce 판, Clark University; 访问日期：2026-09-09) (资料日期: 2026-09-09)
Euclid, Elements, Book VI, Proposition 4(닮은삼각형의 대응변은 비례; 访问日期：2026-09-09) (资料日期: 2026-09-09)
Wikipedia: Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09） (资料日期: 2026-09-09)