등차수열 계산기: 제n항·합·항의 개수와 공차 역산

계산기 설명

등차수열 계산기는 「각 항이 앞 항보다 같은 수만큼 큰」 수열을 다룹니다. 첫째 항 $a_1$ , 공차 $d$ , 항의 개수 $n$ 을 입력하면 제n항 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 와 첫 n항의 합 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ 를 구하고, 마지막 항을 알면 항의 개수 $n$ 이나 공차 $d$ 를 역산할 수 있습니다.

1, 3, 5, 7, …(홀수), 극장에서 앞줄보다 좌석이 2개씩 많은 열, 매달 전달보다 50을 더 저축하는 계획, 매일 1.5 km씩 줄여 가는 훈련—「증가량이 일정」하면 등차수열입니다. 가장 단순한 수열이며 「누적 합」을 이해하는 출발점이기도 합니다. 합 공식 뒤에 숨은 「첫 항과 끝 항을 짝짓는」 방법은 가우스가 8살 때 (전해지는 이야기에 따르면) 떠올린 방법입니다.

하지 않는 일: 등비수열(각 항이 앞 항의 일정한 배수인 경우, 예컨대 복리)을 다루지 않고, 이차 등차수열(차의 차가 일정)이나 피보나치 같은 점화식 수열도 다루지 않으며, 모든 항을 나열하지도 않습니다. 제n항과 합, 이렇게 두 수만 줍니다.

공식과 변수

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

마지막 항에서 역산:

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$a_1$	첫째 항	첫째 항 a₁	임의	기본값 1; 음수나 소수도 가능
$d$	공차(이웃한 두 항의 차 $a_{k+1} - a_k$ )	공차 d	$a_1$ 과 같음	기본값 2; $d > 0$ 이면 증가, $d < 0$ 이면 감소, $d = 0$ 이면 상수 수열
$n$	항의 개수	항의 개수 n	개	양의 정수, $n \ge 1$ ; 엔진은 정수 여부를 검사하지 않음. 필드에 기본값 10이 있지만 화면에는 처음 두 필드만 채워지고 열 때는 비어 있음
$a_n$	제n항(마지막 항)	제n항 aₙ	$a_1$ 과 같음	출력; 역산 모드에서는 입력으로 사용
$S_n$	첫 n항의 합	합 S	$a_1$ 과 같음	출력, $n$ 개의 항을 더한 값

두 가지 합 공식은 서로 같습니다. 첫 번째는 첫 항과 끝 항의 평균에 항의 개수를 곱하고, 두 번째는 $a_1$ , $d$ , $n$ 만 씁니다. 엔진은 첫 번째로 계산하며, 두 번째는 손으로 검산할 때 쓰면 됩니다.

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 등차수열」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq)에 대응합니다. 열면 「첫째 항 a₁」= 1, 「공차 d」= 2만 채워져 있고 「항의 개수 n」은 비어 있습니다. 이때 제n항은 −1, 합은 0으로 표시되는데, 엔진이 빈 $n$ 을 0으로 두고 $a_1 + (0-1)d$ 에 대입하기 때문입니다. 결과가 아니라 계산 기준일 뿐이니 $n$ 을 입력하면 정상으로 돌아옵니다.
제n항과 합 구하기「항의 개수 n」에 양의 정수를 넣으면 「계산」 표시가 붙은 두 결과 필드가 함께 갱신됩니다.
항의 개수 역산「항의 개수 n」을 비우고 「제n항 aₙ」에 마지막 항을 넣은 채 $a_1$ , $d$ 를 남겨 두면 항의 개수 필드가 「계산」으로 바뀝니다. 이때 「합」은 0으로 표시됩니다(엔진이 비어 있는 $n$ 을 0으로 처리). 계산된 $n$ 을 항의 개수 필드에 되돌려 넣고 $a_n$ 을 비우면 합을 얻습니다.
공차 역산「공차 d」를 비우고 $a_1$ , $n$ , $a_n$ 을 입력하면 공차 필드가 $(a_n - a_1)/(n-1)$ 을 줍니다. 이때 「합」은 $d = 0$ 으로 계산되어 $n \cdot a_1$ 을 보여 주는데 이 역시 실제 합이 아닙니다. $d$ 를 되돌려 넣으면 됩니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 역산한 $n$ 이 정수가 아니면(예: 16.66666667) 입력한 $a_n$ 이 이 수열의 항이 아니라는 뜻입니다.
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2를 클립보드에 복사합니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 arithmetic-seq의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.

예 1: 3, 7, 11, 15, 19, 23 — 여섯 항

입력: $a_1 = 3$ , $d = 4$ , $n = 6$ .

제6항 $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ .
합 $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ .

화면 표시: 제n항 23, 합 78. 두 번째 공식으로 검산: $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ . 짝짓기 방법: $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ , 세 쌍이 각각 26이므로 모두 78.

그림 1: 예 1. 왼쪽은 가우스 짝짓기(첫 항과 끝 항의 합이 항상 a₁ + aₙ), 오른쪽은 기하학적 버전—두 계단을 붙여 직사각형을 만들면 넓이가 n(a₁ + aₙ)이고 그 절반이 Sₙ

예 2: 기본 입력과 가우스의 1부터 100

입력: $a_1 = 1$ , $d = 2$ , $n = 10$ (기본값). 제10항 $= 1 + 9 \times 2 = 19$ , 합 $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ . 화면 표시: 제n항 19, 합 100. 처음 10개 홀수의 합은 정확히 $10^2$ 입니다. $n = 100$ 으로 바꾸면 화면에 제n항 199, 합 10000이 표시됩니다. 처음 $n$ 개 홀수의 합은 언제나 $n^2$ 입니다(L자 모양의 홀수 조각을 한 겹씩 붙여 정사각형을 만들면 보입니다).

$a_1 = 1$ , $d = 1$ , $n = 100$ 입력: 화면에 제n항 100, 합 5050. 전설에 따르면 어린 가우스가 「 $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ , 50쌍에 각각 101」이라며 선생님을 단번에 이겼다는 바로 그 문제입니다.

예 3: 극장 좌석과 감소 수열

극장: 첫째 줄에 20석, 이후 각 줄마다 2석씩 늘어나고 모두 15줄. 입력 $a_1 = 20$ , $d = 2$ , $n = 15$ : 마지막 줄은 $20 + 14 \times 2 = 48$ 석, 전체 좌석은 $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ . 화면 표시: 제n항 48, 합 510.

감소: 100 kg 재고에서 매일 7 kg씩 고정 출고하면 12일 뒤 재고와 누적량은? 입력 $a_1 = 100$ , $d = -7$ , $n = 12$ : 12일째 재고는 $100 - 77 = 23$ , 12일간 재고 합계는 $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ (kg·일, 「평균 재고 61.5 kg × 12일」). 화면 표시: 제n항 23, 합 738. 공차가 음수여도 공식은 그대로 성립하며, 수열이 내려갈 뿐입니다.

매달 50씩 더 저축: 첫 달에 100을 저축하고 이후 매달 50씩 더 넣으면 1년 뒤에는? 입력 $a_1 = 100$ , $d = 50$ , $n = 12$ : 12번째 달에는 650, 1년 전체는 4500.

예 4: 항의 개수와 공차 역산

n 역산: 수열 5, 8, 11, …에서 50은 몇 번째 항일까요? 입력 $a_1 = 5$ , $d = 3$ , $a_n = 50$ (n 비움): $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ . 화면 표시: 항의 개수 n 16, 합 0(3단계 기준). 16을 항의 개수에 되돌려 넣고 $a_n$ 을 비우면: 제n항 50, 합 440.

52가 몇 번째 항인지 묻는다면: $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ —정수가 아니므로 52는 이 수열에 없습니다(제16항 50, 제17항 53).

d 역산: 2에서 시작해 8개 항 뒤에 30이 되었다면 공차는? 입력 $a_1 = 2$ , $n = 8$ , $a_n = 30$ (d 비움): $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ . 화면 표시: 공차 d 4, 합 16(이때 엔진은 $d = 0$ 으로 합을 계산해 $8 \times 2 = 16$ 을 보여 주며 실제 합이 아닙니다). 4를 공차에 되돌려 넣고 $a_n$ 을 비우면: 제n항 30, 합 128.

예 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. $n$ 을 6에서 12, 24, 48로 차례로 바꾸면 제n항은 $n$ 에 따라 선형으로, 합은 $n^2$ 에 따라 커지는 것을 볼 수 있습니다(항의 개수가 2배가 되면 합은 대략 4배).

원리와 유도

일반항: 점화식에서 직접 공식으로

정의는 점화식입니다: $a_{k+1} = a_k + d$ . $a_1$ 에서 출발해 $a_n$ 까지 가려면 $d$ 를 $n - 1$ 번 더하므로 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 입니다. $n$ 이 아니라 $n - 1$ 임에 주의하십시오. 기둥 6개 사이의 간격은 5개뿐입니다(그림 1의 다섯 개의 「+4」). 이른바 「식목 문제」로, 항의 개수가 간격 수보다 1 많습니다.

$n$ 을 독립변수로 보면 $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ 는 직선입니다. 기울기는 공차 $d$ , 절편은 $a_1 - d$ (「제0항」)입니다. 등차수열은 곧 정의역을 양의 정수로 제한한 일차함수이며, 그림 1 왼쪽의 기둥 꼭대기를 이으면 직선이 됩니다. 아무 두 항을 잡아 기울기를 구하면 그것이 공차이고, 공차 역산 공식 $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ 은 바로 「세로 좌표 차 나누기 가로 좌표 차」입니다.

합: 가우스 짝짓기

$S_n$ 을 정방향으로 한 번, 역방향으로 한 번 써서 위아래로 더합니다:

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

각 열의 합은 모두 $a_1 + a_n$ 입니다. 한 항이 $d$ 만큼 크면 맞은편 항이 $d$ 만큼 작기 때문입니다. 열이 $n$ 개이므로 $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ 입니다. 항의 개수가 홀수일 때는 가운데 항이 자신과 짝이 됩니다(그 값이 정확히 $(a_1 + a_n)/2$ , 곧 모든 항의 평균입니다). 공식은 그대로입니다. 그림 1 오른쪽은 이 대수의 기하학적 버전으로, 계단을 정방향 한 벌, 역방향 한 벌 이어 붙여 $n \times (a_1 + a_n)$ 직사각형을 만든 것입니다.

$a_n = a_1 + (n-1)d$ 를 대입하면 두 번째 공식 $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ 를 얻습니다. $n$ 개의 $a_1$ 에 $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ 개의 $d$ 를 더한 것입니다. 이는 $S_n$ 이 $n$ 에 대해 이차식임을 보여 줍니다. 항의 개수가 2배가 되면 합은 대략 4배가 됩니다.

「평균 × 항의 개수」로 읽기

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ : 합은 「첫 항과 끝 항의 평균」에 항의 개수를 곱한 값입니다. 등차수열에서 첫 항과 끝 항의 평균은 모든 항의 평균입니다. 항들이 중점을 기준으로 대칭적으로 분포하기 때문입니다. 예 3의 재고 문제에서 738 = 61.5 × 12는 「평균 재고 × 일수」입니다. 이 읽기는 사다리꼴 넓이(윗변 더하기 아랫변 곱하기 높이 나누기 2)와 등가속도 운동의 변위(평균 속도 곱하기 시간)에서 같은 이야기입니다.

등차와 등비: 단리와 복리

등차수열은 매 단계 일정량을 더하고, 등비수열은 매 단계 일정한 배수를 곱합니다. 원금 1000을 연 5% 단리로 맡기면 이자가 매년 50으로 고정되어 연도별 원리금 1050, 1100, 1150, …이 등차수열이며 10년 뒤 1500이 됩니다. 연 5% 복리라면 등비수열 $1000 \times 1.05^n$ 이 되어 10년 뒤 1628.89가 됩니다. 전자는 직선, 후자는 지수 곡선이며 시간이 길어질수록 차이가 커집니다. 자세한 논의는 복리 계산기를 보십시오.

가정

공차가 일정: 이웃한 두 항의 차가 어디서나 같습니다. 한 곳이라도 다르면 일반항과 합 공식이 모두 성립하지 않습니다.
항의 개수는 양의 정수: 엔진은 검사하지 않으므로 $n = 2.5$ 는 무의미한 숫자를 냅니다.
제1항부터 센다: $a_1$ 은 제1항이고 제0항이 아닙니다. 일부 교재나 프로그램(배열 인덱스)은 0부터 세는데, 그때는 $a_n = a_0 + nd$ 입니다.
합은 첫 n항: $a_1$ 부터 $a_n$ 까지 더합니다. 제 $m$ 항부터 제 $n$ 항까지의 합은 $S_n - S_{m-1}$ 로 구합니다.
화면 기준: 비어 있는 필드는 엔진에서 0으로 참여하므로, $n$ 이나 $d$ 를 역산할 때 「합」은 실제 합이 아닙니다(3, 4단계).

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: 임의의 실수 $a_1$ , $d$ 와 양의 정수 $n$ 에 대한 제n항과 첫 n항의 합; $a_n$ 에서 $n$ ( $d \ne 0$ 필요) 또는 $d$ ( $n \ne 1$ 필요) 역산.
근사만 가능: 현실의 「등차」는 대부분 근사입니다(좌석 줄 수, 재고 출고). 공식이 주는 것은 모델값입니다.
계산할 수 없음: 등비수열(별도의 등비수열 계산기가 있습니다), 이차 등차수열( $1, 3, 6, 10, \ldots$ ), 부분합 $a_m + \cdots + a_n$ (두 번 계산해 빼면 됩니다), $S_n$ 에서 $n$ 이나 $d$ 역산(이차방정식을 풀어야 하므로 손계산).
하지 않음: 각 항을 나열하지 않고, 어떤 수가 이 수열의 항인지 판정하지 않습니다(역산한 $n$ 이 정수인지로 직접 판단).
수치: $n$ 이 아주 크면 $S_n$ 이 $10^{12}$ 를 넘어 과학적 표기법으로 표시됩니다. 배정밀도에서 항의 개수가 $10^7$ 규모까지는 정확합니다.

흔한 오해

일반항을 $a_1 + nd$ 로 씀: $-1$ 을 빠뜨려 모든 항이 $d$ 만큼 커집니다. 6개 항에는 간격이 5개뿐입니다.
역산한 $n$ 이 소수인데 답으로 착각: $n = 16.67$ 은 입력한 끝 항이 수열에 없다는 뜻이지 「제16.67항」이 아닙니다.
역산 모드의 「합」을 결과로 착각: 엔진이 $n = 0$ 또는 $d = 0$ 으로 처리한 값입니다. 역산 결과를 되돌려 넣어야 실제 합을 얻습니다.
감소 수열에 공차를 양수로 입력: 100, 93, 86, …의 공차는 $-7$ 입니다. 7을 넣으면 증가 수열의 결과가 나옵니다.
합 공식에서 $a_1 + a_n$ 을 쓰고 2로 나누는 것을 잊음: $n(a_1 + a_n)$ 은 계단 두 벌을 붙인 직사각형의 넓이이므로 절반을 취해야 합니다.
등비를 등차로 착각: 복리, 인구 증가, 세균 번식은 등비수열이며 이 계산기로 계산하면 크게 과소평가됩니다.

대표적인 활용 사례

교육

점화식에서 일반항으로, 짝짓기에서 합 공식으로 나아갑니다. 처음 $n$ 개 홀수의 합이 $n^2$ 임을 관찰하고, 등차수열이 「정수점 위의 일차함수」임을 이해합니다.

셈과 배열

극장·경기장의 줄마다 늘어나는 좌석 수, 피라미드처럼 쌓은 목재나 통조림(층마다 감소), 열병식 대형의 인원수.

계획과 예산

매달 늘어나는 저축이나 상환 계획, 줄어드는 재고나 훈련량, 고정 폭으로 인상되는 누적 소득.

단리와 감가상각

단리 이자는 등차로 누적됩니다. 정액법 감가상각은 매년 일정액을 줄이므로 제 $n$ 년 장부가액이 제n항입니다.

자주 묻는 질문

패널을 열 때 제n항이 왜 −1로 표시되나요?

항의 개수가 아직 비어 있고 엔진이 $n$ 을 0으로 두고 $1 + (0-1) \times 2 = -1$ 을 계산하기 때문입니다. 항의 개수를 입력하면 정상이 됩니다.

어떤 수가 수열의 항인지 어떻게 판단하나요?

$n$ 을 비우고 그 수를 「제n항」에 넣어 역산한 $n$ 이 양의 정수인지 보면 됩니다. 50은 5, 8, 11, …에 있고( $n = 16$ ), 52는 없습니다( $n = 16.67$ ).

제5항부터 제12항까지의 합은 어떻게 구하나요?

$S_{12}$ 와 $S_4$ 를 각각 계산해 빼면 됩니다. 또는 제5항을 새 첫째 항으로 두고 항의 개수를 8로 다시 계산합니다.

합과 첫째 항, 공차를 알고 있을 때 항의 개수는 어떻게 역산하나요?

이차방정식 $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ 을 풀어 양의 정수 근을 취합니다. 계산기는 이 역산을 지원하지 않습니다.

합이 왜 이차로 증가하나요?

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ 에 $n^2$ 항이 있기 때문입니다. 직관적으로 합은 계단 그림 아래의 넓이이고, 계단은 직선 아래의 넓이에 대응하므로 넓이가 너비의 제곱에 따라 커집니다.

등차수열과 등비수열은 어떻게 고르나요?

「이웃한 두 항이 차로 일정한지, 비로 일정한지」를 보면 됩니다. 매년 50을 더하면 등차, 매년 1.05를 곱하면 등비입니다.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 arithmetic-seq 정의(compute(known, solveFor)가 an / sum을 출력하고, an에서 n과 d 역산을 지원); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Wikipedia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）—일반항, 두 가지 합 공식과 유도.
Wikipedia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）—삼각수 $n(n+1)/2$ 와 가우스 일화.
Brian Hayes, “Gauss's Day of Reckoning”, American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）—가우스 합 이야기 여러 판본의 사료 검증.
Wikipedia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）—기원전 1550년경의 등차 배분 문제(제40, 64번 문제).
《구장산술(九章算術)》 권3 「쇠분(衰分)」, 권6 「균수(均輸)」—중국 고대의 등차 배분과 합 문제.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09