계산기 설명 등차수열 계산기는 "각 항이 앞 항보다 같은 수만큼 큰" 수열을 다룹니다: 첫째 항 a 1 a_1 a 1 d d d n n n n n n a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n-1)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d n n n S n = n ( a 1 + a n ) 2 S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} S n = 2 n ( a 1 + a n ) n n n d d d
1, 3, 5, 7, …(홀수), 극장에서 뒷줄로 갈수록 2석씩 늘어나는 좌석, 매달 지난달보다 50위안씩 더 저축하기, 매일 1.5 km씩 줄여 가는 감량 훈련 — "증가분이 일정"하기만 하면 등차수열입니다. 등차수열은 가장 단순한 수열이자 "누적 합"을 이해하는 출발점입니다. 합 공식 뒤에 숨은 "양 끝 짝짓기"는 가우스가 8살 때(전해지는 이야기에 따르면) 떠올린 방법입니다.
이 계산기가 하지 않는 일: 등비수열(각 항이 앞 항의 고정된 배수 인 수열, 예: 복리)은 다루지 않고, 이계 등차수열(차의 차가 일정)이나 피보나치 같은 점화수열도 다루지 않으며, 모든 항을 나열하지도 않습니다. 제 n n n
예제 네 가지 예제는 모두 엔진 arithmetic-seq의 compute로 검산했습니다. 표시 기준은 소수점 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.
예제 1: 3, 7, 11, 15, 19, 23 — 여섯 항
입력: a 1 = 3 a_1 = 3 a 1 = 3 d = 4 d = 4 d = 4 n = 6 n = 6 n = 6
제6항 a 6 = 3 + ( 6 − 1 ) × 4 = 3 + 20 = 23 a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23 a 6 = 3 + ( 6 − 1 ) × 4 = 3 + 20 = 23
합 S 6 = 6 × ( 3 + 23 ) 2 = 6 × 26 2 = 78 S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78 S 6 = 2 6 × ( 3 + 23 ) = 2 6 × 26 = 78
화면 표시: 제n항 23 , 합 78 . 둘째 표기로 검산하면 6 × 3 + 6 × 5 2 × 4 = 18 + 60 = 78 6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78 6 × 3 + 2 6 × 5 × 4 = 18 + 60 = 78 3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26 3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26 3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26
그림 1: 예제 1. 왼쪽은 가우스 짝짓기(첫 항과 끝항의 합이 항상 a₁ + aₙ), 오른쪽은 기하 버전으로 두 계단을 붙여 만든 직사각형의 넓이는 n(a₁ + aₙ)이므로 절반이 Sₙ 예제 2: 기본 입력과 가우스의 1부터 100까지
입력: a 1 = 1 a_1 = 1 a 1 = 1 d = 2 d = 2 d = 2 n = 10 n = 10 n = 10 = 1 + 9 × 2 = 19 = 1 + 9 \times 2 = 19 = 1 + 9 × 2 = 19 = 10 × ( 1 + 19 ) / 2 = 100 = 10 \times (1 + 19) / 2 = 100 = 10 × ( 1 + 19 ) /2 = 100 19 , 합 100 . 처음 10개 홀수의 합은 정확히 10 2 10^2 1 0 2 n = 100 n = 100 n = 100 199 , 합 10000 이 표시됩니다. 처음 n n n n 2 n^2 n 2
a 1 = 1 a_1 = 1 a 1 = 1 d = 1 d = 1 d = 1 n = 100 n = 100 n = 100 100 , 합 5050 이 표시됩니다. 이것이 어린 가우스가 "1 + 100 = 2 + 99 = ⋯ = 50 + 51 1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51 1 + 100 = 2 + 99 = ⋯ = 50 + 51
예제 3: 극장 좌석과 감소 수열
극장 : 첫 줄에 20석이 있고 이후 각 줄이 2석씩 늘어나며 모두 15줄입니다. a 1 = 20 a_1 = 20 a 1 = 20 d = 2 d = 2 d = 2 n = 15 n = 15 n = 15 20 + 14 × 2 = 48 20 + 14 \times 2 = 48 20 + 14 × 2 = 48 15 × ( 20 + 48 ) / 2 = 510 15 \times (20 + 48)/2 = 510 15 × ( 20 + 48 ) /2 = 510 48 , 합 510 .
감소 : 100 kg 재고에서 매일 7 kg씩 고정 출고하면 12일 뒤 재고와 누적 출고량은? a 1 = 100 a_1 = 100 a 1 = 100 d = − 7 d = -7 d = − 7 n = 12 n = 12 n = 12 100 − 77 = 23 100 - 77 = 23 100 − 77 = 23 12 × ( 100 + 23 ) / 2 = 738 12 \times (100 + 23)/2 = 738 12 × ( 100 + 23 ) /2 = 738 23 , 합 738 . 공차가 음수여도 공식은 그대로 성립하며, 수열이 내려갈 뿐입니다.
매달 50위안씩 더 저축 : 첫 달에 100을 저축하고 이후 매달 50씩 더 저축하면 1년 뒤에는? a 1 = 100 a_1 = 100 a 1 = 100 d = 50 d = 50 d = 50 n = 12 n = 12 n = 12 650 , 1년 합계는 4500 입니다.
예제 4: 항수와 공차 역산
n 역산 : 수열 5, 8, 11, …에서 어느 항이 50일까요? a 1 = 5 a_1 = 5 a 1 = 5 d = 3 d = 3 d = 3 a n = 50 a_n = 50 a n = 50 n = ( 50 − 5 ) / 3 + 1 = 16 n = (50 - 5)/3 + 1 = 16 n = ( 50 − 5 ) /3 + 1 = 16 16 , 합 0 (3단계의 표시 기준 참고). 16을 항수에 다시 넣고 a n a_n a n 440 이 됩니다.
52가 몇 번째 항인지 물으면 n = ( 52 − 5 ) / 3 + 1 = 16.66666667 n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667 n = ( 52 − 5 ) /3 + 1 = 16.66666667
d 역산 : 2에서 시작해 8개 항을 지나 30에 도달했다면 공차는? a 1 = 2 a_1 = 2 a 1 = 2 n = 8 n = 8 n = 8 a n = 30 a_n = 30 a n = 30 d = ( 30 − 2 ) / ( 8 − 1 ) = 4 d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4 d = ( 30 − 2 ) / ( 8 − 1 ) = 4 4 , 합 16 (이때 엔진은 d = 0 d = 0 d = 0 8 × 2 = 16 8 \times 2 = 16 8 × 2 = 16 a n a_n a n 128 이 됩니다.
항수가 정수가 아니거나 공차가 0일 때
정수가 아닌 항수는 패널이 막습니다(min: 1, integer: true). n = 2.5 n = 2.5 n = 2.5 compute()를 직접 호출할 때만 그대로 계산됩니다(a 1 = 1 a_1 = 1 a 1 = 1 d = 2 d = 2 d = 2 n n n d = 0 d = 0 d = 0 a n ≠ a 1 a_n \ne a_1 a n = a 1 ∞ , a n = a 1 a_n = a_1 a n = a 1 d = 0 d = 0 d = 0 a 1 a_1 a 1 n n n
예제 1의 입력을 그대로 패널에 넣어 재현할 수 있습니다. n n n n n n n 2 n^2 n 2
원리와 유도 일반항: 점화식에서 직접 공식으로
정의는 점화식입니다: a k + 1 = a k + d a_{k+1} = a_k + d a k + 1 = a k + d a 1 a_1 a 1 a n a_n a n d d d n − 1 n - 1 n − 1 a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n-1)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d n n n n − 1 n - 1 n − 1
n n n a n = d ⋅ n + ( a 1 − d ) a_n = d \cdot n + (a_1 - d) a n = d ⋅ n + ( a 1 − d ) d d d a 1 − d a_1 - d a 1 − d 정의역을 양의 정수만으로 제한한 일차함수 이고, 그림 1 왼쪽의 기둥 꼭대기를 이으면 직선이 됩니다. 임의의 두 항으로 기울기 를 계산하면 그것이 공차이고, 공차 역산 공식 d = ( a n − a 1 ) / ( n − 1 ) d = (a_n - a_1)/(n-1) d = ( a n − a 1 ) / ( n − 1 )
합: 가우스 짝짓기
S n S_n S n
S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ⋯ + ( a n − d ) + a n S n = a n + ( a n − d ) + ⋯ + ( a 1 + d ) + a 1 2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + ⋯ + ( a 1 + a n ) = n ( a 1 + a n ) \begin{aligned}
S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\
S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\
2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n)
\end{aligned} S n S n 2 S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ⋯ + ( a n − d ) + a n = a n + ( a n − d ) + ⋯ + ( a 1 + d ) + a 1 = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + ⋯ + ( a 1 + a n ) = n ( a 1 + a n ) 각 열의 합은 모두 a 1 + a n a_1 + a_n a 1 + a n d d d d d d n n n S n = n ( a 1 + a n ) / 2 S_n = n(a_1 + a_n)/2 S n = n ( a 1 + a n ) /2 ( a 1 + a n ) / 2 (a_1 + a_n)/2 ( a 1 + a n ) /2 n × ( a 1 + a n ) n \times (a_1 + a_n) n × ( a 1 + a n )
a n = a 1 + ( n − 1 ) d a_n = a_1 + (n-1)d a n = a 1 + ( n − 1 ) d S n = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d S n = n a 1 + 2 n ( n − 1 ) d a 1 a_1 a 1 n n n 0 + 1 + ⋯ + ( n − 1 ) = n ( n − 1 ) / 2 0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2 0 + 1 + ⋯ + ( n − 1 ) = n ( n − 1 ) /2 d d d S n S_n S n n n n
"평균 × 항수"로 읽기
S n = n ⋅ a 1 + a n 2 S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2} S n = n ⋅ 2 a 1 + a n
등차와 등비: 단리와 복리
등차수열은 매 단계 고정량을 더하고 , 등비수열은 매 단계 고정 배수를 곱합니다 . 원금 1000위안을 연 5% 단리로 굴리면 이자가 매년 50위안으로 고정되어 각 해의 원리금 1050, 1100, 1150, …은 등차수열이고 10년 뒤 1500입니다. 연 5% 복리라면 등비수열 1000 × 1.05 n 1000 \times 1.05^n 1000 × 1.0 5 n 복리 계산기 를 보세요.