기울기와 직선의 방정식 계산기: 두 점으로 m과 y절편 b

계산기 설명

기울기 계산기는 직선 위의 두 점 $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ 로 직선의 기울기 $m$ 과 $y$ 절편 $b$ 를 구합니다. 즉 이 직선을 $y = mx + b$ 꼴로 나타내는 것입니다.

기울기가 답하는 것은 「 $x$ 가 1 커질 때 $y$ 는 얼마나 변하는가」입니다. 경사로가 100 m 나아갈 때 얼마나 올라가는지, 기온이 1 °C 오를 때 화씨온도는 얼마나 오르는지, 시간이 1 s 흐를 때 속도가 얼마나 커지는지. 두 양 사이에 직선 관계만 성립하면 두 점을 측정해 직선 전체를 얻을 수 있고, 이후 어떤 $x$ 에 대응하는 $y$ 든 방정식으로 계산할 수 있습니다.

하지 않는 일: 두 점이 정말 같은 직선 위에 있는지는 따지지 않고(두 점은 언제나 하나의 직선을 정합니다), 수직선은 다루지 않으며(기울기가 정의되지 않음), 두 직선의 교점도 구하지 않고, 곡선 맞춤도 하지 않습니다. 세 점 이상이 한 직선 위에 있지 않다면 필요한 것은 회귀분석이지 이 계산기가 아닙니다.

공식과 변수

기울기는 종좌표 변화량과 횡좌표 변화량의 비입니다(rise over run):

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

알고 있는 점 아무거나 $y = mx + b$ 에 대입해 절편을 구합니다:

b = y_1 - m\,x_1

그러면 직선의 방정식은 $y = mx + b$ 입니다. 기울기와 경사각 $\theta$ ( $x$ 축 양의 방향과 직선이 이루는 각), 경사율(%)의 관계:

m = \tan\theta,\qquad \theta = \arctan m,\qquad \text{경사율} = m \times 100\%

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$x_1, y_1$	첫 번째 점의 좌표	x₁, y₁	좌표축과 동일	임의의 실수; 기본값 (1, 2)
$x_2, y_2$	두 번째 점의 좌표	x₂, y₂	좌표축과 동일	임의의 실수; 기본값 (4, 8); $x_2 \ne x_1$ 필요
$\Delta x$	가로 변화(run)	(중간값)	x의 단위	$x_2 - x_1$ , 0이면 직선이 수직이라 기울기가 정의되지 않음
$\Delta y$	세로 변화(rise)	(중간값)	y의 단위	$y_2 - y_1$
$m$	기울기	기울기 m	y 단위 / x 단위	출력; 양수면 상승, 음수면 하강, 0이면 수평
$b$	$y$ 절편( $y$ 축과 만나는 점의 $y$ 좌표)	y절편 b	y의 단위	출력; $x = 0$ 일 때의 $y$ 값

기울기에는 단위가 있습니다. $x$ 가 초, $y$ 가 미터라면 $m$ 의 단위는 m/s입니다. 두 축의 단위가 같을 때(순수 기하 좌표)만 $m$ 이 무차원이고 각도로 바꿀 수 있습니다.

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 기울기 / 직선의 방정식」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.slope)에 대응합니다. 열면 x₁ = 1, y₁ = 2만 채워져 있으니 x₂, y₂도 채우십시오(기본 예시는 4, 8). 네 좌표가 모두 「입력」일 때만 결과가 의미를 갖습니다.
두 점 입력순서는 아무래도 됩니다. 두 점을 바꾸면 $\Delta y$ 와 $\Delta x$ 의 부호가 함께 바뀌므로 기울기는 그대로입니다.
기울기와 절편 읽기「기울기 m」과 「y절편 b」가 「계산」 표시와 함께 실시간으로 갱신되며, 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 두 값을 $y = mx + b$ 에 넣으면 직선의 방정식이 됩니다.
수직선 $x_1 = x_2$ 이면 기울기에 ∞, 절편에도 ∞가 표시됩니다. 이 직선은 $x = x_1$ 이고 기울기-절편 꼴이 없습니다.
각도나 경사율로 바꾸기이 패널은 각도를 직접 출력하지 않습니다. $\theta = \arctan m$ (공학용 계산기의 tan⁻¹)으로 바꾸면 되고, 경사율은 $m \times 100$ 입니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 slope의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다. 각도는 $\arctan m$ 으로 따로 환산했습니다.

예 1: 패널 기본값 (1, 2)와 (4, 8)

$\Delta x = 4 - 1 = 3$ , $\Delta y = 8 - 2 = 6$ .
$m = 6/3 = 2$ .
$b = y_1 - m x_1 = 2 - 2 \times 1 = 0$ .

화면 표시: 기울기 2, y절편 0. 직선은 $y = 2x$ 로 원점을 지나고, 경사각은 $\arctan 2 = 63.43°$ 입니다.

그림 1: 예 1. 기울기는 「상승」과 「전진」의 비이고, 절편은 직선이 y축과 만나는 점이다

예 2: 내려가는 직선 (2, 5)와 (6, 3)

$\Delta x = 4$ , $\Delta y = 3 - 5 = -2$ .
$m = -2/4 = -0.5$ .
$b = 5 - (-0.5)(2) = 6$ .

화면 표시: 기울기 −0.5, y절편 6. 방정식은 $y = -0.5x + 6$ 이고 경사각은 $\arctan(-0.5) = -26.57°$ (아래로 기울어짐)입니다. 이에 수직인 직선의 기울기는 $-1/m = 2$ 입니다.

예 3: 경사율과 경사각

도로가 수평으로 100 m 나아가며 6 m 올라간다면 $(0, 0)$ 과 $(100, 6)$ 을 입력합니다.

화면 표시: 기울기 0.06, 절편 0. 경사율 $= 0.06 \times 100\% = 6\%$ , 경사각 $\arctan 0.06 = 3.43°$ 입니다. 경사율 6%는 6°가 아닙니다. 경사율은 $\tan\theta$ , 각도는 $\theta$ 이고 작은 각도에서는 $\theta(\text{rad}) \approx \tan\theta$ 이므로 6% ≈ 0.06 rad ≈ 3.4°입니다. 지붕의 「4:12」 경사는 $4/12 = 0.333$ 이고 경사각은 18.43°입니다.

예 4: 단위 환산도 하나의 직선

섭씨와 화씨: 물의 어는점 $(0\,°\text{C}, 32\,°\text{F})$ , 끓는점 $(100\,°\text{C}, 212\,°\text{F})$ .

화면 표시: 기울기 1.8, 절편 32. $F = 1.8\,C + 32$ 를 얻습니다. 기울기 1.8 °F/°C는 「1 °C 오를 때 1.8 °F 오른다」는 뜻이고, 절편 32는 0 °C에 대응하는 화씨온도입니다. 여기서 $m$ 에는 단위(°F/°C)가 있어 각도로 바꿀 수 없습니다.

예 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. y₂를 2로 바꾸면 기울기가 0(수평선)이 됩니다.

원리와 유도

기울기는 변화율

직선의 본질은 「 $y$ 가 $x$ 에 따라 일정하게 변한다」는 것입니다. 어느 두 점에서 재도 $\Delta y / \Delta x$ 는 같습니다. 이 일정한 비가 기울기이고, 기하학에서의 「기울어진 정도」와 대수학에서의 「 $x$ 한 단위당 $y$ 의 변화」를 하나로 묶어 줍니다. 물리에서는 변위–시간 그래프의 기울기가 속도이고, 속도–시간 그래프의 기울기가 가속도입니다. 경제에서는 비용–생산량 직선의 기울기가 한계비용입니다. 미적분은 이 생각을 곡선으로 확장합니다. 곡선 위 한 점의 도함수는 그 점에서의 접선의 기울기입니다.

왜 두 점이면 충분한가

한 점을 지나는 직선은 무수히 그릴 수 있지만 점을 하나 더하면 하나만 남습니다. 닮은삼각형으로 왜 기울기가 고른 두 점과 무관한지 보일 수 있습니다. 직선 위에서 임의로 두 쌍의 점을 잡으면 그 점들과 좌표축이 이루는 두 직각삼각형이 닮음(대응각이 같음)이므로 「세로변 / 가로변」이 같습니다. 두 점을 바꿔도 결과가 같은 것도 이 때문입니다. 분자와 분모의 부호가 함께 바뀝니다.

직선의 방정식을 쓰는 여러 가지 꼴

꼴	방정식	언제 편리한가
기울기-절편 꼴	$y = mx + b$	기울기와 $y$ 절편을 알 때; 이 계산기의 출력
점-기울기 꼴	$y - y_1 = m(x - x_1)$	기울기와 한 점을 알 때
두 점 꼴	$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$	두 점만 알고 $m$ 을 먼저 계산하고 싶지 않을 때
일반형	$Ax + By + C = 0$	수직선을 포함( $B = 0$ ); 기울기는 $-A/B$
절편 꼴	$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$	두 축과의 교점 $(a, 0)$ , $(0, b)$ 를 알 때

두 점 꼴의 양변에 $(y_2 - y_1)$ 을 곱해 정리하면 점-기울기 꼴이 되고, 다시 전개하면 기울기-절편 꼴이 됩니다. 여기서 $b = y_1 - m x_1$ 인데, 이것이 바로 엔진이 절편을 계산하는 방법입니다.

평행, 수직과 끼인각

수직이 아닌 두 직선이 평행 ⟺ 기울기가 같음; 수직 ⟺ 기울기의 곱이 $-1$ ( $m_2 = -1/m_1$ ). 수직 조건은 한 직선을 90° 회전하면 원래의 「전진 $\Delta x$ , 상승 $\Delta y$ 」가 「전진 $-\Delta y$ , 상승 $\Delta x$ 」가 되어 새 기울기가 $\Delta x / (-\Delta y) = -1/m$ 이 된다는 데서 나옵니다. 두 직선이 이루는 각은 $\tan\varphi = \left|\dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|$ 을 만족합니다.

경사각, 경사율과 「퍼센트」

$m = \tan\theta$ 가 기울기와 경사각을 연결합니다. 공학에서는 경사율 $m \times 100\%$ 를 더 자주 씁니다. 6% 경사는 100 m마다 6 m 오르는 것이고, 45° 경사는 100%이며, 수직 벽의 경사율은 100%가 아니라 무한대입니다. 철도는 「천분율」(‰), 지붕은 「몇 대 12」(rise : 12), 등산은 각도를 씁니다. 모두 같은 $m$ 을 다르게 쓴 것뿐입니다. 작은 각도에서 $\tan\theta \approx \theta$ (라디안)이므로 6% ≈ 3.4°이고 6°가 아닙니다.

거리 공식과의 관계

$\Delta x$ , $\Delta y$ 는 직각삼각형의 두 직각변이고 빗변은 두 점 사이의 거리 $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 입니다(두 점 사이 거리 계산기 참고). 기울기는 두 직각변의 비만 쓰고 거리는 두 변의 제곱합을 씁니다. 같은 두 점에 대해 두 계산기는 같은 삼각형의 다른 면을 읽는 것입니다.

가정

두 점이 직선을 하나로 정함: 서로 다른 두 점은 언제나 하나의 직선을 정합니다. 계산기는 그 두 점이 같은 「실제」 직선에서 나왔는지(예: 측정 데이터의 노이즈) 확인하지 않습니다.
직각좌표계, 두 축이 선형: 좌표는 보통의 데카르트 좌표입니다. 로그 좌표나 극좌표에서의 「기울기」는 의미가 다릅니다.
$x_2 \ne x_1$ : 횡좌표가 같은 두 점은 수직선을 정하고 기울기가 정의되지 않으며 화면에 ∞가 표시됩니다.
단위는 좌표축을 따름: 기울기의 단위는 $y$ 단위 / $x$ 단위입니다. 두 축의 단위가 같을 때만 각도로 바꿀 수 있습니다.
네 좌표를 모두 채울 것: 패널을 열면 x₁, y₁만 채워지고 채우지 않은 좌표는 0으로 처리됩니다. 기본 예시는 마침 (1, 2)-(4, 8)과 같은 결과를 주지만, 일반적으로는 네 필드를 모두 「입력」으로 채우십시오.

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: 평면 직각좌표계에서 횡좌표가 다른 임의의 두 점이 정하는 직선의 기울기와 $y$ 절편; 결과는 소수점 이하 최대 8자리.
근사만 가능: 두 점이 측정값일 때 기울기의 오차는 대략 $(|\Delta y|\,\varepsilon_x + |\Delta x|\,\varepsilon_y)/\Delta x^2$ 입니다. 두 점이 가까울수록 오차가 더 크게 증폭됩니다.
계산할 수 없음: 수직선의 방정식( $x = x_1$ 으로 표기), 세 점 이상의 최적 직선(선형 회귀 사용), 곡선 위 한 점의 접선 기울기(도함수 사용).
하지 않음: 각도나 경사율 출력(수동 환산), $x$ 절편( $-b/m$ ), 점의 공선성 판단, 단위 환산.
수치: 두 점이 아주 가까우면 $\Delta x$ 가 0에 가까워져 부동소수점 오차가 증폭되고, 결과에 큰 수치 노이즈가 나타날 수 있습니다.

흔한 오해

분자와 분모의 순서 불일치: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ 에서 두 차의 아래첨자 순서가 같아야 합니다. $(y_2 - y_1)/(x_1 - x_2)$ 로 쓰면 부호가 반대가 됩니다.
$\Delta x$ 를 분자에 놓기: 기울기는 「상승 / 전진」이지 「전진 / 상승」이 아닙니다. 후자는 기울기의 역수입니다.
경사율을 각도로 착각: 6%는 $\tan\theta = 0.06$ , 즉 3.4°입니다. 100% 경사는 90°가 아니라 45°입니다.
절편에 점을 다시 대입하는 것을 잊기: $b$ 는 $y_1$ 이 아니라 $y_1 - m x_1$ 입니다. $x_1 = 0$ 일 때만 둘이 같습니다.
수직선에서 ∞를 읽고 기울기-절편 꼴을 계속 쓰기: $x = 3$ 에는 $y = mx + b$ 꼴이 없습니다. ∞는 안내일 뿐 쓸 수 있는 수가 아닙니다.
앞의 두 좌표만 채우기: 패널은 처음에 x₁, y₁만 채워지고 나머지 둘은 0으로 계산됩니다. x₂, y₂도 채우십시오.
단위가 다른 축에 각도를 말하기: 온도–화씨 그래프의 「1.8」은 °F/°C이고 $\tan 61°$ 가 아닙니다.

대표적인 활용 사례

교육: 두 점에서 방정식까지

(1, 2), (4, 8)로 $y = 2x$ 를 먼저 얻고, y₂를 5, 2, −1로 바꾸어 기울기가 양수에서 0을 거쳐 음수로 가는 것을 관찰합니다. x₂를 1로 바꾸면 ∞가 나타나는데, 이것이 「수직선에는 기울기가 없다」를 눈으로 보여 주는 시연입니다.

도로, 경사로와 지붕

수평거리와 높이차(같은 단위)를 재어 (0, 0), (run, rise)로 입력하면 기울기에 100을 곱해 경사율을, $\arctan$ 으로 경사각을 얻습니다. 무장애 경사로 1:12는 기울기 0.0833, 경사율 8.3%, 경사각 4.76°에 해당합니다.

선형 관계의 교정

두 기준점(예: 두 온도 눈금의 어는점과 끓는점, 센서의 두 교정값)을 입력하면 환산식 $y = mx + b$ 를 얻고, 이후 어떤 판독값이든 바로 대입할 수 있습니다. 절편이 0이면 단순한 비례 관계로 줄어듭니다.

물리 그래프의 기울기

속도–시간 그래프에서 두 점을 잡으면 기울기가 가속도, 변위–시간 그래프의 기울기는 속도, 저항의 $U$ – $I$ 그래프 기울기는 저항값입니다. 그래프의 어느 두 점이든 되지만 멀리 떨어져 있을수록 오차가 작습니다.

자주 묻는 질문

기울기가 음수라는 것은 무슨 뜻인가요?

$x$ 가 커질 때 $y$ 가 작아져 직선이 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 기웁니다. 기울기의 절댓값이 클수록 직선이 더 가파릅니다.

왜 기울기에 ∞가 표시되나요?

두 점의 횡좌표가 같아 $\Delta x = 0$ 이므로 나눗셈이 정의되지 않습니다. 이 직선은 수직선 $x = x_1$ 이고 기울기-절편 꼴도, $y$ 절편도 없습니다(그 자체가 $y$ 축인 경우는 예외).

경사각은 어떻게 구하나요?

$\theta = \arctan m$ 입니다. 기울기 2는 63.43°, 1은 45°, 0.06은 3.43°에 해당합니다. 다만 두 축의 단위가 같을 때만 기하학적 의미가 있습니다.

$x$ 절편은 어떻게 구하나요?

$y = 0$ 으로 놓으면 $x = -b/m$ 입니다. 예 2에서는 $x = -6/(-0.5) = 12$ 입니다.

세 점이 한 직선 위에 있는지 어떻게 판단하나요?

임의로 두 쌍의 점을 잡아 각각 기울기를 계산해 같으면 공선입니다(부동소수점 오차를 고려해 아주 작은 차이는 허용). 세 점 이상이고 한 직선 위에 있지 않다면 선형 회귀로 「가장 가까운」 직선을 구해야 하는데, 이 계산기는 하지 않습니다.

두 점이 아주 가까우면 결과를 믿을 수 있나요?

그다지 믿을 수 없습니다. $\Delta x$ 가 아주 작으면 좌표의 작은 오차가 나눗셈으로 증폭되어 기울기가 크게 어긋날 수 있습니다. 가능한 한 멀리 떨어진 두 점을 고르십시오.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 slope 정의( $m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ , $b = y_1 - m x_1$ ); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했고, 각도는 $\arctan m$ 으로 환산했습니다.
Wikipedia, Slope（访问日期：2026-09-08）—정의, 경사각, 평행과 수직, 도함수와의 관계.
Wikipedia, Linear equation（访问日期：2026-09-08）—직선의 방정식의 여러 꼴.
Wikipedia, Grade (slope)（访问日期：2026-09-08）—경사율, 비와 각도의 환산.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. 부록 B “Coordinate Geometry and Lines”—기울기, 직선의 방정식, 평행·수직 조건의 표준 유도.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Slope（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Linear equation（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Grade (slope)（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, Appendix B “Coordinate Geometry and Lines”