두 점 사이 거리·중점 계산기 (2D/3D 유클리드 거리)

계산기 설명

두 점 사이 거리 계산기는 두 점의 직교좌표 $(x_1, y_1, z_1)$ , $(x_2, y_2, z_2)$ 로부터 두 점 사이의 직선 거리(유클리드 거리) $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ 를 구하고, 선분 중점의 $x$ , $y$ 좌표를 제시합니다. 두 $z$ 에 모두 0을 넣으면 평면 위의 두 점 거리가 됩니다.

이 계산기가 어울리는 문제: 지도나 도면에서 두 점이 얼마나 떨어져 있는지, 화면에서 두 픽셀의 간격, 로봇 팔 끝의 두 위치 사이 변위, 3차원 모델에서 두 꼭짓점 사이의 변 길이, 데이터 분석에서 두 표본이 "얼마나 비슷한지". 좌표로 쓸 수 있는 것이라면 무엇이든 이 계산기로 거리를 잴 수 있습니다.

이 계산기가 하지 않는 일: 도로나 격자를 따라가는 이동 거리(그것은 맨해튼 거리나 경로 계획), 지구 표면 두 지점의 대원 거리(경위도에는 구면 공식이 필요)는 계산하지 않고, $z$ 중점도 출력하지 않으며, 단위 변환도 하지 않습니다. 모든 좌표는 같은 길이 단위를 써야 합니다.

공식과 변수

3차원 공간에서 두 점의 유클리드 거리:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

$z_1 = z_2$ (예를 들어 둘 다 0)이면 평면 거리 공식 $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 으로 퇴화합니다. 선분 중점은 양 끝 좌표의 산술평균입니다:

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$x_1, y_1, z_1$	첫 번째 점의 좌표	x₁, y₁, z₁	길이	임의의 실수; 평면 문제에서는 z₁에 0을 넣습니다. 공식 패널은 x₁ = 0, y₁ = 0을 미리 채웁니다(공개 임베드 계산기는 기본값을 모두 채움)
$x_2, y_2, z_2$	두 번째 점의 좌표	x₂, y₂, z₂	길이	임의의 실수; 평면 문제에서는 z₂에 0을 넣습니다. 공식 패널은 미리 채우지 않으며(비우면 0으로 처리), 공개 임베드 계산기는 기본값 (3, 4, 0)을 모두 채웁니다
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	세 좌표차	(중간값)	길이	부호는 중요하지 않으며 제곱하면 사라짐
$d$	두 점 거리	거리 d	길이	출력, $d \ge 0$ ; 두 점이 겹치면 0
$M_x, M_y$	중점의 x, y 좌표	중점 X, 중점 Y	길이	출력; 엔진은 z 중점을 출력하지 않으므로 $(z_1+z_2)/2$ 를 직접 계산

여섯 좌표는 같은 길이 단위를 써야 하고, 거리의 단위도 같습니다.

계산기 사용 방법

패널 열기이 페이지는 "수학 도구 → 공식 → 거리 계산기 (2D/3D)"(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance)에 해당합니다. 열면 공식 패널은 x₁ = 0, y₁ = 0만 미리 채우고 나머지 네 좌표는 비어 있어 0으로 계산되므로 처음 표시되는 거리는 0입니다. 여섯 좌표를 모두 채우세요. 공개 임베드 계산기는 정의의 모든 기본값(x₂ = 3, y₂ = 4, 이 좌표는 거리 5에 해당)을 채웁니다.
두 점 입력평면 문제는 z₁, z₂에 모두 0을 넣고, 3차원 문제는 실제 높이를 넣습니다. 좌표는 음수와 소수도 가능합니다.
거리 읽기"거리 d"가 "계산" 표시와 함께 실시간으로 갱신되며, 소수점 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거로 표시됩니다.
중점 읽기"중점 X", "중점 Y"는 양 끝의 대응 좌표 평균입니다. 3차원 문제의 $z$ 중점은 $(z_1 + z_2)/2$ 로 직접 구하세요.
검산두 점을 서로 바꿔도 거리와 중점은 변하지 않습니다. 두 점에 같은 좌표를 넣으면 거리는 0이어야 합니다.

예제

네 가지 예제는 모두 엔진 distance의 compute로 검산했습니다. 표시 기준은 소수점 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.

예제 1: 원점에서 (3, 4, 12)까지

입력: $(0, 0, 0)$ 과 $(3, 4, 12)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 12$ .
제곱의 합 $9 + 16 + 144 = 169$ .
$d = \sqrt{169} = 13$ ; 중점 $(1.5, 2, 6)$ .

화면 표시: 거리 13, 중점 X 1.5, 중점 Y 2. 이 예는 피타고라스 정리를 두 번 쓴 것으로 볼 수 있습니다. 밑면 대각선 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 를 구하고, 다시 높이 12와 새로운 직각삼각형을 이루면 $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ 입니다.

그림 1: 3차원 거리는 직육면체의 공간 대각선이며, 밑면 대각선에 피타고라스 정리를 한 번 더 적용한 것과 같습니다

예제 2: 평면 위의 (1, 2)와 (4, 6)

입력: $(1, 2, 0)$ 과 $(4, 6, 0)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 0$ .
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; 중점 $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ .

화면 표시: 거리 5, 중점 X 2.5, 중점 Y 4. 비교: 격자를 따라가면(가로 3, 세로 4) 맨해튼 거리는 7이고, 직선 거리 5는 언제나 그보다 작거나 같습니다.

예제 3: 음수 좌표가 있는 3차원 점

입력: $(-2, 3, 1)$ 과 $(4, -1, 5)$ .

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ , $\Delta y = -1 - 3 = -4$ , $\Delta z = 5 - 1 = 4$ .
제곱의 합 $36 + 16 + 16 = 68$ .
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ; 중점 $(1, 1, 3)$ .

화면 표시: 거리 8.24621125, 중점 X 1, 중점 Y 1. 음수 부호는 제곱하면 사라집니다. 거리는 좌표차의 크기에만 관심이 있습니다.

예제 4: 단위 정사각형과 단위 정육면체의 대각선

$(0, 0, 0)$ 과 $(1, 1, 0)$ 을 입력하면 거리 1.41421356( $\sqrt 2$ )입니다. $(0, 0, 0)$ 과 $(1, 1, 1)$ 을 입력하면 거리 1.73205081( $\sqrt 3$ )입니다. $n$ 차원 단위 정육면체의 대각선은 $\sqrt n$ 입니다. 차원이 높을수록 대각선이 변 길이에 비해 길어집니다.

예제 1의 입력을 그대로 패널에 넣어 재현할 수 있습니다. z₂를 0으로 바꾸면 거리가 평면 위의 5로 돌아갑니다.

원리와 유도

피타고라스 정리에서 거리 공식으로

평면 위의 두 점 $P_1(x_1, y_1)$ , $P_2(x_2, y_2)$ 에 대해 $P_1$ 을 지나는 수평선과 $P_2$ 를 지나는 수직선이 만나는 점을 $Q(x_2, y_1)$ 이라 합시다. $P_1 Q$ 의 길이는 $|\Delta x|$ , $Q P_2$ 의 길이는 $|\Delta y|$ 이고 둘이 수직이므로 $P_1 P_2$ 는 직각삼각형의 빗변입니다: $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ . 이것이 피타고라스 정리를 다른 언어로 쓴 것입니다.

3차원에서는 한 번 더 씁니다. 먼저 $z = z_1$ 인 수평면 안에서 밑면 대각선 $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ 을 얻고, 이것이 수직 방향의 $\Delta z$ 와 수직이므로 $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ 입니다. 서로 수직인 차원이 하나 늘 때마다 근호 안에 제곱 항이 하나씩 늘어납니다. 그래서 $n$ 차원 공간의 유클리드 거리는 $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ 이고, 데이터 과학에서 100차원 특징 벡터 두 개의 "거리"도 같은 공식을 씁니다.

중점이 평균인 이유

선분을 따라 $P_1$ 에서 $P_2$ 로 가면 좌표가 $x_1$ 에서 $x_2$ 로 선형으로 변합니다. 절반 지점에서는 각 좌표가 양 끝의 정확히 중간, 즉 $(x_1 + x_2)/2$ 입니다. 일반화하면 선분 위에서 비율 $t$ 에 해당하는 점은 $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ 이고, $t = 1/2$ 이면 중점, $t = 1/3$ 이면 삼등분점입니다. 이것이 비례와 선형 보간의 기하학적 형태이기도 합니다.

"거리"가 만족해야 하는 것

수학에서는 다음 네 가지를 만족하는 함수를 모두 거리(계량)라고 부릅니다: 음이 아님; 두 점이 겹칠 때 그리고 그때만 0; 대칭( $d(P, Q) = d(Q, P)$ ); 삼각부등식( $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ , 돌아가면 더 가깝지 않음). 유클리드 거리는 네 가지를 모두 만족하며, "직선이 가장 짧다"는 직관을 정확히 표현한 것입니다. 삼각부등식은 예제 2에서 맨해튼 거리 7이 직선 거리 5보다 큰 이유를 설명합니다.

유클리드 거리 밖의 거리들

맨해튼 거리 $|\Delta x| + |\Delta y|$ : 격자를 따라야 할 때의 이동 거리(체스판, 도시 블록, 일부 회로 배선).
체비쇼프 거리 $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ : 체스에서 킹이 한 칸에서 다른 칸으로 가는 횟수.
대원 거리: 지구 표면 두 지점을 구면을 따라가는 최단 경로로, 경위도를 먼저 환산해야 하며 공식은 구면 삼각법의 haversine입니다. 이 계산기는 다루지 않습니다. 좁은 범위(수십 km 이내)에서는 경위도를 비례로 평면 미터 좌표로 바꾼 뒤 유클리드 거리로 근사할 수 있습니다.

이들은 유클리드 거리와 마찬가지로 계량의 네 성질을 만족하지만 주는 값이 다릅니다. 어느 것을 쓸지는 "어떻게 이동할 수 있는가"에 달려 있습니다.

기울기와의 관계

$\Delta x$ , $\Delta y$ 는 두 양을 동시에 결정합니다. 제곱합의 제곱근은 거리이고, 두 값의 비는 기울기입니다. 같은 직각삼각형에서 거리는 빗변을, 기울기는 두 직각변의 비를 읽습니다.

가정

직교좌표계: 세 좌표축이 서로 수직이고 눈금 간격이 같아야 합니다. 기울어졌거나 눈금이 다른 좌표(예: 경위도, 로그 좌표)는 그대로 대입할 수 없습니다.
유클리드 공간: 두 점 사이의 "거리"는 직선 선분의 길이를 뜻하고, 공간은 평평합니다.
같은 단위: 여섯 좌표는 같은 길이 단위를 쓰고 거리의 단위도 같습니다.
z가 0이면 평면: 2차원 문제는 z₁, z₂에 모두 0(또는 같은 수)을 넣습니다.
여섯 좌표를 모두 채울 것: 공식 패널은 처음에 x₁, y₁만 미리 채우고 나머지는 0으로 계산합니다. 전부 "입력"으로 채우세요.
중점은 x, y만 출력: z 중점은 $(z_1 + z_2)/2$ 로 직접 계산합니다.

적용 범위와 한계

계산 가능: 임의의 두 점(2차원 또는 3차원 직교좌표)의 유클리드 거리와 x, y 중점; 결과는 소수점 최대 8자리.
근사만 가능: 좌표가 측정값이면 거리 오차는 각 좌표 오차를 연결선 방향으로 투영한 값의 합에 가깝고, 지구 표면의 좁은 범위를 평면 좌표로 근사하면 범위가 커질수록 오차가 커집니다.
계산 불가: 격자나 도로를 따라가는 이동 거리, 지구 표면의 대원 거리, 점에서 직선이나 평면까지의 거리, 여러 점의 최단 경로.
미지원: z 중점, 방위각, 방향 벡터를 출력하지 않고, 단위 변환이나 입력의 타당성 판단도 하지 않습니다.
수치: 좌표가 아주 클 때(예: $10^{200}$ ) 제곱이 무한대로 넘칠 수 있습니다. 일상적인 규모에서는 문제가 없습니다.

흔한 오해

좌표를 두 개만 채움: 공식 패널은 처음에 x₁, y₁만 채우고 나머지는 0으로 처리하므로, 이때 표시되는 거리 0은 의미가 없습니다. 여섯 필드를 모두 채우세요.
제곱과 제곱근을 잊음: $\Delta x + \Delta y$ 는 거리가 아닙니다. 3 + 4 = 7은 맨해튼 거리이고, 유클리드 거리는 5입니다.
음수 부호에 놀람: 좌표차가 음수여도 괜찮습니다. 제곱하면 양수가 됩니다. 예제 3에서 $\Delta y = -4$ 가 기여하는 값은 $+16$ 입니다.
경위도를 그대로 좌표로 씀: 경도 1°는 적도에서 약 111 km지만 북위 60°에서는 약 56 km에 불과하므로 그대로 대입하면 크게 왜곡됩니다. 먼저 미터 평면 좌표로 바꾸거나 대원 공식을 쓰세요.
좌표 단위가 서로 다름: x는 미터, y는 센티미터로 넣으면 결과는 무의미합니다. 먼저 단위를 통일하세요.
중점을 거리의 절반으로 착각: 중점은 점(좌표)이고, 거리의 절반은 길이입니다. 둘은 같은 종류의 양이 아닙니다.
z 중점을 기대함: 엔진은 x, y 중점만 출력하며 z 중점은 직접 계산해야 합니다.

대표 사용 사례

교육: 3차원 피타고라스 정리

먼저 (0, 0, 0)–(3, 4, 0)으로 5를 얻고, z₂를 12로 바꿔 13을 얻으면서 "밑면 대각선을 먼저, 공간 대각선을 다음"이라는 두 단계를 학생들이 보게 합니다.

도면, 화면, CAD

두 표시점이나 픽셀 사이의 직선 거리; 중점을 대칭축이나 표시 위치로 사용. 화면 좌표의 y축이 아래를 향해도 거리에는 영향이 없습니다.

기계와 로봇

말단 장치의 두 자세 사이 변위 크기, 두 구멍 위치의 중심 거리, 3차원 스캔 점군에서 두 점의 간격.

데이터 분석

특징 공간에서 두 표본의 유클리드 거리는 k-최근접 이웃, 군집화 같은 알고리즘의 기초입니다. 이 계산기의 3차원 공식이 그 저차원 버전입니다.

자주 묻는 질문

열었을 때 거리가 왜 0으로 표시되나요?

공식 패널이 x₁, y₁만 미리 채우고 나머지 좌표는 비어 있어 0으로 계산되며, 두 점이 원점에서 겹치기 때문입니다. 여섯 좌표를 모두 채우면 올바른 결과가 표시됩니다(공개 임베드 계산기는 기본값을 모두 채웁니다).

2차원 문제에서 z는 어떻게 넣나요?

두 z에 모두 0(또는 같은 수)을 넣으면 되고, $\Delta z = 0$ 은 결과에 영향을 주지 않습니다.

경위도 사이의 거리를 계산할 수 있나요?

직접은 안 됩니다. 경위도는 구면 각좌표이므로 먼저 평면 미터 좌표로 바꾸거나(좁은 범위), 대원 거리 공식을 써야 합니다(넓은 범위).

중점 Z는 어디에 있나요?

엔진은 z 중점을 출력하지 않습니다. $(z_1 + z_2)/2$ 를 직접 계산하면 되고, 예제 1의 z 중점은 6입니다.

거리와 변위는 어떻게 다른가요?

이 계산기가 구하는 것은 두 점 사이의 직선 길이, 즉 스칼라입니다. 변위는 방향까지 가지며, 방향 벡터는 $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ 이고 그 길이가 여기서의 거리입니다.

결과가 정수가 아닌 이유는 무엇인가요?

대부분의 좌표 조합에서 거리는 무리수입니다(예: $\sqrt 2$ , $\sqrt{68}$ ). 3-4-5, 5-12-13 같은 피타고라스 수 조합일 때만 정수가 나옵니다. 화면은 소수점 최대 8자리까지 유지합니다.

참고와 더 보기

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 distance 정의( $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ , 중점 X / Y는 양 끝 좌표의 평균); 이 페이지의 모든 수치는 이 엔진으로 검산했습니다.
Wikipedia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）——2차원, 3차원, $n$ 차원 공식과 계량 성질.
Wikipedia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）——중점 공식과 그 일반화.
Wikipedia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）——맨해튼 거리와 유클리드 거리의 비교.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”——3차원 거리 공식의 유도와 중점.

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Sources & review

Updated: 2026-09-09

위키백과: Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
위키백과: Midpoint（访问日期：2026-09-08）
위키백과: Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”

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