피타고라스 정리 계산기: 빗변·직각변·넓이

계산기 설명

피타고라스 정리 계산기는 직각삼각형의 임의의 두 변으로 나머지 한 변을 구합니다. 두 직각변 $a$ , $b$ 를 알면 빗변 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ 를, 빗변과 한 직각변을 알면 다른 직각변을 역산합니다. 삼각형의 넓이 $ab/2$ 도 함께 줍니다.

문제에 「직각」이 나오면 어디든 쓸 수 있습니다. 벽과 바닥, 화면의 가로와 세로, 좌표축 위의 두 변위, 사다리와 벽이 그렇습니다. 두 변을 재면 나머지 한 변은 재지 않아도 됩니다. 이 계산기는 두 점 사이 거리, 코사인 법칙, 벡터의 크기 같은 개념의 출발점이기도 하며, 이것을 이해하면 직각좌표계에서 「길이」가 어떻게 정의되는지 이해하게 됩니다.

하지 않는 일도 있습니다. 직각이 아닌 삼각형을 다루지 않고(그것은 코사인 법칙이나 사인 법칙이 필요합니다), 주어진 세 변이 삼각형을 이루는지 판단하지 않으며, 단위 환산도 하지 않습니다. 세 변은 반드시 같은 길이 단위를 써야 합니다.

공식과 변수

직각삼각형의 두 직각변을 $a$ , $b$ , 빗변(직각을 마주 보는 변이자 가장 긴 변)을 $c$ 라 하면 다음과 같습니다.

a^2 + b^2 = c^2

여기에서 세 방향의 해법과 넓이가 나옵니다.

c = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2},\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2},\qquad S = \tfrac{1}{2}\,ab

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$a$	직각변 중 하나	직각변 a	길이	$a > 0$ ; 기본값 3
$b$	다른 직각변	직각변 b	길이	$b > 0$ ; 기본값 4
$c$	빗변	빗변 c	길이	$c > a$ 이고 $c > b$ ; 역산할 때 $c \le$ 알려진 직각변이면 해가 없음
$S$	넓이	넓이	길이²	출력, $S = ab/2$ , 두 직각변을 모두 알 때만 의미가 있음

세 변은 반드시 같은 길이 단위를 써야 하며(모두 미터, 모두 센티미터, 모두 픽셀……), 넓이의 단위는 그 길이 단위의 제곱입니다.

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 피타고라스 정리」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.pythagorean)에 대응합니다. 열면 처음 두 필드에 기본값 $a = 3$ , $b = 4$ 가 채워져 있고 빗변과 넓이가 자동으로 계산됩니다.
빗변 구하기「직각변 a」와 「직각변 b」를 고칩니다. 「입력」 표시가 붙은 것은 여러분이 넣은 값이고, 「계산」 표시가 붙은 필드는 실시간으로 갱신됩니다. 빗변 $c$ 와 넓이가 함께 나옵니다.
직각변 역산「직각변 a」(또는 b)를 비우고 「빗변 c」에 빗변 길이를 넣고 다른 직각변은 입력으로 남겨 두면, 비운 변이 「계산」으로 바뀌어 결과를 보여 줍니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 예를 들어 $\sqrt{2}$ 는 1.41421356으로 표시됩니다. 역산할 때 빗변이 알려진 직각변보다 크지 않으면 결과 필드가 비어 있습니다. 이는 입력이 직각삼각형을 이루지 않는다는 뜻입니다.
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 공식 텍스트 a² + b² = c²를 클립보드에 복사해 과제나 문서에 붙여 넣기 편합니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 pythagorean의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.

예 1: 고전적인 3-4-5

입력: $a = 3$ , $b = 4$ .

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ .
$c = \sqrt{25} = 5$ .
넓이 $S = 3 \times 4 / 2 = 6$ .

화면 표시: 빗변 5, 넓이 6. 가장 작은 정수 피타고라스 수 조합이며, 《주비산경》의 「구삼고사현오(勾三股四弦五)」가 바로 이것을 말합니다.

그림 1: 예 1의 직각삼각형. 빗변은 직각을 마주 보는 변이며 언제나 가장 길다

예 2: 빗변을 알고 직각변 역산

입력: $c = 13$ , $b = 5$ (a 비움).

$c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144$ .
$a = \sqrt{144} = 12$ .

화면 표시: 직각변 a 12. 이때 「넓이」 필드가 0으로 표시되는 것에 주의하십시오. 엔진은 두 직각변이 모두 입력일 때만 넓이를 계산하고, 역산한 $a$ 는 넓이 계산에 참여하지 않습니다. 넓이를 보려면 12를 「직각변 a」에 다시 넣고 빗변을 비우면 30이 나옵니다.

예 3: 사다리 문제

길이 6.5 m의 사다리를 벽에 기대어 놓았고, 사다리 발이 벽에서 2.5 m 떨어져 있다면 꼭대기는 얼마나 높을까요? 여기서 빗변은 사다리이고, 직각변은 「벽에서 떨어진 거리」와 「높이」입니다.

입력: $c = 6.5$ , $a = 2.5$ (b 비움).

$c^2 - a^2 = 42.25 - 6.25 = 36$ .
$b = \sqrt{36} = 6$ .

화면 표시: 직각변 b 6. 반대로 벽에서 2.5 m, 높이 6 m를 알면 $a = 2.5$ , $b = 6$ 을 입력해 빗변 6.5, 넓이 7.5를 얻습니다.

예 4: 무리수 결과와 화면 대각선

입력: $a = 1$ , $b = 1$ : $c = \sqrt{2}$ , 화면 표시는 1.41421356(8자리), 넓이는 0.5. 역사상 처음으로 「분수가 아님」이 증명된 길이입니다.

입력: $a = 1920$ , $b = 1080$ (1080p 화면의 픽셀 가로·세로): 대각선은 2202.90717008 픽셀입니다. 이 화면의 공칭 크기가 27인치(대각선 27 in)라면 $c = 27$ , $b = 13.24$ (높이)로 역산해 가로 23.53088184 in를 얻습니다. 「27인치」는 가로가 아니라 대각선을 가리킵니다.

예 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. a, b를 모두 1로 바꾸면 빗변이 1.41421356이 됩니다.

원리와 유도

직각변의 제곱합이 빗변의 제곱과 같은 이유

가장 직관적인 증명은 퍼즐 맞추기입니다. 한 변의 길이가 $a + b$ 인 큰 정사각형을 두 가지 방법으로 잘라 봅니다.

자르기 1: 네 변에 각각 한 점을 잡아 큰 정사각형을 합동인 직각삼각형 네 개(직각변 $a$ , $b$ )와 가운데 기울어진 정사각형으로 나눕니다. 기울어진 정사각형의 변이 바로 직각삼각형의 빗변 $c$ 이므로 가운데 넓이는 $c^2$ 입니다.
자르기 2: 같은 삼각형 네 개를 둘씩 붙여 $a \times b$ 직사각형 두 개를 만들고 큰 정사각형의 두 모서리에 놓으면, 남는 것은 정확히 $a \times a$ 정사각형 하나와 $b \times b$ 정사각형 하나이고 넓이는 $a^2 + b^2$ 입니다.

두 방법에 쓰인 삼각형 네 개가 완전히 같고 큰 정사각형도 같으므로, 남는 넓이도 같아야 합니다: $c^2 = a^2 + b^2$ .

그림 2: 같은 (a+b)²의 두 가지 자르기. 네 삼각형이 같으므로 c² = a² + b²

유클리드 《원론》 제1권 명제 47은 다른 증명을 제시합니다. 세 변에 바깥쪽으로 정사각형을 세우고 작은 두 정사각형의 넓이 합이 큰 정사각형의 넓이와 같음을 보이는 방식입니다. 명제 48은 역정리를 증명합니다. 삼각형이 $a^2 + b^2 = c^2$ 을 만족하면 그 삼각형은 반드시 직각삼각형입니다. 역정리는 공사 현장에서 「3-4-5로 직각을 잡는」 근거입니다. 길이 3, 4, 5를 재어 만든 삼각형의 끼인각은 정확히 90°입니다.

사실은 「거리」의 정의

직각좌표계에서 $(x_1, y_1)$ 에서 $(x_2, y_2)$ 로 가는 두 변위 $\Delta x$ , $\Delta y$ 는 서로 수직이므로 두 점 사이의 직선거리가 빗변입니다: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . 이것이 두 점 사이 거리 계산기의 공식이고, 3차원으로 확장하는 것은 피타고라스를 한 번 더 쓰는 것과 같습니다(먼저 밑면의 대각선을 구하고, 그것과 높이로 새 직각삼각형을 만듭니다). 벡터의 크기, 복소수의 절댓값, 통계의 표준편차(편차 제곱합의 제곱근)도 모두 같은 식입니다.

코사인 법칙과의 관계

임의의 삼각형에서 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ 입니다. 끼인각 $C = 90°$ 이면 $\cos C = 0$ 이 되어 마지막 항이 사라지고 피타고라스 정리로 퇴화합니다. 따라서 피타고라스 정리는 코사인 법칙의 직각 특수형입니다. 반대로 $c^2$ 과 $a^2 + b^2$ 의 대소 관계로 끼인각이 예각( $c^2 < a^2+b^2$ )인지 둔각( $c^2 > a^2+b^2$ )인지 판단할 수 있습니다.

피타고라스 수

세 변이 모두 정수인 직각삼각형을 피타고라스 수 조합(피타고라스 삼원조)이라 합니다. 가장 작은 몇 가지는 다음과 같습니다.

$(a, b, c)$	검산
(3, 4, 5)	$9 + 16 = 25$
(5, 12, 13)	$25 + 144 = 169$
(8, 15, 17)	$64 + 225 = 289$
(7, 24, 25)	$49 + 576 = 625$
(20, 21, 29)	$400 + 441 = 841$

유클리드 공식은 모든 원시 피타고라스 수를 생성합니다. 서로소이고 홀짝이 다른 양의 정수 $m > n$ 을 잡고 $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ , $c = m^2 + n^2$ 으로 두면 됩니다. $m = 2, n = 1$ 은 (3, 4, 5)를, $m = 3, n = 2$ 는 (5, 12, 13)을 줍니다. 어떤 피타고라스 수든 비례해서 키워도 여전히 피타고라스 수입니다. (6, 8, 10), (0.3, 0.4, 0.5)도 계산기에서 깔끔한 결과를 냅니다.

역사

바빌로니아 점토판 플림프턴 322(기원전 1800년경)에는 이미 많은 피타고라스 수가 적혀 있습니다. 중국의 《주비산경》에는 「구삼고사현오」가 실려 있고, 《구장산술》의 「구고」 장은 피타고라스 정리로 문제를 푸는 방법을 체계적으로 제시했으며, 조상(趙爽)이 주석을 달며 그린 「현도(弦圖)」가 바로 위의 퍼즐 증명입니다. 피타고라스 학파(기원전 6세기경)가 최초의 일반적 증명을 제시한 것으로 여겨지며, $\sqrt{2}$ 의 발견으로 분수로 쓸 수 없는 길이가 존재한다는 사실도 알게 되었습니다. 「구(勾)」와 「고(股)」는 직각삼각형 두 직각변의 옛 이름이고(짧은 변이 구, 긴 변이 고), 「현(弦)」은 빗변입니다.

평면에서만 성립

피타고라스 정리는 유클리드 평면기하학의 정리입니다. 구면에서는 서로 수직인 두 대원호 $a$ , $b$ 와 세 번째 변 $c$ 가 $\cos c = \cos a \cos b$ 를 만족하며(단위구), 세 변이 구의 반지름보다 훨씬 작을 때만 $a^2 + b^2 = c^2$ 로 근사해 돌아옵니다. 지도에서 수십 킬로미터 안에서는 피타고라스를 안심하고 써도 되지만, 대륙을 넘는 거리에는 구면 공식을 써야 합니다.

가정

정말 직각삼각형임: $a$ 와 $b$ 의 끼인각이 정확히 90°입니다. 각도가 몇 도만 어긋나도 빗변은 $\sqrt{a^2+b^2}$ 에서 벗어납니다(코사인 법칙으로 편차를 어림할 수 있습니다).
평면기하: 세 변이 같은 평면 안에 있고 그 평면이 유클리드 평면입니다. 곡면(지구 표면의 넓은 범위)에서는 성립하지 않습니다.
같은 단위: 세 변을 같은 길이 단위로 입력하며, 넓이 단위는 자동으로 그 단위의 제곱이 됩니다.
양의 유한 실수: 변의 길이는 양수입니다. 엔진은 음수나 0을 막지 않지만, 0이나 음수 변 길이는 기하학적 의미가 없습니다.
넓이 기준: 넓이는 입력된 두 직각변으로만 계산합니다. 역산 모드에서는 넓이 필드가 0으로 표시되지만 넓이가 0이라는 뜻이 아닙니다.

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: 두 변을 아는 임의의 직각삼각형의 나머지 한 변과 넓이, 직각변 역산 포함. 결과는 소수점 이하 8자리까지(뒤쪽 0 제거) 표시합니다.
근사만 가능: 측정값 자체에 오차가 있으면 결과의 오차는 대략 $\Delta c \approx (a\,\Delta a + b\,\Delta b)/c$ 입니다. 표시되는 8자리가 측정 정밀도를 뜻하지 않습니다.
계산할 수 없음: 직각이 아닌 삼각형(코사인 법칙 사용), 한 변과 한 각만 아는 경우(삼각함수 사용), 구면이나 곡면 위의 「삼각형」.
하지 않음: 세 변이 삼각형 부등식을 만족하는지 판단하지 않고, 단위 환산을 하지 않으며, 각도를 출력하지 않습니다.
수치: 매우 큰 값(예: $10^{200}$ )은 제곱하면 무한대로 넘칩니다. 엔진은 수치적으로 더 안정적인 hypot 대신 $a^2 + b^2$ 을 직접 쓰며, 일상적인 크기에서는 영향이 없습니다.

흔한 오해

빗변을 직각변 필드에 입력: 빗변은 언제나 가장 긴 변이고 직각을 마주 봅니다. 5를 a에, 3을 b에 넣어 얻은 「빗변」 5.83은 원래 삼각형의 어느 변도 아닙니다.
역산할 때 빗변을 직각변보다 짧게 입력: $c^2 - b^2$ 이 음수가 되어 결과가 비어 있습니다. 어느 변이 빗변인지 먼저 확인하십시오.
두 변의 단위가 다름: 하나는 미터, 하나는 센티미터로 넣으면 결과가 무의미합니다. 단위를 먼저 통일하십시오.
제곱근을 빼먹음: $3^2 + 4^2 = 25$ 는 $c^2$ 이지 $c$ 가 아닙니다. 계산기는 제곱근을 이미 취하지만, 손으로 계산할 때 가장 자주 빠뜨리는 단계입니다.
직각이 아닌 삼각형에 사용: 이등변삼각형이나 임의의 삼각형의 세 번째 변은 직각이 있음을 먼저 증명하지 않는 한 이 정리로 구할 수 없습니다.
역산 모드의 넓이 0: 「가정」을 보십시오. 그것은 엔진의 기준이지 삼각형의 넓이가 0이라는 뜻이 아닙니다.
「27인치」를 가로로 착각: 화면과 TV의 공칭 크기는 대각선입니다. 가로와 세로는 피타고라스 정리와 화면비로 역산해야 합니다.

대표적인 활용 사례

교육: 수에서 도형으로

먼저 몇 가지 피타고라스 수(3-4-5, 5-12-13)를 넣어 정수 결과를 보고, 1-1을 넣어 $\sqrt{2}$ 를 본 다음, $a$ 를 고정하고 $b$ 를 키우며 빗변이 어떻게 $b$ 에 다가가는지 관찰합니다. 제곱합, 제곱근, 극한을 직관적으로 체감할 수 있습니다.

공사와 인테리어: 직각 잡기와 대각선 재기

바닥에서 3 m, 4 m를 재고 대각선이 정확히 5 m면 직각입니다. 타일을 깔거나 붙박이장을 만들 때 대각선을 재어 반듯한지 확인합니다. 반대로 방의 가로와 세로를 알고 계산기로 대각선 길이를 구해, 통판 자재를 비스듬히 들여놓을 수 있는지 판단합니다.

화면과 화면비

픽셀 가로·세로로 대각선 픽셀 수를 구하거나(공칭 크기와 함께 픽셀 밀도 PPI 계산), 대각선 인치와 화면비를 알고 실제 가로·세로를 역산합니다.

좌표와 내비게이션

평면 직각좌표 위 두 점의 직선거리, 로봇 두 축 변위의 합성 변위, 회로의 임피던스 삼각형(저항, 유도 리액턴스, 임피던스)이 모두 피타고라스 정리의 직접적인 응용입니다.

자주 묻는 질문

한 변과 한 각만 알아도 계산할 수 있나요?

이 계산기로는 안 됩니다. 두 변이 필요합니다. 한 변과 한 예각이 있으면 삼각함수를 씁니다. 대변 = 빗변 × sin(각), 인접변 = 빗변 × cos(각)입니다.

세 변을 모두 알 때 직각삼각형인지 어떻게 판단하나요?

가장 긴 변을 $c$ 로 두고 $a^2 + b^2$ 이 $c^2$ 과 같은지 확인합니다(측정 오차를 고려해 아주 작은 차이는 허용). 같으면 직각(역정리)이고, 작으면 둔각, 크면 예각입니다.

결과에 왜 이렇게 소수 자리가 많나요?

대부분의 직각삼각형에서 빗변은 무리수이고 소수 자리가 무한히 반복되지 않습니다. 화면은 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 실제로 쓸 때는 측정 정밀도에 맞추어 반올림하면 됩니다.

역산할 때 넓이가 왜 0으로 표시되나요?

엔진은 입력된 두 직각변으로만 넓이를 계산하고 역산한 변은 다시 채우지 않습니다. 역산 결과를 직접 직각변 필드에 넣고 빗변을 비우면 넓이가 올바르게 표시됩니다.

음수를 입력하면 어떻게 되나요?

제곱하면 부호가 사라져 빗변 결과는 양수와 같지만 넓이는 음수가 됩니다. 음수 변 길이는 기하학적 의미가 없으니 양수를 입력하십시오.

3차원 대각선은 어떻게 계산하나요?

먼저 밑면의 두 변으로 밑면 대각선을 구하고, 그것과 높이를 새로운 두 직각변으로 삼아 한 번 더 계산합니다. 또는 두 점 사이 거리 계산기에 3차원 좌표를 직접 넣습니다.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 pythagorean 정의(compute(known, solveFor)가 a / b / c 세 방향 해법과 넓이를 지원); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Euclid, Elements, Book I, Proposition 47과 Proposition 48, D. E. Joyce 편주판, Clark University（访问日期：2026-09-08）—정리와 역정리의 고전적 증명.
Wikipedia, Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08）—여러 증명, 일반화와 역사.
Wikipedia, Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08）—유클리드 생성 공식과 원시 삼원조.
Wikipedia, Zhoubi Suanjing（访问日期：2026-09-08）—《주비산경》과 「구삼고사현오」.
《구장산술》 권9 「구고」와 유휘의 주, 조상(趙爽)의 《주비산경주》「구고원방도」—현도(弦圖) 증명의 중국 고전 원전.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Euclid, Elements, Book I, Proposition 47(D. E. Joyce 판, Clark University; 访问日期：2026-09-08) (资料日期: 2026-09-08)
Wikipedia: Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08） (资料日期: 2026-09-08)
Wikipedia: Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08） (资料日期: 2026-09-08)
Wikipedia: Zhoubi Suanjing(《주비산경》, 访问日期：2026-09-08) (资料日期: 2026-09-08)