사다리꼴 넓이 계산기: 윗변·아랫변과 높이, 높이·윗변 역산

계산기 설명

사다리꼴 넓이 계산기는 사다리꼴의 두 평행변(윗변 $a$ , 아랫변 $b$ )과 그 사이의 수직 거리(높이 $h$ )로 넓이 $A = (a + b)\,h / 2$ 를 구합니다. 반대로 넓이와 나머지 두 양을 알면 높이나 윗변을 역산할 수도 있습니다.

사다리꼴은 「한 쌍의 대변이 평행한」 사각형으로, 실생활에서 직사각형보다 더 흔합니다. 하천과 도랑의 단면, 지붕의 옆면, 사다리 모양의 토지, 계단 디딤판의 측면, 제방의 단면, 원뿔대의 전개면이 모두 사다리꼴입니다. 두 평행선으로 잘라낸 어떤 영역이든 넓이는 「두 평행변 길이의 평균 × 높이」입니다.

하지 않는 일: 두 빗변(다리)의 길이는 필요로 하지도, 받지도 않습니다. 넓이는 다리와 무관하기 때문입니다. 주어진 세 수로 어떤 구체적인 사다리꼴이 만들어지는지 판단하지 않고, 둘레도 구하지 않으며(다리 길이가 필요), 단위 환산도 하지 않습니다.

공식과 변수

사다리꼴의 넓이는 두 평행변 길이의 평균에 높이를 곱한 값입니다:

A = \frac{(a + b)\,h}{2} = m\,h,\qquad m = \frac{a + b}{2}

$m$ 을 중간선(두 다리의 중점을 연결한 선분)이라고 하며, 두 밑변과 평행하고 길이는 두 밑변의 평균입니다. 역산:

h = \frac{2A}{a + b},\qquad a = \frac{2A}{h} - b

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$a$	윗변(한 평행변)	윗변 a	길이	$a \ge 0$ ; 기본값 4; $a = 0$ 이면 삼각형으로 퇴화; 넓이로 역산 가능
$b$	아랫변(다른 평행변)	아랫변 b	길이	$b > 0$ ; 기본값 8; 어느 쪽을 윗변이라 불러도 결과는 같음
$h$	높이: 두 평행변 사이의 수직 거리	높이 h	길이	$h > 0$ ; 기본값 5; 다리 길이가 아님; 넓이로 역산 가능
$m$	중간선 길이	(중간값)	길이	$(a + b)/2$
$A$	넓이	넓이 A	길이²	출력; 입력으로 넣으면 $h$ 나 $a$ 를 역산

세 길이는 같은 단위이고, 넓이는 그 단위의 제곱입니다.

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 사다리꼴 계산기」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.trapezoid)에 대응합니다. 열면 윗변 a = 4, 아랫변 b = 8이 채워져 있고 높이 h는 비어 있어 0으로 계산되므로 초기 넓이가 0으로 표시됩니다. 먼저 높이를 채우십시오(기본 예시는 5).
넓이 구하기세 길이를 모두 채우면 「넓이 A」가 「계산」 표시와 함께 실시간으로 갱신되며, 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다.
넓이로 높이 역산「높이 h」를 비우고 「넓이 A」에 넓이를 넣은 뒤 a, b를 남겨 두면 높이가 「계산」으로 바뀝니다.
넓이로 윗변 역산「윗변 a」를 비우고 넓이, 아랫변, 높이를 채우면 윗변이 「계산」으로 바뀝니다. 아랫변을 역산하려면 알고 있는 평행변을 「윗변 a」에 넣으면 됩니다. 두 밑변은 대칭이라 공식이 같습니다.
다리가 아니라 높이를 재기높이는 두 평행변 사이의 수직 거리입니다. 다리 길이 $c$ 와 그것이 밑변과 이루는 각 $\alpha$ 만 측정했다면 $h = c\sin\alpha$ 이고, 등변사다리꼴에서는 피타고라스 정리로 $h = \sqrt{c^2 - \big((b-a)/2\big)^2}$ 도 됩니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 trapezoid의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.

예 1: 패널 기본값 4, 8, 5

두 밑변의 합 $a + b = 12$ , 중간선 $m = 6$ .
$A = 12 \times 5 / 2 = 30$ .

화면 표시: 넓이 30. 등변사다리꼴이라면 각 다리 길이는 $\sqrt{5^2 + 2^2} = 5.385$ 이지만 넓이에는 쓰이지 않습니다.

그림 1: 예 1과 그 유도. 같은 사다리꼴 두 개가 정확히 평행사변형 하나를 이룬다

예 2: 소수 — 3.5, 6.5, 2

$a + b = 10$ , $m = 5$ .
$A = 10 \times 2 / 2 = 10$ .

화면 표시: 넓이 10. 폭 2 m, 양쪽 기슭이 각각 3.5 m와 6.5 m인 도랑의 단면이 바로 이 값입니다(단위 m²).

예 3: 넓이로 높이 역산

넓이 30 m², 두 평행변이 4 m와 8 m인 사다리꼴 모양 토지에서 두 변은 얼마나 떨어져 있을까요? 높이를 비우고 넓이 30, a = 4, b = 8을 입력합니다.

$h = 2A/(a + b) = 60/12 = 5$ .

화면 표시: 높이 5.

예 4: 넓이로 윗변 역산

넓이 48, 아랫변 10, 높이 6일 때 윗변은 얼마일까요? 윗변을 비우고 넓이 48, b = 10, h = 6을 입력합니다.

$a = 2A/h - b = 96/6 - 10 = 16 - 10 = 6$ .

화면 표시: 윗변 6. 넓이를 10으로 바꾸면(나머지는 그대로) 결과는 $20/6 - 10 = -6.67$ 입니다. 음수는 그런 사다리꼴이 존재하지 않는다는 뜻입니다. 밑변 10, 높이 6인 삼각형의 넓이가 이미 30이므로 사다리꼴의 넓이가 그보다 작을 수는 없습니다.

예 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. 윗변을 8로 바꾸면 넓이가 40(평행사변형), 0으로 바꾸면 20(삼각형)이 됩니다.

원리와 유도

퍼즐: 사다리꼴 두 개 = 평행사변형 하나

사다리꼴을 하나 더 복사해 180° 돌려 한쪽 다리를 따라 옆에 붙이면 두 윗변과 아랫변이 이어져 밑변이 $a + b$ , 높이가 그대로 $h$ 인 평행사변형이 됩니다(그림 1 오른쪽). 평행사변형의 넓이는 밑변 × 높이 $= (a + b)h$ 이고, 사다리꼴은 그 절반이므로 $A = (a + b)h/2$ 입니다.

분할: 대각선 하나로 삼각형 두 개

대각선을 따라 사다리꼴을 두 삼각형으로 자르면 밑변이 각각 $a$ 와 $b$ , 높이가 모두 $h$ (두 밑변 사이의 거리)입니다: $A = \tfrac12 ah + \tfrac12 bh = \tfrac12(a + b)h$ . 이 관점은 다리 길이가 왜 상관없는지 설명해 줍니다. 윗변을 평행 방향으로 좌우로 밀어도 두 삼각형의 밑변과 높이는 변하지 않으므로 넓이도 그대로입니다. 이를 전단 불변성(카발리에리 원리의 평면판)이라고 합니다.

중간선: 사다리꼴을 「펼쳐」 직사각형으로

두 다리의 중점을 연결한 선분을 중간선이라 하고 길이는 $m = (a + b)/2$ 입니다. 중간선 높이를 따라 위쪽 절반의 좌우 모서리 삼각형을 잘라 뒤집어 아래쪽 양옆에 붙이면 사다리꼴이 $m \times h$ 직사각형이 됩니다. 그래서 $A = m h$ 입니다. **사다리꼴의 넓이는 「평균 폭 × 높이」**입니다. 불규칙한 토지의 넓이를 어림할 때 폭을 몇 군데 재어 평균을 내고 길이를 곱하는 것도 이 직관입니다.

사다리꼴 공식: 사다리꼴로 곡선 아래 넓이 근사하기

함수 곡선 아래 영역을 폭 $\Delta x$ 의 좁은 조각으로 나누고, 각 조각을 사다리꼴로 근사해 더하면 사다리꼴 공식이 됩니다:

\int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx \approx \Delta x \left[\tfrac12 f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + \tfrac12 f(x_n)\right]

공학과 과학에서의 수치 적분, 이산 측정점(수심, 유속, 출력)으로 총량을 추정하는 일은 본질적으로 $(a + b)h/2$ 를 거듭 쓰는 것입니다. 오차는 $\Delta x^2$ 과 함수의 이계도함수에 비례합니다. 곡선이 더 굽고 보폭이 클수록 사다리꼴과 곡선의 차이가 커집니다.

사다리꼴과 다른 사각형

직사각형, 정사각형, 평행사변형은 모두 「한 쌍의 대변이 평행」합니다. 포함식 정의(영미 교과서와 이 계산기가 채택)에서는 이들도 사다리꼴의 특례이고 공식이 자동으로 적용됩니다(예의 극단적 경우). 배제식 정의(중국 본토 교과서: 한 쌍만 평행)에서는 사다리꼴로 치지 않지만 넓이 공식은 여전히 성립합니다. 공식은 명칭에 관심이 없습니다. 용어도 주의하십시오. 미국식 영어 trapezoid = 사다리꼴이고, 영국식 영어에서는 trapezium이 사다리꼴, trapezoid는 평행변이 없는 사각형을 뜻합니다.

등변사다리꼴과 다리 길이

두 다리의 길이가 같은 사다리꼴을 등변사다리꼴이라고 합니다. 다리, 높이, 두 밑변 차의 절반이 직각삼각형을 이룹니다: $c^2 = h^2 + \big((b - a)/2\big)^2$ . 따라서 다리 길이로 높이를 구할 수 있고(「이 계산기에서 계산하는 방법」 5단계), 높이로 다리를 구할 수 있습니다. 일반적인 사다리꼴은 두 다리가 다르므로 각각의 끼인각을 알아야 높이를 구할 수 있습니다.

가정

$a$ 와 $b$ 가 평행: 공식은 두 평행변에만 성립합니다. 평행하지 않은 두 변의 평균은 의미가 없습니다.
$h$ 는 수직 거리: 높이는 반드시 두 밑변에 수직이어야 합니다. 다리 길이를 넣으면 넓이가 커집니다(다리 ≥ 높이).
평면 도형: 사다리꼴은 한 평면 위에 있습니다. 공간에서 「비틀린 사각형」에는 적용되지 않습니다.
같은 단위: 세 길이가 같은 단위이고, 넓이는 그 제곱입니다.
음이 아닌 길이: 엔진이 음수를 막지는 않지만 음수 길이는 기하학적 의미가 없습니다. 역산한 윗변이 음수라면 주어진 넓이가 너무 작다는 뜻입니다.
세 필드를 모두 채울 것: 패널은 처음에 a, b만 채워져 있고 높이는 비어 0으로 계산됩니다. a를 역산할 때 높이가 비어 있으면 엔진은 1로 계산하므로 결과가 의미 없습니다.

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: 임의의 사다리꼴(평행사변형, 직사각형, 삼각형 등 퇴화한 경우 포함)의 넓이; 넓이로 높이나 평행변 하나를 역산. 결과는 소수점 이하 최대 8자리.
근사만 가능: 측정값에 오차가 있으면 넓이 오차는 대략 $\Delta A \approx \tfrac{h}{2}(\Delta a + \Delta b) + \tfrac{a+b}{2}\Delta h$ 입니다.
계산할 수 없음: 둘레(다리 길이 필요), 다리 길이로 넓이를 바로 구하기(높이를 먼저 계산), 불규칙 사각형(삼각형으로 나누거나 좌표법 사용), 3차원 원뿔대의 부피(원기둥/원뿔 또는 각뿔대 공식 사용).
하지 않음: 주어진 길이로 사다리꼴이 만들어지는지 판단, 아랫변 역산(대칭이므로 알고 있는 밑변을 「윗변」에 넣으면 됨), 단위 환산.
수치: $a + b = 0$ 일 때 높이 역산은 0으로 나누게 되어 ∞가 표시됩니다.

흔한 오해

다리 길이를 높이로 쓰기: 높이는 두 밑변 사이의 수직 거리입니다. 다리 5.385, 높이 5인 사다리꼴에서 다리로 계산하면 넓이가 30에서 32.31이 됩니다.
2로 나누는 것을 잊기: $(a + b)h$ 는 사다리꼴 두 개(평행사변형 하나)의 넓이입니다.
밑변 하나에만 높이를 곱하기: $bh$ 는 평행사변형입니다. 사다리꼴은 두 밑변의 평균을 써야 합니다.
단위 혼용: 밑변은 미터, 높이는 센티미터로 넣으면 결과가 100배 틀립니다.
패널을 열자마자 넓이를 읽기: 처음에는 높이가 비어 있어 넓이 0은 결과가 아닙니다. 높이를 먼저 채우십시오.
평행하지 않은 변에 공식 쓰기: 일반 사각형에는 이렇게 간단한 넓이 공식이 없습니다. 어느 두 변이 평행한지 먼저 확인하십시오.
역산한 음수를 답으로 받아들이기: 음수 윗변은 넓이와 나머지 두 양이 모순된다는 뜻이니 입력을 확인하십시오.

대표적인 활용 사례

교육: 직사각형에서 사다리꼴, 다시 삼각형까지

b = 8, h = 5로 고정하고 a를 8에서 0까지 줄여 보십시오. 넓이가 40(평행사변형)에서 20(삼각형)까지 선형으로 줄어들고, 그 사이 매 단계가 사다리꼴입니다. 「넓이 = 평균 폭 × 높이」를 직관적으로 느낄 수 있습니다.

도랑, 하천과 제방의 단면

사다리꼴은 가장 흔한 수로 단면입니다. 윗폭 3.5 m, 밑폭 6.5 m(또는 반대), 수심 2 m인 단면적은 10 m²이고 유속을 곱하면 유량이 됩니다. 제방의 단면적에 길이를 곱하면 토공량이 됩니다.

토지와 지붕

두 변은 평행하고 나머지 두 변은 평행하지 않은 땅은 두 평행변과 그 사이의 거리를 재면 넓이를 얻습니다. 경사 지붕의 양쪽 사다리꼴 패널도 같은 방법으로 기와나 판재의 소요량을 어림합니다.

데이터의 근사 적분

시간에 따라 기록한 출력, 유속, 속도의 인접한 두 점 사이 「넓이」를 사다리꼴로 근사해 더하면 총에너지, 총부피, 총변위가 됩니다. 사다리꼴 공식의 가장 일상적인 형태입니다.

자주 묻는 질문

어느 변이 윗변, 어느 변이 아랫변인지 중요한가요?

중요하지 않습니다. 공식은 두 평행변에 대해 대칭이라 a와 b를 바꿔도 결과가 같습니다. 역산할 때는 알고 있는 밑변을 「윗변 a」에 넣으면 다른 쪽을 구할 수 있습니다.

네 변의 길이만 알아도 넓이를 구할 수 있나요?

이 계산기는 못 합니다. 네 변이 정해지면 사다리꼴은 유일하지만(두 밑변과 두 다리가 주어지면 높이를 풀 수 있습니다), 먼저 기하학적 관계로 높이를 계산해야 합니다. 사다리꼴을 평행사변형 하나와 삼각형 하나로 자른 뒤 헤론의 공식으로 삼각형의 넓이를 구하고 밑변으로 나누면 높이가 나옵니다.

왜 패널을 열면 넓이가 0인가요?

높이 필드가 비어 있어 0으로 계산되기 때문입니다. 높이를 넣으면 됩니다.

평행사변형과 삼각형도 이 계산기로 되나요?

됩니다. a = b이면 평행사변형의 넓이 bh, a = 0이면 삼각형의 넓이 bh/2가 나옵니다.

역산한 윗변이 음수라는 것은 무슨 뜻인가요?

주어진 넓이가 같은 밑변과 높이의 삼각형보다도 작다는 뜻이므로 그런 사다리꼴은 존재하지 않습니다. 넓이, 아랫변, 높이를 확인하십시오.

사다리꼴 공식과 이 공식은 무슨 관계인가요?

사다리꼴 공식은 곡선 아래 영역을 폭이 좁은 사다리꼴 여러 개로 나누어 $(a + b)h/2$ 로 각각의 넓이를 구해 더합니다. 여기서 $a$ , $b$ 는 인접한 두 점의 함수값이고 $h$ 는 보폭입니다.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 trapezoid 정의( $A = (a+b)h/2$ , area로 h와 a를 역산); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Wikipedia, Trapezoid（访问日期：2026-09-08）—정의 논쟁(포함식/배제식, 영미 용어), 넓이, 중간선과 다른 성질.
Wikipedia, Trapezoidal rule（访问日期：2026-09-08）—사다리꼴 공식과 오차 분석.
Wolfram MathWorld, Trapezoid（访问日期：2026-09-08）—넓이, 중간선, 대각선 공식.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §7.7 “Approximate Integration”—사다리꼴 공식의 유도와 오차 한계.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Trapezoid（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Trapezoidal rule（访问日期：2026-09-08）
Wolfram MathWorld: Trapezoid（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §7.7 “Approximate Integration”