원기둥·원뿔 계산기: 부피·겉넓이·모선·반지름 역산

원기둥과 원뿔 계산기는 「밑면과 높이가 같은」 두 회전체를 한 패널에 담았습니다. 밑면 반지름 r과 높이 h를 입력하면 원기둥 부피 \pi r^2 h, 원기둥 겉넓이 2\pi r(r+h), 원뿔 부피 \tfrac13 \pi r^2 h, 원뿔 겉넓이 \pi r(r + l)를 한 번에 얻습니다. 여기서 모선 l = \sqrt{r^2 + h^2}은 엔진이 자동으로 구합니다. 원기둥 부피와 높이를 알면 반지름을 역산할 수도 있습니다.

원기둥·원뿔 계산기: 부피·겉넓이·모선·반지름 역산

계산기 설명

원기둥과 원뿔 계산기는 「밑면과 높이가 같은」 두 회전체를 한 패널에 담았습니다. 밑면 반지름 $r$ 과 높이 $h$ 를 입력하면 원기둥 부피 $\pi r^2 h$ , 원기둥 겉넓이 $2\pi r(r+h)$ , 원뿔 부피 $\tfrac13 \pi r^2 h$ , 원뿔 겉넓이 $\pi r(r + l)$ 를 한 번에 얻습니다. 여기서 모선 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ 은 엔진이 자동으로 구합니다. 원기둥 부피와 높이를 알면 반지름을 역산할 수도 있습니다.

물컵, 음료 캔, 수도관, 유조, 곡물 저장고의 원기둥 부분은 원기둥이고, 깔때기, 아이스크림 콘, 원뿔형 라바콘, 저장고의 원뿔 지붕은 원뿔입니다. 둘은 같은 밑면 원을 공유하므로 함께 계산하는 것이 가장 편합니다. 예컨대 저장고의 용적은 「원기둥 부피 + 원뿔 부피」이므로 같은 $r$ , $h$ 로 각각 계산해 더하면 됩니다.

하지 않는 일: 기울어진 원기둥, 기울어진 원뿔(부피 공식은 여전히 성립하지만 겉넓이 공식은 성립하지 않습니다), 원뿔대(잘린 원뿔), 속이 빈 관의 벽 두께 부피를 다루지 않고, 단위 환산도 하지 않습니다. 반지름과 높이에 어떤 길이 단위를 쓰든 부피는 그 단위의 세제곱, 넓이는 제곱입니다.

공식과 변수

V_{\text{원기둥}} = \pi r^2 h,\qquad S_{\text{원기둥}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)

V_{\text{원뿔}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\qquad l = \sqrt{r^2 + h^2},\qquad S_{\text{원뿔}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r\,(r + l)

원기둥 부피에서 반지름 역산:

r = \sqrt{\frac{V_{\text{원기둥}}}{\pi h}}

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$r$	밑면 반지름	반지름 r	길이	$r > 0$ ; 기본값 3. 지름이 아니라 반지름임에 주의
$h$	높이(축 방향)	높이 h	길이	$h > 0$ ; 기본값 10. 원뿔의 높이는 꼭짓점에서 밑면 중심까지의 수직거리이며 모선이 아님
$V_{\text{원기둥}}$	원기둥 부피	원기둥 부피	길이³	출력; 역산 모드에서는 입력으로 사용
$S_{\text{원기둥}}$	원기둥 겉넓이	원기둥 겉넓이	길이²	출력, 위아래 두 밑면 포함
$V_{\text{원뿔}}$	원뿔 부피	원뿔 부피	길이³	출력, 밑면과 높이가 같은 원기둥의 $\tfrac13$
$S_{\text{원뿔}}$	원뿔 겉넓이	원뿔 겉넓이	길이²	출력, 밑면 하나 포함
$l$	모선(빗변 높이)	(표시되지 않음)	길이	꼭짓점에서 밑면 둘레까지의 거리, $l = \sqrt{r^2+h^2}$ , 피타고라스 정리로 얻음
$2\pi r h$	원기둥 옆넓이	(표시되지 않음)	길이²	$2\pi r \times h$ 직사각형으로 전개됨
$\pi r l$	원뿔 옆넓이	(표시되지 않음)	길이²	반지름 $l$ , 호의 길이 $2\pi r$ 인 부채꼴로 전개됨

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 원기둥 / 원뿔」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone)에 대응합니다. 열면 「반지름 r」= 3, 「높이 h」= 10이 채워져 있고 「계산」 표시가 붙은 네 결과 필드가 함께 표시됩니다.
부피와 겉넓이 구하기반지름과 높이를 고치면 네 결과가 실시간으로 갱신됩니다. 지름을 쟀다면 2로 나눈 뒤 입력하십시오.
원기둥 부피에서 반지름 역산「반지름 r」을 비우고 「원기둥 부피」에 알려진 부피를 넣은 채 「높이 h」를 남겨 두면 반지름 필드가 「계산」으로 바뀌어 $\sqrt{V/(\pi h)}$ 를 줍니다. 이때 나머지 세 필드는 0으로 표시되는데, 엔진이 비어 있는 반지름을 0으로 계산한 기준일 뿐 결과가 아닙니다. 역산한 반지름을 「반지름 r」에 되돌려 넣고 부피 필드를 비우면 네 수를 모두 볼 수 있습니다.
일부만 필요할 때「원기둥 옆넓이」가 필요하면 겉넓이에서 두 밑면 $2\pi r^2$ 을 빼고, 「원뿔 옆넓이」가 필요하면 원뿔 겉넓이에서 밑면 하나 $\pi r^2$ 을 빼며, 「뚜껑 없는 원기둥」(양동이)은 밑면 하나를 뺍니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 부피 단위는 길이 단위의 세제곱, 겉넓이는 제곱입니다. 1 m³ = 1000 L, 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL.
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3을 클립보드에 복사합니다.

계산 예

네 가지 계산 예는 모두 엔진 cylinder-cone의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.

예 1: 기본 입력 r = 3, h = 10

입력: $r = 3$ , $h = 10$ .

밑넓이 $\pi r^2 = 9\pi = 28.27433388$ .
원기둥 부피 $V_{\text{원기둥}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882$ .
원기둥 겉넓이 $S_{\text{원기둥}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698$ .
원뿔 부피 $V_{\text{원뿔}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961$ .
모선 $l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651$ ; 원뿔 겉넓이 $S_{\text{원뿔}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457$ .

화면 표시: 원기둥 부피 282.74333882, 원기둥 겉넓이 245.04422698, 원뿔 부피 94.24777961, 원뿔 겉넓이 126.67190457. 따로 보면 원뿔 옆넓이 $\pi r l = 98.39757069$ 이고, 부채꼴로 전개했을 때의 중심각은 $360^\circ \times r/l = 103.45^\circ$ 입니다.

예 2: r = 3, h = 4 — 3-4-5 원뿔

입력: $r = 3$ , $h = 4$ .

$V_{\text{원기둥}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553$ .
$S_{\text{원기둥}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145$ : 옆넓이 $24\pi = 75.39822369$ 에 두 밑면 $18\pi = 56.54866776$ 을 더한 값.
$V_{\text{원뿔}} = 12\pi = 37.69911184$ .
$l = \sqrt{9 + 16} = 5$ (피타고라스 수 3-4-5), $S_{\text{원뿔}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369$ .

화면 표시: 원기둥 부피 113.09733553, 원기둥 겉넓이 131.94689145, 원뿔 부피 37.69911184, 원뿔 겉넓이 75.39822369. 재미있는 우연: 이 원뿔의 겉넓이 $24\pi$ 가 원기둥의 옆넓이 $2\pi r h = 24\pi$ 와 정확히 같습니다. 원뿔 옆넓이 $\pi r l = 15\pi = 47.12388980$ 은 반지름 5인 부채꼴로 전개되고, 호의 길이는 밑면 둘레 $6\pi$ , 중심각은 $= 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ$ 입니다.

그림 1: 예 1의 원기둥과 예 2의 원뿔. 원뿔의 옆면을 전개하면 부채꼴이 됩니다. 반지름은 모선 l, 호의 길이는 밑면 둘레 2πr이므로 옆넓이 = ½ · 2πr · l = πrl

예 3: 용적 1000, 높이 10이 주어졌을 때 반지름 역산

입력: 원기둥 부피 $V_{\text{원기둥}} = 1000$ , $h = 10$ (반지름 비움).

$r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584$ .

화면 표시: 반지름 r 5.64189584; 원기둥 겉넓이, 원뿔 부피, 원뿔 겉넓이는 모두 0으로 표시됩니다(3단계의 기준 설명 참고). 5.64189584를 반지름에 되돌려 넣고 부피 필드를 비우면 화면에 원기둥 부피 1000.0000016(소수점 이하 8자리 반지름을 되돌려 넣어 생긴 반올림 꼬리), 원기둥 겉넓이 554.49077079, 원뿔 부피 333.33333387, 원뿔 겉넓이 303.50903342가 표시됩니다. 단위가 cm라면 용적 1 L, 높이 10 cm, 지름 약 11.3 cm인 컵입니다.

예 4: 같은 부피, 다른 모양

입력: $r = 6$ , $h = 2.5$ .

$V_{\text{원기둥}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882$ —예 1과 완전히 같습니다. $36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90$ 이기 때문입니다.
$S_{\text{원기둥}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067$ 으로, 예 1의 $78\pi$ 보다 31% 큽니다.
$l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ , $S_{\text{원뿔}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902$ .

화면 표시: 원기둥 부피 282.74333882, 원기둥 겉넓이 320.44245067, 원뿔 부피 94.24777961, 원뿔 겉넓이 235.61944902. 같은 90π 단위 부피를 담아도 뚱뚱하고 낮은 통이 재료를 더 씁니다. 이것이 포장 설계의 「같은 부피일 때 어떻게 재료를 가장 아끼는가」 문제의 출발점입니다(답은 $h = 2r$ , FAQ 참고).

수도관도 보겠습니다: $r = 0.5$ m, $h = 100$ m이면 화면에 원기둥 부피 78.53981634(m³, 즉 78,540 L), 원기둥 겉넓이 315.73006169가 표시되고, 그중 옆넓이는 $100\pi = 314.16$ m²입니다. 방청 페인트를 칠할 때 필요한 수치가 바로 이것이고, 양 끝의 $0.5\pi$ m²는 무시할 수 있습니다.

예 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. 반지름을 3에서 6으로 바꾸면(높이 고정) 부피는 4배가 되지만 겉넓이는 3배가 되지 않습니다. 높이를 10에서 20으로 바꾸면 부피와 옆넓이가 모두 정확히 2배가 됩니다.

원리와 유도

원기둥: 밑면을 높이만큼 「밀어낸」 입체

원기둥은 밑면 원을 수직 방향으로 $h$ 만큼 평행이동한 입체입니다. 이런 「직각기둥 / 직원기둥」의 부피는 모두 밑넓이 곱하기 높이입니다. 아주 많은 얇은 조각으로 자르면 각 조각이 같은 원이므로 부피 $= \pi r^2 \times h$ 입니다. 옆면을 모선 하나를 따라 잘라 펼치면 너비 $2\pi r$ (밑면 둘레), 높이 $h$ 인 직사각형이므로 옆넓이는 $2\pi r h$ 이고, 위아래 두 밑면 $2\pi r^2$ 을 더하면 겉넓이 $2\pi r(r+h)$ 가 됩니다.

원뿔 부피가 정확히 3분의 1인 이유

이 페이지에서 가장 기억할 만한 사실입니다. 세 가지 관점이 있습니다.

단면 비교(조긍의 원리 / 카발리에리의 원리). 원뿔과 밑면·높이가 같은 원기둥을 나란히 두고, 꼭짓점에서 $x$ 높이에서 한 번 자릅니다: 원뿔의 단면 반지름은 $r x / h$ , 넓이는 $\pi r^2 x^2/h^2$ 으로 $x$ 에 따라 제곱으로 커지고, 원기둥의 단면은 항상 $\pi r^2$ 입니다. 합(적분):

V_{\text{원뿔}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h

각뿔과의 유추. 정육면체는 서로 합동인 사각뿔 세 개로 나눌 수 있으므로(꼭짓점이 정육면체 중심의 반대편에 있는 형태) 각뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 각기둥의 $\tfrac13$ 이고, 밑면 정사각형을 원으로 바꿔도 결론은 달라지지 않습니다(유클리드 《원론》 제12권 명제 10은 소진법으로 원뿔이 원기둥의 3분의 1임을 증명했습니다).

직접 확인. 밑면과 높이가 같은 원뿔 용기로 원기둥 용기에 물을 붓으면 정확히 세 번에 가득 찹니다—중학교 수업의 고전적인 실험입니다.

원뿔의 옆면이 부채꼴로 전개되는 이유

모선 하나를 따라 원뿔의 옆면을 잘라 펼치면 꼭짓점이 부채꼴의 중심이 되고 모든 모선의 길이가 $l$ 이므로 반지름 $l$ 인 부채꼴이 됩니다. 원래의 밑면 둘레는 부채꼴의 호가 되고 호의 길이는 $2\pi r$ 입니다. 부채꼴 넓이 $= \tfrac12 \times \text{호의 길이} \times \text{반지름} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l$ 입니다. 부채꼴의 중심각(라디안)은 $= 2\pi r / l$ 이고, 그림 1 오른쪽 예 2의 $216^\circ$ 가 이렇게 나옵니다. 호의 길이, 부채꼴 넓이와 라디안의 완전한 유도는 호의 길이와 부채꼴을 보십시오. 여기서는 결론만 씁니다.

모선: 직각삼각형 하나

원뿔을 축을 따라 자르면 단면은 이등변삼각형이고, 그 절반은 직각삼각형입니다. 두 직각변은 $r$ 과 $h$ 이고 빗변이 바로 모선 $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ 입니다. 이는 피타고라스 정리입니다. 예 2에서 $r = 3$ , $h = 4$ 를 고른 것도 $l = 5$ 가 정수가 되게 하기 위해서입니다.

확대·축소 규칙

반지름과 높이를 동시에 $k$ 배로 키우면 겉넓이는 $k^2$ 배, 부피는 $k^3$ 배가 됩니다: $r = 6$ , $h = 20$ 인 원기둥의 부피 2261.94671058은 예 1의 8배입니다. 반지름만 키우면 부피는 $r^2$ 에 따라 커지고(예 1에서 $r = 6$ 으로 바꾸면 4배), 높이만 키우면 $h$ 에 선형으로 커집니다—통조림 공장이 포장 치수를 바꿀 때 기대는 것이 바로 이 두 가지입니다.

가정

직원기둥, 직원뿔: 축이 밑면에 수직입니다. 기울어진 원기둥 / 원뿔의 부피 공식은 여전히 성립하지만(같은 단면 넓이), 옆넓이 공식은 성립하지 않습니다.
원뿔은 완전한 형태: 꼭짓점에서 밑면까지입니다. 위를 잘라낸 원뿔대는 $V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ 를 써야 하며 이 계산기의 범위가 아닙니다.
겉넓이는 전체 겉넓이: 원기둥은 두 밑면, 원뿔은 한 밑면을 포함합니다. 열린 용기는 4단계에 따라 직접 빼십시오.
벽 두께 0: 계산하는 것은 기하학적 용적 / 바깥 표면이고, 안지름과 바깥지름을 구분하지 않습니다.
같은 단위: $r$ , $h$ 는 같은 단위이고, 부피는 그 세제곱, 넓이는 제곱입니다.
역산 기준: 원기둥 부피와 높이에서 반지름을 역산하는 것만 지원하며, 역산할 때 나머지 세 필드는 반지름 0으로 계산되어 0으로 표시됩니다.

적용 범위와 한계

계산할 수 있음: 임의의 양수 $r$ , $h$ 에서 원기둥과 원뿔의 부피, 겉넓이; 원기둥 부피와 높이에서 반지름 역산.
근사만 가능: 실제 용기에는 벽 두께, 둥근 모서리, 성형 변형이 있습니다. 음료 캔의 표기 용량과 기하학적 부피는 몇 퍼센트 차이 날 수 있습니다.
계산할 수 없음: 원뿔대, 기울어진 원기둥, 속이 빈 관 벽의 부피(바깥 원기둥에서 안쪽 원기둥을 빼면 되므로 두 번 계산해 빼면 됩니다), 원뿔의 역산(원뿔 부피에서 $r$ 이나 $h$ 를 역산하려면 $r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ 를 손으로 계산), 겉넓이에서 어떤 양이든 역산.
하지 않음: 모선, 옆넓이, 밑넓이, 전개한 부채꼴의 중심각 같은 중간값을 출력하지 않으니 필요하면 공식으로 손계산하십시오.
수치: $r$ , $h$ 가 아주 크거나 아주 작으면 결과가 과학적 표기법으로 표시됩니다(절댓값 $\ge 10^{12}$ 또는 $< 10^{-8}$ ).

흔한 오해

지름을 반지름으로 착각: 재는 값은 대개 지름 $d$ 이므로 부피는 $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4$ 입니다. $d$ 를 그대로 「반지름」에 넣으면 부피가 4배로 커집니다.
모선을 높이로 착각: 원뿔의 높이는 꼭짓점에서 밑면 중심까지의 수직거리입니다. 종이 아이스크림 콘에서 잰 「옆변」은 모선 $l$ 이므로 높이는 $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ 로 환산해야 합니다.
원뿔 부피에서 3으로 나누는 것을 잊음: $\pi r^2 h$ 는 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피입니다.
겉넓이에서 밑면을 빠뜨리거나 더함: 뚜껑 없는 양동이는 밑면이 하나뿐이라 $S = \pi r^2 + 2\pi r h$ 이고, 원뿔형 텐트는 밑면이 없어 옆면 $\pi r l$ 만 있습니다.
부피 단위 환산을 10진법으로 착각: 1 m = 100 cm이지만 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L입니다. 길이 단위 환산 비율의 세제곱이 부피 환산 비율입니다.
역산 모드의 세 개의 0을 결과로 착각: 엔진이 비어 있는 반지름을 0으로 처리한 값이니 반지름을 되돌려 넣으면 됩니다.

대표적인 활용 사례

용기 용적

물컵, 저수 탱크, 기름통, 곡물 저장고(원기둥 + 원뿔 지붕, 두 부분을 각각 계산해 더함); 목표 용적과 높이를 알고 있을 때 필요한 반지름을 역산합니다.

자재 소요량

원기둥 통의 판재 면적(겉넓이), 수도관 바깥 벽의 도장 면적(옆넓이), 원뿔형 텐트나 깔때기의 천 / 금속판 면적(원뿔 옆넓이 $\pi r l$ ).

공학과 토목

원뿔형 모래 더미 / 석탄 더미의 부피 추정(밑면 둘레로 $r$ , 높이로 $h$ 측정), 말뚝 기초(원기둥)의 콘크리트 물량.

교육

「원뿔은 원기둥의 3분의 1」, 확대·축소의 제곱 / 세제곱 법칙, 옆면 전개와 부채꼴의 관계를 체험합니다. 호의 길이와 부채꼴과 함께 전개한 부채꼴의 중심각을 계산해 보십시오.

자주 묻는 질문

원기둥의 옆넓이만 따로 구하려면?

원기둥 겉넓이에서 두 밑면을 빼면 됩니다: $S_{\text{원기둥}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h$ . 예 1에서는 $245.04 - 56.55 = 188.50$ 입니다.

원뿔의 옆넓이와 전개한 부채꼴의 중심각은?

옆넓이 $\pi r l = S_{\text{원뿔}} - \pi r^2$ ; 중심각 $\theta = 2\pi r / l$ (라디안) $= 360^\circ \cdot r / l$ . 예 2: $216^\circ$ ; 예 1: $103.45^\circ$ .

같은 부피일 때 원기둥은 어떻게 해야 재료를 가장 아끼나요?

부피 $V$ 를 고정하면 겉넓이 $2\pi r^2 + 2V/r$ 은 $h = 2r$ (높이가 지름과 같을 때)에서 최소입니다. 예 4와 예 1은 부피가 같고, $r = 3$ , $h = 10$ 의 겉넓이(245)가 $r = 6$ , $h = 2.5$ (320)보다 작지만 아직 최적은 아닙니다. 최적은 $r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557$ , $h \approx 7.11$ 입니다. 실제 음료 캔이 더 높고 가는 것은 뚜껑 재료가 더 두껍고 비용이 따로 잡히기 때문입니다.

원뿔의 부피를 알고 있을 때 반지름은 어떻게 역산하나요?

$r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ 이며, 엔진은 이 역산을 제공하지 않으므로 손으로 계산해 되돌려 넣어야 합니다.

원뿔대(잘린 원뿔)는 어떻게 계산하나요?

$V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ , 옆넓이 $\pi (R + r)\,l$ , $l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$ 입니다. 이 계산기는 지원하지 않지만 「큰 원뿔에서 작은 원뿔을 뺀다」는 요령으로 두 번 계산할 수 있습니다.

반구, 구와 원기둥, 원뿔의 관계는?

반지름 $r$ 인 구의 부피 $\tfrac43\pi r^3$ 은 $h = 2r$ 인 원기둥의 부피 $2\pi r^3$ 의 정확히 $\tfrac23$ 입니다. 같은 반지름에 $h = r$ 인 원뿔의 부피 $\tfrac13\pi r^3$ 은 반구 $\tfrac23\pi r^3$ 의 절반입니다. 아르키메데스는 「원뿔 : 구 : 원기둥 = 1 : 2 : 3」( $h = 2r$ 일 때)을 자신이 가장 아낀 발견으로 여겼습니다.

참고와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 cylinder-cone 정의(compute(known, solveFor)가 cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf를 출력하고, cylVol과 h에서 r 역산을 지원); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Wikipedia, Cylinder（访问日期：2026-09-09）—부피, 겉넓이와 기울어진 원기둥 설명.
Wikipedia, Cone — Volume（访问日期：2026-09-09）—원뿔 부피의 적분 유도와 모선.
Euclid, Elements, Book XII, Proposition 10, D. E. Joyce 편주판（访问日期：2026-09-09）—「모든 원뿔은 밑면과 높이가 같은 원기둥의 3분의 1」의 소진법 증명.
Wikipedia, Cavalieri's principle（访问日期：2026-09-09）—조긍의 원리: 같은 높이의 단면 넓이가 같으면 부피가 같음.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time—길이, 넓이, 부피의 양과 단위 정의.
아르키메데스 《구와 원기둥에 대하여》—구, 원기둥, 원뿔 부피비의 원전.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09