원기둥·원뿔 계산기: 부피, 겉넓이, 모선과 부피로 반지름 역산
계산기 설명 원기둥과 원뿔 계산기는 "밑면과 높이가 같은" 두 회전체를 한 패널에 담았습니다: 밑면 반지름 r r r h h h π r 2 h \pi r^2 h π r 2 h 2 π r ( r + h ) 2\pi r(r+h) 2 π r ( r + h ) 1 3 π r 2 h \tfrac13 \pi r^2 h 3 1 π r 2 h π r ( r + l ) \pi r(r + l) π r ( r + l ) l = r 2 + h 2 l = \sqrt{r^2 + h^2} l = r 2 + h 2
물컵, 음료 캔, 수도관, 유조, 곡물 저장고의 원기둥 부분은 원기둥이고, 깔때기, 아이스크림 콘, 원뿔형 라바콘, 곡물 저장고의 원뿔 지붕은 원뿔입니다. 둘은 같은 밑면 원을 공유하므로 함께 계산하는 것이 가장 편리합니다. 곡물 저장고의 용적은 "원기둥 부피 + 원뿔 부피"이므로 r r r h h h
이 계산기가 하지 않는 일: 기울어진 원기둥, 기울어진 원뿔(부피 공식은 그대로 성립하지만 겉넓이 공식은 성립하지 않음), 원뿔대(잘린 원뿔), 속이 빈 관의 벽 부피는 다루지 않고, 단위 변환도 하지 않습니다. 반지름과 높이에 어떤 길이 단위를 쓰든 부피는 그 단위의 세제곱, 넓이는 제곱이 됩니다.
계산기 사용 방법 01 패널 열기 이 페이지는 "수학 도구 → 공식 → 원기둥 / 원뿔"(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone)에 해당합니다. 열면 "반지름 r" = 3, "높이 h" = 10이 채워져 있고 네 결과 필드가 "계산" 표시와 함께 동시에 나타납니다. 02 부피와 겉넓이 구하기 반지름과 높이를 바꾸면 네 결과가 실시간으로 갱신됩니다. 잰 값이 지름이라면 2로 나눈 뒤 입력하세요. 03 원기둥 부피에서 반지름 역산 "반지름 r"을 비우고 "원기둥 부피"에 알려진 부피를 넣은 뒤 "높이 h"는 두면, 반지름 필드가 "계산"으로 바뀌며 V / ( π h ) \sqrt{V/(\pi h)} V / ( π h ) 0 으로 표시되는데, 엔진이 채우지 않은 반지름을 0으로 계산한 결과이지 실제 값이 아닙니다. 역산한 반지름을 "반지름 r"에 다시 넣고 부피 필드를 비우면 네 수를 모두 볼 수 있습니다. 04 일부만 필요할 때 "원기둥 옆넓이"가 필요하면 겉넓이에서 두 밑면 2 π r 2 2\pi r^2 2 π r 2 π r 2 \pi r^2 π r 2 05 결과 읽기 값은 소수점 최대 8자리까지 유지하고 뒤쪽 0을 지웁니다. 부피 단위는 길이 단위의 세제곱, 겉넓이는 제곱입니다. 1 m³ = 1000 L, 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL. 06 공식 복사 패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3을 클립보드로 복사합니다. 예제 네 가지 예제는 모두 엔진 cylinder-cone의 compute로 검산했습니다. 표시 기준은 소수점 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.
예제 1: 기본 입력 r = 3, h = 10
입력: r = 3 r = 3 r = 3 h = 10 h = 10 h = 10
밑넓이 π r 2 = 9 π = 28.27433388 \pi r^2 = 9\pi = 28.27433388 π r 2 = 9 π = 28.27433388
원기둥 부피 V 원기둥 = 9 π × 10 = 90 π = 282.74333882 V_{\text{원기둥}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882 V 원기둥 = 9 π × 10 = 90 π = 282.74333882
원기둥 겉넓이 S 원기둥 = 2 π × 3 × ( 3 + 10 ) = 78 π = 245.04422698 S_{\text{원기둥}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698 S 원기둥 = 2 π × 3 × ( 3 + 10 ) = 78 π = 245.04422698
원뿔 부피 V 원뿔 = 90 π / 3 = 30 π = 94.24777961 V_{\text{원뿔}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961 V 원뿔 = 90 π /3 = 30 π = 94.24777961
모선 l = 9 + 100 = 109 = 10.44030651 l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651 l = 9 + 100 = 109 = 10.44030651 S 원뿔 = π × 3 × ( 3 + 10.44030651 ) = 126.67190457 S_{\text{원뿔}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457 S 원뿔 = π × 3 × ( 3 + 10.44030651 ) = 126.67190457
화면 표시: 원기둥 부피 282.74333882 , 원기둥 겉넓이 245.04422698 , 원뿔 부피 94.24777961 , 원뿔 겉넓이 126.67190457 . 나눠 보면 원뿔 옆넓이는 π r l = 98.39757069 \pi r l = 98.39757069 π r l = 98.39757069 360 ∘ × r / l = 103.45 ∘ 360^\circ \times r/l = 103.45^\circ 36 0 ∘ × r / l = 103.4 5 ∘
예제 2: r = 3, h = 4 — 3-4-5 원뿔
입력: r = 3 r = 3 r = 3 h = 4 h = 4 h = 4
V 원기둥 = π × 9 × 4 = 36 π = 113.09733553 V_{\text{원기둥}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553 V 원기둥 = π × 9 × 4 = 36 π = 113.09733553 S 원기둥 = 2 π × 3 × 7 = 42 π = 131.94689145 S_{\text{원기둥}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145 S 원기둥 = 2 π × 3 × 7 = 42 π = 131.94689145 24 π = 75.39822369 24\pi = 75.39822369 24 π = 75.39822369 18 π = 56.54866776 18\pi = 56.54866776 18 π = 56.54866776 V 원뿔 = 12 π = 37.69911184 V_{\text{원뿔}} = 12\pi = 37.69911184 V 원뿔 = 12 π = 37.69911184 l = 9 + 16 = 5 l = \sqrt{9 + 16} = 5 l = 9 + 16 = 5 S 원뿔 = π × 3 × ( 3 + 5 ) = 24 π = 75.39822369 S_{\text{원뿔}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369 S 원뿔 = π × 3 × ( 3 + 5 ) = 24 π = 75.39822369
화면 표시: 원기둥 부피 113.09733553 , 원기둥 겉넓이 131.94689145 , 원뿔 부피 37.69911184 , 원뿔 겉넓이 75.39822369 . 재미있는 우연: 이 원뿔의 전체 겉넓이 24 π 24\pi 24 π 2 π r h = 24 π 2\pi r h = 24\pi 2 π r h = 24 π π r l = 15 π = 47.12388980 \pi r l = 15\pi = 47.12388980 π r l = 15 π = 47.12388980 6 π 6\pi 6 π = 6 π / 5 rad = 216 ∘ = 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ = 6 π /5 rad = 21 6 ∘
그림 1: 예제 1의 원기둥과 예제 2의 원뿔. 원뿔의 옆면을 펼치면 부채꼴이 되는데 반지름은 모선 l이고 호의 길이는 밑면 둘레 2πr이므로 옆넓이 = ½ · 2πr · l = πrl 예제 3: 용적 1000, 높이 10이 주어졌을 때 반지름 역산
입력: 원기둥 부피 V 원기둥 = 1000 V_{\text{원기둥}} = 1000 V 원기둥 = 1000 h = 10 h = 10 h = 10
r = 1000 π × 10 = 31.83098862 = 5.64189584 r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584 r = π × 10 1000 = 31.83098862 = 5.64189584
화면 표시: 반지름 r 5.64189584 ; 원기둥 겉넓이, 원뿔 부피, 원뿔 겉넓이는 모두 0 으로 표시됩니다(3단계의 표시 기준 참고). 5.64189584를 반지름에 다시 넣고 부피 필드를 비우면 원기둥 부피 1000.0000016(8자리 반지름을 되돌려 넣으면서 생긴 반올림 꼬리), 원기둥 겉넓이 554.49077079, 원뿔 부피 333.33333387, 원뿔 겉넓이 303.50903342가 표시됩니다. 단위가 cm라면 용적 1 L, 높이 10 cm, 지름 약 11.3 cm인 컵입니다.
예제 4: 같은 부피, 다른 모양
입력: r = 6 r = 6 r = 6 h = 2.5 h = 2.5 h = 2.5
V 원기둥 = π × 36 × 2.5 = 90 π = 282.74333882 V_{\text{원기둥}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882 V 원기둥 = π × 36 × 2.5 = 90 π = 282.74333882 36 × 2.5 = 9 × 10 = 90 36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90 36 × 2.5 = 9 × 10 = 90 S 원기둥 = 2 π × 6 × 8.5 = 102 π = 320.44245067 S_{\text{원기둥}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067 S 원기둥 = 2 π × 6 × 8.5 = 102 π = 320.44245067 78 π 78\pi 78 π l = 36 + 6.25 = 6.5 l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5 l = 36 + 6.25 = 6.5 S 원뿔 = π × 6 × 12.5 = 75 π = 235.61944902 S_{\text{원뿔}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902 S 원뿔 = π × 6 × 12.5 = 75 π = 235.61944902
화면 표시: 원기둥 부피 282.74333882 , 원기둥 겉넓이 320.44245067 , 원뿔 부피 94.24777961 , 원뿔 겉넓이 235.61944902 . 같은 90π 단위 부피를 담아도 뚱뚱하고 낮은 통은 재료가 더 듭니다. 이것이 포장 설계에서 "같은 부피일 때 재료를 가장 아끼는 모양" 문제의 출발점입니다(답은 h = 2 r h = 2r h = 2 r
수도관도 보겠습니다: r = 0.5 r = 0.5 r = 0.5 h = 100 h = 100 h = 100 78.53981634 (m³, 즉 78,540 L), 원기둥 겉넓이 315.73006169 가 표시되며, 그중 옆넓이는 100 π = 314.16 100\pi = 314.16 100 π = 314.16 0.5 π 0.5\pi 0.5 π
예제 1의 입력을 그대로 패널에 넣어 재현할 수 있습니다. 반지름을 3에서 6으로 바꾸면(높이는 그대로) 부피는 4배가 되지만 겉넓이는 3배가 안 된다는 것을, 높이를 10에서 20으로 바꾸면 부피와 옆넓이가 정확히 두 배가 된다는 것을 확인해 보세요.
원리와 유도 원기둥: 밑면을 높이만큼 "밀어 올리기"
원기둥은 밑면 원을 수직 방향으로 h h h = π r 2 × h = \pi r^2 \times h = π r 2 × h 2 π r 2\pi r 2 π r h h h 2 π r h 2\pi r h 2 π r h 2 π r 2 2\pi r^2 2 π r 2 2 π r ( r + h ) 2\pi r(r+h) 2 π r ( r + h )
원뿔 부피가 정확히 3분의 1인 이유
이 페이지에서 가장 기억할 만한 사실입니다. 세 가지 관점이 있습니다.
단면 비교(조긍의 원리 / 카발리에리의 원리) . 원뿔과 밑면·높이가 같은 원기둥을 나란히 두고 꼭짓점에서 x x x r x / h r x / h r x / h π r 2 x 2 / h 2 \pi r^2 x^2/h^2 π r 2 x 2 / h 2 x x x π r 2 \pi r^2 π r 2
V 원뿔 = ∫ 0 h π r 2 x 2 h 2 d x = π r 2 ⋅ h 3 3 h 2 = 1 3 π r 2 h V_{\text{원뿔}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h V 원뿔 = ∫ 0 h π r 2 h 2 x 2 d x = π r 2 ⋅ 3 h 2 h 3 = 3 1 π r 2 h 각뿔과의 유추 . 정육면체는 합동인 사각뿔 세 개로 나눌 수 있습니다. 공통 꼭짓점을 정육면체의 한 꼭짓점으로 잡고, 세 정사각형 밑면을 그것과 마주 보는 꼭짓점에 닿는 세 면으로 잡으면, 각뿔 부피는 밑면과 높이가 같은 각기둥의 1 3 \tfrac13 3 1
직접 확인 . 밑면과 높이가 같은 원뿔 용기로 원기둥 용기에 물을 붓으면 정확히 세 번에 가득 찹니다. 중학교 수업의 고전 실험입니다.
원뿔 옆면이 펼치면 부채꼴인 이유
모선 하나를 따라 원뿔 옆면을 잘라 펼치면 꼭짓점이 부채꼴의 중심이 되고 모든 모선의 길이가 l l l l l l 2 π r 2\pi r 2 π r = 1 2 × 호의 길이 × 반지름 = 1 2 × 2 π r × l = π r l = \tfrac12 \times \text{호의 길이} \times \text{반지름} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l = 2 1 × 호의 길이 × 반지름 = 2 1 × 2 π r × l = π r l = 2 π r / l = 2\pi r / l = 2 π r / l 216 ∘ 216^\circ 21 6 ∘ 호의 길이와 부채꼴 을 보세요. 여기서는 결론만 씁니다.
모선: 직각삼각형 하나
축을 따라 원뿔을 자르면 단면은 이등변삼각형이고 그 절반은 직각삼각형입니다. 두 직각변은 r r r h h h l = r 2 + h 2 l = \sqrt{r^2 + h^2} l = r 2 + h 2 피타고라스 정리 입니다. 예제 2에서 r = 3 r = 3 r = 3 h = 4 h = 4 h = 4 l = 5 l = 5 l = 5
크기 변환 규칙
반지름과 높이를 동시에 k k k k 2 k^2 k 2 k 3 k^3 k 3 r = 6 r = 6 r = 6 h = 20 h = 20 h = 20 r 2 r^2 r 2 r = 6 r = 6 r = 6 h h h
가정
직원기둥, 직원뿔 : 축이 밑면에 수직입니다. 기울어진 원기둥 / 원뿔의 부피 공식은 여전히 성립하지만(같은 단면 넓이) 겉넓이 공식은 성립하지 않습니다.원뿔은 완전한 모양 : 꼭짓점부터 밑면까지입니다. 꼭대기를 잘라낸 원뿔대는 V = 1 3 π h ( R 2 + R r + r 2 ) V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2) V = 3 1 π h ( R 2 + R r + r 2 ) 겉넓이는 전체 겉넓이 : 원기둥은 두 밑면, 원뿔은 한 밑면을 포함합니다. 열린 용기는 4단계에 따라 직접 빼세요.벽 두께 0 : 계산하는 것은 기하학적 용적 / 겉면이며 안지름과 바깥지름을 구분하지 않습니다.같은 단위 : r r r h h h 역산 기준 : 원기둥 부피와 높이에서 반지름을 역산하는 것만 지원하며, 역산할 때 나머지 세 필드는 반지름 0으로 계산되어 0으로 표시됩니다. 적용 범위와 한계 계산 가능 임의의 음이 아닌 r r r h h h min: 0; 0이면 결과도 0)에 대한 원기둥과 원뿔의 부피, 전체 겉넓이; 원기둥 부피와 높이에서 반지름 역산.
근사만 가능 실제 용기에는 벽 두께, 둥근 모서리, 늘어남이 있고, 음료 캔의 표시 용량과 기하학적 부피는 몇 퍼센트 차이가 날 수 있습니다. 계산 불가 원뿔대, 기울어진 원기둥, 속이 빈 관 벽의 부피(바깥 원기둥에서 안쪽 원기둥을 빼면 되므로 두 번 계산해 빼면 됨), 원뿔의 역산(원뿔 부피에서 r r r h h h r = 3 V / ( π h ) r = \sqrt{3V/(\pi h)} r = 3 V / ( π h )
미지원 모선, 옆넓이, 밑넓이, 펼친 부채꼴의 중심각 같은 중간값을 출력하지 않으니 필요하면 공식으로 직접 계산하세요. 수치 r r r h h h ≥ 10 12 \ge 10^{12} ≥ 1 0 12 < 10 − 8 < 10^{-8} < 1 0 − 8 흔한 오해
지름을 반지름으로 씀 : 재는 값은 대개 지름 d d d π ( d / 2 ) 2 h = π d 2 h / 4 \pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4 π ( d /2 ) 2 h = π d 2 h /4 d d d 모선을 높이로 씀 : 원뿔의 높이는 꼭짓점에서 밑면 중심까지의 수직 거리입니다. 종이 아이스크림 콘에서 잰 "빗변"은 모선 l l l h = l 2 − r 2 h = \sqrt{l^2 - r^2} h = l 2 − r 2 원뿔 부피에서 3으로 나누는 것을 잊음 : π r 2 h \pi r^2 h π r 2 h 겉넓이에서 밑면을 빠뜨리거나 더함 : 뚜껑 없는 양동이는 밑면이 하나뿐이라 S = π r 2 + 2 π r h S = \pi r^2 + 2\pi r h S = π r 2 + 2 π r h π r l \pi r l π r l 부피 단위 환산을 10진법으로 함 : 1 m = 100 cm이지만 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L입니다. 길이 단위 환산 비율의 세제곱이 부피 환산 비율입니다.역산 모드의 0 세 개를 결과로 봄 : 엔진이 채우지 않은 반지름을 0으로 처리한 값이므로 반지름을 다시 채우면 됩니다. 대표 사용 사례 용기 용적 물컵, 저수 탱크, 기름통, 곡물 저장고(원기둥 + 원뿔 지붕, 두 부분을 따로 계산해 더함); 목표 용적과 높이를 알 때 필요한 반지름 역산.
재료 소요량 원기둥 통의 판재 면적(겉넓이), 수도관 바깥벽 도장 면적(옆넓이), 원뿔형 텐트나 깔때기의 천 / 금속판 면적(원뿔 옆넓이 π r l \pi r l π r l
공학과 토공 원뿔형 모래 더미 / 석탄 더미의 부피 추정(밑면 둘레를 재서 r r r h h h
교육 "원뿔은 원기둥의 3분의 1" 체험, 크기 변환의 제곱 / 세제곱 법칙, 옆면 전개와 부채꼴의 관계; 호의 길이와 부채꼴 과 함께 펼친 부채꼴의 중심각 계산.
자주 묻는 질문 원기둥의 옆넓이만 따로 구하려면? 원기둥 겉넓이에서 두 밑면을 빼면 됩니다: S 원기둥 − 2 π r 2 = 2 π r h S_{\text{원기둥}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h S 원기둥 − 2 π r 2 = 2 π r h 245.04 − 56.55 = 188.50 245.04 - 56.55 = 188.50 245.04 − 56.55 = 188.50
원뿔의 옆넓이와 펼친 부채꼴의 중심각은? 옆넓이 π r l = S 원뿔 − π r 2 \pi r l = S_{\text{원뿔}} - \pi r^2 π r l = S 원뿔 − π r 2 θ = 2 π r / l \theta = 2\pi r / l θ = 2 π r / l = 360 ∘ ⋅ r / l = 360^\circ \cdot r / l = 36 0 ∘ ⋅ r / l 216 ∘ 216^\circ 21 6 ∘ 103.45 ∘ 103.45^\circ 103.4 5 ∘
같은 부피일 때 원기둥은 어떻게 해야 재료가 가장 적게 드나요? 부피 V V V 2 π r 2 + 2 V / r 2\pi r^2 + 2V/r 2 π r 2 + 2 V / r h = 2 r h = 2r h = 2 r r = 3 r = 3 r = 3 h = 10 h = 10 h = 10 r = 6 r = 6 r = 6 h = 2.5 h = 2.5 h = 2.5 r = 45 3 ≈ 3.557 r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557 r = 3 45 ≈ 3.557 h ≈ 7.11 h \approx 7.11 h ≈ 7.11
원뿔 부피를 알 때 반지름은 어떻게 역산하나요? r = 3 V / ( π h ) r = \sqrt{3V/(\pi h)} r = 3 V / ( π h )
원뿔대(잘린 원뿔)는 어떻게 계산하나요? V = 1 3 π h ( R 2 + R r + r 2 ) V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2) V = 3 1 π h ( R 2 + R r + r 2 ) π ( R + r ) l \pi (R + r)\,l π ( R + r ) l l = ( R − r ) 2 + h 2 l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2} l = ( R − r ) 2 + h 2
반구, 구와 원기둥, 원뿔의 관계는? 반지름 r r r 4 3 π r 3 \tfrac43\pi r^3 3 4 π r 3 h = 2 r h = 2r h = 2 r 2 π r 3 2\pi r^3 2 π r 3 2 3 \tfrac23 3 2 h = r h = r h = r 1 3 π r 3 \tfrac13\pi r^3 3 1 π r 3 2 3 π r 3 \tfrac23\pi r^3 3 2 π r 3 h = 2 r h = 2r h = 2 r
참고와 더 보기
CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 cylinder-cone 정의(compute(known, solveFor)가 cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf를 출력하고, cylVol과 h에서 r 역산을 지원); 이 페이지의 모든 수치는 이 엔진으로 검산했습니다.
Wikipedia, Cylinder （访问日期：2026-09-09）——부피, 겉넓이와 기울어진 원기둥 설명.
Wikipedia, Cone — Volume （访问日期：2026-09-09）——원뿔 부피의 적분 유도와 모선.
Euclid, Elements , Book XII, Proposition 10 , D. E. Joyce 편주(访问日期：2026-09-09)——"모든 원뿔은 밑면과 높이가 같은 원기둥의 3분의 1"의 소진법 증명.
Wikipedia, Cavalieri's principle （访问日期：2026-09-09）——조긍의 원리: 같은 높이에서 단면 넓이가 같으면 부피가 같다.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time ——길이, 넓이, 부피의 양과 단위 정의.
아르키메데스 《구와 원기둥에 관하여》——구, 원기둥, 원뿔 부피 비의 원전.
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Sources & review
Updated 2026-09-09 Open 원기둥·원뿔 계산기: 부피, 겉넓이, 모선과 부피로 반지름 역산 in CalcX