호와 부채꼴 계산기: 호의 길이·부채꼴 넓이·현의 길이
계산기 설명 호의 길이와 부채꼴 계산기는 원의 반지름 r r r θ \theta θ L L L A A A
「원의 일부」라면 어디든 쓸 수 있습니다: 시계 바늘이 쓸고 지나간 거리, 커브 길의 길이, 피자 한 조각의 넓이, 톱니바퀴에서 일정 피치에 대응하는 각도, 지구 표면을 따라 경선으로 1° 이동한 거리 등입니다. 이 계산기는 「도」와 「라디안」이라는 두 각도 단위를 실제로 연결해 주는 곳이기도 합니다. 라디안의 정의가 바로 호의 길이와 반지름의 비이기 때문입니다.
하지 않는 일: 원 자체의 둘레와 넓이는 계산하지 않지만(각도에 360°를 넣으면 얻을 수 있습니다) 활꼴(호와 현 사이의 영역)의 넓이는 계산하지 않습니다. 다만 이 페이지에 공식을 실어 두었으니 부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이를 빼면 됩니다. 각도를 0°–360°로 정규화하지 않고, 단위 환산도 하지 않습니다.
이 계산기에서 계산하는 방법 01 패널 열기 이 페이지는 「수학 도구 → 공식 → 호의 길이 / 부채꼴」(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector)에 대응합니다. 열면 반지름 r = 10, 각도 60°가 채워져 있고 호의 길이, 부채꼴 넓이, 현의 길이가 자동으로 계산됩니다. 02 호의 길이·넓이·현의 길이 구하기 반지름과 각도를 고칩니다(각도는 라디안이 아니라 도 단위). 「계산」 표시가 붙은 세 필드가 실시간으로 갱신되고, 소수점 이하 최대 8자리까지 표시한 뒤 뒤쪽 0을 지웁니다. 03 호의 길이에서 각도 역산하기 「각도(°)」를 비우고 「호의 길이」에 알려진 값을 넣은 뒤 반지름은 그대로 둡니다. 각도 필드가 「계산」으로 바뀌어 도 단위 값을 보여 줍니다. 이때 부채꼴 넓이와 현의 길이는 0으로 표시되는데(엔진이 알 수 없는 각도를 0으로 계산), 무시하거나 역산한 각도를 각도 필드에 되돌려 넣고 다시 읽으면 됩니다. 04 완전한 원과 반원 각도에 360을 넣으면 둘레와 원의 넓이가 나옵니다(현의 길이는 이론상 0이지만 화면에 1.469576e-15 같은 부동소수점 잡음이 보일 수 있으며, 이는 0입니다). 180을 넣으면 반원의 호 길이, 반원의 넓이와 지름이 나옵니다. 05 활꼴 넓이 구하기 출력된 부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이 1 2 r 2 sin θ \tfrac12 r^2 \sin\theta 2 1 r 2 sin θ 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) 계산 예 네 가지 계산 예는 모두 엔진 arc-sector의 compute로 다시 계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.
예 1: 반지름 6, 중심각 60°
라디안 θ = 60 × π / 180 = π / 3 ≈ 1.04719755 \theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755 θ = 60 × π /180 = π /3 ≈ 1.04719755
호의 길이 L = 6 × π / 3 = 2 π ≈ 6.28318531 L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531 L = 6 × π /3 = 2 π ≈ 6.28318531
부채꼴 넓이 A = 1 2 × 36 × π / 3 = 6 π ≈ 18.84955592 A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592 A = 2 1 × 36 × π /3 = 6 π ≈ 18.84955592
현의 길이 = 2 × 6 × sin 30 ° = 12 × 0.5 = 6 = 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6 = 2 × 6 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6
화면 표시: 호의 길이 6.28318531 , 부채꼴 넓이 18.84955592 , 현의 길이 6 . 중심각이 60°일 때 두 반지름과 현이 정삼각형을 이루므로 현의 길이가 반지름과 정확히 같습니다.
그림 1: 예 1. 호의 길이와 넓이는 라디안을 대입해야 합니다. 현의 길이는 2r·sin(θ/2)이며, θ/2는 sin과 기준만 맞으면 도나 라디안 어느 쪽이든 됩니다 예 2: 패널 기본값, 반지름 10, 60°
L = 10 × π / 3 ≈ 10.47197551 L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551 L = 10 × π /3 ≈ 10.47197551 A = 1 2 × 100 × π / 3 ≈ 52.35987756 A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756 A = 2 1 × 100 × π /3 ≈ 52.35987756 현의 길이 = 20 sin 30 ° = 10 = 20 \sin 30° = 10 = 20 sin 30° = 10
화면 표시: 10.47197551 , 52.35987756 , 10 . 예 1과 비교하면 반지름이 10 / 6 10/6 10/6 ( 10 / 6 ) 2 = 2.78 (10/6)^2 = 2.78 ( 10/6 ) 2 = 2.78
예 3: 큰 호 — 반지름 1.5, 270°
θ = 270 × π / 180 = 3 π / 2 ≈ 4.71238898 \theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898 θ = 270 × π /180 = 3 π /2 ≈ 4.71238898 L = 1.5 × 3 π / 2 ≈ 7.06858347 L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347 L = 1.5 × 3 π /2 ≈ 7.06858347 A = 1 2 × 2.25 × 3 π / 2 ≈ 5.3014376 A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376 A = 2 1 × 2.25 × 3 π /2 ≈ 5.3014376 현의 길이 = 3 sin 135 ° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034 = 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034 = 3 sin 135° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034
화면 표시: 7.06858347 , 5.3014376 , 2.12132034 . 180°를 넘으면 현의 길이는 다시 줄어듭니다. 270°의 현은 90°의 현과 길이가 같은데, 두 호가 같은 현의 양쪽이기 때문입니다.
예 4: 호의 길이에서 각도 역산
호의 길이 5, 반지름 10인 호는 어떤 중심각에 대응할까요? 각도를 비우고 호의 길이 5, 반지름 10을 입력합니다.
θ = L / r = 0.5 \theta = L/r = 0.5 θ = L / r = 0.5 θ deg = 0.5 × 180 / π ≈ 28.64788976 ° \theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976° θ d e g = 0.5 × 180/ π ≈ 28.64788976°
화면 표시: 각도 28.64788976 . 이때 부채꼴 넓이와 현의 길이 필드는 0으로 표시되는데, 이는 역산 모드의 기준입니다(「가정」 참고). 계산된 28.64788976을 각도 필드에 되돌려 넣으면 부채꼴 넓이 25, 현의 길이 4.94808114를 얻습니다.
반지름을 6으로 고정하고 중심각을 0°에서 360°까지 움직입니다: 호의 길이는 각도에 따라 선형으로 늘어나고(0 → 37.70), 현의 길이는 늘었다가 줄면서 180°에서 최댓값 12(지름)에 도달하고 360°에서 다시 0으로 돌아갑니다. 작은 각도에서는 두 곡선이 거의 겹칩니다. 현의 길이와 호의 길이의 비 sin ( θ / 2 ) / ( θ / 2 ) \sin(\theta/2)/(\theta/2) sin ( θ /2 ) / ( θ /2 )
원리와 유도 호의 길이: 둘레의 일부
원의 전체 둘레 2 π r 2\pi r 2 π r θ deg \theta_{\deg} θ d e g θ deg / 360 \theta_{\deg}/360 θ d e g /360
L = θ deg 360 × 2 π r = r × ( θ deg × π 180 ) = r θ L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta L = 360 θ d e g × 2 π r = r × ( θ d e g × 180 π ) = r θ 괄호 안의 양이 바로 라디안입니다. 라디안의 정의 는 호의 길이와 반지름의 비, 곧 θ = L / r \theta = L/r θ = L / r 2 π 2\pi 2 π L = r θ L = r\theta L = r θ
부채꼴 넓이: 원 넓이의 일부
마찬가지로 비례식으로 A = θ deg 360 π r 2 = 1 2 r 2 θ A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta A = 360 θ d e g π r 2 = 2 1 r 2 θ r d θ r\,d\theta r d θ r r r 1 2 r ⋅ r d θ \tfrac12 r \cdot r\,d\theta 2 1 r ⋅ r d θ 1 2 r 2 θ \tfrac12 r^2 \theta 2 1 r 2 θ A = 1 2 L r A = \tfrac12 L r A = 2 1 L r
현의 길이: 이등변삼각형
원의 중심과 호의 양 끝은 이등변삼각형을 이룹니다. 두 변은 r r r θ \theta θ r r r θ / 2 \theta/2 θ /2 = r sin ( θ / 2 ) = r\sin(\theta/2) = r sin ( θ /2 ) = 2 r sin ( θ / 2 ) = 2r\sin(\theta/2) = 2 r sin ( θ /2 ) θ = 180 ° \theta = 180° θ = 180° sin 90 ° = 1 \sin 90° = 1 sin 90° = 1 2 r 2r 2 r 360 ° 360° 360°
활꼴 넓이
호와 현으로 둘러싸인 영역을 활꼴(원호와 현 사이의 부분)이라 합니다. 이는 부채꼴에서 위의 이등변삼각형을 뺀 것과 같습니다. 삼각형 넓이 = 1 2 r 2 sin θ = \tfrac12 r^2 \sin\theta = 2 1 r 2 sin θ A 활꼴 = 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) A_{\text{활꼴}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) A 활꼴 = 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865
작은 각도 근사
θ \theta θ sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ 1 2 r 2 ⋅ θ 3 / 6 \tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6 2 1 r 2 ⋅ θ 3 /6
한 바퀴가 360°인 이유
360은 고대 바빌로니아의 60진법과 1년이 약 360일이라는 개략적인 관측에서 왔으며 약수가 24개라서 똑같이 나누기 편합니다. 하지만 이것은 인위적인 약속이지 기하학적 사실이 아닙니다. 라디안은 원 자체의 비율이 정합니다: 한 바퀴는 2 π 2\pi 2 π
가정
중심각은 도 단위로 입력 : 엔진은 내부적으로 π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π 각도를 정규화하지 않음 : 400°를 넣으면 「한 바퀴하고 40°」로 계산되어 호의 길이와 넓이가 계속 커지고, 현의 길이는 sin 200 ° \sin 200° sin 200° 0 ° < θ ≤ 360 ° 0° < \theta \le 360° 0° < θ ≤ 360° 양의 반지름 : r > 0 r > 0 r > 0 r = 0 r = 0 r = 0 역산은 각도 필드에만 영향 : 호의 길이에서 각도를 역산할 때 부채꼴 넓이와 현의 길이는 「각도 = 0」으로 계산되어 0으로 표시되며, 무시해야 합니다.같은 길이 단위 : 반지름, 호의 길이, 현의 길이는 같은 단위이고, 넓이는 그 제곱입니다. 적용 범위와 한계
계산할 수 있음 임의의 양의 반지름과 임의의 중심각(도)에 대한 호의 길이, 부채꼴 넓이, 현의 길이; 호의 길이와 반지름에서 중심각 역산. 결과는 소수점 이하 최대 8자리입니다.
근사만 가능 완전한 원(360°)의 현의 길이는 이론상 0이지만 화면에 1.469576e-15 같은 부동소수점 잡음이 보일 수 있으니 0으로 읽으십시오.
계산할 수 없음 활꼴 넓이(이 페이지의 공식으로 손계산), 현의 길이나 넓이에서 각도나 반지름 역산, 타원호, 나선의 길이, 3차원 곡면 위의 호.
하지 않음 각도를 0°–360°로 제한하지 않고, 도분초나 라디안 입력을 지원하지 않으며, 단위 환산도 하지 않습니다. 수치 매우 큰 반지름과 매우 작은 각도의 조합에서는 sin ( θ / 2 ) \sin(\theta/2) sin ( θ /2 ) 흔한 오해
라디안을 「각도(°)」에 입력 : 1.0472를 넣으면 1.0472°로 계산되어 호의 길이가 (반지름 6에서) 2π가 아니라 0.1097이 됩니다. 이 필드는 도 단위입니다.손계산에서 라디안 변환을 잊음 : L = r θ L = r\theta L = r θ 현의 길이를 호의 길이로 착각 : 작은 각도에서는 비슷하지만 큰 각도에서는 크게 다릅니다. 180°에서 현의 길이는 12인데 호의 길이는 18.85입니다(반지름 6).각도가 360°를 넘음 : 엔진은 되감지 않으므로 400°의 현의 길이는 음수가 됩니다. 먼저 각도에서 한 바퀴를 빼십시오.역산 모드에서 넓이와 현의 길이를 읽음 : 0으로 표시되는 것은 계산 기준 문제이지 기하학적 사실이 아닙니다.넓이도 같은 비율로 커진다고 착각 : 반지름이 2배가 되면 호의 길이와 현의 길이는 2배, 부채꼴 넓이는 4배가 됩니다.완전한 원의 현에 나타나는 부동소수점 잡음 : 1.469576e-15는 0이지 「아주 작은 현」이 아닙니다. 대표적인 활용 사례 교육: 라디안이란 무엇인가 반지름을 1, 각도를 57.29577951(1라디안)로 넣으면 호의 길이가 정확히 1입니다. 각도를 360으로 바꾸면 호의 길이가 6.28318531 = 2π가 됩니다. 라디안은 「반지름을 자로 삼아 호의 길이를 재는 것」입니다.
피자와 케이크의 공평한 분배 지름 30 cm 피자를 8조각으로 자르면 r = 15, 각도 45°이므로 한 조각의 넓이는 88.35729338 cm², 바깥쪽 호의 길이는 11.78097245 cm, 곧은 변 사이의 현의 길이는 11.4805 cm입니다. 전체 넓이 706.86 cm²의 8분의 1로 정확히 맞아떨어집니다.
커브, 아치와 시계 도로 커브의 반지름과 회전각으로 커브 길이를 구하고, 아치의 반지름과 벌어진 각으로 아치의 호 길이(자재량)와 현의 길이(경간)를 구합니다. 시침은 1시간에 30°, 분침은 20분에 120° 회전하므로 바늘 길이와 함께 쓰면 바늘 끝이 지나간 거리를 얻습니다.
지구와 항해 r = 6371 km에서 1분(1/60°) 호의 길이 1.8532 km는 해리의 기원입니다. 경선에서 위도 차 1° ≈ 111.19 km입니다. 공학과 측량에서 현으로 호를 대신하는 오차는 작은 각도에서 무시할 수 있습니다.
자주 묻는 질문 각도는 도로 넣어야 하나요, 라디안으로 넣어야 하나요? 도로 넣습니다. 엔진이 내부적으로 π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π
원 전체의 둘레와 넓이는 어떻게 구하나요? 각도에 360을 넣으면 됩니다. 호의 길이는 둘레 2 π r 2\pi r 2 π r π r 2 \pi r^2 π r 2
활꼴(호와 현 사이)의 넓이는 어떻게 구하나요? 부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이를 빼면 됩니다: 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) θ \theta θ
270°의 현의 길이가 90°와 같은 이유는 무엇인가요? 같은 현이기 때문입니다. 현은 원을 두 호로 나누는데, 90°의 작은 호와 270°의 큰 호가 같은 현을 공유하며 sin 135 ° = sin 45 ° \sin 135° = \sin 45° sin 135° = sin 45°
각도를 역산할 때 넓이와 현의 길이가 0이 되는 이유는 무엇인가요? 엔진이 역산 모드에서 알 수 없는 각도를 0으로 두고 다른 출력을 계산하기 때문에 나오는 무의미한 값입니다. 역산한 각도를 각도 필드에 되돌려 넣으면 올바른 넓이와 현의 길이를 볼 수 있습니다.
현의 길이로 각도를 역산할 수 있나요? 이 계산기는 지원하지 않습니다(호의 길이에서의 역산만 지원). 손으로 계산하려면 θ = 2 arcsin ( 현의 길이 / ( 2 r ) ) \theta = 2\arcsin\big(\text{현의 길이}/(2r)\big) θ = 2 arcsin ( 현의 길이 / ( 2 r ) )
참고와 더 읽을거리
CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 arc-sector 정의(각도를 도로 입력받아 내부에서 라디안으로 변환; arcLen, sectorArea, chordLen 세 대상과 호의 길이에서 각도 역산); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 다시 계산했습니다.
Wikipedia, Circular sector （访问日期：2026-09-08）—부채꼴 넓이와 호의 길이 공식.
Wikipedia, Arc length （访问日期：2026-09-08）—원호의 길이와 일반 곡선의 호의 길이.
Wikipedia, Radian （访问日期：2026-09-08）—라디안의 정의, 역사와 환산.
Wikipedia, Circular segment （访问日期：2026-09-08）—활꼴 넓이와 현의 길이 공식.
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