호의 길이·부채꼴 계산기: 호 길이, 부채꼴 넓이, 현의 길이
계산기 설명 호의 길이와 부채꼴 계산기는 원의 반지름 r r r θ \theta θ L L L A A A
"원의 일부"라면 무엇이든 이 계산기로 다룰 수 있습니다: 시계 바늘이 쓸고 지나간 거리, 도로 커브의 길이, 피자 한 조각의 넓이, 기어에서 톱니 간격 하나에 해당하는 각도, 지구 표면을 따라 경선으로 1° 이동하면 몇 km인지. 이 계산기는 "도"와 "라디안" 두 각도 단위를 실제로 연결해 주는 곳이기도 합니다. 라디안의 정의가 바로 호의 길이와 반지름의 비이기 때문입니다.
이 계산기가 하지 않는 일: 원 자체의 둘레와 넓이는 계산하지 않습니다(각도에 360°를 넣으면 얻을 수 있습니다). 활꼴(호와 현 사이 영역)의 넓이도 계산하지 않습니다. 다만 이 페이지에 공식을 실었으니 부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이를 빼면 됩니다. 각도를 0°–360°로 정규화하지 않고, 단위 변환도 하지 않습니다.
계산기 사용 방법 01 패널 열기 이 페이지는 "수학 도구 → 공식 → 호의 길이 / 부채꼴"(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector)에 해당합니다. 열면 반지름 r = 10, 각도 60°가 채워져 있고 호의 길이, 부채꼴 넓이, 현의 길이가 자동으로 계산됩니다. 02 호의 길이, 넓이, 현의 길이 계산 반지름과 각도를 바꿔 보세요(각도는 라디안이 아니라 도 입니다). "계산" 표시가 붙은 세 필드가 실시간으로 갱신되며, 소수점 최대 8자리까지 표시하고 뒤쪽 0은 지웁니다. 03 호의 길이에서 각도 역산 "각도(°)"를 비우고 "호의 길이"에 알려진 호의 길이를 넣은 뒤 반지름은 그대로 두면, 각도 필드가 "계산"으로 바뀌며 도 단위 값을 보여 줍니다. 이때 부채꼴 넓이와 현의 길이는 0으로 표시되는데(엔진이 알 수 없는 각도를 0으로 계산), 무시하거나 역산한 각도를 각도 필드에 다시 넣고 읽으면 됩니다. 04 완전한 원과 반원 각도에 360을 넣으면 둘레와 원의 넓이를 얻습니다(현의 길이는 이론상 0이지만 화면에 2.449294e-15 같은 부동소수점 잡음, 즉 0이 표시될 수 있습니다. 반지름 6일 때는 1.469576e-15). 180을 넣으면 반원의 호의 길이, 반원 넓이, 지름을 얻습니다. 05 활꼴 넓이 계산 출력된 부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이 1 2 r 2 sin θ \tfrac12 r^2 \sin\theta 2 1 r 2 sin θ 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) 예제 네 가지 예제는 모두 엔진 arc-sector의 compute로 검산했습니다. 표시 기준은 소수점 최대 8자리, 뒤쪽 0 제거입니다.
예제 1: 반지름 6, 중심각 60°
라디안 θ = 60 × π / 180 = π / 3 ≈ 1.04719755 \theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755 θ = 60 × π /180 = π /3 ≈ 1.04719755
호의 길이 L = 6 × π / 3 = 2 π ≈ 6.28318531 L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531 L = 6 × π /3 = 2 π ≈ 6.28318531
부채꼴 넓이 A = 1 2 × 36 × π / 3 = 6 π ≈ 18.84955592 A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592 A = 2 1 × 36 × π /3 = 6 π ≈ 18.84955592
현의 길이 = 2 × 6 × sin 30 ° = 12 × 0.5 = 6 = 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6 = 2 × 6 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6
화면 표시: 호의 길이 6.28318531 , 부채꼴 넓이 18.84955592 , 현의 길이 6 . 중심각이 60°이면 두 반지름과 현이 정삼각형을 이루므로 현의 길이가 정확히 반지름과 같습니다.
그림 1: 예제 1. 호의 길이와 넓이에는 라디안을 대입해야 하고, 현의 길이는 2r·sin(θ/2)로 구하며 θ/2는 도든 라디안이든 sin과 기준만 맞추면 됩니다 예제 2: 패널 기본값, 반지름 10, 60°
L = 10 × π / 3 ≈ 10.47197551 L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551 L = 10 × π /3 ≈ 10.47197551 A = 1 2 × 100 × π / 3 ≈ 52.35987756 A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756 A = 2 1 × 100 × π /3 ≈ 52.35987756 현의 길이 = 20 sin 30 ° = 10 = 20 \sin 30° = 10 = 20 sin 30° = 10
화면 표시: 10.47197551 , 52.35987756 , 10 . 예제 1과 비교하면 반지름이 10 / 6 10/6 10/6 ( 10 / 6 ) 2 = 2.78 (10/6)^2 = 2.78 ( 10/6 ) 2 = 2.78
예제 3: 우호 — 반지름 1.5, 270°
θ = 270 × π / 180 = 3 π / 2 ≈ 4.71238898 \theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898 θ = 270 × π /180 = 3 π /2 ≈ 4.71238898 L = 1.5 × 3 π / 2 ≈ 7.06858347 L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347 L = 1.5 × 3 π /2 ≈ 7.06858347 A = 1 2 × 2.25 × 3 π / 2 ≈ 5.3014376 A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376 A = 2 1 × 2.25 × 3 π /2 ≈ 5.3014376 현의 길이 = 3 sin 135 ° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034 = 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034 = 3 sin 135° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034
화면 표시: 7.06858347 , 5.3014376 , 2.12132034 . 180°를 넘으면 현의 길이는 다시 줄어듭니다. 270°의 현과 90°의 현은 길이가 같은데, 같은 현의 양쪽 호이기 때문입니다.
예제 4: 호의 길이에서 각도 역산
호의 길이 5, 반지름 10인 호는 어떤 중심각에 해당할까요? 각도를 비우고 호의 길이 5, 반지름 10을 입력합니다.
θ = L / r = 0.5 \theta = L/r = 0.5 θ = L / r = 0.5 θ deg = 0.5 × 180 / π ≈ 28.64788976 ° \theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976° θ d e g = 0.5 × 180/ π ≈ 28.64788976°
화면 표시: 각도 28.64788976 . 이때 부채꼴 넓이와 현의 길이 필드는 0으로 표시되는데, 이는 역산 모드의 표시 기준입니다("가정" 참고). 28.64788976을 각도 필드에 다시 넣으면 부채꼴 넓이 25, 현의 길이 4.94807919를 얻습니다.
반지름을 6으로 고정하고 중심각을 0°에서 360°까지 훑습니다: 호의 길이는 각도에 따라 선형으로 늘고(0 → 37.70), 현의 길이는 늘었다가 줄어들며 180°에서 최댓값 12(지름)에 도달한 뒤 360°에서 0으로 돌아갑니다. 작은 각도에서는 두 곡선이 거의 겹칩니다. 현의 길이와 호의 길이의 비 sin ( θ / 2 ) / ( θ / 2 ) \sin(\theta/2)/(\theta/2) sin ( θ /2 ) / ( θ /2 )
원리와 유도 호의 길이: 둘레의 일부
원 전체의 둘레 2 π r 2\pi r 2 π r θ deg \theta_{\deg} θ d e g θ deg / 360 \theta_{\deg}/360 θ d e g /360
L = θ deg 360 × 2 π r = r × ( θ deg × π 180 ) = r θ L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta L = 360 θ d e g × 2 π r = r × ( θ d e g × 180 π ) = r θ 괄호 안의 양이 바로 라디안입니다. 라디안의 정의 : 호의 길이와 반지름의 비, θ = L / r \theta = L/r θ = L / r 2 π 2\pi 2 π L = r θ L = r\theta L = r θ
부채꼴 넓이: 원 넓이의 일부
마찬가지로 비례로 A = θ deg 360 π r 2 = 1 2 r 2 θ A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta A = 360 θ d e g π r 2 = 2 1 r 2 θ r d θ r\,d\theta r d θ r r r 1 2 r ⋅ r d θ \tfrac12 r \cdot r\,d\theta 2 1 r ⋅ r d θ 1 2 r 2 θ \tfrac12 r^2 \theta 2 1 r 2 θ A = 1 2 L r A = \tfrac12 L r A = 2 1 L r
현의 길이: 이등변삼각형 하나
원의 중심과 호의 두 끝은 두 변이 r r r θ \theta θ r r r θ / 2 \theta/2 θ /2 = r sin ( θ / 2 ) = r\sin(\theta/2) = r sin ( θ /2 ) = 2 r sin ( θ / 2 ) = 2r\sin(\theta/2) = 2 r sin ( θ /2 ) θ = 180 ° \theta = 180° θ = 180° sin 90 ° = 1 \sin 90° = 1 sin 90° = 1 = 2 r = 2r = 2 r 360 ° 360° 360°
활꼴 넓이
호와 현으로 둘러싸인 영역을 활꼴(원호 조각)이라고 합니다. 이는 부채꼴에서 그 이등변삼각형을 뺀 것과 같습니다. 삼각형 넓이 = 1 2 r 2 sin θ = \tfrac12 r^2 \sin\theta = 2 1 r 2 sin θ A 활꼴 = 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) A_{\text{활꼴}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) A 활꼴 = 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865
작은 각도 근사
θ \theta θ sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ 1 2 r 2 ⋅ θ 3 / 6 \tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6 2 1 r 2 ⋅ θ 3 /6
왜 한 바퀴는 360°인가
360에 대한 흔한 가설 중 하나는 고대 바빌로니아의 60진법과 1년이 약 360일이라는 개략적 관측이며, 360은 약수가 24개라 똑같이 나누기 편합니다. 그러나 유래가 어떻든 360은 기하학적 사실이 아니라 사람이 정한 약속입니다. 라디안은 원 자체의 비율로 결정됩니다: 한 바퀴는 2 π 2\pi 2 π
가정
중심각은 도로 입력 : 엔진은 내부적으로 π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π 각도를 정규화하지 않음 : 400°를 넣으면 "한 바퀴하고 40°"로 계산하므로 호의 길이와 넓이는 계속 커지고, 현의 길이는 sin 200 ° \sin 200° sin 200° 0 ° < θ ≤ 360 ° 0° < \theta \le 360° 0° < θ ≤ 360° 양의 반지름 : r > 0 r > 0 r > 0 r = 0 r = 0 r = 0 0 / 0 0/0 0/0 역산은 각도 필드에만 영향 : 호의 길이에서 각도를 역산할 때 부채꼴 넓이와 현의 길이는 "각도 = 0"으로 계산되어 0으로 표시되므로 무시해야 합니다.같은 길이 단위 : 반지름, 호의 길이, 현의 길이는 같은 단위이고, 넓이는 그 단위의 제곱입니다. 적용 범위와 한계
계산 가능 임의의 양의 반지름과 임의 중심각(도)에 대한 호의 길이, 부채꼴 넓이, 현의 길이; 호의 길이와 반지름에서 중심각 역산. 결과는 소수점 최대 8자리입니다.
근사만 가능 완전한 원(360°)의 현의 길이는 이론상 0이지만 2.449294e-15(기본 반지름 10; 반지름 6이면 1.469576e-15) 같은 부동소수점 잡음이 표시될 수 있으니 0으로 읽으세요.
계산 불가 활꼴 넓이(이 페이지의 공식으로 직접 계산), 현의 길이나 넓이에서 각도 또는 반지름 역산, 타원 호, 나선 길이, 3차원 곡면 위의 호.
미지원 각도를 0°–360°로 제한하지 않고, 도분초나 라디안 입력을 지원하지 않으며, 단위 변환도 하지 않습니다. 수치 아주 큰 반지름과 아주 작은 각도를 조합하면 sin ( θ / 2 ) \sin(\theta/2) sin ( θ /2 ) 흔한 오해
라디안을 "각도(°)"에 입력 : 1.0472를 넣으면 1.0472°가 되어 호의 길이가 2π가 아니라 0.1097(반지름 6)이 됩니다. 이 필드는 도 단위입니다.직접 계산할 때 라디안 변환을 잊음 : L = r θ L = r\theta L = r θ 현의 길이를 호의 길이로 착각 : 작은 각도에서는 두 값이 비슷하지만 큰 각도에서는 크게 다릅니다 — 180°에서 현의 길이는 12인데 호의 길이는 18.85(반지름 6)입니다.각도가 360°를 초과 : 엔진은 되돌리지 않으므로 400°의 현의 길이는 음수가 됩니다. 먼저 각도에서 완전한 바퀴 수를 빼세요.역산 모드에서 넓이와 현의 길이를 읽음 : 0으로 표시되는 것은 표시 기준 문제이지 기하학적 사실이 아닙니다.넓이가 비례로 커짐 : 반지름이 두 배가 되면 호의 길이와 현의 길이는 두 배, 부채꼴 넓이는 4배가 됩니다.완전한 원의 현의 길이에 나타나는 부동소수점 잡음 : 기본 입력(r = 10)에서 표시되는 2.449294e-15는 0이며 "아주 작은 현"이 아닙니다. 대표 사용 사례 교육: 라디안이란 무엇인가 반지름에 1, 각도에 57.29577951(1라디안)을 넣으면 호의 길이가 정확히 1이 됩니다. 각도에 360을 넣으면 호의 길이가 6.28318531 = 2π로 바뀝니다. 라디안은 "반지름을 자로 삼아 호의 길이를 재는" 방식입니다.
피자와 케이크의 공평한 분배 지름 30 cm 피자를 8조각으로 자르면 r = 15, 각도 45°이고, 한 조각의 넓이는 88.35729338 cm², 바깥쪽 호의 길이는 11.78097245 cm, 곧은 변 사이의 현의 길이는 11.4805 cm입니다. 전체 넓이 706.86 cm²의 8분의 1이 정확히 맞습니다.
도로 커브, 아치, 시계 도로 커브의 반지름과 회전각으로 커브 길이를, 아치의 반지름과 벌어진 각으로 아치의 호의 길이(자재량)와 현의 길이(경간)를 구합니다. 시침은 1시간에 30°, 분침은 20분에 120° 회전하므로, 바늘 길이와 함께 쓰면 바늘 끝이 지나간 거리를 얻습니다.
지구와 항해 r = 6371 km, 1 각분(1/60°)의 호의 길이 1.8532 km는 해리의 기원입니다. 경선에서 위도 1° 차이는 약 111.19 km입니다. 공학과 측량에서 작은 각도라면 호 대신 현을 써도 오차는 무시할 수 있습니다.
자주 묻는 질문 각도는 도로 넣어야 하나요, 라디안으로 넣어야 하나요? 도로 넣습니다. 엔진이 내부적으로 π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π
완전한 원의 둘레와 넓이는 어떻게 구하나요? 각도에 360을 넣으면 됩니다. 호의 길이가 둘레 2 π r 2\pi r 2 π r π r 2 \pi r^2 π r 2
활꼴(호와 현 사이)의 넓이는 어떻게 계산하나요? 부채꼴 넓이에서 삼각형 넓이를 뺍니다: 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) θ \theta θ
왜 270°의 현의 길이가 90°와 같은가요? 같은 현이기 때문입니다. 현은 원을 두 개의 호로 나누는데, 90°의 소호와 270°의 우호가 같은 현을 공유합니다. sin 135 ° = sin 45 ° \sin 135° = \sin 45° sin 135° = sin 45°
각도를 역산할 때 넓이와 현의 길이가 왜 0이 되나요? 엔진이 역산 모드에서 알 수 없는 각도를 0으로 계산해 다른 출력을 만들기 때문이며, 이 값은 의미가 없습니다. 역산한 각도를 각도 필드에 다시 넣으면 올바른 넓이와 현의 길이를 볼 수 있습니다.
현의 길이로 각도를 역산할 수 있나요? 이 계산기로는 안 됩니다(호의 길이에서 역산하는 것만 지원합니다). 직접 계산하려면 θ = 2 arcsin ( 현의 길이 / ( 2 r ) ) \theta = 2\arcsin\big(\text{현의 길이}/(2r)\big) θ = 2 arcsin ( 현의 길이 / ( 2 r ) )
참고와 더 보기
CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 arc-sector 정의(각도를 도로 입력받아 내부에서 라디안으로 변환; arcLen, sectorArea, chordLen 세 가지 목표와 호의 길이에서 중심각 역산); 이 페이지의 모든 수치는 이 엔진으로 검산했습니다.
Wikipedia, Circular sector （访问日期：2026-09-08）——부채꼴 넓이와 호의 길이 공식.
Wikipedia, Arc length （访问日期：2026-09-08）——원호의 길이와 일반 곡선의 호의 길이.
Wikipedia, Radian （访问日期：2026-09-08）——라디안의 정의, 역사와 환산.
Wikipedia, Circular segment （访问日期：2026-09-08）——활꼴 넓이와 현의 길이 공식.
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Sources & review
Updated 2026-09-09 Open 호의 길이·부채꼴 계산기: 호 길이, 부채꼴 넓이, 현의 길이 in CalcX