정다각형 계산기: 넓이, 둘레, 내각, 변심거리와 외접원 반지름

계산기 설명

정다각형 계산기는 변의 수 $n$ 과 변의 길이 $s$ 로 정다각형의 넓이 $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ , 둘레 $P = ns$ , 각 내각 $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ 을 구합니다. 반대로 넓이와 변의 수에서 변의 길이를 역산할 수도 있습니다.

“정다각형”은 모든 변이 같고 모든 각이 같은 다각형입니다. 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형(너트, 벌집), 정팔각형(정지 표지)…… 두 조건만 만족하면 변 하나를 재서 전체를 알 수 있습니다. 이 계산기는 삼각형, 정사각형 같은 “초등 기하”와 원( $n \to \infty$ 의 극한)을 한 줄로 잇고, “다각형으로 원에 다가가기”를 이해하는 출발점입니다.

하지 않는 일: 불규칙 다각형은 다루지 않고(변의 길이나 각이 다른 도형은 삼각형으로 나눠 각각 계산해야 함), 별 모양 다각형도 다루지 않으며, 단위 환산도 하지 않습니다 — 변의 길이를 어떤 단위로 재든 넓이는 그 단위의 제곱입니다.

공식과 변수

정 $n$ 각형의 변의 길이를 $s$ , 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리(외접원 반지름)를 $R$ , 중심에서 각 변의 중점까지의 거리(변심거리, 내접원 반지름)를 $a$ 라 합시다:

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{내각}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

세 보조량과 두 가지 등가 넓이 표현(계산기 내부는 첫 식만 사용, 나머지는 손계산과 검산용):

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

넓이에서 변의 길이 역산:

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

기호	의미	계산기 필드	단위	허용 범위와 설명
$n$	변의 수	변의 수 n	개	정수, $n \ge 3$ ; 기본값 6. 패널은 3 미만이거나 정수가 아닌 입력을 거부(`min: 3, integer: true`); 하위 `compute()`는 검사하지 않음
$s$	변의 길이	변의 길이 s	길이	$s > 0$ ; 기본값 5
$A$	넓이	넓이	길이²	출력; 역산 모드에서는 입력
$P$	둘레	둘레	길이	출력, $P = ns$
$\theta_{\text{내각}}$	각 내각	내각(°)	도	출력, $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ , $n$ 이 커지면 180°에 다가감
$a$	변심거리(내접원 반지름)	(표시 안 함)	길이	중심에서 변까지의 수선 거리, 손계산 넓이의 “높이”
$R$	외접원 반지름	(표시 안 함)	길이	중심에서 꼭짓점까지의 거리; 정육각형은 $R = s$
$\pi/n$	중심각의 절반	(중간량)	라디안	식의 $\tan(\pi/n)$ 은 라디안 기준; 각도법으로 손계산하면 $\tan(180^\circ/n)$

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 “수학 도구 → 공식 → 정다각형”(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon)에 해당합니다. 열면 “변의 수 n” = 6, “변의 길이 s” = 5가 채워져 있고 넓이, 둘레, 내각이 바로 계산됩니다.
넓이·둘레·내각 구하기변의 수와 변의 길이를 바꾸면 “입력” 표시가 붙은 값은 직접 넣은 값이고, “계산” 표시가 붙은 세 필드가 실시간으로 갱신됩니다. 변의 수에는 3 이상의 정수를 입력하세요.
넓이에서 변의 길이 역산“변의 길이 s”를 비우고 “넓이”에 알려진 넓이를 입력한 뒤 “변의 수 n”은 그대로 두면 변의 길이 필드가 “계산”으로 바뀌어 결과를 표시합니다. 이때 “둘레”는 0으로 표시됩니다(엔진이 비어 있는 변의 길이를 0으로 보고 둘레를 계산하며, 역산된 변의 길이가 되돌아 채워지지 않음). 결과를 변의 길이 필드에 직접 다시 넣으면 둘레를 볼 수 있습니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 유지하고 끝의 0은 제거합니다. 예를 들어 정육각형의 변의 길이가 5일 때 넓이는 64.95190528로 표시됩니다; 내각은 $n$ 이 정수일 때 보통 정수이거나 유한 소수입니다(정오각형 108, 정칠각형 128.57142857).
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 공식 텍스트 A = n×s²/(4tan(π/n))를 클립보드에 복사합니다.

예시

네 가지 예시 모두 엔진 regular-polygon의 compute로 재계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 끝의 0 제거입니다.

예시 1: 기본 입력, 변의 길이 5인 정육각형

입력: $n = 6$ , $s = 5$ .

중심각의 절반 $\pi/6 = 30^\circ$ , $\tan 30^\circ = 0.57735027$ .
넓이 $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ .
둘레 $P = 6 \times 5 = 30$ .
내각 $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ .

화면 표시: 넓이 64.95190528, 둘레 30, 내각 120. 손계산 검산: 변심거리 $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ , 넓이 $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ 로 일치; 외접원 반지름 $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ — 정육각형은 “외접원 반지름이 변의 길이와 같은” 유일한 정다각형이고, 정삼각형 6개로 이루어지기 때문입니다.

그림 1: 예시 1의 정육각형. 넓이 = 밑변 s, 높이 a인 이등변삼각형 6개

예시 2: 정삼각형과 정사각형 — 알려진 공식으로 검산

입력 $n = 3$ , $s = 4$ :

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ .
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ .

화면 표시: 넓이 6.92820323, 둘레 12, 내각 60. 중등 공식 $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ 과 같습니다.

입력 $n = 4$ , $s = 4$ : $\tan 45^\circ = 1$ , $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ , 화면 표시 넓이 16, 둘레 16, 내각 90 — 정사각형 공식 $s^2$ 은 일반식이 $n = 4$ 일 때 갖는 특례입니다.

예시 3: 정지 표지 — 변의 길이 10인 정팔각형

입력: $n = 8$ , $s = 10$ .

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ .
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ .
$P = 80$ , 내각 $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ .

화면 표시: 넓이 482.84271247, 둘레 80, 내각 135. 닫힌 표현으로는 $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ . 변의 길이 단위가 센티미터라면 이런 표지 한 장의 넓이는 약 0.048 m²입니다; 변심거리 $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ 이므로 “마주 보는 변 사이 거리”(스패너 입구처럼 재는 값)는 $2a = 24.14$ 입니다.

예시 4: 변의 길이 역산, 그리고 n이 클 때 원에 다가가기

입력: 넓이 $A = 100$ , $n = 6$ (변의 길이는 비움).

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ .

화면 표시: 변의 길이 s 6.20403239, 내각 120; “둘레”는 0으로 표시됩니다(단계 3의 기준 설명 참조). 6.20403239를 변의 길이에 직접 다시 넣으면 둘레가 37.22419434로 표시됩니다.

입력 $n = 360$ , $s = 1$ : 넓이 10312.97851164, 둘레 360, 내각 179. 둘레가 360으로 같은 원의 넓이는 $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ 로, 다각형이 원보다 0.0025%만 작습니다 — 변의 수가 많아지면 정다각형과 원은 거의 구분되지 않으며, 이것이 아르키메데스가 96각형으로 $\pi$ 를 끼워 넣은 발상입니다.

예시 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다. 변의 수를 6에서 8, 12, 100으로 차례로 바꾸면서 내각이 180°에 다가가고 넓이가 “둘레가 같은 원”에 점점 가까워지는 것을 관찰하세요.

원리와 유도

이등변삼각형 n개로 자르기

정 $n$ 각형의 중심과 각 꼭짓점을 이으면 합동인 이등변삼각형 $n$ 개가 나옵니다: 밑변은 $s$ , 두 등변은 $R$ , 꼭지각은 360°를 똑같이 나눈 중심각 $2\pi/n$ 입니다. 다시 중심에서 밑변에 수선을 내리면 이등변삼각형이 직각삼각형 둘로 나뉘고, 직각변은 각각 $s/2$ 와 변심거리 $a$ , 예각은 $\pi/n$ 입니다. 따라서

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

이등변삼각형 하나의 넓이는 $\tfrac12 s a$ 이고, $n$ 개를 더하면:

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

“넓이 = 둘레 × 변심거리 ÷ 2”라는 형식은 원의 $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ 과 완전히 같은 구조입니다 — 원은 변심거리가 반지름과 같고 둘레가 $2\pi r$ 인 “무한 다각형”입니다.

내각이 (n − 2)·180° / n인 이유

한 꼭짓점에서 나머지 꼭짓점으로 대각선을 그으면 어떤 $n$ 각형이든 삼각형 $n - 2$ 개로 나뉘고, 삼각형의 내각의 합은 180°이므로 다각형의 내각의 합은 $(n-2)\cdot 180^\circ$ 입니다. 정다각형은 모든 각이 같으니 $n$ 개에 똑같이 나누면 각 내각이 됩니다. 다른 관점: 각 외각은 $360^\circ/n$ 이고(다각형을 한 바퀴 돌면 총 360° 회전), 내각 $= 180^\circ - 360^\circ/n$ 이며 정리하면 앞 식과 같습니다. $n = 3, 4, 5, 6, 8$ 은 각각 60°, 90°, 108°, 120°, 135°입니다.

어떤 정다각형이 평면을 채울 수 있는가

한 꼭짓점에 같은 정다각형 여러 개를 붙일 때 내각의 합이 정확히 360°여야 합니다. $360^\circ / \theta_{\text{내각}}$ 이 정수여야 합니다: 정삼각형(6개), 정사각형(4개), 정육각형(3개)은 가능하고; 정오각형 $360/108 = 3.33$ , 정팔각형 $360/135 = 2.67$ 은 안 되므로 이 세 가지 정다각형만 홀로 평면을 채울 수 있습니다. 벌집이 정육각형을 고른 것은 우연이 아닙니다: 이 셋 중 같은 넓이를 둘러쌀 때 정육각형의 둘레가 가장 짧습니다(Hales가 1999년에 증명한 “벌집 추측”).

원에 다가가기: 다각형에서 π로

둘레 $P$ 를 고정하면 정 $n$ 각형의 넓이는 $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ 입니다. $n \to \infty$ 이면 $n\tan(\pi/n) \to \pi$ 이므로 $A_n \to P^2/(4\pi)$ 이고, 이는 둘레가 $P$ 인 원의 넓이입니다. 예시 4의 $n = 360$ 은 이미 0.0025% 차이밖에 나지 않습니다. 아르키메데스는 《원의 측정》에서 내접·외접 정96각형으로 $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ 을 끼워 냈고, 바로 이 수렴을 이용했습니다. 유휘의 “할원술”은 정3072각형으로 $\pi \approx 3.1416$ 을 얻었습니다.

외접원 반지름이나 변심거리에서 출발하기

변의 길이가 아니라 $R$ (예: 원에 내접하는 정다각형)이나 $a$ (예: 너트의 마주 보는 변 거리)를 알고 있다면 먼저 변의 길이로 환산한 뒤 이 계산기를 쓰면 됩니다: $s = 2R\sin(\pi/n)$ , $s = 2a\tan(\pi/n)$ . 등가인 직접 공식은 $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ 과 $A = na^2\tan(\pi/n)$ 입니다.

가정

도형이 실제로 정다각형: 모든 변이 같고 모든 내각이 같아야 합니다. 한 조건만 만족하면(예: 마름모는 변이 같지만 각이 다름) 적용되지 않습니다.
볼록 다각형: 공식은 볼록한 정다각형을 위한 것입니다; 정오각별 같은 별 모양 다각형의 “넓이”는 정의가 달라 범위 밖입니다.
평면 기하: 유클리드 평면에서 성립합니다; 구면 위의 정다각형은 내각의 합이 더 큽니다.
변의 수는 3 이상의 정수: 패널은 정수가 아닌 입력과 $n < 3$ 을 거부합니다(min: 3, integer: true); 하위 compute()만 검사하지 않으며, 정수가 아닌 $n$ 의 출력은 기하학적 의미가 없습니다.
같은 단위: 변의 길이와 변심거리, 반지름은 같은 길이 단위를 쓰고, 넓이는 그 제곱입니다.
역산 기준: 넓이에서 변의 길이를 역산할 때 둘레 필드는 비어 있는 변의 길이(0)로 계산되어 0으로 표시되며, 둘레가 실제로 0이라는 뜻이 아닙니다.

적용 범위와 한계

계산 가능: $n \ge 3$ 인 정다각형에서 변의 길이로 넓이·둘레·내각 구하기; 넓이와 변의 수로 변의 길이 역산.
근사만 가능: 실측한 “정”다각형에는 항상 제작 오차가 있습니다; 넓이의 상대 오차는 변의 길이 상대 오차의 두 배입니다( $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ).
계산 불가: 불규칙 다각형(삼각형으로 나누거나 좌표법 “신발끈 공식”을 사용), $R$ 이나 $a$ 의 직접 입력(위 식으로 $s$ 로 환산한 뒤 입력), 별 모양 다각형, 3차원 다면체의 겉넓이.
하지 않음: 변심거리, 외접원 반지름, 외각, 대각선 개수( $n(n-3)/2$ ) 같은 보조량은 출력하지 않으며 필요하면 공식으로 손계산합니다.
수치: $n$ 이 아주 크면 $\tan(\pi/n)$ 이 매우 작아지지만, 배정도의 $n$ 이 $10^7$ 수준까지는 유효 숫자 8자리 이상이 남아 일상 사용에 영향이 없습니다.

흔한 오해

손계산에서 각도법으로 쓰면서 tan(π/n)라고 적기: $\pi/n$ 은 라디안입니다. 일반 계산기를 각도 모드로 두었다면 $\tan(180^\circ/n)$ 을 눌러야 하며, 정육각형은 $\tan(0.5236^\circ)$ 이 아니라 $\tan(30^\circ)$ 입니다.
외접원 반지름을 변의 길이로 착각: $R = s$ 인 것은 정육각형뿐입니다. 정사각형 $R = s/\sqrt 2$ , 정삼각형 $R = s/\sqrt 3$ , 정팔각형 $R = 1.3066\,s$ 입니다.
“마주 보는 변 거리”를 변의 길이로 착각: 너트 호칭 치수(예: M10 너트의 17 mm)는 마주 보는 변 거리 $2a$ 이고 변의 길이가 아닙니다. 변의 길이는 $s = 2a\tan(\pi/n)$ 이고, 정육각형은 $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ 입니다: 17 mm 너트는 $a = 8.5$ mm, 변의 길이 9.81 mm입니다.
불규칙 도형에 공식 적용: 변 다섯 개가 모두 5지만 각이 다른 오각형은 정오각형보다 넓이가 작습니다; 공식은 정다각형에서만 성립합니다.
넓이 단위에서 제곱을 빠뜨림: 변의 길이 5 cm인 정육각형의 넓이는 64.95 cm가 아니라 64.95 cm²입니다.
변의 수에 소수를 넣거나 3 미만을 넣음: 패널이 막습니다(min: 3, integer: true); 하위 compute()만 그대로 계산하지만 결과는 의미가 없습니다(예시 4 뒤의 안내 참조).
역산 모드에서 둘레가 0으로 표시됨: 그것은 결과가 아니라 기준이며, 역산된 변의 길이를 되돌려 넣으면 됩니다.

대표 사용 사례

교육: 삼각형·정사각형에서 원까지

먼저 $n = 3$ , $4$ 로 익숙한 공식을 검산하고, $n$ 을 100, 1000까지 키우면서 내각이 180°에, 넓이가 둘레가 같은 원의 넓이에 다가가는 것을 관찰하세요 — 극한과 $\pi$ 의 유래를 한 번에 체험합니다.

건축과 조경: 정자, 화단, 바닥 타일

육각 정자의 변의 길이로 바닥 넓이 구하기(바닥재 계산); 정팔각형 화단의 둘레 구하기(테두리 길이 계산); 어떤 정다각형 타일이 틈 없이 평면을 채우는지 판정(변의 수 3, 4, 6뿐).

기계와 공구: 너트와 축 구멍

너트는 정육각형입니다: 마주 보는 변 거리에서 변의 길이와 단면적을 환산합니다; 정팔각형, 정십이각형의 스플라인이나 스패너 입구도 마찬가지입니다.

표지와 디자인

정지 표지(정팔각형), 벌집 무늬(정육각형), 휘장(정오각형, 정십각형)의 치수 환산과 넓이 추정.

자주 묻는 질문

외접원 반지름 R을 알 때 넓이는 어떻게 구하나요?

$A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ 을 쓰거나, 먼저 변의 길이 $s = 2R\sin(\pi/n)$ 을 구해 계산기에 넣습니다. 정육각형에서 $R = 5$ 이면 $s = 5$ 이고 넓이는 64.95입니다.

변심거리(내접원 반지름) a를 알 때는요?

$A = na^2\tan(\pi/n)$ 을 쓰거나 $s = 2a\tan(\pi/n)$ 을 씁니다. 정육각형에서 $a = 4.3301$ 이면 $s = 5$ 입니다.

내각이 128.57142857 같은 소수로 표시되는 이유는?

정칠각형의 내각 $= 5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ 로 정수가 아닙니다; $n$ 이 $360$ 을 나누어떨어뜨릴 때만 내각이 정수입니다( $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ).

정다각형과 원 중 어느 쪽 넓이가 큰가요?

둘레가 같으면 원의 넓이가 가장 큽니다; 변의 수가 많을수록 정다각형이 원에 가까워집니다(등주 부등식). 예시 4에서 360각형은 원보다 0.0025%만 작습니다.

불규칙 다각형도 계산할 수 있나요?

아니요. 각 꼭짓점 좌표를 알면 신발끈 공식 $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ 을 쓰고, 변과 각을 알면 삼각형으로 나눕니다.

변의 수에 2나 1을 넣으면 어떻게 되나요?

필드가 먼저 거부합니다: $n < 3$ 이면 “3보다 작을 수 없습니다”(min: 3)가 뜹니다. 하위 compute()를 직접 호출하면 $n = 2$ 에서 $\tan(\pi/2)$ 가 무한대, 넓이 0, 내각 0; $n = 1$ 에서 $\tan\pi = 0$ , 넓이가 무한대 — 모두 기하학적 의미가 없습니다.

참고 자료와 더 읽을거리

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 regular-polygon 정의(compute(known, solveFor)가 area / perimeter / intAngle 지원, area에서 s 역산); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 재계산했습니다.
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）— 넓이, 변심거리, 외접원 반지름의 여러 등가 공식.
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）— $A = \tfrac12 Pa$ 의 유도.
Euclid, Elements, Book IV, D. E. Joyce 주해판, Clark University（访问日期：2026-09-09）— 원에 내접·외접하는 정다각형의 작도.
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）— 정육각형이 같은 넓이 분할에서 둘레가 가장 짧다는 Hales의 1999년 증명.
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）— 정삼각형, 정사각형, 정육각형만 홀로 평면을 채울 수 있음.
아르키메데스 《원의 측정》 명제 3; 유휘 《구장산술》의 “원전술” 주에 나오는 할원술 — 정다각형으로 원에 다가간 원전.

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Sources & review

Updated: 2026-09-09

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