정다각형 계산기: 넓이·둘레·내각·변심거리와 외접원 반지름

계산기 설명

정다각형 계산기는 변의 수 $n$ 과 한 변의 길이 $s$ 로 정다각형의 넓이 $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ , 둘레 $P = ns$ , 각 내각 $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ 을 구합니다; 반대로 넓이와 변의 수로 변의 길이를 역산할 수도 있습니다.

"정다각형"은 모든 변의 길이가 같고 모든 각이 같은 다각형을 말합니다: 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형(너트, 벌집), 정팔각형(정지 표지판)…… 도형이 이 두 조건을 만족하면 한 변만 재서 모든 것을 알 수 있습니다. 삼각형, 정사각형 같은 "초등 기하"와 원( $n \to \infty$ 의 극한)을 하나의 선으로 잇는, "다각형으로 원에 다가가기"를 이해하는 출발점입니다.

하지 않는 일: 불규칙 다각형(변의 길이나 각이 같지 않은 도형은 삼각형으로 나누어 각각 계산해야 함)을 다루지 않고, 별 모양 다각형도 다루지 않으며, 단위 환산도 하지 않습니다 — 변의 길이에 어떤 단위를 쓰면 넓이는 그 제곱 단위가 됩니다.

공식과 변수

정 $n$ 각형의 한 변의 길이를 $s$ , 중심에서 각 꼭짓점까지의 거리(외접원의 반지름)를 $R$ , 중심에서 각 변의 중점까지의 거리(변심거리, 내접원의 반지름)를 $a$ 라고 둡니다:

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{내각}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

세 가지 보조량과 두 가지 동등한 넓이 표현(계산기 내부에서는 첫 식만 사용하고, 나머지는 손계산과 검산용):

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

넓이에서 변의 길이 역산:

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

기호	의미	계산기 필드	단위	범위와 설명
$n$	변의 수	변의 수 n	개	정수, $n \ge 3$ ; 기본값 6. 필드에 `min: 3` 안내가 있지만 엔진은 정수가 아닌 값을 막지 않음
$s$	변의 길이	변의 길이 s	길이	$s > 0$ ; 기본값 5
$A$	넓이	넓이	길이²	출력; 역산 모드에서는 입력
$P$	둘레	둘레	길이	출력, $P = ns$
$\theta_{\text{내각}}$	각 내각	내각(°)	도	출력, $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ , $n$ 이 커질수록 180°에 수렴
$a$	변심거리(내접원의 반지름)	(표시 안 함)	길이	중심에서 변까지의 수선 거리, 손계산 넓이의 "높이"
$R$	외접원의 반지름	(표시 안 함)	길이	중심에서 꼭짓점까지의 거리; 정육각형은 $R = s$
$\pi/n$	중심각의 절반	(중간량)	라디안	공식의 $\tan(\pi/n)$ 은 라디안 기준; 각도법으로 손계산할 때는 $\tan(180^\circ/n)$ 으로 씀

이 계산기에서 계산하는 방법

패널 열기이 페이지는 "수학 도구 → 공식 → 정다각형"에 해당합니다(/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon). 열면 "변의 수 n" = 6, "변의 길이 s" = 5가 이미 채워져 있고 넓이, 둘레, 내각이 바로 계산됩니다.
넓이, 둘레, 내각 구하기변의 수와 변의 길이를 바꾸면, "입력" 표시가 붙은 것은 직접 넣은 값이고 "계산" 표시가 붙은 세 필드는 실시간으로 갱신됩니다. 변의 수는 3 이상의 정수를 입력하세요.
넓이에서 변의 길이 역산"변의 길이 s"를 비우고 "넓이"에 아는 값을 넣은 채 "변의 수 n"을 유지하면, 변의 길이 필드가 "계산"으로 바뀌며 결과를 표시합니다. 이때 "둘레"는 0으로 표시되는데(엔진이 비어 있는 변의 길이를 0으로 보고 둘레를 계산하며, 역산된 변의 길이는 되돌려 채우지 않음), 결과를 변의 길이 필드에 직접 다시 넣으면 둘레를 볼 수 있습니다.
결과 읽기값은 소수점 이하 최대 8자리까지 남기고 끝의 0은 지웁니다. 예를 들어 한 변이 5인 정육각형의 넓이는 64.95190528로 표시됩니다; 내각은 $n$ 이 정수일 때 보통 정수이거나 유한소수입니다(정오각형 108, 정칠각형 128.57142857).
공식 복사패널 제목 오른쪽의 복사 버튼이 공식 텍스트 A = n×s²/(4tan(π/n))를 클립보드에 복사합니다.

예제

네 가지 예제는 모두 regular-polygon 엔진의 compute로 재계산했습니다. 표시 기준은 소수점 이하 최대 8자리, 끝의 0 제거입니다.

예제 1: 기본 입력, 한 변이 5인 정육각형

입력: $n = 6$ , $s = 5$ .

중심각의 절반 $\pi/6 = 30^\circ$ , $\tan 30^\circ = 0.57735027$ .
넓이 $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ .
둘레 $P = 6 \times 5 = 30$ .
내각 $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ .

화면 표시: 넓이 64.95190528, 둘레 30, 내각 120. 손으로 검산: 변심거리 $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ , 넓이 $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ 으로 일치; 외접원의 반지름 $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ — 정육각형은 "외접원의 반지름이 한 변의 길이와 같은" 유일한 정다각형이며, 정삼각형 6개로 이루어져 있기 때문입니다.

그림 1: 예제 1의 정육각형. 넓이 = 밑변 s, 높이 a인 이등변삼각형 6개

예제 2: 정삼각형과 정사각형 — 아는 공식으로 검산

$n = 3$ , $s = 4$ 를 입력:

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ .
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ .

화면 표시: 넓이 6.92820323, 둘레 12, 내각 60. 이것은 교과서 공식 $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ 과 같습니다.

$n = 4$ , $s = 4$ 를 입력: $\tan 45^\circ = 1$ , $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ , 화면 표시 넓이 16, 둘레 16, 내각 90 — 정사각형 공식 $s^2$ 은 일반식이 $n = 4$ 일 때의 특례입니다.

예제 3: 정지 표지판 — 한 변이 10인 정팔각형

입력: $n = 8$ , $s = 10$ .

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ .
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ .
$P = 80$ , 내각 $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ .

화면 표시: 넓이 482.84271247, 둘레 80, 내각 135. 닫힌 형식으로 쓰면 $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ . 한 변의 단위가 센티미터라면 이런 표지판 하나의 넓이는 약 0.048 m²입니다; 변심거리 $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ 이므로 "마주 보는 변 사이 거리"(렌치 입구처럼 재는 값)는 $2a = 24.14$ 입니다.

예제 4: 변의 길이 역산, 그리고 n이 클 때 원에 다가가기

입력: 넓이 $A = 100$ , $n = 6$ (변의 길이는 비움).

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ .

화면 표시: 변의 길이 s 6.20403239, 내각 120; "둘레"는 0으로 표시됩니다(단계 3의 기준 설명 참조). 6.20403239를 변의 길이에 직접 다시 넣으면 둘레가 37.22419436으로 표시됩니다.

$n = 360$ , $s = 1$ 을 입력: 넓이 10312.97851164, 둘레 360, 내각 179. 둘레가 같은 360인 원의 넓이는 $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ 이며, 다각형이 원보다 0.0025%만 작습니다 — 변의 수가 많아지면 정다각형과 원은 거의 구별할 수 없게 되는데, 이것이 아르키메데스가 96각형으로 $\pi$ 를 조여 낸 착상입니다.

예제 1의 입력을 패널에 그대로 넣어 재현할 수 있습니다; 변의 수를 6에서 8, 12, 100으로 차례로 바꾸면 내각이 180°로 다가가고 넓이가 "둘레가 같은 원"에 점점 가까워지는 것을 볼 수 있습니다.

원리와 유도

n개의 이등변삼각형으로 자르기

정 $n$ 각형의 중심과 각 꼭짓점을 이으면 합동인 이등변삼각형 $n$ 개가 나옵니다: 밑변은 $s$ , 두 등변은 $R$ , 꼭지각은 360°를 똑같이 나눈 중심각 $2\pi/n$ 입니다. 다시 중심에서 밑변에 수선을 내리면 이등변삼각형이 직각삼각형 두 개로 나뉘고, 직각을 끼운 두 변은 각각 $s/2$ 와 변심거리 $a$ , 예각은 $\pi/n$ 입니다. 따라서

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

이등변삼각형 하나의 넓이는 $\tfrac12 s a$ 이고, $n$ 개를 더하면:

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

"넓이 = 둘레 × 변심거리 ÷ 2"라는 형식은 원의 $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ 과 완전히 같은 구조입니다 — 원은 변심거리가 반지름과 같고 둘레가 $2\pi r$ 인 "무한다각형"인 셈입니다.

내각이 (n − 2)·180° / n인 이유

한 꼭짓점에서 나머지 꼭짓점으로 대각선을 그으면 어떤 $n$ 각형이든 $n - 2$ 개의 삼각형으로 나뉘고, 삼각형 하나의 내각의 합이 180°이므로 다각형의 내각의 합은 $(n-2)\cdot 180^\circ$ 입니다. 정다각형은 모든 각이 같으므로 $n$ 개에 똑같이 나누면 각 내각이 됩니다. 다른 관점: 각 외각은 $360^\circ/n$ 이고(다각형을 한 바퀴 돌면 총 360° 회전), 내각 $= 180^\circ - 360^\circ/n$ 이며 정리하면 앞 식과 같습니다. $n = 3, 4, 5, 6, 8$ 은 각각 60°, 90°, 108°, 120°, 135°를 줍니다.

평면을 채울 수 있는 정다각형

한 꼭짓점에 같은 정다각형 여러 개를 붙일 때 내각의 합이 정확히 360°가 되어야 합니다. $360^\circ / \theta_{\text{내각}}$ 이 정수여야 합니다: 정삼각형(6개), 정사각형(4개), 정육각형(3개)은 가능하고; 정오각형 $360/108 = 3.33$ , 정팔각형 $360/135 = 2.67$ 은 불가능하므로 이 세 가지만 단독으로 평면을 채울 수 있습니다. 벌집이 정육각형을 고른 것은 우연이 아닙니다: 이 셋 중에서 같은 넓이를 둘러쌀 때 정육각형의 둘레가 가장 짧습니다(Hales가 1999년에 증명한 "벌집 추측").

원에 다가가기: 다각형에서 π로

둘레 $P$ 를 고정하면 정 $n$ 각형의 넓이는 $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ 입니다. $n \to \infty$ 이면 $n\tan(\pi/n) \to \pi$ 이므로 $A_n \to P^2/(4\pi)$ 가 되며, 이것이 둘레가 $P$ 인 원의 넓이입니다. 예제 4에서 $n = 360$ 은 이미 0.0025% 차이밖에 나지 않습니다. 아르키메데스는 《원의 측정》에서 내접·외접 정96각형으로 $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ 을 조여 냈고, 바로 이 수렴을 이용했습니다. 유휘의 "할원술"은 정3072각형으로 $\pi \approx 3.1416$ 을 얻었습니다.

외접원의 반지름이나 변심거리에서 출발

아는 값이 변의 길이가 아니라 $R$ (예: 원에 내접한 정다각형)이나 $a$ (예: 너트의 마주 보는 변 거리)라면 먼저 변의 길이로 환산한 뒤 이 계산기를 씁니다: $s = 2R\sin(\pi/n)$ , $s = 2a\tan(\pi/n)$ . 동등한 직접 공식은 $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ 과 $A = na^2\tan(\pi/n)$ 입니다.

가정

도형이 실제로 정다각형: 모든 변이 같고 모든 내각이 같아야 합니다. 조건을 하나만 만족하는 경우(예: 마름모는 변은 같지만 각이 다름)에는 적용되지 않습니다.
볼록 다각형: 공식은 볼록한 정다각형을 위한 것입니다; 정오각별 같은 별 모양 다각형의 "넓이"는 정의가 달라 범위 밖입니다.
평면 기하: 유클리드 평면에서 성립합니다; 구면 위의 정다각형은 내각의 합이 더 큽니다.
변의 수는 3 이상의 정수: 엔진은 확인하지 않으며, 정수가 아닌 $n$ 의 출력은 기하학적 의미가 없습니다.
같은 단위: 변의 길이, 변심거리, 반지름에 같은 길이 단위를 쓰고 넓이는 그 제곱입니다.
역산 기준: 넓이에서 변의 길이를 역산할 때 둘레 필드는 비어 있는 변의 길이(0)로 계산되어 0으로 표시되며, 둘레가 0이라는 뜻이 아닙니다.

적용 범위와 한계

계산 가능: 임의의 $n \ge 3$ 정다각형의 변의 길이에서 넓이, 둘레, 내각; 넓이와 변의 수에서 변의 길이 역산.
근사만 가능: 실제로 잰 "정"다각형에는 제조 오차가 있고, 넓이의 변의 길이에 대한 상대 오차는 변의 길이 상대 오차의 두 배입니다( $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ).
계산 불가: 불규칙 다각형(삼각형으로 나누거나 좌표법 "신발끈 공식"을 사용), $R$ 이나 $a$ 의 직접 입력(위의 방법으로 $s$ 로 환산한 뒤 사용), 별 모양 다각형, 3차원 다면체의 겉넓이.
하지 않음: 변심거리, 외접원의 반지름, 외각, 대각선 개수( $n(n-3)/2$ ) 같은 보조량은 출력하지 않으며 필요하면 공식으로 손계산.
수치: $n$ 이 매우 크면 $\tan(\pi/n)$ 이 아주 작아지지만, 배정밀도에서 $n$ 이 $10^7$ 수준까지도 유효 숫자 8자리 이상이 남아 일상 사용에는 영향이 없습니다.

흔한 오해

손계산에서 각도법을 쓰면서 tan(π/n)이라고 씀: $\pi/n$ 은 라디안입니다. 일반 계산기를 각도 모드로 두었다면 $\tan(180^\circ/n)$ 을 눌러야 합니다; 정육각형은 $\tan(0.5236^\circ)$ 가 아니라 $\tan(30^\circ)$ 를 넣습니다.
외접원의 반지름을 변의 길이로 착각: $R = s$ 인 것은 정육각형뿐입니다. 정사각형 $R = s/\sqrt 2$ , 정삼각형 $R = s/\sqrt 3$ , 정팔각형 $R = 1.3066\,s$ .
"마주 보는 변 거리"를 변의 길이로 착각: 너트의 호칭 치수(예: M10 너트의 17 mm)는 마주 보는 변 거리 $2a$ 이지 변의 길이가 아닙니다. 변의 길이 $s = 2a\tan(\pi/n)$ 이고, 정육각형은 $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ : 17 mm 너트는 $a = 8.5$ mm, 변의 길이 9.81 mm입니다.
불규칙 도형에 공식을 갖다 붙임: 다섯 변의 길이가 모두 5지만 각이 같지 않은 오각형은 넓이가 정오각형보다 작습니다; 공식은 정다각형에만 성립합니다.
넓이 단위에서 제곱을 빠뜨림: 한 변이 5 cm인 정육각형의 넓이는 64.95 cm²이지 64.95 cm가 아닙니다.
변의 수에 소수나 3 미만을 입력: 엔진은 그대로 계산하지만 결과는 의미가 없습니다(예제 4 뒤의 안내 참조).
역산 모드에서 둘레가 0으로 표시: 그것은 결과가 아니라 기준이며, 역산된 변의 길이를 다시 넣으면 됩니다.

대표 사용 사례

교육: 삼각형, 정사각형에서 원까지

먼저 $n = 3$ , $4$ 로 익숙한 공식을 검산하고, $n$ 을 100, 1000까지 키우면서 내각이 180°에, 넓이가 둘레가 같은 원의 넓이에 다가가는 것을 관찰합니다 — 극한과 $\pi$ 의 유래를 한 번에 체험합니다.

건축과 정원: 정자, 화단, 바닥 타일

육각 정자의 한 변을 알 때 바닥 면적 구하기(바닥재 계산); 정팔각형 화단의 둘레 구하기(테두리 길이 계산); 어떤 정다각형 타일이 빈틈없이 깔리는지 판정(3, 4, 6변뿐).

기계와 금속: 너트와 축 구멍

너트는 정육각형입니다: 마주 보는 변 거리에서 변의 길이와 단면적을 환산; 정팔각형, 정십이각형 스플라인이나 렌치 입구도 같은 원리입니다.

표지판과 디자인

정지 표지판(정팔각형), 벌집 무늬(정육각형), 휘장(정오각형, 정십각형)의 치수 환산과 넓이 어림.

자주 묻는 질문

외접원의 반지름 R을 알 때 넓이는 어떻게 구하나요?

$A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ 을 쓰거나, 먼저 변의 길이 $s = 2R\sin(\pi/n)$ 을 구해 계산기에 넣습니다. 정육각형은 $R = 5$ 일 때 $s = 5$ , 넓이 64.95입니다.

변심거리(내접원의 반지름) a를 알 때는요?

$A = na^2\tan(\pi/n)$ 또는 $s = 2a\tan(\pi/n)$ 입니다. 정육각형은 $a = 4.3301$ 일 때 $s = 5$ 입니다.

내각이 128.57142857 같은 소수로 표시되는 이유는?

정칠각형의 내각 $= 5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ 은 정수가 아닙니다; $n$ 이 $360$ 을 나누어떨어뜨릴 때만 내각이 정수입니다( $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ).

정다각형과 원 중 어느 쪽 넓이가 큰가요?

둘레가 같으면 원의 넓이가 가장 큽니다; 변의 수가 많은 정다각형일수록 원에 가까워집니다(등주부등식). 예제 4에서 360각형은 원보다 0.0025%만 작습니다.

불규칙 다각형도 계산할 수 있나요?

아니요. 각 꼭짓점의 좌표를 알면 신발끈 공식 $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ 을 쓰고, 변과 각을 알면 삼각형으로 나눕니다.

변의 수에 2나 1을 넣으면 어떻게 되나요?

$n = 2$ 일 때 $\tan(\pi/2)$ 는 무한대, 넓이 0, 내각 0; $n = 1$ 일 때 $\tan\pi = 0$ 이라 넓이가 무한이 됩니다. 모두 기하학적 의미가 없으며, 필드가 안내하는 최솟값은 3입니다.

참고 자료와 더 알아보기

CalcX 엔진 소스 src/data/formulas.ts의 regular-polygon 정의(compute(known, solveFor)가 area / perimeter / intAngle을 지원하고 area에서 s를 역산); 이 페이지의 모든 숫자는 이 엔진으로 재계산했습니다.
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）— 넓이, 변심거리, 외접원의 반지름의 여러 동등한 공식.
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）— $A = \tfrac12 Pa$ 의 유도.
Euclid, Elements, Book IV, D. E. Joyce 주석판, Clark University（访问日期：2026-09-09）— 원에 내접·외접하는 정다각형의 작도.
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）— 정육각형이 같은 넓이 분할에서 둘레가 가장 짧다는 것, Hales가 1999년에 증명.
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）— 정삼각형, 정사각형, 정육각형만 단독으로 평면을 채울 수 있음.
아르키메데스 《원의 측정》 명제 3; 유휘 《구장산술》 "원전술" 주석의 할원술 — 다각형으로 원에 다가간 원전.

개인정보

모든 입력과 계산은 브라우저 안에서 이루어지며 서버로 전송되지 않습니다; 이 페이지의 설명은 정적 콘텐츠이며 어떤 사용자 입력도 포함하지 않고 기록하지 않습니다.

来源与审阅

更新: 2026-09-09