Calculadora de distância entre dois pontos (2D/3D)

Sobre esta calculadora

A calculadora de distância entre dois pontos usa as coordenadas cartesianas $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$ para obter a distância em linha reta (distância euclidiana) $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ e também as coordenadas $x$ e $y$ do ponto médio do segmento. Com os dois $z$ iguais a 0, ela vira a distância entre dois pontos no plano.

Os problemas para os quais ela serve: quanto distam dois pontos num mapa ou desenho, o espaçamento entre dois pixels na tela, o deslocamento entre duas posições da extremidade de um braço robótico, a aresta entre dois vértices de um modelo 3D, «quão parecidos» são dois exemplos numa análise de dados. Tudo o que pode ser escrito como coordenadas pode ser medido com ela.

O que ela não faz: não calcula o percurso por estradas ou por uma malha (isso é distância de Manhattan ou planejamento de rotas), não calcula a distância do grande círculo entre dois pontos da superfície da Terra (latitude e longitude pedem a fórmula esférica), não devolve o $z$ do ponto médio e não converte unidades — todas as coordenadas devem usar a mesma unidade de comprimento.

Fórmula e variáveis

Distância euclidiana entre dois pontos do espaço tridimensional:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Com $z_1 = z_2$ (por exemplo, os dois iguais a 0), ela se reduz à fórmula plana $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . O ponto médio do segmento é a média aritmética das coordenadas das extremidades:

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$x_1, y_1, z_1$	Coordenadas do primeiro ponto	x₁, y₁, z₁	comprimento	Qualquer número real; padrão (0, 0, 0); em problemas planos, z₁ = 0
$x_2, y_2, z_2$	Coordenadas do segundo ponto	x₂, y₂, z₂	comprimento	Qualquer número real; padrão (3, 4, 0); em problemas planos, z₂ = 0
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	As três diferenças de coordenadas	(grandeza intermediária)	comprimento	O sinal não importa: some ao elevar ao quadrado
$d$	Distância entre os pontos	Distância d	comprimento	Saída, $d \ge 0$ ; é 0 quando os pontos coincidem
$M_x, M_y$	Coordenadas x e y do ponto médio	Ponto médio X, Ponto médio Y	comprimento	Saída; o motor não devolve o z do ponto médio, que é $(z_1+z_2)/2$ à mão

As seis coordenadas devem usar a mesma unidade de comprimento; a unidade da distância é a mesma.

Como usar esta calculadora

Abra o painelesta página corresponde a «Ferramentas de matemática → Fórmulas → Calculadora de distância (2D/3D)» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance). Ao abrir, só x₁ = 0 e y₁ = 0 vêm preenchidos; as outras quatro coordenadas ficam vazias e contam como 0, então a distância inicial exibida é 0 — preencha as seis coordenadas.
Informe os dois pontosem problemas planos, preencha z₁ e z₂ com 0; em problemas 3D, use a altura real. As coordenadas podem ser negativas e decimais.
Leia a distância«Distância d», marcada com «calcular», é atualizada em tempo real, com no máximo 8 casas decimais e sem zeros à direita.
Leia o ponto médio«Ponto médio X» e «Ponto médio Y» são as médias das coordenadas correspondentes; em problemas 3D, calcule o $z$ do ponto médio à parte, como $(z_1 + z_2)/2$ .
Confiratrocando os dois pontos de lugar, distância e ponto médio não mudam; com os dois pontos iguais, a distância deve ser 0.

Exemplos resolvidos

Os quatro exemplos foram recalculados com o compute do motor distance; o critério de exibição é de no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.

Exemplo 1: da origem até (3, 4, 12)

Entradas: $(0, 0, 0)$ e $(3, 4, 12)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 12$ .
Soma dos quadrados: $9 + 16 + 144 = 169$ .
$d = \sqrt{169} = 13$ ; ponto médio $(1.5, 2, 6)$ .

Na interface: distância 13, ponto médio X 1.5, ponto médio Y 2. Este exemplo pode ser visto como dois usos do teorema de Pitágoras: a diagonal da base é $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ e, com a altura 12, forma um novo triângulo retângulo, $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ .

Figura 1: a distância tridimensional é a diagonal espacial do paralelepípedo, obtida aplicando o teorema de Pitágoras uma segunda vez à diagonal da base

Exemplo 2: (1, 2) e (4, 6) no plano

Entradas: $(1, 2, 0)$ e $(4, 6, 0)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 0$ .
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; ponto médio $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ .

Na interface: distância 5, ponto médio X 2.5, ponto médio Y 4. Compare: percorrendo a malha (3 na horizontal e depois 4 na vertical), a distância de Manhattan é 7, e a distância em linha reta, 5, nunca é maior que ela.

Exemplo 3: pontos tridimensionais com coordenadas negativas

Entradas: $(-2, 3, 1)$ e $(4, -1, 5)$ .

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ , $\Delta y = -1 - 3 = -4$ , $\Delta z = 5 - 1 = 4$ .
Soma dos quadrados: $36 + 16 + 16 = 68$ .
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ; ponto médio $(1, 1, 3)$ .

Na interface: distância 8.24621125, ponto médio X 1, ponto médio Y 1. O sinal negativo desaparece ao elevar ao quadrado — a distância só se interessa pelo tamanho da diferença entre as coordenadas.

Exemplo 4: as diagonais do quadrado e do cubo unitários

Entradas $(0, 0, 0)$ e $(1, 1, 0)$ : distância 1.41421356 ( $\sqrt 2$ ). Entradas $(0, 0, 0)$ e $(1, 1, 1)$ : distância 1.73205081 ( $\sqrt 3$ ). A diagonal do cubo unitário de $n$ dimensões é $\sqrt n$ — quanto maior a dimensão, maior a diagonal em relação à aresta.

As entradas do exemplo 1 podem ser preenchidas diretamente no painel para reproduzi-lo; mude z₂ para 0 e a distância volta a ser 5, a do plano.

Princípio e dedução

Do teorema de Pitágoras à fórmula da distância

No plano, com dois pontos $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$ , trace por $P_1$ uma horizontal e por $P_2$ uma vertical, que se encontram em $Q(x_2, y_1)$ . O segmento $P_1 Q$ mede $|\Delta x|$ , o segmento $Q P_2$ mede $|\Delta y|$ e os dois são perpendiculares; logo $P_1 P_2$ é a hipotenusa de um triângulo retângulo: $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ . É o teorema de Pitágoras escrito em outra linguagem.

No espaço, ele é usado mais uma vez: primeiro obtém-se a diagonal da base no plano $z = z_1$ , $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ , que é perpendicular à direção vertical $\Delta z$ ; então $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ . Cada dimensão mutuamente perpendicular acrescenta um termo quadrado dentro da raiz — é por isso que a distância euclidiana no espaço de $n$ dimensões é $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ e que a «distância» entre dois vetores de 100 características em ciência de dados continua sendo a mesma fórmula.

Por que o ponto médio é a média

Ao ir de $P_1$ a $P_2$ ao longo do segmento, cada coordenada passa linearmente de $x_1$ a $x_2$ ; na metade do caminho, todas estão exatamente no meio das extremidades, ou seja, $(x_1 + x_2)/2$ . De modo geral, o ponto do segmento na proporção $t$ é $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ : $t = 1/2$ dá o ponto médio, $t = 1/3$ dá o ponto que divide o segmento em três — que é a forma geométrica da proporção e da interpolação linear.

O que uma «distância» deve satisfazer

Em matemática, qualquer função que cumpra as quatro condições a seguir é chamada de distância (métrica): ser não negativa; ser 0 quando, e somente quando, os pontos coincidem; ser simétrica ( $d(P, Q) = d(Q, P)$ ); e satisfazer a desigualdade triangular ( $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ — desviar nunca é mais perto). A distância euclidiana cumpre as quatro e é a formulação precisa da intuição «o caminho reto é o mais curto». A desigualdade triangular explica por que, no exemplo 2, a distância de Manhattan (7) é maior que a distância em linha reta (5).

Além da distância euclidiana

Distância de Manhattan $|\Delta x| + |\Delta y|$ : o percurso quando só se pode andar pela malha (tabuleiro de xadrez, quadras de uma cidade, certos traçados de circuitos).
Distância de Chebyshev $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ : o número de lances do rei de uma casa a outra no xadrez.
Distância do grande círculo: o caminho mais curto entre dois pontos da superfície terrestre ao longo da esfera; latitude e longitude precisam ser convertidas e a fórmula é a haversine da trigonometria esférica, que esta calculadora não faz. Para pequenas extensões (algumas dezenas de quilômetros), dá para converter latitude e longitude em coordenadas planas métricas e usar a distância euclidiana como aproximação.

Como a distância euclidiana, todas cumprem as quatro propriedades de métrica, mas dão valores diferentes; a escolha depende de «como é possível se deslocar».

Relação com o coeficiente angular

$\Delta x$ e $\Delta y$ determinam duas grandezas ao mesmo tempo: a raiz da soma dos quadrados é a distância, e a razão entre eles é o coeficiente angular. No mesmo triângulo retângulo, a distância lê a hipotenusa e o coeficiente angular lê a razão entre os catetos.

Premissas

Sistema de coordenadas cartesianas: os três eixos são mutuamente perpendiculares e têm a mesma escala. Coordenadas inclinadas ou com escalas diferentes (latitude e longitude, escalas logarítmicas) não entram diretamente.
Espaço euclidiano: a «distância» entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta, e o espaço é plano.
Mesma unidade: as seis coordenadas usam a mesma unidade de comprimento; a distância tem essa unidade.
z = 0 representa o plano: em problemas bidimensionais, preencha z₁ e z₂ com 0 (ou com um mesmo número).
As seis coordenadas devem ser preenchidas: o painel só pré-preenche x₁ e y₁; os demais contam como 0. Preencha todos como «entrada».
O ponto médio só sai em x e y: o z do ponto médio é $(z_1 + z_2)/2$ à mão.

Escopo e limitações

O que calcula: a distância euclidiana entre dois pontos quaisquer (coordenadas cartesianas 2D ou 3D) e o ponto médio em x e y; resultado com no máximo 8 casas decimais.
Só aproxima: quando as coordenadas vêm de medições, o erro da distância é aproximadamente a soma das projeções dos erros de cada coordenada na direção do segmento; usar coordenadas planas como aproximação na superfície da Terra piora conforme a extensão cresce.
Não calcula: percurso por malha ou estrada, distância do grande círculo na superfície terrestre, distância de um ponto a uma reta ou a um plano, caminho mais curto entre vários pontos.
Não faz: não devolve o z do ponto médio, ângulos ou vetores de direção, não converte unidades e não julga se as entradas fazem sentido.
Números: com coordenadas extremamente grandes (por exemplo $10^{200}$ ), o quadrado estoura em infinito; em ordens de grandeza do dia a dia isso não acontece.

Erros comuns

Preencher só duas coordenadas: o painel só pré-preenche x₁ e y₁; o resto entra como 0 e a distância 0 exibida não significa nada. Preencha os seis campos.
Esquecer de elevar ao quadrado antes da raiz: $\Delta x + \Delta y$ não é a distância; 3 + 4 = 7 é a distância de Manhattan, e a euclidiana é 5.
Assustar-se com o sinal negativo: uma diferença de coordenada negativa não é problema; ao quadrado ela fica positiva. No exemplo 3, $\Delta y = -4$ contribui com $+16$ .
Usar latitude e longitude como coordenadas: 1° de longitude equivale a cerca de 111 km no equador, mas a apenas cerca de 56 km a 60° de latitude; usar os valores diretamente distorce muito o resultado. Converta antes para coordenadas planas métricas ou use a fórmula do grande círculo.
Unidades de coordenadas misturadas: x em metros e y em centímetros dá um resultado sem sentido. Unifique as unidades antes.
Tomar o ponto médio como metade da distância: o ponto médio é um ponto (coordenadas); metade da distância é um comprimento. Não são a mesma grandeza.
Esperar o z do ponto médio: o motor só devolve os pontos médios x e y; o z sai à mão.

Casos de uso típicos

Ensino: o teorema de Pitágoras em 3D

Comece com (0, 0, 0)–(3, 4, 0) para obter 5 e depois mude z₂ para 12 para chegar a 13, mostrando os dois passos: primeiro a diagonal da base, depois a diagonal espacial.

Desenho técnico, tela e CAD

Distância em linha reta entre dois pontos de referência ou dois pixels; usar o ponto médio como eixo de simetria ou posição de cota. Em coordenadas de tela, o eixo y apontando para baixo não afeta a distância.

Mecânica e robótica

O módulo do deslocamento entre duas poses do efetuador, a distância entre os centros de dois furos, o espaçamento entre dois pontos de uma nuvem de varredura 3D.

Análise de dados

A distância euclidiana entre dois exemplos no espaço de características é a base de algoritmos como k vizinhos mais próximos e agrupamento; a fórmula tridimensional desta calculadora é a versão de baixa dimensão dela.

Perguntas frequentes

Por que a distância aparece como 0 ao abrir?

O painel só pré-preenche x₁ e y₁; as demais coordenadas ficam vazias e contam como 0, com os dois pontos coincidindo na origem. Preencha as seis coordenadas para ver o resultado correto.

Como preencher z em problemas bidimensionais?

Com 0 nos dois (ou com o mesmo número): $\Delta z = 0$ não altera o resultado.

Dá para calcular a distância entre latitude e longitude?

Não diretamente. Latitude e longitude são coordenadas angulares na esfera; é preciso convertê-las em coordenadas planas métricas (pequenas extensões) ou usar a fórmula do grande círculo (grandes extensões).

Onde está o Z do ponto médio?

O motor não devolve o z do ponto médio. Basta calcular $(z_1 + z_2)/2$ à mão; no exemplo 1, o z do ponto médio é 6.

Qual é a diferença entre distância e deslocamento?

Esta calculadora obtém o comprimento da reta entre dois pontos, uma grandeza escalar. O deslocamento também tem direção, dada pelo vetor $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ , cujo módulo é a distância daqui.

Por que o resultado não é inteiro?

A maioria das combinações de coordenadas dá distâncias irracionais (como $\sqrt 2$ e $\sqrt{68}$ ); só ternos pitagóricos como 3-4-5 e 5-12-13 dão inteiros. A interface mantém no máximo 8 casas decimais.

Referências e leitura complementar

Código-fonte do motor CalcX src/data/formulas.ts, definição distance ( $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ , com pontos médios X / Y como médias das coordenadas das extremidades); todos os números desta página foram recalculados com esse motor.
Wikipedia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）— fórmulas em 2D, 3D e $n$ dimensões, além das propriedades de métrica.
Wikipedia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）— a fórmula do ponto médio e suas generalizações.
Wikipedia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）— comparação entre a distância de Manhattan e a euclidiana.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8th ed. Cengage, 2016. §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems” — dedução da fórmula de distância em 3D e ponto médio.

Privacidade

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Midpoint（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8th ed., Cengage, 2016, §12.1 “Three-Dimensional Coordinate Systems”