Teorema de Pitágoras: hipotenusa, catetos e área

Sobre esta calculadora

A calculadora do teorema de Pitágoras encontra o terceiro lado de um triângulo retângulo a partir de dois lados quaisquer: conhecendo os dois catetos $a$ e $b$ , dá a hipotenusa $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; conhecendo a hipotenusa e um cateto, resolve o outro cateto; e, em ambos os casos, informa a área do triângulo, $ab/2$ .

Sempre que aparecer um “ângulo reto” — parede e chão, largura e altura de uma tela, dois deslocamentos nos eixos coordenados, escada e parede — dá para usá-la: medem-se dois lados e o terceiro não precisa ser medido. É também o ponto de partida de conceitos como distância entre dois pontos, lei dos cossenos e comprimento de vetores; entendendo-o, entende-se como “comprimento” é definido no sistema cartesiano.

O que ela não faz: não trata triângulos não retângulos (para isso, lei dos cossenos ou lei dos senos), não verifica se três lados dados formam um triângulo e não faz conversão de unidades — os três lados devem usar a mesma unidade de comprimento.

Fórmula e variáveis

Sejam $a$ e $b$ os catetos de um triângulo retângulo e $c$ a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, também o maior lado):

a^2 + b^2 = c^2

Daí saem três direções de solução e a área:

c = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2},\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2},\qquad S = \tfrac{1}{2}\,ab

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$a$	Um dos catetos	Cateto a	comprimento	$a > 0$ ; padrão 3
$b$	O outro cateto	Cateto b	comprimento	$b > 0$ ; padrão 4
$c$	Hipotenusa	Hipotenusa c	comprimento	$c > a$ e $c > b$ ; na solução inversa, se $c \le$ cateto conhecido, não há solução
$S$	Área	Área	comprimento²	Saída, $S = ab/2$ , só tem sentido quando os dois catetos são conhecidos

Os três lados devem usar a mesma unidade de comprimento (metros, centímetros, pixels…); a unidade da área é o quadrado dessa unidade.

Como usar esta calculadora

Abra o painelesta página corresponde a “Ferramentas de matemática → Fórmulas → Teorema de Pitágoras” (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.pythagorean). Ao abrir, os dois primeiros campos já vêm preenchidos com $a = 3$ e $b = 4$ , e a hipotenusa e a área são calculadas automaticamente.
Achar a hipotenusaaltere “Cateto a” e “Cateto b”; os campos marcados como “entrada” são os seus, e os marcados como “calcular” são atualizados em tempo real. A hipotenusa $c$ e a área aparecem juntas.
Achar um catetoapague “Cateto a” (ou b), informe a hipotenusa em “Hipotenusa c” e mantenha o outro cateto; o cateto apagado passa a “calcular” e mostra o resultado.
Leia os resultadosos números mantêm no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita; por exemplo, $\sqrt{2}$ aparece como 1.41421356. Se, no modo inverso, a hipotenusa não for maior que o cateto conhecido, o campo de resultado fica vazio — isso quer dizer que os valores não formam um triângulo retângulo.
Copie a fórmulao botão de copiar à direita do título do painel copia o texto a² + b² = c² para a área de transferência, para colar em trabalhos ou documentos.

Exemplos resolvidos

Os quatro exemplos foram recalculados com o compute do motor pythagorean; o critério de exibição é de no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.

Exemplo 1: o clássico 3-4-5

Entradas: $a = 3$ , $b = 4$ .

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ .
$c = \sqrt{25} = 5$ .
Área $S = 3 \times 4 / 2 = 6$ .

Na interface: hipotenusa 5, área 6. Este é o menor terno pitagórico de números inteiros; é ele que o Zhoubi Suanjing descreve como “gou três, gu quatro, xian cinco”.

Figura 1: o triângulo retângulo do exemplo 1. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e sempre o maior

Exemplo 2: hipotenusa conhecida, cateto por resolver

Entradas: $c = 13$ , $b = 5$ (a apagado).

$c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144$ .
$a = \sqrt{144} = 12$ .

Na interface: cateto a 12. Note que o campo “Área” mostra 0: o motor só calcula a área quando os dois catetos são entradas; o $a$ obtido pelo inverso não entra no cálculo da área. Para ver a área, coloque 12 em “Cateto a”, apague a hipotenusa e o resultado será 30.

Exemplo 3: o problema da escada

Uma escada de 6.5 m de comprimento está apoiada na parede, com o pé a 2.5 m dela. Que altura a escada alcança? Aqui a hipotenusa é a escada e os catetos são a “distância até a parede” e a “altura”.

Entradas: $c = 6.5$ , $a = 2.5$ (b apagado).

$c^2 - a^2 = 42.25 - 6.25 = 36$ .
$b = \sqrt{36} = 6$ .

Na interface: cateto b 6. Invertendo, se a distância até a parede é 2.5 m e a altura é 6 m, com $a = 2.5$ e $b = 6$ obtêm-se hipotenusa 6.5 e área 7.5.

Exemplo 4: resultado irracional e a diagonal da tela

Entradas: $a = 1$ , $b = 1$ : $c = \sqrt{2}$ e a interface mostra 1.41421356 (8 casas decimais) e área 0.5. Foi o primeiro comprimento da história a ser provado “não fracionário”.

Entradas: $a = 1920$ , $b = 1080$ (largura e altura em pixels de uma tela 1080p): diagonal de 2202.90717008 pixels. Se essa tela tem 27 polegadas (27 in de diagonal), então, usando $c = 27$ e $b = 13.24$ (altura), a solução inversa dá largura 23.53088184 in — “27 polegadas” é a diagonal, não a largura.

As entradas do exemplo 1 podem ser preenchidas diretamente no painel para reproduzi-lo; coloque a e b iguais a 1 e a hipotenusa passa a 1.41421356.

Princípio e dedução

Por que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa

A prova mais intuitiva é por reconfiguração. Tome um quadrado grande de lado $a + b$ e divida-o de duas maneiras:

Primeiro corte: marque um ponto em cada um dos quatro lados e divida o quadrado grande em quatro triângulos retângulos congruentes (catetos $a$ e $b$ ) e um quadrado inclinado no meio. O lado do quadrado inclinado é exatamente a hipotenusa $c$ do triângulo retângulo, então sua área é $c^2$ .
Segundo corte: junte os mesmos quatro triângulos dois a dois em dois retângulos $a \times b$ , coloque-os em dois cantos do quadrado grande e o que sobra são um quadrado $a \times a$ e um quadrado $b \times b$ , de área $a^2 + b^2$ .

Os dois cortes usam os mesmos quatro triângulos e o mesmo quadrado grande; logo, as áreas restantes têm de ser iguais: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Figura 2: dois recortes do mesmo quadrado (a+b)². Como os quatro triângulos são iguais, c² = a² + b²

A Proposição 47 do Livro I dos Elementos de Euclides traz outra prova — construindo quadrados sobre os três lados e mostrando que a soma das áreas dos dois menores é igual à área do maior; a Proposição 48 demonstra o recíproco: se um triângulo satisfaz $a^2 + b^2 = c^2$ , então ele é retângulo. O recíproco é a base prática de “marcar o ângulo reto com 3-4-5” na construção civil: um triângulo formado por três medidas 3, 4 e 5 tem ângulo de exatamente 90°.

Na verdade, é a definição de “distância”

No sistema cartesiano, os deslocamentos $\Delta x$ e $\Delta y$ de $(x_1, y_1)$ até $(x_2, y_2)$ são perpendiculares entre si, então a distância em linha reta entre os dois pontos é a hipotenusa: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . É a fórmula da calculadora de distância entre dois pontos; a extensão para três dimensões é só aplicar Pitágoras de novo (primeiro a diagonal da base, depois um novo triângulo retângulo com a altura). O módulo de um vetor, o módulo de um número complexo e o desvio padrão na estatística (raiz da soma dos quadrados dos desvios) são a mesma expressão.

Relação com a lei dos cossenos

Para qualquer triângulo, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Quando o ângulo $C = 90°$ , $\cos C = 0$ e o último termo desaparece, restando o teorema de Pitágoras. O teorema é, portanto, um caso particular da lei dos cossenos; e, inversamente, a comparação entre $c^2$ e $a^2 + b^2$ diz se o ângulo é agudo ( $c^2 < a^2+b^2$ ) ou obtuso ( $c^2 > a^2+b^2$ ).

Ternos pitagóricos

Um triângulo retângulo cujos três lados são inteiros forma um terno pitagórico. Os menores:

$(a, b, c)$	Verificação
(3, 4, 5)	$9 + 16 = 25$
(5, 12, 13)	$25 + 144 = 169$
(8, 15, 17)	$64 + 225 = 289$
(7, 24, 25)	$49 + 576 = 625$
(20, 21, 29)	$400 + 441 = 841$

A fórmula de Euclides gera todos os ternos primitivos: tomando inteiros positivos $m > n$ primos entre si e de paridades diferentes, faça $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ , $c = m^2 + n^2$ . $m = 2, n = 1$ dão (3, 4, 5); $m = 3, n = 2$ dão (5, 12, 13). Qualquer terno multiplicado por uma constante continua sendo um terno: (6, 8, 10) e (0.3, 0.4, 0.5) também dão resultados exatos na calculadora.

História

A tábua de argila babilônica Plimpton 322 (c. 1800 a.C.) já lista muitos ternos pitagóricos; o clássico chinês Zhoubi Suanjing registra a relação “gou três, gu quatro, xian cinco”, o Jiuzhang Suanshu dedica ao tema o capítulo “Gougu” e o comentário de Zhao Shuang contém exatamente a prova por reconfiguração mostrada acima; atribui-se à escola pitagórica (c. século 6 a.C.) a primeira demonstração geral, e a descoberta de $\sqrt{2}$ mostrou que existem comprimentos que não podem ser escritos como fração. “Gou” e “gu” são os nomes antigos dos dois catetos na tradição chinesa (o cateto menor é gou, o maior é gu) e “xian” é a hipotenusa.

Vale apenas no plano

O teorema de Pitágoras é um teorema da geometria euclidiana plana. Na esfera, dois arcos de círculo máximo perpendiculares $a$ e $b$ e o terceiro lado $c$ satisfazem $\cos c = \cos a \cos b$ (esfera unitária) e só retornam aproximadamente a $a^2 + b^2 = c^2$ quando os três lados são muito menores que o raio da esfera. Em mapas, pode-se usar Pitágoras sem medo em distâncias de poucos quilômetros; distâncias entre continentes exigem a fórmula esférica.

Premissas

É de fato um triângulo retângulo: o ângulo entre $a$ e $b$ é exatamente 90°. Se o ângulo variar alguns graus, a hipotenusa se afasta de $\sqrt{a^2+b^2}$ (a diferença pode ser estimada pela lei dos cossenos).
Geometria plana: os três lados estão em um mesmo plano, e esse plano é euclidiano; em superfícies curvas (grandes extensões da superfície terrestre) o teorema não vale.
Mesma unidade: os três lados são informados na mesma unidade de comprimento e a unidade da área é automaticamente o quadrado dela.
Reais positivos finitos: os lados são positivos; o motor não impede números negativos nem 0, mas comprimentos 0 ou negativos não têm significado geométrico.
Critério da área: a área é calculada apenas com os dois catetos informados; no modo inverso, o campo de área mostra 0, o que não significa área nula.

Escopo e limitações

O que calcula: o terceiro lado e a área de qualquer triângulo retângulo com dois lados conhecidos, inclusive na solução inversa de um cateto; o resultado mantém 8 casas decimais (sem zeros à direita).
Só aproxima: se as medidas têm erro, o erro do resultado é aproximadamente $\Delta c \approx (a\,\Delta a + b\,\Delta b)/c$ ; as 8 casas exibidas não representam a precisão da medição.
Não calcula: triângulos não retângulos (use a lei dos cossenos), casos com um lado e um ângulo (use trigonometria) e “triângulos” em superfícies esféricas ou curvas.
Não faz: não verifica se três lados satisfazem a desigualdade triangular, não converte unidades e não calcula ângulos.
Números: valores muito grandes (como $10^{200}$ ) estouram para infinito ao serem elevados ao quadrado; o motor usa diretamente $a^2 + b^2$ em vez do hypot, numericamente mais estável, o que não afeta grandezas do dia a dia.

Erros comuns

Colocar a hipotenusa no campo de cateto: a hipotenusa é sempre o maior lado e o lado oposto ao ângulo reto. Informar 5 em a e 3 em b produz uma “hipotenusa” de 5.83 que não é lado de nenhum triângulo do problema.
Informar hipotenusa menor que o cateto no modo inverso: $c^2 - b^2$ fica negativo e o resultado vem vazio. Confirme primeiro qual é a hipotenusa.
Unidades diferentes entre os lados: um lado em metros e outro em centímetros dá resultado sem sentido. Unifique as unidades antes de informar.
Esquecer a raiz quadrada: $3^2 + 4^2 = 25$ é $c^2$ , não $c$ ; a calculadora já extrai a raiz, mas, na conta à mão, esse é o passo mais esquecido.
Usar em triângulos não retângulos: não dá para calcular o terceiro lado de um triângulo isósceles ou qualquer outro sem antes comprovar que existe um ângulo reto.
Estranhar a área 0 no modo inverso: ver “Premissas” — é o critério do motor, não uma área nula.
Tratar “27 polegadas” como largura: a medida nominal de telas e televisores é a diagonal; largura e altura saem do teorema e da proporção entre os lados.

Casos de uso típicos

Ensino: dos números às formas

Informe alguns ternos pitagóricos (3-4-5, 5-12-13) para ver resultados inteiros, depois 1-1 para ver $\sqrt{2}$ e, por fim, fixe $a$ e aumente $b$ aos poucos para observar como a hipotenusa se aproxima de $b$ — uma forma intuitiva de sentir soma de quadrados, raiz e limite.

Obras e reformas: marcar ângulos retos e conferir diagonais

Meça 3 m, 4 m e a diagonal de 5 m no chão para obter um ângulo reto; ao assentar pisos ou montar armários, confira a diagonal para saber se está tudo esquadrejado. No sentido inverso, conhecendo largura e comprimento do ambiente, a calculadora dá a diagonal e ajuda a decidir se uma placa inteira passa pela porta na diagonal.

Telas e formatos

Obtenha a diagonal em pixels a partir da largura e da altura em pixels (e, com a medida nominal, calcule a densidade, PPI) ou inverta a diagonal em polegadas e a proporção para obter largura e altura reais.

Coordenadas e navegação

A distância em linha reta entre dois pontos no plano cartesiano, o deslocamento resultante de dois eixos de um robô e o triângulo de impedância em circuitos (resistência, reatância indutiva e impedância) são aplicações diretas do teorema de Pitágoras.

Perguntas frequentes

Só conhecendo um lado e um ângulo, dá para calcular?

Não com esta calculadora — ela precisa de dois lados. Um lado mais um ângulo agudo exigem trigonometria: cateto oposto = hipotenusa × sin(ângulo), cateto adjacente = hipotenusa × cos(ângulo).

Conhecendo os três lados, como saber se o triângulo é retângulo?

Tome o maior lado como $c$ e verifique se $a^2 + b^2$ é igual a $c^2$ (admitindo uma pequena tolerância para erros de medição). Se for igual, o ângulo é reto (recíproco); se for menor, o ângulo é obtuso; se for maior, é agudo.

Por que o resultado tem tantas casas decimais?

A hipotenusa da maioria dos triângulos retângulos é um número irracional, com infinitas casas decimais não periódicas; a interface mantém no máximo 8 casas e remove os zeros à direita. Na prática, corte conforme a precisão da sua medição.

Por que a área aparece como 0 no modo inverso?

O motor calcula a área apenas com os dois catetos informados; o lado obtido pelo inverso não é preenchido de volta. Basta digitar o resultado no campo do cateto e apagar a hipotenusa para a área aparecer corretamente.

O que acontece se eu informar números negativos?

A elevação ao quadrado elimina o sinal, e a hipotenusa sai igual à dos números positivos, mas a área fica negativa. Comprimentos negativos não têm significado geométrico: informe valores positivos.

Como calcular a diagonal de um espaço tridimensional?

Primeiro calcule a diagonal da base com dois lados dela, depois trate essa diagonal e a altura como dois novos catetos e aplique o teorema outra vez; ou informe as coordenadas tridimensionais na calculadora de distância entre dois pontos.

Referências e leitura complementar

Código-fonte do motor CalcX src/data/formulas.ts, definição pythagorean (compute(known, solveFor) com solução em três sentidos para a / b / c e área); todos os números desta página foram recalculados com esse motor.
Euclides, Elements, Livro I, Proposição 47 e Proposição 48, edição anotada de D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-08）— provas clássicas do teorema e do recíproco.
Wikipedia, Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08）— várias provas, generalizações e história.
Wikipedia, Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08）— fórmula geradora de Euclides e ternos primitivos.
Wikipedia, Zhoubi Suanjing（访问日期：2026-09-08）— o clássico Zhoubi Suanjing e a relação “gou três, gu quatro, xian cinco”.
Jiuzhang Suanshu, livro IX, “Gougu”, comentários de Liu Hui e o “diagrama do triângulo retângulo” de Zhao Shuang no comentário ao Zhoubi Suanjing — fontes clássicas chinesas da prova por reconfiguração.

Privacidade

Todas as entradas e os cálculos são feitos no seu navegador, sem envio a servidores; o texto explicativo desta página é conteúdo estático e não contém nem registra nenhuma entrada do usuário.

来源与审阅

更新: 2026-09-09