Área do trapézio: bases e altura, com cálculo inverso
Descrição da calculadora A calculadora de área do trapézio obtém a área A = ( a + b ) h / 2 A = (a + b)\,h / 2 A = ( a + b ) h /2 a a a b b b h h h
O trapézio é o quadrilátero "com um par de lados paralelos" e aparece na vida real mais do que o retângulo: seções de rios e canais, laterais de telhados, terrenos em forma de trapézio, espelhos de degraus, perfis de barragens, planificação de troncos de cone. Qualquer região recortada por duas retas paralelas tem área igual a "comprimento médio dos lados paralelos × altura".
O que ela não faz: não precisa nem aceita o comprimento dos lados oblíquos (as pernas) — a área não depende deles; não verifica se os três números dados formam algum trapézio concreto; não calcula o perímetro (seriam necessárias as pernas); não converte unidades.
Como usar esta calculadora 01 Abrir o painel esta página corresponde a "Ferramentas matemáticas → Fórmulas → Trapézio" (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.trapezoid). Ao abrir, base a = 4 e base b = 8 estão preenchidas e a altura h está vazia , contando como 0; por isso a área inicial mostra 0 — comece preenchendo a altura (o exemplo padrão é 5). 02 Calcular a área com as três medidas preenchidas, "Área A" é atualizada em tempo real com a etiqueta "calcular", com no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita. 03 Resolver a altura pela área limpe "Altura h", preencha "Área A" com a área e mantenha a e b; a altura passa a "calcular". 04 Resolver uma base pela área limpe "Base a" e preencha área, base b e altura; a base a passa a "calcular". Para resolver a outra base, informe a base conhecida em "Base a" — as bases são simétricas e a fórmula é a mesma. 05 Meça a altura, não a perna a altura é a distância perpendicular entre as bases. Se você só mediu a perna c c c α \alpha α h = c sin α h = c\sin\alpha h = c sin α h = c 2 − ( ( b − a ) / 2 ) 2 h = \sqrt{c^2 - \big((b-a)/2\big)^2} h = c 2 − ( ( b − a ) /2 ) 2 Exemplos Os quatro exemplos foram recalculados pelo compute do motor trapezoid; a exibição usa no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.
Exemplo 1: valores padrão do painel, 4, 8 e 5
Soma das bases a + b = 12 a + b = 12 a + b = 12 m = 6 m = 6 m = 6
A = 12 × 5 / 2 = 30 A = 12 \times 5 / 2 = 30 A = 12 × 5/2 = 30
A interface mostra: área 30 . Se for um trapézio isósceles, cada perna mede 5 2 + 2 2 = 5.385 \sqrt{5^2 + 2^2} = 5.385 5 2 + 2 2 = 5.385
Figura 1: exemplo 1 e sua dedução. Dois trapézios iguais se encaixam formando um paralelogramo Exemplo 2: decimais — 3.5, 6.5 e 2
a + b = 10 a + b = 10 a + b = 10 m = 5 m = 5 m = 5 A = 10 × 2 / 2 = 10 A = 10 \times 2 / 2 = 10 A = 10 × 2/2 = 10
A interface mostra: área 10 . A seção transversal de uma vala de 2 m de profundidade, com 3.5 m e 6.5 m nas duas margens, dá exatamente esse número (em m²).
Exemplo 3: resolver a altura pela área
Um terreno trapezoidal de 30 m² com lados paralelos de 4 m e 8 m: qual é a distância entre eles? Limpe a altura e informe área 30, a = 4 e b = 8.
h = 2 A / ( a + b ) = 60 / 12 = 5 h = 2A/(a + b) = 60/12 = 5 h = 2 A / ( a + b ) = 60/12 = 5
A interface mostra: altura 5 .
Exemplo 4: resolver uma base pela área
Área 48, base b 10 e altura 6: quanto mede a base a? Limpe a base a e informe área 48, b = 10 e h = 6.
a = 2 A / h − b = 96 / 6 − 10 = 16 − 10 = 6 a = 2A/h - b = 96/6 - 10 = 16 - 10 = 6 a = 2 A / h − b = 96/6 − 10 = 16 − 10 = 6
A interface mostra: base a 6 . Se a área fosse 10 (com o resto igual), o resultado seria 20 / 6 − 10 = − 6.67 20/6 - 10 = -6.67 20/6 − 10 = − 6.67
Os dois casos extremos
Com base a = 0 (a = 0, b = 8, h = 5): área 20 , e a fórmula degenera no triângulo b h / 2 bh/2 bh /2 24 , e ela degenera no paralelogramo b h bh bh
A entrada do exemplo 1 pode ser preenchida direto no painel para reproduzir; mude a base a para 8 e a área vira 40 (paralelogramo); mude para 0 e a área vira 20 (triângulo).
Princípio e derivação Quebra-cabeça: dois trapézios = um paralelogramo
Copie o trapézio, gire a cópia em 180° e encoste-a na original ao longo de uma perna: as duas bases a e b se emendam ponta a ponta e formam um paralelogramo de base a + b a + b a + b h h h = ( a + b ) h = (a + b)h = ( a + b ) h A = ( a + b ) h / 2 A = (a + b)h/2 A = ( a + b ) h /2
Divisão: uma diagonal corta em dois triângulos
Cortando o trapézio por uma diagonal, obtêm-se dois triângulos com bases a a a b b b h h h A = 1 2 a h + 1 2 b h = 1 2 ( a + b ) h A = \tfrac12 ah + \tfrac12 bh = \tfrac12(a + b)h A = 2 1 ah + 2 1 bh = 2 1 ( a + b ) h
Base média: "endireitar" o trapézio em um retângulo
O segmento que une os pontos médios das pernas é a base média, de comprimento m = ( a + b ) / 2 m = (a + b)/2 m = ( a + b ) /2 m × h m \times h m × h A = m h A = m h A = mh a área do trapézio é "largura média × altura" . É também a intuição para estimar a área de terrenos irregulares — medir algumas larguras, tirar a média e multiplicar pelo comprimento.
Regra do trapézio: aproximando a área sob uma curva
Cortando a região sob a curva de uma função em faixas de largura Δ x \Delta x Δ x
∫ x 0 x n f ( x ) d x ≈ Δ x [ 1 2 f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + ⋯ + f ( x n − 1 ) + 1 2 f ( x n ) ] \int_{x_0}^{x_n} f(x)\,dx \approx \Delta x \left[\tfrac12 f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + \tfrac12 f(x_n)\right] ∫ x 0 x n f ( x ) d x ≈ Δ x [ 2 1 f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + ⋯ + f ( x n − 1 ) + 2 1 f ( x n ) ] A integração numérica da engenharia e da ciência e a estimativa de totais a partir de pontos medidos (profundidade, velocidade de fluxo, potência) são, no fundo, usos repetidos de ( a + b ) h / 2 (a + b)h/2 ( a + b ) h /2 Δ x 2 \Delta x^2 Δ x 2
O trapézio e os outros quadriláteros
Retângulos, quadrados e paralelogramos satisfazem "ter um par de lados paralelos". Pela definição inclusiva (adotada por materiais didáticos anglófonos e por esta calculadora), todos são casos particulares de trapézio e a fórmula se aplica automaticamente (os casos extremos dos exemplos); pela definição exclusiva (materiais didáticos da China continental: apenas um par de lados paralelos), eles não contam como trapézios, mas a fórmula da área continua valendo — a fórmula não se importa com o nome. Atenção também ao vocabulário: em inglês americano, trapezoid = trapézio, enquanto em inglês britânico trapezium é o trapézio e trapezoid designa o quadrilátero sem lados paralelos.
Trapézio isósceles e as pernas
O trapézio com as duas pernas iguais é isósceles. A perna, a altura e a metade da diferença das bases formam um triângulo retângulo: c 2 = h 2 + ( ( b − a ) / 2 ) 2 c^2 = h^2 + \big((b - a)/2\big)^2 c 2 = h 2 + ( ( b − a ) /2 ) 2
Premissas
a a a b b b h h h Figura plana : o trapézio está em um plano; "quadriláteros torcidos" no espaço não se aplicam.Mesma unidade : as três medidas na mesma unidade; a área é essa unidade ao quadrado.Comprimentos não negativos : o motor não bloqueia números negativos, mas comprimento negativo não tem significado geométrico; uma base resolvida negativa indica que a área informada é pequena demais.Os três campos precisam ser preenchidos : o painel abre com a e b preenchidos e a altura vazia, contando como 0; ao resolver a base a com a altura vazia, o motor assume 1 e o resultado não tem sentido. Aplicabilidade e limites
Calcula a área de qualquer trapézio (incluindo paralelogramo, retângulo e triângulo como casos degenerados); altura ou um lado paralelo a partir da área. Resultados com até 8 casas decimais. Apenas aproxima com medidas imprecisas, o erro da área é aproximadamente Δ A ≈ h 2 ( Δ a + Δ b ) + a + b 2 Δ h \Delta A \approx \tfrac{h}{2}(\Delta a + \Delta b) + \tfrac{a+b}{2}\Delta h Δ A ≈ 2 h ( Δ a + Δ b ) + 2 a + b Δ h Não calcula perímetro (seriam necessárias as pernas), área diretamente a partir das pernas (calcule a altura antes), quadriláteros irregulares (divida em triângulos ou use coordenadas) nem o volume de troncos tridimensionais (use cilindro / cone ou a fórmula do tronco de pirâmide).
Não faz verificar se os comprimentos dados formam um trapézio, resolver a outra base (é simétrico: informe a base conhecida em "Base a") nem conversão de unidades. Numérico com a + b = 0 a + b = 0 a + b = 0 Erros comuns
Usar a perna como altura : a altura é a distância perpendicular entre as bases. No trapézio de perna 5.385 e altura 5, usar a perna na fórmula faz a área passar de 30 para 32.31.Esquecer de dividir por 2 : ( a + b ) h (a + b)h ( a + b ) h Multiplicar a altura por apenas uma base : b h bh bh Misturar unidades : base em metros com altura em centímetros erra por um fator de 100.Ler a área logo ao abrir o painel : a altura inicial está vazia e a área 0 não é resultado. Preencha a altura antes.Usar a fórmula em lados não paralelos : quadriláteros gerais não têm fórmula de área tão simples; confirme primeiro quais dois lados são paralelos.Aceitar uma base negativa como resposta : uma base a negativa indica que a área contradiz as outras duas grandezas; revise as entradas. Casos de uso típicos Ensino: do retângulo ao trapézio e ao triângulo Fixe b = 8 e h = 5 e reduza a de 8 até 0: a área cai linearmente de 40 (paralelogramo) a 20 (triângulo), passando por todos os trapézios. Sinta na prática "área = largura média × altura".
Seções de valas, canais e barragens O trapézio é a seção de canal mais comum. Uma vala com 3.5 m em uma margem, 6.5 m na outra e 2 m de profundidade tem seção de 10 m²; multiplicada pela velocidade do fluxo, dá a vazão; a seção de uma barragem multiplicada pelo comprimento dá o volume de terra.
Terrenos e telhados Um terreno com dois lados paralelos e dois não paralelos: medindo as duas bases paralelas e a distância entre elas, obtém-se a área; o mesmo vale para as telhas trapezoidais de um telhado, para estimar a quantidade de material.
Integração aproximada de dados Potência, vazão ou velocidade registradas ao longo do tempo: a "área" entre dois pontos consecutivos é aproximada por um trapézio, e a soma dá a energia, o volume ou o deslocamento total — a forma mais cotidiana da regra do trapézio.
Perguntas frequentes Importa qual lado é a "base a" e qual é a "base b"? Não. A fórmula é simétrica nas duas bases paralelas e trocar a com b não muda o resultado. Para resolver uma delas, informe a conhecida em "Base a".
Só com os quatro lados dá para calcular a área? Esta calculadora não. Um trapézio fica determinado pelos quatro lados (dadas as bases e as pernas, a altura sai), mas é preciso primeiro obter a altura pela geometria: cortando o trapézio em um paralelogramo e um triângulo e aplicando a fórmula de Herão ao triângulo, com a área dividida pela base dando a altura.
Por que a área aparece como 0 ao abrir o painel? O campo da altura está vazio e conta como 0. Preencha a altura e o valor sai correto.
Paralelogramos e triângulos podem usar esta calculadora? Podem. Com a = b, obtém-se a área do paralelogramo b h bh bh b h / 2 bh/2 bh /2
O que significa uma base a negativa na resposta? A área informada é menor que a do triângulo de mesma base e altura; esse trapézio não existe. Confira a área, a base b e a altura.
Qual é a relação entre a regra do trapézio e esta fórmula? A regra do trapézio corta a região sob a curva em muitos trapézios estreitos, calcula cada área com ( a + b ) h / 2 (a + b)h/2 ( a + b ) h /2 a a a b b b h h h
Referências e leitura complementar
Definição trapezoid no código do motor CalcX, src/data/formulas.ts (A = ( a + b ) h / 2 A = (a+b)h/2 A = ( a + b ) h /2
Wikipedia, Trapezoid （访问日期：2026-09-08）—— disputa de definições (inclusiva/exclusiva, uso americano e britânico), área, base média e outras propriedades.
Wikipedia, Trapezoidal rule （访问日期：2026-09-08）—— a regra do trapézio e a análise de erro.
Wolfram MathWorld, Trapezoid （访问日期：2026-09-08）—— fórmulas de área, base média e diagonais.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals , 8th ed. Cengage, 2016. §7.7 “Approximate Integration”—— dedução da regra do trapézio e limites de erro.
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