Cilindro e cone: volume, área total e geratriz

A calculadora de cilindro e cone reúne em um painel dois sólidos de revolução "de mesma base e mesma altura": informados o raio da base r e a altura h, obtêm-se de uma vez o volume do cilindro \pi r^2 h, a área total do cilindro 2\pi r(r+h), o volume do cone \tfrac13 \pi r^2 h e a área total do cone \pi r(r + l), em que a geratriz l = \sqrt{r^2 + h^2} é calculada automaticamente pelo motor. Conhecendo o volume e a altura do cilindro, também é possível resolver o raio.

Cilindro e cone: volume, área total e geratriz

Descrição da calculadora

A calculadora de cilindro e cone reúne em um painel dois sólidos de revolução "de mesma base e mesma altura": informados o raio da base $r$ e a altura $h$ , obtêm-se de uma vez o volume do cilindro $\pi r^2 h$ , a área total do cilindro $2\pi r(r+h)$ , o volume do cone $\tfrac13 \pi r^2 h$ e a área total do cone $\pi r(r + l)$ , em que a geratriz $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ é calculada automaticamente pelo motor. Conhecendo o volume e a altura do cilindro, também é possível resolver o raio.

Copos, latas, tubos, tanques de óleo e a parte cilíndrica de silos são cilindros; funis, casquinhas de sorvete, cones de trânsito e o topo cônico de um silo são cones. Os dois compartilham a mesma base circular, então calcular juntos é mais prático: o volume de um silo é "volume do cilindro + volume do cone", calculando cada um com um par de $r$ e $h$ e somando os resultados.

O que ela não faz: não trata cilindros ou cones oblíquos (a fórmula do volume continua valendo, mas a da área não), troncos de cone nem a espessura das paredes de tubos; também não converte unidades — o volume sai no cubo da unidade de comprimento usada para raio e altura, e a área, no quadrado.

Fórmula e variáveis

V_{\text{cil}} = \pi r^2 h,\qquad S_{\text{cil}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)

V_{\text{cone}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\qquad l = \sqrt{r^2 + h^2},\qquad S_{\text{cone}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r\,(r + l)

Raio a partir do volume do cilindro:

r = \sqrt{\frac{V_{\text{cil}}}{\pi h}}

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$r$	Raio da base	Raio r	Comprimento	$r > 0$ ; padrão 3. Atenção: é o raio, não o diâmetro
$h$	Altura (axial)	Altura h	Comprimento	$h > 0$ ; padrão 10. A altura do cone é a distância perpendicular do vértice ao centro da base, não a geratriz
$V_{\text{cil}}$	Volume do cilindro	Volume do cilindro	Comprimento³	Saída; no modo inverso vira entrada
$S_{\text{cil}}$	Área total do cilindro	Área do cilindro	Comprimento²	Saída, inclui as duas bases
$V_{\text{cone}}$	Volume do cone	Volume do cone	Comprimento³	Saída, exatamente $\tfrac13$ do cilindro de mesma base e altura
$S_{\text{cone}}$	Área total do cone	Área do cone	Comprimento²	Saída, inclui uma base
$l$	Geratriz (altura inclinada)	(não exibida)	Comprimento	Distância do vértice ao círculo da base, $l = \sqrt{r^2+h^2}$ , obtida pelo teorema de Pitágoras
$2\pi r h$	Área lateral do cilindro	(não exibida)	Comprimento²	Planificada, é um retângulo de $2\pi r \times h$
$\pi r l$	Área lateral do cone	(não exibida)	Comprimento²	Planificada, é um setor de raio $l$ e arco $2\pi r$

Como usar esta calculadora

Abrir o painelesta página corresponde a "Ferramentas matemáticas → Fórmulas → Cilindro / cone" (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone). Ao abrir, "Raio r" = 3 e "Altura h" = 10 já estão preenchidos, e os quatro resultados aparecem com a etiqueta "calcular".
Obter volumes e áreasbasta alterar o raio e a altura; os quatro resultados atualizam em tempo real. Se você mediu o diâmetro, divida por 2 antes de informar.
Resolver o raio pelo volume do cilindrolimpe "Raio r", preencha "Volume do cilindro" com o volume conhecido e mantenha "Altura h"; o campo do raio passa a "calcular" e mostra $\sqrt{V/(\pi h)}$ . Nesse momento os outros três campos mostram 0 — o motor calcula com raio 0, o que é um critério, não um resultado; preencha o raio obtido de volta em "Raio r" e limpe o campo do volume para ver os quatro números completos.
Precisando de apenas uma partepara a "área lateral do cilindro", subtraia as duas bases $2\pi r^2$ da área total; para a "área lateral do cone", subtraia a base $\pi r^2$ da área do cone; para um cilindro sem tampa (balde), subtraia uma base.
Ler o resultadoos valores mantêm no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita; o volume sai na unidade de comprimento ao cubo e a área, ao quadrado. 1 m³ = 1000 L, 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL.
Copiar a fórmulao botão de copiar à direita do título do painel copia V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3 para a área de transferência.

Exemplos

Os quatro exemplos foram recalculados pelo compute do motor cylinder-cone; a exibição usa no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.

Exemplo 1: valores padrão r = 3 e h = 10

Entrada: $r = 3$ , $h = 10$ .

Área da base $\pi r^2 = 9\pi = 28.27433388$ .
Volume do cilindro $V_{\text{cil}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882$ .
Área do cilindro $S_{\text{cil}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698$ .
Volume do cone $V_{\text{cone}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961$ .
Geratriz $l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651$ ; área do cone $S_{\text{cone}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457$ .

A interface mostra: volume do cilindro 282.74333882, área do cilindro 245.04422698, volume do cone 94.24777961, área do cone 126.67190457. Separando as partes, a área lateral do cone é $\pi r l = 98.39757069$ e o setor planificado tem ângulo central $360^\circ \times r/l = 103.45^\circ$ .

Exemplo 2: r = 3 e h = 4 — o cone 3-4-5

Entrada: $r = 3$ , $h = 4$ .

$V_{\text{cil}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553$ .
$S_{\text{cil}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145$ : lateral $24\pi = 75.39822369$ mais duas bases $18\pi = 56.54866776$ .
$V_{\text{cone}} = 12\pi = 37.69911184$ .
$l = \sqrt{9 + 16} = 5$ (terno pitagórico 3-4-5), $S_{\text{cone}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369$ .

A interface mostra: volume do cilindro 113.09733553, área do cilindro 131.94689145, volume do cone 37.69911184, área do cone 75.39822369. Coincidência interessante: a área total desse cone, $24\pi$ , é exatamente igual à área lateral do cilindro, $2\pi r h = 24\pi$ . A área lateral do cone é $\pi r l = 15\pi = 47.12388980$ ; planificada, forma um setor de raio 5 cujo arco é o perímetro da base, $6\pi$ , com ângulo central $= 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ$ .

Figura 1: o cilindro do exemplo 1 e o cone do exemplo 2. A lateral do cone planificada é um setor: o raio é a geratriz l e o arco é o perímetro da base 2πr, então a área lateral = ½ · 2πr · l = πrl

Exemplo 3: volume 1000 e altura 10, resolver o raio

Entrada: volume do cilindro $V_{\text{cil}} = 1000$ , $h = 10$ (raio limpo).

$r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584$ .

A interface mostra: raio r 5.64189584; a área do cilindro, o volume do cone e a área do cone mostram 0 (critério descrito no passo 3). Preenchendo 5.64189584 de volta no raio e limpando o volume, a interface mostra volume do cilindro 1000.0000016 (resíduo de arredondamento do raio com 8 casas), área do cilindro 554.49077079, volume do cone 333.33333387 e área do cone 303.50903342. Em centímetros, é um copo de 1 L, altura 10 cm e diâmetro de cerca de 11.3 cm.

Exemplo 4: mesmo volume, formatos diferentes

Entrada: $r = 6$ , $h = 2.5$ .

$V_{\text{cil}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882$ — exatamente igual ao exemplo 1, pois $36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90$ .
$S_{\text{cil}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067$ , 31% maior que o $78\pi$ do exemplo 1.
$l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ , $S_{\text{cone}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902$ .

A interface mostra: volume do cilindro 282.74333882, área do cilindro 320.44245067, volume do cone 94.24777961, área do cone 235.61944902. Para o mesmo volume de 90π unidades, a lata baixa e larga gasta mais material — é o ponto de partida do problema de embalagem "qual formato usa menos material para um dado volume" (a resposta é $h = 2r$ ; veja as perguntas frequentes).

Vejamos um tubo: $r = 0.5$ m e $h = 100$ m; a interface mostra volume do cilindro 78.53981634 (m³, ou 78,540 L) e área do cilindro 315.73006169, dos quais a lateral corresponde a $100\pi = 314.16$ m² — é esse número que interessa para pintar de anticorrosivo; as duas tampas de $0.5\pi$ m² podem ser ignoradas.

A entrada do exemplo 1 pode ser preenchida direto no painel para reproduzir; mude o raio de 3 para 6 (altura fixa) e observe o volume quadruplicar enquanto a área nem chega a triplicar; mude a altura de 10 para 20 e o volume e a área lateral dobram exatamente.

Princípio e derivação

Cilindro: "empurrar" a base por uma altura

Um cilindro é o sólido obtido ao transladar a base circular por $h$ na direção perpendicular. Todo sólido desse tipo ("prisma reto / cilindro reto") tem volume igual à área da base vezes a altura: cortando em muitas fatias finas, cada uma é o mesmo círculo, volume $= \pi r^2 \times h$ . Cortando a lateral ao longo de uma geratriz e planificando, obtém-se um retângulo de largura $2\pi r$ (o perímetro da base) e altura $h$ , logo a área lateral é $2\pi r h$ ; somando as duas bases $2\pi r^2$ , a área total é $2\pi r(r+h)$ .

Por que o volume do cone é exatamente um terço

Este é o fato mais memorável da página. Três formas de ver:

Comparação por fatias (princípio de Zu Geng / Cavalieri). Coloque o cone e o cilindro de mesma base e altura lado a lado e corte na altura $x$ a partir do vértice: o raio da seção do cone é $r x / h$ , com área $\pi r^2 x^2/h^2$ , crescendo com o quadrado de $x$ ; a seção do cilindro é sempre $\pi r^2$ . Somando (integrando):

V_{\text{cone}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h

Analogia com a pirâmide. Um cubo pode ser cortado em três pirâmides de base quadrada congruentes (com vértices opostos no centro do cubo), então o volume da pirâmide é $\tfrac13$ do prisma de mesma base e altura; trocando o quadrado por um círculo, a conclusão é a mesma (Euclides provou com o método da exaustão, no Livro XII, proposição 10 dos Elementos, que o cone é um terço do cilindro).

Verificação manual. Encha um recipiente cônico e despeje em um cilindro de mesma base e altura: dá exatamente três vezes — o experimento clássico de sala de aula.

Por que a lateral do cone planificada é um setor

Cortando a lateral do cone ao longo de uma geratriz e planificando, o vértice vira o centro de um setor e cada geratriz mede $l$ , então o setor tem raio $l$ ; o círculo da base vira o arco do setor, com comprimento $2\pi r$ . A área do setor é $= \tfrac12 \times \text{arco} \times \text{raio} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l$ . O ângulo central (em radianos) é $= 2\pi r / l$ ; é daí que vêm os $216^\circ$ do exemplo 2 na figura 1. A dedução completa de arco, área do setor e radianos está em arco e setor; aqui só usamos o resultado.

Geratriz: um triângulo retângulo

Cortando o cone pelo eixo, a seção é um triângulo isósceles, cuja metade é um triângulo retângulo: os catetos são $r$ e $h$ e a hipotenusa é a geratriz $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ . É exatamente o teorema de Pitágoras. O exemplo 2 escolheu $r = 3$ e $h = 4$ justamente para que $l = 5$ fosse inteiro.

Regras de escala

Multiplicando raio e altura por $k$ , a área multiplica por $k^2$ e o volume por $k^3$ : o cilindro de $r = 6$ e $h = 20$ tem volume 2261.94671058, 8 vezes o do exemplo 1. Aumentando só o raio, o volume cresce com $r^2$ (no exemplo 1, com $r = 6$ , quadruplica); aumentando só a altura, cresce linearmente com $h$ — é nessas duas regras que a indústria de embalagens se apoia ao mudar formatos.

Premissas

Cilindro e cone retos: eixo perpendicular à base. Para oblíquos, a fórmula do volume continua valendo (mesmas áreas de seção), mas a da área não.
Cone completo: do vértice até a base. Troncos de cone exigem $V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ , fora do escopo desta calculadora.
Área total: o cilindro inclui as duas bases e o cone, uma base. Para recipientes abertos, subtraia conforme o passo 4.
Paredes sem espessura: calcula-se o volume / a superfície geométrica, sem distinguir diâmetro interno e externo.
Mesma unidade: $r$ e $h$ na mesma unidade; o volume sai ao cubo e a área, ao quadrado.
Critério do modo inverso: só o raio pode ser resolvido a partir do volume e da altura do cilindro; nesse modo, os outros três campos são calculados com raio 0 e mostram 0.

Aplicabilidade e limites

Calcula: volume e área total de cilindro e cone para quaisquer $r$ e $h$ positivos; raio a partir do volume e da altura do cilindro.
Apenas aproxima: recipientes reais têm espessura, cantos arredondados e deformações; a capacidade nominal de latas de bebida pode diferir alguns por cento do volume geométrico.
Não calcula: tronco de cone, cilindro oblíquo, volume da parede de tubos (cilindro externo menos interno, calcule em duas etapas e subtraia), inversões do cone (resolver $r$ ou $h$ pelo volume do cone exige $r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ à mão) nem qualquer grandeza a partir da área.
Não faz: exibir geratriz, área lateral, área da base ou ângulo do setor planificado; calcule à mão quando precisar.
Numérico: com $r$ e $h$ muito grandes ou muito pequenos, o resultado aparece em notação científica (valor absoluto $\ge 10^{12}$ ou $< 10^{-8}$ ).

Erros comuns

Tomar o diâmetro pelo raio: o que se mede costuma ser o diâmetro $d$ ; o volume correto é $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4$ . Informar $d$ direto em "Raio" multiplica o volume por 4.
Tomar a geratriz pela altura: a altura do cone é a distância perpendicular do vértice ao centro da base; o "lado" medido em uma casquinha de papel é a geratriz $l$ , e a altura sai de $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ .
Esquecer de dividir o cone por 3: $\pi r^2 h$ é o volume do cilindro de mesma base e altura.
Errar as bases na área: um balde sem tampa tem uma base, $S = \pi r^2 + 2\pi r h$ ; uma barraca cônica não tem base e só a lateral, $\pi r l$ .
Converter volume na razão 10: 1 m = 100 cm, mas 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L; a razão de conversão do volume é o cubo da razão de comprimento.
Ler os três 0 do modo inverso como resultado: são o valor de reserva do motor para o raio vazio; preencha o raio de volta.

Casos de uso típicos

Capacidade de recipientes

Copos, caixas d'água, barris de óleo, silos (cilindro + topo cônico, calculados em duas etapas e somados); dado um volume-alvo e a altura, resolver o raio necessário.

Quantidade de material

Área de chapa de uma lata cilíndrica (área total), área de pintura da parede externa de um tubo (área lateral), tecido ou chapa de uma barraca cônica ou funil (área lateral do cone, $\pi r l$ ).

Engenharia e terraplenagem

Estimativa do volume de pilhas de areia ou carvão em forma de cone (meça o perímetro da base para obter $r$ e a altura $h$ ); volume de concreto de uma estaca cilíndrica.

Ensino

Experimentar "o cone é um terço do cilindro", as leis de escala quadrática / cúbica, a planificação da lateral e sua relação com o setor; com arco e setor, calcular o ângulo central do setor planificado.

Perguntas frequentes

Como obter só a área lateral do cilindro?

Subtraia as duas bases da área total: $S_{\text{cil}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h$ . No exemplo 1, $245.04 - 56.55 = 188.50$ .

E a área lateral do cone e o ângulo do setor planificado?

A área lateral é $\pi r l = S_{\text{cone}} - \pi r^2$ ; o ângulo central é $\theta = 2\pi r / l$ (radianos) $= 360^\circ \cdot r / l$ . Exemplo 2: $216^\circ$ ; exemplo 1: $103.45^\circ$ .

Para um dado volume, qual cilindro gasta menos material?

Com volume $V$ fixo, a área total $2\pi r^2 + 2V/r$ é mínima com $h = 2r$ (altura igual ao diâmetro). Os exemplos 4 e 1 têm o mesmo volume; $r = 3$ e $h = 10$ (área 245) gasta menos que $r = 6$ e $h = 2.5$ (320), mas ainda não é o ótimo; o ótimo é $r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557$ e $h \approx 7.11$ . As latas reais são mais altas e estreitas porque a tampa usa material mais grosso e tem custo próprio.

Como resolver o raio a partir do volume do cone?

$r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ; o motor não oferece essa inversão, faça à mão e preencha de volta.

Como calcular o tronco de cone?

$V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ , área lateral $\pi (R + r)\,l$ , $l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$ . Esta calculadora não dá suporte; pode-se pensar em "cone grande menos cone pequeno" e calcular em duas etapas.

Qual é a relação entre hemisfério, esfera, cilindro e cone?

A esfera de raio $r$ tem volume $\tfrac43\pi r^3$ , exatamente $\tfrac23$ do cilindro de $h = 2r$ , que vale $2\pi r^3$ ; o cone de mesmo raio e $h = r$ tem volume $\tfrac13\pi r^3$ , metade do hemisfério $\tfrac23\pi r^3$ . Arquimedes considerava "cone : esfera : cilindro = 1 : 2 : 3" (com $h = 2r$ ) sua descoberta favorita.

Referências e leitura complementar

Definição cylinder-cone no código do motor CalcX, src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) produz cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf e resolve r a partir de cylVol e h); todos os números desta página foram recalculados por esse motor.
Wikipedia, Cylinder（访问日期：2026-09-09）—— volume, área e cilindros oblíquos.
Wikipedia, Cone — Volume（访问日期：2026-09-09）—— dedução do volume do cone por integração e a geratriz.
Euclid, Elements, Book XII, Proposition 10, edição anotada de D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）—— a prova por exaustão de que "todo cone é um terço do cilindro de mesma base e altura".
Wikipedia, Cavalieri's principle（访问日期：2026-09-09）—— princípio de Zu Geng: seções de mesma altura têm áreas iguais, então os volumes são iguais.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time—— definição das grandezas e unidades de comprimento, área e volume.
Arquimedes, Sobre a Esfera e o Cilindro—— o texto original da razão entre os volumes de esfera, cilindro e cone.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09