Arco e setor circular: comprimento, área e corda

Descrição da calculadora

A calculadora de arco e setor circular obtém, a partir do raio $r$ e do ângulo central $\theta$ (informado em graus), três resultados: o comprimento do arco $L$ , a área do setor circular (a "fatia de pizza" delimitada pelo centro e pelo arco) $A$ e o comprimento da corda que une as extremidades do arco. Inversamente, dados o arco e o raio, ela também calcula o ângulo central.

Serve para qualquer "parte de um círculo": a distância percorrida pela ponta de um ponteiro de relógio, o comprimento de uma curva, a área de uma fatia de pizza, o ângulo correspondente a um passo de engrenagem, quantos quilômetros se percorre ao longo de um meridiano a cada 1° na superfície da Terra. É também onde as duas unidades de ângulo, grau e radiano, se conectam de verdade — a definição de radiano é a razão entre o comprimento do arco e o raio.

O que ela não faz: não calcula o perímetro e a área do círculo inteiro (para isso, preencha o ângulo com 360°); não calcula a área do segmento circular (a região entre o arco e a corda) — mas a fórmula está nesta página, basta subtrair a área do triângulo da área do setor; não normaliza o ângulo para 0°–360°; não converte unidades.

Fórmula e variáveis

Primeiro converta o ângulo de graus para radianos, $\theta = \theta_{\deg} \times \pi / 180$ , e então

L = r\,\theta,\qquad A = \tfrac{1}{2}\,r^2\theta,\qquad \text{comprimento da corda} = 2r\sin\frac{\theta}{2}

Ângulo a partir do arco: $\theta_{\deg} = \dfrac{L}{r} \times \dfrac{180}{\pi}$ . A área do segmento circular (região entre o arco e a corda) não está entre as saídas, mas pode ser obtida subtraindo do setor o triângulo isósceles:

A_{\text{segmento}} = \tfrac{1}{2}\,r^2\,(\theta - \sin\theta)

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$r$	Raio do círculo	Raio r	Comprimento	$r > 0$ ; padrão 10
$\theta_{\deg}$	Ângulo central (graus)	Ângulo (°)	Grau	Normalmente $0 < \theta_{\deg} \le 360$ ; padrão 60; o motor não limita o intervalo e valores acima de 360° são tratados como "mais de uma volta completa"
$\theta$	Ângulo central (radianos)	(grandeza intermediária)	rad	$\theta = \theta_{\deg}\,\pi/180$ ; 60° = π/3 ≈ 1.0472 rad
$L$	Comprimento do arco	Comprimento do arco	Comprimento	Saída; com $\theta_{\deg} = 360$ igual ao perímetro $2\pi r$ ; pode servir de entrada para resolver o ângulo
$A$	Área do setor circular	Área do setor	Comprimento²	Saída; com $\theta_{\deg} = 360$ igual à área do círculo $\pi r^2$
Corda	Distância em linha reta entre as extremidades do arco	Corda	Comprimento	Saída; com $\theta_{\deg} = 180$ igual ao diâmetro $2r$ , o valor máximo da corda

Raio, comprimento do arco e corda usam a mesma unidade de comprimento; a área é essa unidade ao quadrado.

Como usar esta calculadora

Abrir o painelesta página corresponde a "Ferramentas matemáticas → Fórmulas → Arco / setor" (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector). Ao abrir, raio r = 10 e ângulo 60° já estão preenchidos, e o arco, a área do setor e a corda são calculados automaticamente.
Calcular arco, área e cordaaltere o raio e o ângulo (em graus, não radianos); os três campos com a etiqueta "calcular" são atualizados em tempo real, com no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.
Resolver o ângulo pelo arcolimpe "Ângulo (°)" e preencha "Comprimento do arco" com o arco conhecido, mantendo o raio; o campo do ângulo passa a "calcular" e mostra o valor em graus. Nesse momento a área do setor e a corda mostram 0 (o motor calcula com ângulo 0); ignore esses valores ou preencha o ângulo obtido de volta no campo para lê-los.
Círculo completo e semicírculoângulo 360 dá o perímetro e a área do círculo (a corda, teoricamente, é 0; a interface pode mostrar um ruído de ponto flutuante como 1.469576e-15, que é 0); 180 dá o comprimento do semicírculo, a área do semicírculo e o diâmetro.
Calcular a área do segmento circularsubtraia a área do triângulo $\tfrac12 r^2 \sin\theta$ da área do setor exibida, ou use direto $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ .

Exemplos

Os quatro exemplos foram recalculados pelo compute do motor arc-sector; a exibição usa no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.

Exemplo 1: raio 6, ângulo central 60°

Radianos: $\theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755$ .
Arco: $L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531$ .
Área do setor: $A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592$ .
Corda: $= 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6$ .

A interface mostra: comprimento do arco 6.28318531, área do setor 18.84955592, corda 6. Com ângulo central de 60°, os dois raios e a corda formam um triângulo equilátero, então a corda é exatamente igual ao raio.

Figura 1: exemplo 1. O arco e a área usam radianos na fórmula; a corda usa 2r·sin(θ/2), e θ/2 pode estar em graus ou radianos, desde que combine com o sin

Exemplo 2: valores padrão do painel, raio 10 e 60°

$L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551$ .
$A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756$ .
Corda $= 20 \sin 30° = 10$ .

A interface mostra: 10.47197551, 52.35987756, 10. Comparado ao exemplo 1, o raio cresce $10/6$ vezes; arco e corda crescem na mesma proporção, e a área cresce $(10/6)^2 = 2.78$ vezes.

Exemplo 3: arco maior — raio 1.5 e 270°

$\theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898$ .
$L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347$ (três quartos do perímetro).
$A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376$ (três quartos da área do círculo).
Corda $= 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034$ .

A interface mostra: 7.06858347, 5.3014376, 2.12132034. Acima de 180° a corda começa a diminuir — a corda de 270° é igual à de 90°, porque são os dois lados da mesma corda.

Exemplo 4: resolver o ângulo a partir do arco

Um arco de comprimento 5 com raio 10 corresponde a que ângulo central? Limpe o ângulo e informe arco 5 e raio 10.

$\theta = L/r = 0.5$ rad.
$\theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976°$ .

A interface mostra: ângulo 28.64788976. Nesse modo, a área do setor e a corda mostram 0, o que é critério do modo inverso (veja "Premissas"). Preencha 28.64788976 de volta no campo do ângulo para obter área 25 e corda 4.94808114.

Com o raio fixo em 6, varra o ângulo central de 0° a 360°: o arco cresce linearmente com o ângulo (0 → 37.70) e a corda cresce e depois diminui, atingindo o máximo de 12 (o diâmetro) em 180° e voltando a 0 em 360°. Com ângulos pequenos as duas curvas quase coincidem — a razão corda/arco $\sin(\theta/2)/(\theta/2)$ é 0.9987 a 10°, 0.9549 a 60° e 0.6366 a 180°.

Princípio e derivação

Arco: uma fração do perímetro

O perímetro completo $2\pi r$ corresponde a 360°; um ângulo central $\theta_{\deg}$ ocupa $\theta_{\deg}/360$ do círculo, logo

L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta

A quantidade entre parênteses é o ângulo em radianos. Definição de radiano: a razão entre o comprimento do arco e o raio, $\theta = L/r$ . Um radiano é o ângulo central para o qual o arco tem exatamente o comprimento do raio, cerca de 57.2958°; o círculo completo tem $2\pi$ radianos. Escrita em radianos, $L = r\theta$ não contém nenhuma constante — é por isso que a matemática e a física quase sempre usam radianos.

Área do setor: uma fração da área do círculo

Do mesmo modo, por proporção: $A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta$ . Outra forma de ver é dividir o setor em infinitos triângulos estreitos, cada um com base em um pequeno arco $r\,d\theta$ e altura $r$ , área $\tfrac12 r \cdot r\,d\theta$ ; somando, chega-se a $\tfrac12 r^2 \theta$ . É a mesma expressão de $A = \tfrac12 L r$ ("base × altura / 2", com o arco como base e o raio como altura).

Corda: um triângulo isósceles

O centro e as extremidades do arco formam um triângulo isósceles de lados $r$ e ângulo no vértice $\theta$ . Traçando do centro uma perpendicular à corda, o triângulo se divide em dois triângulos retângulos, cada um com cateto oposto igual à metade da corda, hipotenusa $r$ e ângulo $\theta/2$ ; então a metade da corda é $= r\sin(\theta/2)$ e a corda é $= 2r\sin(\theta/2)$ . Com $\theta = 180°$ , $\sin 90° = 1$ e a corda é $= 2r$ , o diâmetro, que é o valor máximo; aumentando mais o ângulo, a corda diminui e, em $360°$ , as extremidades coincidem e a corda vale 0.

Área do segmento circular

A região limitada pelo arco e pela corda chama-se segmento circular. Ela é igual ao setor menos o triângulo isósceles: a área do triângulo é $= \tfrac12 r^2 \sin\theta$ (fórmula dos dois lados e do ângulo entre eles), logo $A_{\text{segmento}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ . No exemplo 1, $= 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865$ . A área da seção transversal abaixo do nível do líquido em um tanque cilíndrico e a área acima de um arco de portal usam essa expressão.

Aproximação para ângulos pequenos

Para $\theta$ pequeno, $\sin\theta \approx \theta$ (radianos), então a corda ≈ arco e a área do segmento ≈ $\tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6$ , tendendo a 0. É a base de "usar a corda no lugar do arco" em topografia e astronomia: a 1°, arco e corda diferem apenas 0.0013%; na Terra, o arco de 1° mede 111.195 km contra 111.194 km da corda — praticamente indistinguíveis.

Por que uma volta tem 360°

O 360 vem do sistema sexagesimal babilônico e da observação grosseira de que o ano tem cerca de 360 dias; ele tem 24 divisores, o que facilita divisões iguais; mas é uma convenção humana, não um fato geométrico. O radiano, por sua vez, é determinado pelas proporções do próprio círculo: a volta completa é $2\pi$ . O nome "radiano" foi proposto em 1873 por James Thomson, mas o conceito remonta a Roger Cotes (1714).

Premissas

Ângulo central em graus: o motor multiplica internamente por $\pi/180$ para converter em radianos; se o seu ângulo já está em radianos, multiplique por $180/\pi$ antes de informar.
O ângulo não é normalizado: 400° é calculado como "uma volta mais 40°", o arco e a área continuam crescendo e a corda é calculada como $\sin 200°$ , com valor negativo; ângulos negativos dão arco e área negativos. A faixa com significado é $0° < \theta \le 360°$ .
Raio positivo: $r > 0$ . Com $r = 0$ , resolver o ângulo divide por zero.
O modo inverso só afeta o campo do ângulo: ao resolver o ângulo pelo arco, a área do setor e a corda aparecem como 0 porque são calculadas com "ângulo = 0"; ignore esses valores.
Mesma unidade de comprimento: raio, arco e corda na mesma unidade; a área é essa unidade ao quadrado.

Aplicabilidade e limites

Calcula: arco, área do setor e corda para qualquer raio positivo e qualquer ângulo central (em graus); ângulo central a partir do arco e do raio. Resultados com até 8 casas decimais.
Apenas aproxima: a corda do círculo completo (360°) é teoricamente 0, mas a interface pode mostrar um ruído de ponto flutuante como 1.469576e-15; leia como 0.
Não calcula: área do segmento circular (faça à mão com a fórmula desta página); ângulo ou raio a partir da corda ou da área; arcos de elipse, comprimento de espirais ou arcos sobre superfícies tridimensionais.
Não faz: limitar o ângulo a 0°–360°, aceitar graus/minutos/segundos ou radianos na entrada, conversão de unidades.
Numérico: com raios muito grandes e ângulos muito pequenos, a precisão relativa de $\sin(\theta/2)$ cai, mas sem efeito nas ordens de grandeza do dia a dia.

Erros comuns

Informar radianos no campo "Ângulo (°)": 1.0472 vira 1.0472°, e o arco cai para 0.1097 (raio 6) em vez de 2π. Esse campo aceita graus.
Esquecer de converter para radianos no cálculo à mão: $L = r\theta$ só vale em radianos; multiplicar o raio por 60 dá 360, não 6.28.
Confundir corda com arco: com ângulos pequenos os dois se aproximam, mas com ângulos grandes diferem muito — a 180°, a corda é 12 e o arco é 18.85 (raio 6).
Ângulo acima de 360°: o motor não reduz a volta; a corda de 400° fica negativa. Subtraia as voltas inteiras antes.
Ler área e corda no modo inverso: elas aparecem como 0 por causa do critério, não por um fato geométrico.
Escalar a área por proporção: dobrando o raio, arco e corda dobram, mas a área do setor quadruplica.
Ruído de ponto flutuante na corda do círculo completo: 1.469576e-15 é 0, não uma "corda muito pequena".

Casos de uso típicos

Ensino: o que é um radiano, afinal

Preencha raio 1 e ângulo 57.29577951 (um radiano) e o arco será exatamente 1; depois preencha 360 e veja o arco virar 6.28318531 = 2π. O radiano é "medir o arco com o raio como régua".

Divisão justa de pizza e bolo

Uma pizza de 30 cm de diâmetro cortada em 8 fatias: r = 15 e ângulo 45°; cada fatia tem área de 88.35729338 cm², arco externo de 11.78097245 cm e corda entre os lados retos de 11.4805 cm. É um oitavo da área total de 706.86 cm² — exatamente.

Curvas, arcos e relógios

O raio e o ângulo de uma curva de estrada dão o comprimento da curva; o raio e a abertura de um arco de portal dão o comprimento do arco (material) e a corda (vão); o ponteiro das horas gira 30° em 1 hora e o dos minutos, 120° em 20 minutos; com o comprimento do ponteiro obtém-se a distância percorrida pela ponta.

Terra e navegação

Com r = 6371 km, o arco de 1 minuto de arco (1/60°) mede 1.8532 km e deu origem à milha náutica; 1° de latitude ao longo do meridiano ≈ 111.19 km. Em engenharia e topografia, o erro de usar a corda no lugar do arco é desprezível para ângulos pequenos.

Perguntas frequentes

O ângulo deve ser informado em graus ou radianos?

Em graus. O motor multiplica internamente por $\pi/180$ para converter em radianos. Se você tem radianos, multiplique por $180/\pi$ (≈ 57.2958) antes.

Como calcular o perímetro e a área do círculo completo?

Ângulo 360: o arco é o perímetro $2\pi r$ e a área do setor é a área do círculo $\pi r^2$ . Nesse caso a corda é teoricamente 0 e a interface pode mostrar um ruído de ponto flutuante muito pequeno.

Como calcular a área do segmento circular (entre arco e corda)?

Área do setor menos área do triângulo: $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$ , com $\theta$ em radianos. No exemplo 1, dá 3.2611.

Por que a corda de 270° é igual à de 90°?

São a mesma corda: ela divide o círculo em dois arcos, e o arco menor de 90° e o maior de 270° compartilham a mesma corda, $\sin 135° = \sin 45°$ .

Por que a área e a corda viram 0 ao resolver o ângulo?

No modo inverso o motor calcula as outras saídas com ângulo 0, o que dá valores sem sentido. Preencha o ângulo obtido de volta no campo para ver a área e a corda corretas.

Dá para resolver o ângulo a partir da corda?

Esta calculadora não (só aceita o arco como entrada inversa). À mão: $\theta = 2\arcsin\big(\text{corda}/(2r)\big)$ ; lembre que a corda não pode passar do diâmetro.

Referências e leitura complementar

Definição arc-sector no código do motor CalcX, src/data/formulas.ts (ângulo em graus convertido internamente para radianos; os alvos arcLen, sectorArea e chordLen, além do ângulo resolvido pelo arco); todos os números desta página foram recalculados por esse motor.
Wikipedia, Circular sector（访问日期：2026-09-08）—— fórmulas da área do setor e do comprimento do arco.
Wikipedia, Arc length（访问日期：2026-09-08）—— comprimento de arcos de círculo e de curvas em geral.
Wikipedia, Radian（访问日期：2026-09-08）—— definição, história e conversão do radiano.
Wikipedia, Circular segment（访问日期：2026-09-08）—— área do segmento e fórmula da corda.

Privacidade

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来源与审阅

更新: 2026-09-09