Calculadora de polígono regular: área, perímetro e ângulos

Sobre esta calculadora

A calculadora de polígono regular usa o número de lados $n$ e o comprimento do lado $s$ para dar a área $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ , o perímetro $P = ns$ e cada ângulo interno $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ ; também faz o caminho inverso, obtendo o lado a partir da área e do número de lados.

«Polígono regular» é o polígono com todos os lados iguais e todos os ângulos iguais: triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono (porcas, colmeias), octógono (placas de pare)... basta que a figura cumpra as duas condições para que medir um lado revele todo o resto. Ela liga numa mesma linha o triângulo e o quadrado da «geometria escolar» e o círculo (o limite com $n \to \infty$ ), e é o ponto de partida para entender como se aproxima o círculo com polígonos.

O que ela não faz: não trata polígonos irregulares (figuras com lados ou ângulos desiguais precisam ser divididas em triângulos e calculadas em partes), não trata polígonos estrelados e não converte unidades — a área sai no quadrado da unidade usada no lado.

Fórmula e variáveis

Seja um polígono regular de $n$ lados e lado $s$ , com $R$ a distância do centro a cada vértice (raio da circunferência circunscrita) e $a$ a distância do centro ao ponto médio de cada lado (apótema, raio da circunferência inscrita):

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{int}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

Três grandezas auxiliares e duas formas equivalentes de escrever a área (a calculadora usa internamente só a primeira; as demais servem para contas à mão e conferência):

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

O lado a partir da área:

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

Símbolo	Significado	Campo da calculadora	Unidade	Faixa e observações
$n$	Número de lados	Número de lados n	unidade	Inteiro, $n \ge 3$ ; padrão 6. O campo tem a indicação `min: 3`, mas o motor não impede valores não inteiros
$s$	Comprimento do lado	Comprimento do lado s	comprimento	$s > 0$ ; padrão 5
$A$	Área	Área	comprimento²	Saída; no modo inverso entra como dado
$P$	Perímetro	Perímetro	comprimento	Saída, $P = ns$
$\theta_{\text{int}}$	Cada ângulo interno	Ângulo interno(°)	grau	Saída, $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ , tendendo a 180° conforme $n$ cresce
$a$	Apótema (raio da circunferência inscrita)	(não exibido)	comprimento	Distância do centro ao lado, a «altura» no cálculo manual da área
$R$	Raio da circunferência circunscrita	(não exibido)	comprimento	Distância do centro ao vértice; no hexágono regular vale exatamente $R = s$
$\pi/n$	Metade do ângulo central	(grandeza intermediária)	radiano	O $\tan(\pi/n)$ da fórmula é em radianos; em graus, a conta à mão usa $\tan(180^\circ/n)$

Como usar esta calculadora

Abra o painelesta página corresponde a «Ferramentas de matemática → Fórmulas → Polígono regular» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon). Ao abrir, «Número de lados n» = 6 e «Comprimento do lado s» = 5 já vêm preenchidos, e área, perímetro e ângulo interno são calculados na hora.
Achar área, perímetro e ângulo internomude o número de lados e o comprimento do lado; o que tem a marca «entrada» é o que você digitou, e os três campos com a marca «calcular» são atualizados em tempo real. Preencha o número de lados com um inteiro de 3 para cima.
Achar o lado a partir da áreaapague «Comprimento do lado s», informe a área em «Área» e mantenha «Número de lados n»; o campo do lado passa a «calcular» e mostra o resultado. Atenção: nesse caso o «Perímetro» mostra 0 (o motor calcula o perímetro com o lado não preenchido, tratado como 0, e o lado obtido não é reinjetado); basta digitar o resultado de volta no campo do lado para ver o perímetro.
Leia os resultadosos números mantêm no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita; por exemplo, o hexágono de lado 5 mostra área 64.95190528. Com $n$ inteiro, o ângulo interno costuma ser inteiro ou decimal finito (pentágono 108; heptágono 128.57142857).
Copie a fórmulao botão de copiar à direita do título do painel copia o texto da fórmula A = n×s²/(4tan(π/n)) para a área de transferência.

Exemplos resolvidos

Os quatro exemplos foram recalculados com o compute do motor regular-polygon; o critério de exibição é de no máximo 8 casas decimais, sem zeros à direita.

Exemplo 1: entradas padrão, hexágono de lado 5

Entradas: $n = 6$ , $s = 5$ .

Metade do ângulo central: $\pi/6 = 30^\circ$ , $\tan 30^\circ = 0.57735027$ .
Área $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ .
Perímetro $P = 6 \times 5 = 30$ .
Ângulo interno: $(6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ .

Na interface: área 64.95190528, perímetro 30, ângulo interno 120. Conferindo à mão: apótema $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ e área $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ , batendo; o raio circunscrito é $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ — o hexágono regular é o único polígono regular cujo raio circunscrito é igual ao lado, porque ele se compõe de 6 triângulos equiláteros.

Figura 1: o hexágono do exemplo 1. Área = 6 triângulos isósceles de «base s e altura a»

Exemplo 2: triângulo equilátero e quadrado — conferência com fórmulas conhecidas

Entradas $n = 3$ , $s = 4$ :

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ .
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ .

Na interface: área 6.92820323, perímetro 12, ângulo interno 60. É igual à fórmula escolar $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ .

Entradas $n = 4$ , $s = 4$ : $\tan 45^\circ = 1$ , $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ ; a interface mostra área 16, perímetro 16 e ângulo interno 90 — a fórmula do quadrado, $s^2$ , é o caso particular da fórmula geral com $n = 4$ .

Exemplo 3: placa de pare — octógono de lado 10

Entradas: $n = 8$ , $s = 10$ .

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ .
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ .
$P = 80$ ; ângulo interno $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ .

Na interface: área 482.84271247, perímetro 80, ângulo interno 135. A forma fechada é $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ . Se o lado estiver em centímetros, uma placa assim tem área de cerca de 0.048 m²; o apótema é $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ , logo a «distância entre lados opostos» (a medida usada na abertura de chaves) é $2a = 24.14$ .

Exemplo 4: achar o lado e aproximar o círculo com n grande

Entradas: área $A = 100$ , $n = 6$ (comprimento do lado apagado).

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ .

Na interface: comprimento do lado s 6.20403239, ângulo interno 120; o «Perímetro» mostra 0 (veja o critério no passo 3). Digitando 6.20403239 de volta no campo do lado, o perímetro passa a mostrar 37.22419436.

Entradas $n = 360$ , $s = 1$ : área 10312.97851164, perímetro 360, ângulo interno 179. O círculo de mesmo perímetro 360 tem área $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ , e o polígono fica apenas 0.0025% abaixo — com muitos lados, polígono regular e círculo quase não se distinguem, que é a ideia do cerco de Arquimedes a $\pi$ com 96 lados.

As entradas do exemplo 1 podem ser preenchidas diretamente no painel para reproduzi-lo; mude o número de lados de 6 para 8, 12 e 100 e observe o ângulo interno se aproximar de 180° e a área se aproximar da do «círculo de mesmo perímetro».

Princípio e dedução

Dividir em n triângulos isósceles

Ligando o centro do polígono regular de $n$ lados a cada vértice, obtêm-se $n$ triângulos isósceles congruentes: a base é $s$ , os dois lados iguais valem $R$ e o ângulo do vértice é o ângulo central, $2\pi/n$ , em que os 360° foram divididos. Baixando do centro a perpendicular à base, cada triângulo isósceles se divide em dois triângulos retângulos com catetos $s/2$ e o apótema $a$ e ângulo agudo $\pi/n$ . Então

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

A área de cada triângulo isósceles é $\tfrac12 s a$ ; somando os $n$ :

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

A forma «área = perímetro × apótema ÷ 2» é exatamente isomórfica a $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ do círculo — o círculo é o «polígono infinito» cujo apótema é o raio e cujo perímetro é $2\pi r$ .

Por que o ângulo interno é (n − 2)·180° / n

Ligando um vértice aos demais por diagonais, qualquer polígono de $n$ lados se divide em $n - 2$ triângulos, e a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180°, logo a soma dos ângulos internos do polígono é $(n-2)\cdot 180^\circ$ . No polígono regular, todos os ângulos são iguais, e dividir igualmente entre os $n$ vértices dá cada ângulo interno. Outra leitura: cada ângulo externo é $360^\circ/n$ (dar uma volta completa pelo polígono gira 360° no total) e o ângulo interno é $180^\circ - 360^\circ/n$ , o que simplifica para a mesma expressão. Para $n = 3, 4, 5, 6, 8$ saem 60°, 90°, 108°, 120° e 135°.

Quais polígonos regulares ladrilham o plano

Numa junção de vários polígonos iguais, a soma dos ângulos internos tem de dar exatamente 360°. É preciso que $360^\circ / \theta_{\text{int}}$ seja inteiro: o triângulo equilátero (6 peças), o quadrado (4 peças) e o hexágono regular (3 peças) funcionam; o pentágono, com $360/108 = 3.33$ , e o octógono, com $360/135 = 2.67$ , não funcionam. Só esses três polígonos regulares ladrilham o plano sozinhos. A escolha do hexágono pela colmeia não é acaso: entre os três, é o que cerca a mesma área com o menor perímetro (a «conjectura da colmeia», provada por Hales em 1999).

Aproximar o círculo: do polígono ao π

Com perímetro fixo $P$ , a área do polígono regular de $n$ lados é $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ . Quando $n \to \infty$ , $n\tan(\pi/n) \to \pi$ , e então $A_n \to P^2/(4\pi)$ , exatamente a área do círculo de perímetro $P$ . No exemplo 4, com $n = 360$ , a diferença já é de apenas 0.0025%. Arquimedes, em Medida do Círculo, cercou $\pi$ entre $3\tfrac{10}{71}$ e $3\tfrac{1}{7}$ com polígonos regulares inscritos e circunscritos de 96 lados, usando essa convergência; o «método de exaustão» de Liu Hui, com um polígono de 3072 lados, chegou a $\pi \approx 3.1416$ .

Partir do raio circunscrito ou do apótema

Se o dado não é o lado, mas $R$ (por exemplo, um polígono regular inscrito num círculo) ou $a$ (por exemplo, a distância entre lados opostos de uma porca), converta antes para o lado e use a calculadora: $s = 2R\sin(\pi/n)$ , $s = 2a\tan(\pi/n)$ . As fórmulas diretas equivalentes são $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ e $A = na^2\tan(\pi/n)$ .

Premissas

A figura é realmente um polígono regular: todos os lados iguais e todos os ângulos internos iguais. Se só uma das condições vale (por exemplo, um losango com lados iguais e ângulos desiguais), a fórmula não se aplica.
Polígono convexo: as fórmulas são para polígonos regulares convexos; a «área» de polígonos estrelados como o pentagrama tem outra definição e não entra aqui.
Geometria plana: no plano euclidiano; polígonos regulares sobre a esfera têm soma de ângulos internos maior.
Número de lados inteiro e maior ou igual a 3: o motor não verifica, e resultados com $n$ não inteiro não têm significado geométrico.
Mesma unidade: lado, apótema e raio usam a mesma unidade de comprimento, e a área sai nessa unidade ao quadrado.
Critério da solução inversa: ao obter o lado pela área, o campo do perímetro é calculado com o lado não preenchido (0) e mostra 0, o que não significa perímetro nulo.

Escopo e limitações

O que calcula: para qualquer polígono regular com $n \ge 3$ , área, perímetro e ângulo interno a partir do lado; e o lado a partir da área e do número de lados.
Só aproxima: um polígono «regular» medido na prática tem sempre erro de fabricação; o erro relativo da área é o dobro do erro relativo do lado ( $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ).
Não calcula: polígonos irregulares (divida em triângulos ou use a fórmula do «laço» com as coordenadas dos vértices), entrada direta por $R$ ou $a$ (converta antes em $s$ conforme acima), polígonos estrelados e a área de poliedros tridimensionais.
Não faz: não exibe apótema, raio circunscrito, ângulo externo nem número de diagonais ( $n(n-3)/2$ ); quando precisar, calcule à mão com as fórmulas.
Números: com $n$ muito grande, $\tan(\pi/n)$ é muito pequeno, mas em precisão dupla ainda há mais de 8 algarismos significativos até $n$ da ordem de $10^7$ , o que não afeta o uso diário.

Erros comuns

Escrever tan(π/n) com a calculadora em graus: $\pi/n$ é radiano. Numa calculadora comum no modo grau, use $\tan(180^\circ/n)$ ; no hexágono, informe $\tan(30^\circ)$ , e não $\tan(0.5236^\circ)$ .
Tomar o raio circunscrito pelo lado: só o hexágono regular tem $R = s$ . No quadrado, $R = s/\sqrt 2$ ; no triângulo equilátero, $R = s/\sqrt 3$ ; no octógono, $R = 1.3066\,s$ .
Tomar a «distância entre lados opostos» pelo lado: a medida nominal de uma porca (por exemplo, os 17 mm de uma porca M10) é a distância entre lados opostos, $2a$ , não o lado. O lado é $s = 2a\tan(\pi/n)$ ; no hexágono, $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ : na porca de 17 mm, $a = 8.5$ mm e o lado é 9.81 mm.
Aplicar a fórmula a uma figura irregular: um pentágono com todos os lados iguais a 5, mas ângulos desiguais, tem área menor que o pentágono regular; a fórmula só vale para polígonos regulares.
Esquecer o quadrado na unidade da área: a área do hexágono de lado 5 cm é 64.95 cm², não 64.95 cm.
Informar número de lados decimal ou menor que 3: o motor calcula de qualquer jeito, mas o resultado não tem sentido (veja a nota depois do exemplo 4).
O perímetro aparece como 0 no modo inverso: é o critério da interface, não um resultado; basta devolver o lado obtido ao campo dele.

Casos de uso típicos

Ensino: do triângulo e do quadrado ao círculo

Confira primeiro as fórmulas conhecidas com $n = 3$ e $4$ , depois suba $n$ até 100 e 1000 e observe o ângulo interno tendendo a 180° e a área se aproximando da do círculo de mesmo perímetro — uma experiência de limite e da origem de $\pi$ .

Arquitetura e paisagismo: gazebos, canteiros e forrações

Calcular a área do piso de um gazebo hexagonal de lado conhecido (para comprar o material), o perímetro de um canteiro octogonal (para a borda) e descobrir quais forrações regulares se encaixam sem frestas (só 3, 4 e 6 lados).

Mecânica e ferragens: porcas e eixos

A porca é um hexágono regular: converter a distância entre lados opostos no lado e na área da seção; o mesmo vale para estriados octogonais ou dodecagonais e para aberturas de chave.

Sinalização e design

Conversão de dimensões e estimativa de área em placas de pare (octógono), padrões de colmeia (hexágono) e emblemas (pentágono, decágono).

Perguntas frequentes

Conhecendo o raio circunscrito R, como calcular a área?

Use $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ ou calcule antes o lado, $s = 2R\sin(\pi/n)$ , e informe na calculadora. No hexágono com $R = 5$ , $s = 5$ e a área é 64.95.

E conhecendo o apótema (raio da circunferência inscrita) a?

$A = na^2\tan(\pi/n)$ , ou $s = 2a\tan(\pi/n)$ . No hexágono com $a = 4.3301$ , $s = 5$ .

Por que o ângulo interno aparece como 128.57142857?

O ângulo interno do heptágono é $= 5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ , que não é inteiro; o ângulo interno só é inteiro quando $n$ divide 360 ( $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ).

Com o mesmo perímetro, o polígono ou o círculo tem área maior?

Com o mesmo perímetro, o círculo tem a maior área; quanto mais lados, mais perto do círculo o polígono regular fica (desigualdade isoperimétrica). No exemplo 4, o polígono de 360 lados fica apenas 0.0025% abaixo do círculo.

Dá para calcular polígonos irregulares?

Não. Com as coordenadas dos vértices, use a fórmula do «laço», $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ ; com lados e ângulos, divida em triângulos.

O que acontece se eu informar 2 ou 1 lados?

Com $n = 2$ , $\tan(\pi/2)$ é infinito, a área é 0 e o ângulo interno é 0; com $n = 1$ , $\tan\pi = 0$ e a área é infinita. Nenhum dos dois tem significado geométrico, e o valor mínimo indicado no campo é 3.

Referências e leitura complementar

Código-fonte do motor CalcX src/data/formulas.ts, definição regular-polygon (compute(known, solveFor) para area / perimeter / intAngle e o lado por solução inversa a partir da área); todos os números desta página foram recalculados com esse motor.
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）— várias fórmulas equivalentes de área, apótema e raio circunscrito.
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）— dedução de $A = \tfrac12 Pa$ .
Euclides, Elements, Book IV, edição anotada por D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-09）— construções com régua e compasso de polígonos regulares inscritos e circunscritos.
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）— o hexágono regular é o de menor perímetro entre as divisões de mesma área, provado por Hales em 1999.
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）— só o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular ladrilham o plano sozinhos.
Arquimedes, Medida do Círculo, proposição 3; o «método de exaustão» nas notas de Liu Hui ao capítulo «método do campo circular» dos Nove Capítulos sobre a Arte Matemática — os textos originais da aproximação do círculo por polígonos.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09