匀变速位移计算器 s = v₀t + ½at²：位移、刹车距离与下落高度

计算器说明

匀变速位移计算器解 $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ ：已知初速度 $v_0$ 、恒定加速度 $a$ 和时间 $t$ ，求这段时间里的位移 $s$ ；也能反过来，由位移和时间求初速度或加速度——石头掉了 3 秒落了多深、100 km/h 刹停要滑多远、8 秒跑完 100 m 的平均加速度是多少。

它是运动学四条基本公式里的第二条，与末速度计算器（ $v = v_0 + at$ ）配对：那一条说速度怎么变，这一条说走了多远。两条公式的物理内容相同——加速度恒定——只是问的量不同。位移是 v–t 图直线下方的面积，这个几何解释是全篇的主线，也是它与梯形面积之间不那么显眼的联系。

它不做的事：不由位移反解时间（那是个二次方程，本页手算部分给出做法）；不算末速度（用配对的末速度计算器）；不处理加速度随时间变化的运动；只算一维——斜抛、平抛要把水平和竖直方向分开各算一次；不做单位换算。

公式与变量

s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

反解（引擎实现的两种）：

v_0 = \frac{s - \tfrac12 a t^2}{t},\qquad a = \frac{2\,(s - v_0 t)}{t^2}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$v_0$	初速度（ $t = 0$ 时）	初速度 v₀ (m/s)	m/s	任意实数；默认 0。负号表示与正方向相反
$a$	加速度（恒定）	加速度 a (m/s²)	m/s²	任意实数；默认 9.8。与 $v_0$ 反向时为负
$t$	经历的时间	时间 t (s)	s	$t \ge 0$ ；无默认值，打开时为空
$s$	位移（ $t$ 时刻相对起点的有向距离）	位移 s (m)	m	输出；反解模式下作为输入。带符号

量纲检查： $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$ ， $\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}$ ，两项都是长度。 $\tfrac12$ 来自三角形面积（见原理）。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 匀变速位移」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-displacement）。打开时「初速度 v₀」= 0、「加速度 a」= 9.8 已填好，「时间 t」为空；此时「时间」字段为空、「位移」带「计算」标记显示 0——引擎不由位移反解时间，而空的 $t$ 按 0 参与， $s = 0$ 。这不是结果。
求位移在「时间 t」填入秒数，位移立即更新。减速运动把 $a$ 填负数；位移可能为负（回到起点以下）。
反解加速度清空「加速度 a」，填 $v_0$ 、 $t$ 、 $s$ ，加速度字段切换为「计算」并显示 $2(s - v_0 t)/t^2$ 。
反解初速度清空「初速度 v₀」，填 $a$ 、 $t$ 、 $s$ ，初速度字段显示 $(s - \tfrac12 at^2)/t$ 。
求时间引擎不支持。清空 $t$ 后该字段保持为空。手算： $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ ， $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ （取正根）；或先用末速度计算器由 $v$ 反解 $t$ ，再回到本页。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 LaTeX s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 phys-displacement 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零，单位 m/s、m/s²、s、m。

算例 1：自由落体的 1 : 4 : 9

输入： $v_0 = 0$ ， $a = 9.8$ ， $t = 1$ 。 $s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9$ 。界面显示：位移 s 4.9。

把时间改成 2、3：界面依次显示 19.6、44.1。三个数的比是 $4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9$ ——下落距离与时间的平方成正比。每一秒内新增的距离是 4.9、14.7、24.5，比为 1 : 3 : 5，这是伽利略 1638 年从斜面实验总结出的「奇数律」，也是他判断「速度与时间成正比（而不是与距离成正比）」的依据。

算例 2：100 km/h 刹停的滑行距离

汽车以 100 km/h（ $27.78\ \text{m/s}$ ）行驶，以 $-5\ \text{m/s}^2$ 减速。先在末速度计算器里反解出刹停时间 5.55555556 s，再回到本页： $v_0 = 27.77777778$ ， $a = -5$ ， $t = 5.55555556$ 。 $s = 27.78 \times 5.56 - \tfrac12 \times 5 \times 5.56^2 = 154.32 - 77.16 = 77.16$ 。界面显示：位移 s 77.16049384。

核对：不含时间的公式 $v^2 = v_0^2 + 2as$ 给 $s = 27.78^2 / (2 \times 5) = 77.1604938$ ，一致；平均速度 $\tfrac12 \times 27.78 = 13.89\ \text{m/s}$ 乘 5.56 s 也是 77.16。刹车距离与速度的平方成正比：速度翻倍，距离变四倍——这就是限速的物理依据。

图 1：位移是 v–t 图下的面积（左：算例 2 的刹车三角形）；s–t 图是抛物线（右：算例 1 的自由落体，1 : 4 : 9）

算例 3：由位移反解加速度与初速度

反解加速度：一辆车从静止出发，8 秒跑了 100 m，平均加速度多大？清空 $a$ ，填 $v_0 = 0$ ， $t = 8$ ， $s = 100$ ： $a = 2 \times 100 / 64 = 3.125$ 。界面显示：加速度 a 3.125。

对照末速度计算器里「8 秒到 100 km/h」的 $a = 3.47222222$ ：同样 8 秒，那辆车跑的是 $\tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11$ m。填 $v_0 = 0$ ， $a = 3.47222222$ ， $t = 8$ ，界面显示位移 111.11111104——末位的 04 是 8 位小数的加速度回代产生的舍入尾巴，不是错误。

反解初速度：一个物体在 $a = -5$ 的减速下 2 秒走了 50 m，出发时多快？清空 $v_0$ ，填 $a = -5$ ， $t = 2$ ， $s = 50$ ： $v_0 = (50 + 10)/2 = 30$ 。界面显示：初速度 v₀ 30。

算例 4：竖直上抛与火车

竖直上抛（向上为正， $a = -9.8$ ）：以 19.6 m/s 抛出的球， $t = 2$ 时 $s = 39.2 - 19.6 = 19.6$ 。界面显示：位移 s 19.6——最高点高 19.6 m（此时 $v = 0$ ，见末速度计算器算例 3）。 $t = 4$ 时 $s = 78.4 - 78.4 = 0$ 。界面显示：0——球回到了出手高度。位移为零，但球走过的路程是 39.2 m：位移是有向的净变化，路程是走过的总长度。

火车：以 20 m/s 行驶的列车以 0.5 m/s² 加速 1 分钟。 $v_0 = 20$ ， $a = 0.5$ ， $t = 60$ ： $s = 1200 + 900 = 2100$ 。界面显示：位移 s 2100。匀速部分 1200 m 与加速带来的 900 m 各占一项。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把时间改成 1、2、4，看位移按 1 : 4 : 9 : 16 增长；把加速度改成 1.62（月球）看同样 3 秒只落 7.29 m。

原理与推导

位移是 v–t 图下的面积

匀速运动位移 $= vt$ ，是 v–t 图上一个矩形的面积。匀变速时速度在变，但可以把时间切成很多小段，每段近似匀速，位移之和就是直线下方那块梯形的面积。直线从 $v_0$ 升到 $v_0 + at$ ，梯形面积 $= \tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ —— $\tfrac12$ 就是从这里来的。图 1 左侧的刹车三角形是 $v_0 = 27.78$ 缩到 0 的特例：面积 $\tfrac12 \times 27.78 \times 5.56$ 。梯形面积计算器算的正是同一件事。

用平均速度理解

加速度恒定时，平均速度恰好是首末速度的算术平均 $\bar v = \tfrac12 (v_0 + v)$ ，位移 $= \bar v\, t$ 。把 $v = v_0 + at$ 代入就回到 $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ 。这也是第四条运动学公式 $s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t$ 。它只对匀变速成立——变加速时平均速度不再是首末的中点。

消去时间： $v^2 = v_0^2 + 2as$

从 $v = v_0 + at$ 解出 $t = (v - v_0)/a$ ，代入位移公式并化简，得到不含时间的 $v^2 = v_0^2 + 2as$ 。算例 2 用它核对了刹车距离。两边乘 $\tfrac12 m$ 就是 $\tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs$ ——动能定理：合力做的功等于动能的变化。动能计算器从这里接手。

s–t 图是抛物线

$s$ 是 $t$ 的二次函数，图像是抛物线（图 1 右）。 $v_0 = 0$ 时顶点在原点，开口方向由 $a$ 的符号决定。抛物线在任一点的切线斜率就是那一刻的速度： $t = 0$ 处斜率为 $v_0$ 。竖直上抛的 s–t 图是开口向下的抛物线，顶点是最高点，与横轴的第二个交点是回到出手高度的时刻（算例 4 的 $t = 4$ ）。

反解时间为什么是二次方程

给定 $s$ 、 $v_0$ 、 $a$ 求 $t$ ，要解 $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ 。它可能有两个正根（上抛的球两次经过同一高度：上升时和下落时），也可能无解（球够不到那个高度）。引擎选择不在字段里给出单一答案，避免默默丢掉一个根；需要时按 §3 第 5 步手算，两个根都要看。

伽利略的斜面

自由落体太快，1638 年没有能测它的钟。伽利略让球沿光滑斜面滚下，用水钟计时，发现距离与时间平方成正比、连续相等时间段内的距离比为 1 : 3 : 5 : 7，而且斜面倾角越大比例不变。由此推断竖直下落（倾角 90°）也如此。 $s = \tfrac12 g t^2$ 里的 $g$ 是 1638 年之后才测准的。

假设

加速度恒定：整个 $t$ 内 $a$ 不变。车辆真实加速度随速度变化，算出的是等效平均值。
直线运动、一维：位移、速度、加速度共线，方向用符号表示。
运动持续到 $t$ ：公式不会在物体停下时自动截止（见算例 4 后的提示）。
忽略阻力：自由落体算例不含空气阻力。
SI 单位：m/s、m/s²、s、m；不做换算。
界面口径：未填的 $t$ 按 0 参与，因此打开面板时位移显示 0；反解时分母 $t$ 为空按 1 兜底。

适用范围与限制

能算: 由 $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ 求 $s$ ；由 $s$ 、 $t$ 与另一量反解 $a$ 或 $v_0$ ；负值、负位移都支持。
只能近似: 变加速运动只能分段近似； $g$ 取 9.8 有约 0.1% 的取值差异。
不能算: 由位移反解时间（二次方程，手算）；末速度（用配对计算器）；二维抛体（分方向）；路程（位移的绝对值之和，需知道是否掉头）。
不做: 单位换算；判断运动是否已经停止。
数值: 8 位小数回代会产生末位舍入尾巴（算例 3 的 111.11111104）。

常见误区

忘了 ½： $s = at^2$ 会把自由落体 3 秒算成 88.2 m，比真值大一倍。 $\tfrac12$ 来自三角形面积，不是可选项。
位移当路程：上抛回到原点位移为 0，路程不为 0（算例 4）。
刹车后继续算： $t$ 超过刹停时间，公式让车倒退（算例 4 后的提示）。
km/h 直接代入：100 km/h 填成 100 会把刹车距离算成 1000 m。先换成 27.78 m/s。
减速忘了负号：刹车的 $a$ 是 $-5$ ，填 $+5$ 会得到越来越远。
用末速度代替初速度：公式里的 $v_0$ 是这段时间开始时的速度。
平方了时间以外的量： $\tfrac12 a t^2$ 只平方 $t$ 。

典型使用场景

教学

自由落体 1 : 4 : 9 与奇数律；v–t 图面积法；位移与路程；竖直上抛的对称性；动能定理的来源。

交通安全

给定车速与减速度的刹车距离（配合反应时间内的匀速段 $= v \times t_\text{反应}$ ）；限速与刹车距离平方关系的直观说明。

工程

电梯、传送带加减速段的行程；起重、机床进给的定位长度；已知行程与时间反推所需加速度。

体育与日常

跳水台高度对应的入水时间与速度估算；抛物的最高点高度；从下落时间估算井深或楼高（注意声音传回的时间）。

常见问题

为什么打开面板时位移是 0、时间为空？

时间还没填，引擎把 $t$ 当 0；引擎不由位移反解时间，所以时间字段保持空。填入时间后即正常。

怎么由位移求时间？

解二次方程 $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ ， $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ ； $v_0 = 0$ 时简化为 $t = \sqrt{2s/a}$ 。或先用末速度计算器由 $v$ 反解 $t$ 。

位移和距离有什么区别？

位移是终点相对起点的有向直线距离，带符号；路程是走过的轨迹总长。同向直线运动两者相等，掉头后位移开始变小而路程继续增大。

为什么刹车距离与速度平方成正比？

$v^2 = v_0^2 + 2as$ 里 $v = 0$ ， $s = v_0^2 / (2|a|)$ 。速度翻倍， $v_0^2$ 变四倍。

上抛的球上升和下落走的距离一样吗？

不计阻力时一样：s–t 抛物线关于最高点对称。有阻力时下落段更慢、时间更长。

空气阻力大时还能用吗？

不能。阻力随速度增大，加速度不再恒定。雨滴、跳伞、羽毛都不是匀变速。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-displacement 定义（compute(known, solveFor) 求 s / v₀ / a）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）——五个量、四条公式的完整表与推导。
Wikipedia, Displacement (geometry)（访问日期：2026-09-09）——位移与路程的定义。
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day，Crew & de Salvio 英译（访问日期：2026-09-09）——奇数律与斜面实验的原典。
Wikipedia, Braking distance（访问日期：2026-09-09）——刹车距离公式、反应距离与典型减速度。
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——位移、速度、加速度的量与单位定义。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09