动能计算器 Eₖ = ½mv²：功与能、平方律与能量单位换算

计算器说明

动能计算器解 $E_k = \tfrac12 m v^2$ ：输入质量 $m$ （kg）和速度 $v$ （m/s），得到物体因运动而具有的能量 $E_k$ （J）；也可以由动能与质量反解速度，或由动能与速度反解质量。它回答的是「一个运动着的物体能做多少功」——刹停它要吸收多少能量，它撞上去能造成多大破坏，或者要把它加速到这个速度需要输入多少能量。

行驶的汽车、飞行的子弹、奔跑的人、坠落的雨滴、管道里的水流，都带着动能。本页同时是本站物理类计算器里「功与能」的锚点：功—能定理、能量的单位与换算（J、kJ、kW·h、kcal、eV）、能量是标量的含义、经典公式的适用边界都在这里展开；重力势能、动量两篇只作概括并链回这里。SI 单位制与量纲、矢量与标量的一般讨论见牛顿第二定律。

它不做的事：不算转动动能（ $\tfrac12 I\omega^2$ ，车轮、飞轮），不算相对论动能（接近光速），不做单位换算（km/h 要先换成 m/s，g 要先换成 kg），也不处理能量在碰撞中的分配（那是动量守恒的领域）。

公式与变量

E_k = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2

反解：

v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}},\qquad m = \frac{2E_k}{v^2}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$m$	质量	质量 m (kg)	kg	$m > 0$ ；默认 1
$v$	速度（速率）	速度 v (m/s)	m/s	任意实数；默认 10。平方后符号消失， $-3$ 与 $3$ 给出同样的动能
$E_k$	动能	动能 Eₖ (J)	J = kg·m²/s² = N·m	输出，恒 $\ge 0$ ；反解模式下作为输入，为负时速度字段为空

单位一致性： $\text{kg} \times (\text{m/s})^2 = \text{kg·m}^2/\text{s}^2 = \text{N·m} = \text{J}$ 。常用换算（本计算器不做，需手算）：

单位	换算为 J	说明
1 kJ	1 000	汽车、人体运动的常用量级
1 kW·h	3 600 000（精确）	电表单位，「1 度电」
1 cal	4.184（热化学卡，约定值）	1 kcal = 4 184 J，食品标签上的「卡路里」是 kcal
1 eV	1.602 176 634 × 10⁻¹⁹（精确，2019 年 SI 修订后）	原子、粒子尺度
1 erg	10⁻⁷	CGS 制，g·cm²/s²

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 动能」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-kinetic）。打开时「质量 m」= 1、「速度 v」= 10 已填好，「动能 Eₖ」带「计算」标记显示 50。
求动能改写质量和速度即可。速度先换成 m/s（km/h ÷ 3.6），质量先换成 kg。
反解速度清空「速度 v」，填「动能 Eₖ」与「质量 m」，速度字段切换为「计算」并显示 $\sqrt{2E_k/m}$ （取正值）。
反解质量清空「质量 m」，填「动能 Eₖ」与「速度 v」，质量字段显示 $2E_k/v^2$ 。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零。反解速度时若动能填了负数，速度字段为空（负数开平方无实数解）。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 LaTeX E_k = \tfrac{1}{2} m v^2 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 phys-kinetic 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零，单位 kg、m/s、J。

算例 1：默认输入，1 kg 以 10 m/s 运动

输入： $m = 1$ ， $v = 10$ 。 $E_k = \tfrac12 \times 1 \times 10^2 = 50$ 。界面显示：动能 Eₖ 50。

输入 $m = 2$ ， $v = 3$ ： $E_k = \tfrac12 \times 2 \times 9 = 9$ ，界面显示 9。改 $v = -3$ （向反方向运动），界面仍显示 9——动能是标量，只与速率有关，与方向无关。

算例 2：汽车从 100 km/h 刹停要吸收多少能量

1500 kg 的汽车以 100 km/h 行驶。

换单位： $v = 100 / 3.6 = 27.77777778$ m/s。
输入 $m = 1500$ ， $v = 27.77777778$ ： $E_k = \tfrac12 \times 1500 \times 27.77777778^2 = 578703.7037037$ 。

界面显示：动能 Eₖ 578703.7037037，约 579 kJ，即 0.161 kW·h 或 138 kcal——刹车片要把这么多能量变成热。以 50 km/h（13.88888889 m/s）行驶时界面显示 144675.92592593：速度减半，动能只有四分之一。

如果忘了换单位，直接填 $v = 100$ ，界面给出 7500000——大了 $3.6^2 = 12.96$ 倍。速度在公式里被平方，单位错误也被平方放大，这是本页最常见的失误。

图 1：算例 2 的汽车。动能随速度按平方增长：50 → 100 km/h 是 4 倍，100 → 120 km/h 虽然只快 20%，动能却多 44%

算例 3：子弹与跑步者——谁的动能大

子弹： $m = 0.008$ kg（8 g）， $v = 400$ m/s。 $E_k = \tfrac12 \times 0.008 \times 160000 = 640$ 。界面显示：640。

跑步者： $m = 70$ kg， $v = 5$ m/s。 $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 25 = 875$ 。界面显示：875。

跑步者的动能比子弹还大 37%，但两者的破坏力天差地别——子弹把 640 J 集中在几平方毫米的截面上、几十微秒内释放。动能告诉你「总量」，破坏效果还取决于面积、时间与材料，这正是动能与动量、冲量要分开讨论的原因。顺带一提：一只 58 g 的网球以 50 m/s 发球，动能 72.5 J。

算例 4：反解速度与质量

反解速度：一个 80 kg 的人要具有 1000 J 的动能，需要多快？清空 $v$ ，填 $E_k = 1000$ ， $m = 80$ ： $v = \sqrt{2 \times 1000 / 80} = \sqrt{25} = 5$ 。界面显示：速度 v 5。

把算例 2 反过来： $E_k = 578703.7037037$ ， $m = 1500$ ，界面显示速度 v 27.77777778，回到 100 km/h。再问「1 度电（3 600 000 J）能把 1500 kg 的车加速到多快」：界面显示 69.2820323 m/s，即约 249 km/h——不计任何损耗的理论值，说明 1 kW·h 其实是很大一份能量。

反解质量：动能 9 J、速度 3 m/s，清空 $m$ ： $m = 2 \times 9 / 9 = 2$ 。界面显示：质量 m 2。

图 1 的活版本：拖动质量滑块，抛物线整体缩放；横轴步长 1.3889 m/s 对应 5 km/h

原理与推导

功—能定理：½mv² 从哪里来

对静止的物体施加恒定合力 $F$ ，沿力的方向移动距离 $s$ ，力做的功是 $W = Fs$ 。由牛顿第二定律 $F = ma$ ，由匀变速运动 $v^2 = 2as$ （初速为零），于是

W = Fs = ma \cdot \frac{v^2}{2a} = \tfrac12 m v^2

合力做的功全部变成了物体的「运动能量」，这个量就被定义为动能。若初速不为零，同样的推导给出 $W_{\text{合}} = \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = \Delta E_k$ ：合力做的功等于动能的变化，这就是功—能定理。它是 $F = ma$ 沿路径积分的结果，对变力同样成立（ $W = \int F\,\mathrm ds$ ）。

刹车就是功—能定理的应用：算例 2 的 578.7 kJ 动能要由制动力做负功耗掉。若制动力恒为 7500 N，刹车距离 $s = E_k / F = 578703.7 / 7500 = 77.16$ m；50 km/h 时只需 19.29 m——速度减半，刹车距离四分之一。这与牛顿第二定律页算例 3 用 $a = -5\ \text{m/s}^2$ 算出的 77 m 完全一致，是同一件事的两种算法。

为什么是平方，为什么有 ½

平方：加速到 $2v$ 比加速到 $v$ 多花的不只是「再来一份」。用同样的力，从 $v$ 到 $2v$ 所用时间与从 0 到 $v$ 相同，但这段时间里物体跑得更快、走的距离是前一段的 3 倍，力做的功也是 3 倍——所以 $E_k(2v) = 4E_k(v)$ 。图 1 的抛物线与那条灰色直线的差距就是这个道理。

½：莱布尼茨 1686 年提出「活力」（vis viva） $mv^2$ 作为守恒量；科里奥利 1829 年把功定义为力乘距离后，为了让「功 = 能量变化」不带系数，能量就取成 $\tfrac12 mv^2$ 。 $\tfrac12$ 来自 $v^2 = 2as$ 里的那个 2，也就是「平均速度是末速度的一半」。

动能是标量

速度是矢量，但 $v^2 = \vec v \cdot \vec v$ 是标量，动能没有方向：向东 3 m/s 与向西 3 m/s 的动能相同（算例 1）。这和动量 $\vec p = m\vec v$ 形成鲜明对照：两个相同的球迎面相撞，总动量为零而总动能不为零。二维、三维运动只需把速率代入，不必分解分量。

能量的单位与量级

焦耳是导出单位： $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2$ ，即 1 N 的力推动 1 m 做的功。用 kg、m/s 代入公式自然得到 J；其它单位体系要么带换算系数，要么得到别的单位（g 与 cm/s 给出 erg）。量级感：一个苹果落下 1 m 约 1 J，人步行约 50–100 J，汽车高速行驶约 $10^5$ – $10^6$ J（算例 2），1 度电 $3.6 \times 10^6$ J，一天的食物约 $8 \times 10^6$ J（2000 kcal）。功率是能量的变化率， $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$ ，所以 kW·h 是「功率 × 时间」——1 kW 用 1 小时。

经典公式的边界

$\tfrac12 mv^2$ 是相对论动能 $(\gamma - 1)mc^2$ 在 $v \ll c$ 时的近似，相对误差约 $\tfrac34 (v/c)^2$ ： $v = 0.1c$ 时约 0.75%， $v = 0.5c$ 时已超过 15%。地球上一切宏观运动（最快的航天器约 $10^{-4}c$ ）都在经典范围内；电子、质子在加速器里则必须用相对论公式。另一个边界是转动：滚动的轮子除了平动动能还有 $\tfrac12 I\omega^2$ ，本计算器不含这一项。

假设

质点平动：物体整体以同一速度运动，不含转动动能与内部运动。
速率 $v \ll c$ ：经典力学范围。
$m$ 、 $v$ 用 SI：kg 与 m/s；引擎不换算。
速度是相对某参考系的：动能与参考系有关，车里的乘客相对车动能为零、相对地面不为零。
反解取正根： $v = \sqrt{2E_k/m}$ ；反解质量或速度时分母未填按 1 兜底。

适用范围与限制

能算: $E_k$ 、 $m$ 、 $v$ 三者知二求一。
只能近似: 实际刹车、碰撞中的能量去向（热、形变、声）不在公式内；空气阻力使加速所需能量多于 $\tfrac12 mv^2$ 。
不能算: 转动动能、相对论动能、多物体系统的总动能（逐个算后相加）、碰撞后的速度分配（用动量守恒）、势能与机械能守恒（用重力势能页配合本页手算）。
不做: 单位换算（km/h、g、kW·h、kcal）；负动能反解无输出。
数值: 极大 / 极小值以科学计数法显示（如电子的动能 $\sim 10^{-19}$ J）。

常见误区

km/h 不换 m/s：误差被平方放大到 12.96 倍（算例 2 的 7 500 000 vs 578 704）。
忘了 ½： $mv^2$ 是动能的两倍；历史上「活力」就是这样写的，但今天的焦耳按 $\tfrac12 mv^2$ 定义。
以为速度翻倍动能也翻倍：是四倍。刹车距离、撞击能量都按平方走，这是限速的物理依据。
给动能加方向：动能是标量，反向运动动能相同；「动能为负」没有意义。
把动能和动量混为一谈：动量 $mv$ 是矢量、随 $v$ 线性；动能 $\tfrac12 mv^2$ 是标量、随 $v$ 平方。算例 3 的子弹动能小于跑步者，动量（3.2 vs 350 kg·m/s）更小得多。
卡路里与千卡：食品标签的「卡路里」是 kcal（4184 J），不是 cal。

典型使用场景

交通安全

不同车速下的动能与刹车距离；说明「速度提高 20%、动能增加 44%」；碰撞测试中防撞结构要吸收的能量。

体育与器械

球类、器械的出手能量（网球、棒球、标枪）；跑步、骑行不同速度下的动能；健身器械的能量输出估算。

机械与能源

飞轮储能（平动部分）、水流与风的动能（ $\tfrac12 \rho A v^3$ 的功率来源）、锻锤与打桩机的冲击能量。

教学

功—能定理的引入；平方律的直觉；J、kW·h、kcal 的换算；标量与矢量的对比（配合动量页）。

常见问题

速度是负数为什么动能是正的？

公式里速度被平方， $(-3)^2 = 9$ 。动能只依赖速率，是标量。

反解速度得到的是正数，物体向负方向运动怎么办？

自行加负号。引擎只返回算术平方根。

动能和动量有什么区别？

动量 $p = mv$ 是矢量，描述「要多大的冲量才能让它停下」；动能 $\tfrac12 mv^2$ 是标量，描述「要做多少功才能让它停下」。两者关系 $E_k = p^2 / (2m)$ ：算例 2 的汽车动量 41666.67 kg·m/s， $41666.67^2 / 3000 = 578703.7$ J。

怎么算刹车距离？

$s = E_k / F$ （制动力恒定）。算例 2：578703.7 J ÷ 7500 N = 77.16 m。

转动的物体动能怎么算？

平动 $\tfrac12 mv^2$ 加转动 $\tfrac12 I\omega^2$ 。匀质实心圆柱滚动时转动部分是平动的一半，总动能 $\tfrac34 mv^2$ 。本计算器只算平动部分。

多大的速度需要用相对论公式？

相对误差约 $\tfrac34(v/c)^2$ 。要求 1% 以内时 $v < 0.115c \approx 3.5 \times 10^7$ m/s；宏观物体永远达不到，粒子物理必须用。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-kinetic 定义（compute(known, solveFor) 三向求解，反解速度取 Math.sqrt 正根）；本页所有数字由该引擎复算。
BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019（访问日期：2026-09-09）——焦耳的定义、eV 与 kW·h 等非 SI 单位的换算表。
NIST, CODATA 2018: electron volt（访问日期：2026-09-09）—— $1\ \text{eV} = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}$ J（精确）。
Wikipedia, Kinetic energy（访问日期：2026-09-09）——经典与相对论动能、转动动能、与动量的关系。
Wikipedia, Work (physics) — Work–energy principle（访问日期：2026-09-09）——功—能定理的推导。
Wikipedia, Vis viva（访问日期：2026-09-09）——莱布尼茨的 $mv^2$ 与 $\tfrac12$ 系数的历史。
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics——功、能、功率的量与单位定义。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09