匀变速直线运动计算器 v = v₀ + at：末速度、加速度与时间

计算器说明

匀变速直线运动计算器解 $v = v_0 + at$ ：已知初速度 $v_0$ 、加速度 $a$ 和时间 $t$ ，求末速度 $v$ ；四个量里任意三个已知，都能反解第四个——刹停要几秒、8 秒到 100 km/h 是多大的加速度、抛上去 2 秒才停下的球出手时有多快。

「匀变速」指加速度恒定：自由落体（ $a = g$ ）、汽车平稳加减速、火车进站、竖直上抛都可以近似成这种运动。它是运动学最基本的一条公式——加速度的定义式换个写法——也是后面所有运动学公式的起点：位移公式 $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ 在匀变速位移计算器里；加速度从哪里来（ $a = F/m$ ）、单位与矢量约定见牛顿第二定律。

它不做的事：不算位移或距离；不处理加速度随时间变化的运动（空气阻力显著的下落、变速起步）；只算一维——曲线运动、抛体的水平与竖直方向要分开处理；不做单位换算（km/h 请先换成 m/s）。

公式与变量

v = v_0 + a\,t \qquad\Longleftrightarrow\qquad a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{\Delta v}{\Delta t}

反解：

t = \frac{v - v_0}{a},\qquad a = \frac{v - v_0}{t},\qquad v_0 = v - a\,t

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$v_0$	初速度（ $t = 0$ 时）	初速度 v₀ (m/s)	m/s	任意实数；默认 0。负号表示与正方向相反
$a$	加速度（恒定）	加速度 a (m/s²)	m/s²	任意实数；默认 9.8。与速度同向为正（加速），反向为负（减速）
$t$	经历的时间	时间 t (s)	s	$t \ge 0$ ；无默认值，打开时为空
$v$	末速度（ $t$ 时刻）	末速度 v (m/s)	m/s	输出；反解模式下作为输入

单位一致性： $\text{m/s}^2 \times \text{s} = \text{m/s}$ 。默认加速度 9.8 是重力加速度的教材常用值；标准值 $g_0 = 9.806\,65$ ，取值版本的讨论见牛顿第二定律。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 匀变速直线运动」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-uniform-accel）。打开时「初速度 v₀」= 0、「加速度 a」= 9.8 已填好，「时间 t」为空，此时「时间」与「末速度」都带「计算」标记显示 0——引擎把空的 $t$ 当 0， $v = 0 + 9.8 \times 0 = 0$ ，这不是结果。
求末速度在「时间 t」填入秒数，末速度立即更新。减速运动把 $a$ 填负数。
反解时间清空「时间 t」，填「末速度 v」（刹停填 0），时间字段切换为「计算」并显示 $(v - v_0)/a$ 。
反解加速度清空「加速度 a」，填 $v_0$ 、 $v$ 、 $t$ ，加速度字段显示 $(v - v_0)/t$ 。
反解初速度清空「初速度 v₀」，填 $a$ 、 $t$ 、 $v$ ，初速度字段显示 $v - at$ 。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零。 $a = 0$ 时反解时间是 $0/0$ ，字段为空——匀速运动里「什么时候达到某速度」没有唯一答案。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 LaTeX v = v_0 + at 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 phys-uniform-accel 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零，单位 m/s、m/s²、s。

算例 1：自由落体 3 秒

输入： $v_0 = 0$ ， $a = 9.8$ ， $t = 3$ 。 $v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4$ 。界面显示：末速度 v 29.4——约 106 km/h。每过 1 秒速度增加 9.8 m/s，这就是「加速度 9.8 m/s²」的含义：速度每秒钟变化多少。从 10 层楼（约 30 m）落下大致就是 2.5 s、24 m/s。

算例 2：汽车 8 秒加速到 100 km/h，再刹车

反解加速度：清空 $a$ ，填 $v_0 = 0$ ， $v = 27.77777778$ （100 km/h）， $t = 8$ ： $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222$ 。界面显示：加速度 a 3.47222222。填回去核对（ $v_0 = 0$ ， $a = 3.47222222$ ， $t = 8$ ），界面显示末速度 27.77777776——末位的 6 是 8 位小数的加速度回代产生的舍入尾巴，不是错误。

刹车中途： $v_0 = 27.77777778$ ， $a = -5$ ， $t = 3$ ： $v = 27.78 - 15 = 12.77777778$ 。界面显示：末速度 v 12.77777778（约 46 km/h）。

反解刹停时间：清空 $t$ ，填 $v_0 = 27.77777778$ ， $a = -5$ ， $v = 0$ ： $t = (0 - 27.78)/(-5) = 5.55555556$ 。界面显示：时间 t 5.55555556。负除负得正——时间当然是正的。这段时间里滑行的 77.16 m 要用位移计算器算。

图 1：v–t 图上匀变速运动是一条直线，斜率就是加速度。左：算例 2 的汽车；右：算例 3 的上抛球——速度过零时加速度仍是 −9.8，直线没有任何弯折

算例 3：竖直上抛——速度为零时加速度不为零

向上为正， $a = -9.8$ 。一个球抛出后 2 秒到达最高点（ $v = 0$ ），出手速度多大？清空 $v_0$ ，填 $v = 0$ ， $a = -9.8$ ， $t = 2$ ： $v_0 = 0 - (-9.8)(2) = 19.6$ 。界面显示：初速度 v₀ 19.6。

再看第 3 秒： $v_0 = 19.6$ ， $a = -9.8$ ， $t = 3$ ： $v = 19.6 - 29.4 = -9.8$ 。界面显示：末速度 v −9.8——负号表示正在下落。整个过程加速度始终是 $-9.8$ ，包括最高点那一瞬间；只是速度从正变负。图 1 右侧那条直线连续穿过零点，没有停顿。

算例 4：火车与匀速的边界情形

火车：以 20 m/s 行驶的列车以 0.5 m/s² 加速 1 分钟。 $v_0 = 20$ ， $a = 0.5$ ， $t = 60$ ： $v = 20 + 30 = 50$ 。界面显示：末速度 v 50（180 km/h）。加速度小并不意味着速度变化小——时间长了一样显著。

匀速： $v_0 = 5$ ， $a = 0$ ，反解「何时达到 $v = 5$ 」，界面时间字段为空： $0/0$ 没有定义，匀速运动时刻都是 5 m/s。

算例 1 的输入可以直接填进面板复现；把时间改成 1、2、4、5，观察末速度按 9.8 的整数倍增长；把加速度改成 1.62（月球）看同样 3 秒只到 4.86 m/s。

原理与推导

这条公式就是加速度的定义

加速度定义为速度的变化率： $a = \Delta v / \Delta t$ 。加速度恒定时， $\Delta v = a\Delta t$ ，从 $t = 0$ 时的 $v_0$ 出发， $t$ 秒后 $v = v_0 + at$ 。它不需要「推导」，它是定义式的移项。真正有内容的断言是「加速度恒定」——这是对运动的一种假设，由牛顿第二定律保证：合力恒定（如重力）则加速度恒定。

v–t 图：直线与斜率

把速度画成时间的函数，匀变速运动是一条直线，纵截距是 $v_0$ ，斜率是 $a$ 。图 1 左侧汽车的直线上任取两点， $\Delta v / \Delta t = 13.89 / 4 = 3.47$ ，与反解出的加速度一致——这正是斜率计算器在做的事。斜率为负（图 1 右）表示减速或反向加速；直线穿过横轴表示速度反向。直线下方的面积是位移，那是下一篇的内容。

符号约定：一维矢量

速度和加速度都是矢量，一维时用正负号表示方向。先选正方向（通常取初速度方向或「向上」），然后： $a$ 与 $v$ 同号 → 速率增大；异号 → 速率减小。算例 3 的球上升时 $v > 0$ 、 $a < 0$ 减速，过了最高点 $v < 0$ 、 $a < 0$ 同号加速，加速度从头到尾没变。「减速度」不是另一个物理量，只是负的加速度。

伽利略与自由落体

「所有物体不论轻重都以同样的加速度下落」是伽利略 1638 年《两门新科学》里的结论，他用斜面「稀释」重力来测量，发现速度与时间成正比（而不是与距离成正比）。 $a = g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$ 是地球表面的近似值；月球 1.62，火星 3.72。空气阻力显著时（羽毛、雨滴、跳伞）加速度随速度减小直到为零（收尾速度），不再是匀变速。

与其它运动学公式的关系

四个量 $v_0$ 、 $v$ 、 $a$ 、 $t$ 之外还有位移 $s$ ，五个量之间有四条常用公式，每条缺一个量： $v = v_0 + at$ （无 $s$ ）、 $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ （无 $v$ ）、 $v^2 = v_0^2 + 2as$ （无 $t$ ）、 $s = \tfrac12(v_0 + v)t$ （无 $a$ ）。本计算器是第一条；第二条在位移计算器；第三条由前两条消去 $t$ 得到，是动能公式 $\tfrac12 mv^2$ 的来源。

假设

加速度恒定：整个时间段内 $a$ 不变。真实车辆的加速度随档位、速度变化，算出的是平均值。
直线运动、一维：速度与加速度共线，方向用符号表示。
忽略阻力：自由落体算例不含空气阻力。
SI 单位：m/s、m/s²、s；不做换算。
界面口径：未填的字段在引擎里按 0 参与（反解时分母按 1 兜底），因此打开面板时末速度显示 0。

适用范围与限制

能算: $v_0$ 、 $a$ 、 $t$ 、 $v$ 四者知三求一，含负值。
只能近似: 变加速运动只能分段近似； $g$ 取 9.8 有约 0.1% 的取值差异。
不能算: 位移（用位移计算器）、 $v^2 = v_0^2 + 2as$ 这类不含时间的关系（手算）、二维抛体（分方向各算一次）、加速度随时间变化的运动。
不做: 单位换算； $a = 0$ 时反解时间无解。
数值: 8 位小数回代会产生末位舍入尾巴（算例 2 的 27.77777776）。

常见误区

km/h 直接当 m/s：反解出的「加速度」单位是 (km/h)/s，数值大 3.6 倍（算例 4 的提示）。
最高点加速度为零：速度为零的瞬间加速度仍是 $-9.8$ （算例 3）。
减速忘了负号：刹车的 $a$ 是负数；填正数会算出越来越快。
把 $v$ 当成速率： $v$ 带符号；算例 3 的 $-9.8$ 表示向下 9.8 m/s，不是「负的速率」。
时间填成分钟：60 s 不是 1；算例 4 的火车填 $t = 1$ 只得到 20.5。
把平均速度当末速度：从 0 匀加速到 27.78，平均速度是 13.89；末速度是 27.78。

典型使用场景

教学

加速度定义的直观化；v–t 图斜率；符号约定与竖直上抛；伽利略自由落体。

交通

0–100 km/h 加速时间与平均加速度互算；给定减速度的刹停时间；列车加速到目标速度所需时间。

体育与安全

跳伞初期（未达收尾速度前）的速度增长；起跑加速度估算；坠落速度估算（配合位移页算高度）。

工程

电梯、传送带、机床进给的加减速时间设计；已知允许加速度求加速段时长。

常见问题

为什么打开面板时末速度是 0？

时间还没填，引擎把 $t$ 当 0。填入时间后即正常。

怎么算位移或距离？

用匀变速位移计算器（ $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ ）；或先用本页求出 $t$ ，再算平均速度 $\tfrac12(v_0 + v)$ 乘 $t$ 。

加速度为负就是减速吗？

只有当它与速度方向相反时才是减速。向下为正时自由落体加速度是正的；向上为正时是负的，但物体下落时速率仍在增大。

竖直上抛为什么上升和下落时间相同？

加速度恒定且不计阻力， $v$ 关于 $t$ 是直线，从 $v_0$ 降到 0 和从 0 降到 $-v_0$ 用时相同（都是 $v_0/g$ ）。

空气阻力大时还能用吗？

不能。阻力随速度增大，加速度不再恒定，最终到达收尾速度。雨滴、跳伞、羽毛都不是匀变速。

g 填 9.8 还是 9.81？

按题目或规范给的值；两者相差 0.1%。取值版本的讨论见牛顿第二定律。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-uniform-accel 定义（compute(known, solveFor) 对 v / t / a / v0 四向求解）；本页所有数字由该引擎复算。
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）——五个量、四条公式的完整表。
Wikipedia, Acceleration（访问日期：2026-09-09）——加速度的定义、单位与矢量性质。
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day，Crew & de Salvio 英译（访问日期：2026-09-09）——匀加速运动与自由落体的原典。
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity（访问日期：2026-09-09）—— $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ 。
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——速度、加速度的量与单位定义。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09