牛顿第二定律计算器 F = ma：力、质量、加速度与 SI 单位

计算器说明

牛顿第二定律计算器解 $F = ma$ ：输入质量 $m$ （kg）与加速度 $a$ （m/s²），得到合力 $F$ （N）；也可以由力和加速度反解质量，或由力和质量反解加速度。它回答的是力学里最基本的一个问题——要让这么重的东西以这样的加速度运动，需要多大的净力；反过来，已知净力和质量，物体会怎样加速。

推购物车、汽车起步与刹车、电梯启动时的超重感、火箭发射、测体重——都是 $F = ma$ 。它也是本站物理类计算器的「单位总纲」：牛顿（N）这个单位就是由它定义的， $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2$ ；动能、动量、势能、匀变速运动几篇用到的 SI 单位、量纲检查、矢量与标量、 $g$ 的取值，都在本页展开，其余各篇只作概括并链回这里。

它不做的事：不做受力分析—— $F$ 是合力（所有力的矢量和），摩擦、支持力、拉力要自己先合成；不处理二维 / 三维矢量分解，只算一维带符号的量；不涉及相对论（质量随速度变化）与变质量系统（火箭喷气过程需用动量形式）。

公式与变量

\vec F_{\text{合}} = m\,\vec a \qquad\text{（一维：}F = ma\text{，}F\text{ 与 }a\text{ 同号同向）}

反解：

m = \frac{F}{a},\qquad a = \frac{F}{m}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$m$	质量（惯性的量度）	质量 m (kg)	kg	$m > 0$ ；默认 1。克要除以 1000，吨要乘 1000
$a$	加速度（速度的变化率）	加速度 a (m/s²)	m/s²	任意实数；默认 9.8（自由落体的近似值）。km/h 每秒要先换成 m/s²
$F$	合力（净力）	力 F (N)	N = kg·m/s²	输出；反解模式下作为输入。符号表示方向：与所选正方向同向为正

单位一致性： $\text{kg} \times \text{m/s}^2 = \text{kg·m/s}^2 = \text{N}$ 。若质量用 g、加速度用 cm/s²，得到的是达因（dyn， $1\ \text{dyn} = 10^{-5}\ \text{N}$ ）；若质量用 lb、加速度用 ft/s²，得到的是磅达（pdl）。本计算器只按 SI 口径显示 N，不做换算。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 牛顿第二定律」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-newton2）。打开时「质量 m」= 1、「加速度 a」= 9.8 已填好，「力 F」带「计算」标记显示 9.8。
求合力改写质量和加速度，力实时更新。先把质量换成 kg、加速度换成 m/s²（1 km/h = 1/3.6 m/s）。
反解质量清空「质量 m」，填「力 F」和「加速度 a」，质量字段切换为「计算」并显示 $F/a$ 。
反解加速度清空「加速度 a」，填「力 F」和「质量 m」，加速度字段显示 $F/m$ 。刹车、减速时把力填成负数，加速度就是负的。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零。 $a = 0$ 时反解质量显示 ∞（除以零），这是提醒「零加速度下任何质量都可以，力应为 0」。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 LaTeX F = ma 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 phys-newton2 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零，单位 kg、m/s²、N。

算例 1：默认输入与图 1 的 2 kg 木块

输入： $m = 1$ ， $a = 9.8$ 。 $F = 1 \times 9.8 = 9.8$ 。界面显示：力 F 9.8——让 1 kg 的物体以自由落体的加速度运动需要 9.8 N，也就是 1 kg 物体在地面附近受到的重力。这正是「1 kg 大约重 10 N」这条口诀的来源。

输入： $m = 2$ ， $a = 3$ 。 $F = 2 \times 3 = 6$ 。界面显示：力 F 6。反过来清空 $a$ 、填 $F = 6$ 、 $m = 2$ ，界面显示加速度 a 3。

图 1：算例 1 的受力图。竖直方向两力抵消，水平方向只有 6 N，所以合力就是 6 N，a = 3 m/s²。计算器里填的 F 永远是这个「合力」

算例 2：体重——g 取 9.8、9.81 还是 9.80665

一个 70 kg 的人受到的重力 $G = mg$ ，把 $g$ 当作加速度填入：

输入 $a$	含义	界面显示 F
9.80665	标准重力加速度 $g_0$ （精确定义值）	686.4655
9.81	多数大学教材	686.7
9.8	多数中学教材	686
1.62	月球表面	113.4

三种地球取法相差不到 0.1%，比体重秤本身的误差还小；但在考试或工程文件里必须用题目 / 规范指定的那个值，否则末位对不上。实际的 $g$ 随地点变化：赤道海平面约 9.780，两极约 9.832，同一个人在两地的重力是 684.6 N 与 688.2 N——差 0.5%，比取值版本之间的差别大。

算例 3：汽车 8 秒加速到 100 km/h——最常见的单位陷阱

1500 kg 的汽车从静止 8 s 内加速到 100 km/h，需要多大的平均合力？

先换单位： $100\ \text{km/h} = 100 \times 1000 / 3600 = 27.77777778\ \text{m/s}$ 。
加速度 $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222\ \text{m/s}^2$ 。
输入 $m = 1500$ ， $a = 3.47222222$ ： $F = 1500 \times 3.47222222 = 5208.33333333$ 。

界面显示：力 F 5208.33333333，约 5.2 kN。如果忘了换单位，直接用 $100 / 8 = 12.5$ 当加速度，界面会给出 18750——大了 3.6 倍。这是一个「合力」，发动机通过轮胎实际提供的推力还要加上空气阻力与滚动阻力。

刹车反过来：同一辆车以 $-7500$ N 的合力刹车（清空 $a$ ，填 $F = -7500$ ， $m = 1500$ ），界面显示加速度 a −5，负号表示与运动方向相反；从 27.78 m/s 减到 0 需要 5.56 s、滑行约 77 m（运动学部分见匀变速直线运动）。

算例 4：电梯里的超重与反解

70 kg 的人站在以 1.2 m/s² 向上加速启动的电梯里。输入 $m = 70$ ， $a = 1.2$ ：界面显示力 F 84——这是让他跟电梯一起加速所需的合力。地板对他的支持力则是 $mg + ma = 686.47 + 84 = 770.47$ N，体重秤会显示约 78.6 kg，这就是「超重」；电梯向下加速时支持力变为 602.47 N，「失重」。计算器给的 84 N 只是合力那一项，其余要自己加减。

反解质量：一个物体受 18 N 合力产生 3 m/s² 的加速度。清空 $m$ ，填 $F = 18$ ， $a = 3$ ：界面显示质量 m 6。反解加速度：500 N 推 1200 kg 的车， $a = 500 / 1200 = 0.41666667$ ，界面显示加速度 a 0.41666667。

图 1 的输入可以直接填进面板复现；把质量改成 4、8、16 观察同一加速度下力成倍增长；再把加速度改成 9.8，看到的就是该质量的重力。

原理与推导

牛顿的原话与今天的写法

《自然哲学的数学原理》（1687）第二定律的原文是：「运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在该力所沿的直线方向上。」这里的「运动」指动量 $p = mv$ ，所以更本来的写法是 $\vec F = \dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$ ；质量不变时 $\dfrac{\mathrm d(m\vec v)}{\mathrm dt} = m\dfrac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt} = m\vec a$ ，才得到教科书上的 $F = ma$ 。两种写法在火箭（质量变化）这类问题上会分道扬镳——见动量计算器。

它定义了牛顿这个单位

SI 里质量、长度、时间是基本量，单位 kg、m、s；力是导出量，牛顿被定义为「使 1 kg 质量产生 1 m/s² 加速度的力」： $1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m·s}^{-2}$ 。于是 $F = ma$ 在 SI 里不带任何换算系数——这是选择 SI 的最大好处。在英制里若用磅力（lbf）、磅质量（lb）、ft/s²，公式变成 $F = ma / g_c$ ， $g_c = 32.174$ ，出错空间大得多。同一条链继续往下：功 / 能 $\text{J} = \text{N·m}$ ，功率 $\text{W} = \text{J/s}$ ，压强 $\text{Pa} = \text{N/m}^2$ ，动量 $\text{kg·m/s} = \text{N·s}$ 。

量纲：检查公式对不对的最快办法

给每个物理量记一个「量纲」：质量 $\mathsf M$ 、长度 $\mathsf L$ 、时间 $\mathsf T$ 。加速度 $[a] = \mathsf{L\,T^{-2}}$ ，力 $[F] = \mathsf{M\,L\,T^{-2}}$ 。任何正确的物理等式两边量纲必须相同： $[ma] = \mathsf M \cdot \mathsf{L\,T^{-2}} = [F]$ ，通过。如果你手算时写出 $F = mv$ （量纲 $\mathsf{M\,L\,T^{-1}}$ ），一查就知道错了。本站的动能页、动量页各自的公式都可以用这个办法核对；单位换算错（如 km/h 没换 m/s）不会改变量纲，量纲检查抓不到，只能靠算例 3 那种自觉。

矢量与标量：为什么计算器只算「一维」

力、加速度、速度、位移、动量是矢量（有大小有方向），质量、时间、能量、功率是标量。 $\vec F = m\vec a$ 是矢量等式：合力的方向就是加速度的方向，大小是 $m$ 倍。真正的三维问题要按 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 三个分量各写一遍 $F_x = ma_x$ 等。本站的物理计算器都取「一维带符号」口径：先选一个正方向，同向的量为正、反向为负，于是矢量退化为一个带符号的数——算例 3 的 $-5\ \text{m/s}^2$ 就是这样。二维问题（斜面、抛体）请先把力分解到两个垂直方向，分别使用本计算器。

g 到底是多少

$g$ 有三个层面：标准值 $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ ，1901 年第 3 届国际计量大会（CGPM）定义，是一个精确的约定值，用来定义千克力等单位、校准仪器；教材约定值 9.8 或 9.81，是为了手算方便对标准值的舍入；实测值，随纬度（离心效应与地球扁率）、海拔（每升高 1 km 减小约 0.0031）、局地地质变化，赤道约 9.780、两极约 9.832、北京约 9.801。本站引擎的默认值：本页与匀变速两篇字段默认 9.8，重力势能默认 9.80665。做题按题目给的值，做工程按规范给的值，做精密测量用当地实测值。

质量与重量不是一回事

质量是物体固有的、不随地点改变的属性（惯性的量度，SI 基本量）；重量是地球（或月球）对它的引力 $G = mg$ ，是一个力，单位 N。日常说「体重 70 kg」其实指质量，体重秤测的是支持力再除以 $g$ 换算成 kg 显示——所以算例 4 的电梯里它会「变重」。工程里旧单位千克力（kgf）就是 1 kg 在 $g_0$ 下的重量， $1\ \text{kgf} = 9.806\,65\ \text{N}$ ，这是 $g_0$ 需要一个精确定义的历史原因。

假设

$F$ 是合力：所有作用在物体上的力的矢量和，不是其中某一个力。
质量恒定：不适用于喷气中的火箭、装卸中的车厢等变质量系统。
惯性参考系：在加速的车厢或转动的平台上观察需引入惯性力。
一维、带符号：所有量沿同一直线，方向用正负号表示。
经典力学范围： $v \ll c$ ；接近光速时惯性随速度增大， $F = ma$ 需修正。
SI 单位：kg、m/s²、N；界面不做单位换算，反解时分母兜底（ $a$ 或 $m$ 未填按 1）只影响未填字段的临时显示。

适用范围与限制

能算: $F$ 、 $m$ 、 $a$ 三者知二求一，含负值（反向）。
只能近似: 真实车辆、电梯的加速度并非恒定，算出的是平均合力； $g$ 取值版本带来约 0.1% 的差异。
不能算: 受力分析（合成 / 分解多个力）、摩擦力与法向力、二维以上的矢量问题、变质量系统、相对论修正、转动（需用力矩 $\tau = I\alpha$ ）。
不做: 单位换算（g→kg、km/h→m/s、N→kgf 或 lbf）、与运动学公式的联动（速度、位移请用匀变速两篇）。
数值: 分母为 0 的反解显示 ∞；极大 / 极小值以科学计数法显示。

常见误区

km/h 当 m/s 用：差 3.6 倍（算例 3 的 5208 N vs 18750 N）。速度先除以 3.6。
克没换千克：250 g 的物体填 250，得到的力大 1000 倍（500 N 应为 0.5 N）。
把某一个力当合力：推力 500 N、摩擦 200 N 时， $F = 300$ N 才是要填的数。图 1 的重力与支持力互相抵消，不进入水平方向的 $F$ 。
把重量当质量：体重秤显示的 kg 是质量；重力（N）要再乘 $g$ 。反过来「用力 700 N」不能直接当 70 kg。
g 的版本混用：同一道题里一处 9.8、一处 9.81，末位会对不上；全程用同一个值。
忽略方向的符号：刹车的合力与加速度都是负的；只填正数会把减速算成加速。
零加速度反解质量得 ∞ 当结果：那是除以零的提示，题目条件矛盾。

典型使用场景

教学

从「1 kg 重约 9.8 N」出发理解牛顿这个单位；比较 $g$ 的取值版本；用受力图区分合力与单个力；用量纲检查公式。

交通与机械

车辆加减速所需的驱动力 / 制动力、电梯与起重机的额定加速度对应的动态载荷、传送带启动时对货物的摩擦力需求。

航天与体育

火箭起飞加速度对应的推力（推重比）、离心机与过山车的「几个 g」、运动员起跑时地面给的推力。

日常估算

推车、拉行李所需的力；从秤的读数变化估算电梯加速度（算例 4 的逆问题）。

常见问题

F 是合力还是我施加的那个力？

合力。你推 100 N、摩擦 40 N，填 60。计算器不做受力分析，图 1 展示了什么进入 $F$ 、什么不进入。

g 该填 9.8 还是 9.81？

按题目或规范指定的值；没有指定时中学一般 9.8，大学与工程一般 9.81，需要精确约定值时用 9.80665（标准重力加速度 $g_0$ ）。三者对结果的影响不到 0.1%。

质量为什么不能填负数、加速度却可以？

质量是标量且恒正；加速度是矢量，负号表示方向与所选正方向相反。引擎不禁止负质量，但结果没有物理意义。

为什么 100 km/h 要换成 27.78 m/s？

牛顿的定义用 kg、m、s。 $1\ \text{km/h} = 1000\ \text{m} / 3600\ \text{s} = 0.27778\ \text{m/s}$ ；不换算得到的数既不是 N 也不是任何标准单位。

火箭为什么不能直接用 F = ma？

火箭一边喷气一边变轻， $m$ 随时间变化，要用 $\vec F = \mathrm d\vec p/\mathrm dt$ 的动量形式（齐奥尔科夫斯基方程）。某一瞬间的加速度仍可用当时的质量代入 $a = F/m$ 估算。

与动能、动量计算器是什么关系？

三者共用 kg、m、s 体系：力作用一段时间给动量（ $F\Delta t = \Delta p$ ），作用一段距离给动能（ $Fs = \Delta E_k$ ）。见动能计算器与动量计算器。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-newton2 定义（compute(known, solveFor) 三向求解，字段单位 kg / m/s² / N，反解分母缺省按 1 兜底）；本页所有数字由该引擎复算。
BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019（访问日期：2026-09-09）——牛顿的定义、基本单位与导出单位表、标准重力加速度。
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity $g_n$ （访问日期：2026-09-09）—— $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ （精确）。
Isaac Newton, Principia (1687), Axioms, or Laws of Motion, Law II, Motte 英译（访问日期：2026-09-09）——「运动的变化与所加动力成正比」的原始表述。
Wikipedia, Newton's laws of motion（访问日期：2026-09-09）——三定律的现代表述、动量形式与适用范围。
Wikipedia, Gravity of Earth（访问日期：2026-09-09）—— $g$ 随纬度、海拔的变化与各地实测值。
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics——力、质量、加速度、重量的量与单位定义。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09