动量计算器 p = mv：冲量、动量守恒与碰撞

计算器说明

动量计算器解 $p = mv$ ：输入质量 $m$ （kg）和速度 $v$ （m/s），得到一维动量 $p$ （kg·m/s）；也可以由动量与速度反解质量，或由动量与质量反解速度。动量是「运动的量」——牛顿的原话——它回答的是：要让这个运动着的物体停下来，需要多大的力作用多久；以及两个物体相撞后会以什么速度运动。

汽车追尾、台球相碰、枪的后坐力、火箭喷气推进、安全气囊为什么有用，都是动量问题。与本站其他物理页一样，这里采用「一维带符号」口径：先选一个正方向，同向的速度为正、反向为负，动量随之带符号——这一点与动能截然不同。SI 单位、量纲、矢量与标量的一般讨论见牛顿第二定律，功与能的讨论见动能计算器，本页只写动量独有的部分：冲量、守恒与碰撞。

它不做的事：不直接算碰撞（要用本计算器分别算碰前、碰后的动量再手动列守恒式）、不算角动量（ $L = I\omega$ ）、不做二维矢量分解、不做单位换算（km/h、g 请先换成 m/s、kg）、不涉及相对论动量（ $\gamma mv$ ）。

公式与变量

\vec p = m\,\vec v \qquad\text{（一维：}p = mv\text{，}p\text{ 与 }v\text{ 同号）}

反解：

m = \frac{p}{v},\qquad v = \frac{p}{m}

冲量与守恒（计算器不直接算，供手算）：

\vec F\,\Delta t = \Delta\vec p,\qquad \sum \vec p_{\text{前}} = \sum \vec p_{\text{后}}\ \text{（合外力为零）}

符号	含义	计算器字段	单位	取值范围与说明
$m$	质量	质量 m (kg)	kg	$m > 0$ ；默认 1
$v$	速度（带符号）	速度 v (m/s)	m/s	任意实数；默认 5。负号表示与正方向相反
$p$	动量	动量 p (kg·m/s)	kg·m/s = N·s	输出，符号与 $v$ 相同；反解模式下作为输入
$J = F\Delta t$	冲量	（不显示）	N·s	等于动量的变化 $\Delta p$

单位一致性： $\text{kg} \times \text{m/s} = \text{kg·m/s}$ ；由 $F\Delta t = \Delta p$ 又有 $\text{N·s} = \text{kg·m/s}^2 \cdot \text{s} = \text{kg·m/s}$ ，两种写法是同一个单位。它没有专名，这是 SI 里少数「重要却没有名字」的导出单位之一。

在本计算器里怎么算

打开面板本页对应「数学工具 → 公式 → 动量」（/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-momentum）。打开时「质量 m」= 1、「速度 v」= 5 已填好，「动量 p」带「计算」标记显示 5。
求动量改写质量和速度。速度先换成 m/s，反向运动填负数。
反解质量清空「质量 m」，填「动量 p」和「速度 v」，质量字段切换为「计算」并显示 $p/v$ 。
反解速度清空「速度 v」，填「动量 p」和「质量 m」，速度字段显示 $p/m$ ，符号随 $p$ 。
算碰撞分别为每个物体算碰前动量，相加得总动量；碰后把总动量与总质量（粘在一起时）填进「动量 p」与「质量 m」反解共同速度。见算例 3。
读结果数值最多保留 8 位小数并去掉末尾的零。质量填 0 反解速度显示 ∞（除以零）。
复制公式面板标题右侧的复制按钮把 LaTeX p = mv 复制到剪贴板。

算例

四组算例均由引擎 phys-momentum 的 compute 复算；显示口径为最多 8 位小数、去尾零，单位 kg、m/s、kg·m/s。

算例 1：默认输入与符号

输入： $m = 1$ ， $v = 5$ 。 $p = 1 \times 5 = 5$ 。界面显示：动量 p 5。

输入 $m = 3$ ， $v = 4$ ：界面显示 12。输入 $m = 2$ ， $v = -3$ ：界面显示 −6——向负方向运动，动量为负。这是动量与动能的第一处分野：同一个物体、同样的速率，动能页会显示 9 J，与方向无关。

算例 2：汽车、子弹、卡车——动量的量级

物体	$m$ (kg)	$v$ (m/s)	界面显示 $p$
汽车 100 km/h	1500	27.77777778	41666.66666667
卡车慢行	20000	2	40000
子弹	0.008	400	3.2
足球射门	0.45	30	13.5
步行的人	70	1.4	98
奔跑的人	70	5	350

一辆 100 km/h 的汽车和一辆以 2 m/s（7.2 km/h）蠕行的 20 吨卡车动量几乎相同——要让它们停下来需要同样大小的「力 × 时间」。子弹动量只有 3.2 kg·m/s，比一个足球还小，但它的动能 640 J 比足球（202.5 J）大得多：动量随速度线性增长，动能随速度平方增长，速度越高两者差距越大。射击时枪的后坐动量也是 3.2 kg·m/s，4 kg 的枪后坐速度 $3.2 / 4 = 0.8$ m/s，这就是「反冲」。

算例 3：完全非弹性碰撞——动量守恒，动能不守恒

2 kg 的滑块以 3 m/s 撞上静止的 1 kg 滑块，两者粘在一起。

碰前：输入 $m = 2$ ， $v = 3$ ，界面显示 6；静止滑块动量 $1 \times 0 = 0$ 。总动量 6 kg·m/s。
碰后：粘在一起总质量 3 kg。清空 $v$ ，填 $p = 6$ ， $m = 3$ ：界面显示速度 v 2。
核对：输入 $m = 3$ ， $v = 2$ ，界面显示 6，与碰前相同——动量守恒。

动能呢？碰前 $\tfrac12 \times 2 \times 3^2 = 9$ J，碰后 $\tfrac12 \times 3 \times 2^2 = 6$ J，少了 3 J，变成了形变、热和声音。动量在任何碰撞中都守恒（只要没有外力），动能只在完全弹性碰撞中守恒。 这是用动量而不是动能分析碰撞的根本原因。

图 1：算例 3。总动量碰前碰后都是 6 kg·m/s；动能从 9 J 降到 6 J。向右取正，若两者迎面相撞则要带负号相加

算例 4：反解与冲量

反解质量：动量 12 kg·m/s、速度 4 m/s，清空 $m$ ： $m = 12 / 4 = 3$ 。界面显示：质量 m 3。

反解速度：动量 100 kg·m/s、质量 0.5 kg，清空 $v$ ： $v = 100 / 0.5 = 200$ 。界面显示：速度 v 200。再问：多重的卡车以什么速度才有算例 2 那辆汽车的动量？填 $p = 41666.66666667$ ， $m = 20000$ ，界面显示 2.08333333 m/s。

冲量（手算）：算例 2 的足球从静止被踢到 30 m/s， $\Delta p = 13.5$ kg·m/s；脚与球接触约 0.01 s，平均力 $F = \Delta p / \Delta t = 13.5 / 0.01 = 1350$ N。算例 2 的汽车要停下来， $\Delta p = 41666.67$ ：5 s 内正常刹车平均力 8333 N；0.1 s 内撞墙则是 416 667 N，是刹车的 50 倍。安全气囊、缓冲区、蹦极绳做的都是同一件事——把 $\Delta t$ 拉长，让同样的 $\Delta p$ 对应更小的 $F$ 。

图 1 碰前的输入可以直接填进面板复现；把速度改成 −3 观察动量变号，把质量改成 3、速度改成 2 看到碰后同样的 6。

原理与推导

牛顿第二定律的原始形式

牛顿在《原理》里先定义「运动的量」为速度与物质的量的乘积——也就是动量——再把第二定律写成「运动的变化与所加的动力成正比」： $\vec F = \dfrac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$ 。质量不变时它退化为教科书上的 $F = ma$ （见牛顿第二定律），质量变化时（火箭喷气、传送带上撒沙）只有动量形式是对的。动量因此比 $F = ma$ 更「原始」，也更普适——狭义相对论和量子力学里守恒的都是动量，而不是 $mv$ 的某种变形。

冲量—动量定理

把 $F = \mathrm dp/\mathrm dt$ 对时间积分： $\int F\,\mathrm dt = \Delta p$ 。左边叫冲量 $J$ ，力恒定时 $J = F\Delta t$ 。同样的动量变化，作用时间越长所需的力越小——算例 4 的刹车与撞墙相差 50 倍。反过来，测出接触时间就能估算碰撞中的平均力，这是体育科学和碰撞安全里最常用的估算。

与动能页的功—能定理并列：力乘时间给动量，力乘距离给动能。 $F\Delta t = \Delta p$ 与 $Fs = \Delta E_k$ 是同一条 $F = ma$ 沿时间和沿路径两种积分。

为什么动量守恒

两个物体相互作用时，牛顿第三定律说它们受到的力大小相等、方向相反、作用时间相同，所以冲量相等相反：一个得到 $+\Delta p$ ，另一个就得到 $-\Delta p$ ，总和不变。只要系统不受外力（或外力的冲量可忽略——碰撞时间极短时通常如此），总动量守恒。更深一层，诺特定理指出动量守恒源自空间的平移对称性：物理定律在这里和在那里一样，动量就守恒。这使它成为比「碰撞规律」大得多的原理，从台球到星系碰撞都成立。

碰撞的分类

设两个物体碰前动量之和为 $P$ ，碰后：

完全非弹性（粘在一起）：共同速度 $v = P / (m_1 + m_2)$ ，动能损失最大（算例 3）。
完全弹性：动量和动能都守恒，可解出两个碰后速度；质量相等时两球交换速度（台球、牛顿摆）。
一般碰撞：介于两者之间，用恢复系数 $e$ （分离速度 / 接近速度）描述， $e = 1$ 弹性， $e = 0$ 完全非弹性。

本计算器只算单个物体的 $p = mv$ ，碰撞要靠你把几个动量加起来再反解——但守恒式本身就是这样一条一条列出来的。

动量与动能的对照

	动量 $p = mv$	动能 $E_k = \tfrac12 mv^2$
类型	矢量（带方向 / 符号）	标量（恒非负）
随速度	线性	平方
由力产生	$F\Delta t$ （时间）	$Fs$ （距离）
碰撞中	总是守恒（无外力）	只在弹性碰撞中守恒
两者关系	$E_k = p^2 / (2m)$	算例 2 的子弹： $3.2^2 / (2 \times 0.008) = 640$ J

两个相同的球以相同速率迎面相撞：总动量为零，总动能不为零——它们相撞后可以完全停下（动量守恒允许），动能则全部变成了热与形变。

假设

一维、带符号：所有速度沿同一直线；二维碰撞需分别对 $x$ 、 $y$ 方向列守恒式。
质点：不含转动（角动量 $L = I\omega$ 另算）。
经典速度： $v \ll c$ ；相对论动量 $\gamma mv$ 在 $0.1c$ 时比 $mv$ 大 0.5%。
守恒的前提是无外力：碰撞分析假定碰撞时间极短、外力（摩擦、重力）的冲量可忽略。
SI 单位：kg、m/s、kg·m/s；引擎不换算；反解分母未填按 1 兜底。

适用范围与限制

能算: $p$ 、 $m$ 、 $v$ 三者知二求一，含负值。
只能近似: 真实碰撞的接触时间、恢复系数需实测；用平均力代替随时间变化的力。
不能算: 碰撞本身（需手动列守恒式，见步骤 5）、二维以上矢量、角动量、变质量系统的推力（ $F = u\,\mathrm dm/\mathrm dt$ ）、相对论与光子动量。
不做: 单位换算、冲量 / 力 / 时间的计算（手算 $F = \Delta p / \Delta t$ ）。
数值: $m = 0$ 反解速度显示 ∞；极大值以科学计数法显示。

常见误区

忘记方向的符号：迎面相撞的两个动量要一正一负相加；都填正数会把「相向」算成「同向」。
把动量和动能混为一谈：卡车与汽车动量相同不代表动能相同；子弹动量小不代表动能小（算例 2）。
认为碰撞中动能守恒：只有完全弹性碰撞才守恒；日常碰撞都有动能损失（算例 3 的 3 J）。
km/h 不换 m/s：动量差 3.6 倍（动能会差 12.96 倍）。详见牛顿第二定律的单位讨论。
用 $F = ma$ 算火箭：质量在变，要用 $F = \mathrm dp/\mathrm dt$ 。
冲量与力混淆：冲量 N·s 是「力 × 时间」，安全气囊改变的是力而不是冲量。

典型使用场景

交通安全

碰撞前后速度的估算（事故重建）、缓冲区与安全气囊的作用（延长 $\Delta t$ ）、不同车辆动量的对比。

体育

击球、踢球、拳击中的动量传递与平均冲击力（配合接触时间）；起跳与落地的冲量；反冲对射击、投掷的影响。

航天与机械

火箭与喷气推进的反冲原理（喷出气体的动量 = 飞行器获得的动量）、锻锤与打桩、机械冲击载荷估算。

教学

动量守恒的引入、弹性与非弹性碰撞的区分、动量与动能的对照、牛顿第二定律的原始形式。

常见问题

动量为负是什么意思？

物体沿与所选正方向相反的方向运动。动量是矢量，一维时用符号表示方向。

怎样用这个计算器算碰撞？

分别算每个物体碰前的 $mv$ （注意符号）并相加得总动量；粘在一起时把总动量与总质量填进 $p$ 与 $m$ 反解共同速度。弹性碰撞需要再加动能守恒方程，手算。

动量和动能到底哪个决定「破坏力」？

都参与但角色不同：动量决定需要多大的「力 × 时间」来停下（决定平均冲击力），动能决定要吸收多少能量（决定形变与破坏程度）。原理一节有对照表。

火箭在真空里为什么能加速？

喷出的气体带走向后的动量，火箭得到等量向前的动量——不需要「推空气」。这是动量守恒，不是 $F = ma$ 能直接说明的。

冲量的单位为什么和动量一样？

$F\Delta t$ 的单位 N·s = kg·m/s² · s = kg·m/s。冲量就是动量的变化量。

光有动量吗？

有， $p = E/c = h/\lambda$ ，但没有静质量， $p = mv$ 不适用；本计算器只处理有质量的物体。

参考与延伸

CalcX 引擎源码 src/data/formulasScience.ts 中的 phys-momentum 定义（compute(known, solveFor) 三向求解，字段单位 kg / m/s / kg·m/s）；本页所有数字由该引擎复算。
Isaac Newton, Principia (1687), Definitions（Def. II「运动的量」）与 Axioms（Law II）, Motte 英译（访问日期：2026-09-09）。
Wikipedia, Momentum（访问日期：2026-09-09）——定义、守恒、相对论推广。
Wikipedia, Impulse (physics)（访问日期：2026-09-09）——冲量—动量定理与应用。
Wikipedia, Inelastic collision（访问日期：2026-09-09）——完全非弹性碰撞的公式与动能损失。
Wikipedia, Noether's theorem（访问日期：2026-09-09）——对称性与守恒律的对应。
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics——动量、冲量的量与单位定义。

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来源与审阅

审阅: CalcX 编辑组
更新: 2026-09-09