折现入门：现值、终值与金融计算器共用的那一个因子

「今天的 100 元比明天的 100 元值钱」是整个金融计算的公理。把未来的钱换算成今天的价值叫折现（discounting），反方向——把今天的钱推算到未来——叫复利（compounding）。两者共用同一个因子 (1+i)^n，只是一个乘、一个除。复利计算器与净现值计算器是同一个数学事实的两个方向，本文是它们共用的背景。

概览

「今天的 100 元比明天的 100 元值钱」是整个金融计算的公理。把未来的钱换算成今天的价值叫折现（discounting），反方向——把今天的钱推算到未来——叫复利（compounding）。两者共用同一个因子 $(1+i)^n$ ，只是一个乘、一个除。复利计算器与净现值计算器是同一个数学事实的两个方向，本文是它们共用的背景。

一个因子的两个方向

设每期利率为 $i$ 。今天的 $PV$ 经过 $n$ 期复利变成

FV = PV\,(1+i)^{n}

把它反过来解 $PV$ ，就是折现：

PV = \frac{FV}{(1+i)^{n}}

$(1+i)^{-n}$ 叫折现因子（discount factor），它把「第 $n$ 期末的一元钱」换算成今天的价值。 $i$ 在复利语境里叫利率，在折现语境里叫折现率——名字随方向变，数学完全相同。

期数 $n$	折现因子（ $i=8\%$ ）	第 $n$ 年末的 100 元折成今天
1	0.9259	92.59
2	0.8573	85.73
5	0.6806	68.06
10	0.4632	46.32

折现率越高、期数越多，未来的钱越"不值钱"——这不是通胀（通胀是另一回事），而是资金的机会成本：这笔钱如果今天在手上，本可以按 $i$ 增值。

从折现因子到 NPV

一个项目的现金流是「今天投出去、以后分期收回来」。把每期现金流 $C_t$ 各自折回今天再求和，就是净现值（NPV）：

NPV = \sum_{t=0}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^{t}}

$C_0$ 通常是负数（初始投入， $t=0$ 不折现）。NPV 大于 0 表示这组现金流按折现率 $r$ 衡量是"赚"的。例如投入 1,000、之后两年各收回 600，按 $r = 8\%$ ：

NPV = -1000 + \frac{600}{1.08} + \frac{600}{1.08^{2}} = -1000 + 555.56 + 514.40 = 69.96

内部收益率（IRR）是让 NPV 恰好为零的那个折现率——把 NPV 看作 $r$ 的函数，IRR 就是曲线与横轴的交点。它回答"这组现金流相当于按多高的利率增值"。

名义利率与实际利率

「年利率 5%，月复利」里的 5% 是名义年利率（APR）：它只是每期利率乘以期数的约定写法。一年真实的增长率是实际年利率（EAR）：

EAR = \left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} - 1

5% 月复利对应 EAR 5.1162%。比较两个复利频率不同的方案，比 EAR；给现金流折现，用与现金流间隔一致的每期利率。 这两条口径错了，后面的每个数字都错。

常见误区

把折现与通胀混为一谈：折现率反映资金的机会成本与风险，通胀只是其中可能的一个成分。名义现金流配名义折现率、实际现金流配实际折现率，不能混。
对 $t=0$ 的投入折现：今天的钱不折现， $C_0$ 直接计入。
拿名义利率跨频率比较：同为 5%，月复利实际高于年复利，见上文 EAR。
把 IRR 当成万能指标：现金流多次变号时 IRR 可能不唯一；比较互斥项目时 NPV 比 IRR 更可靠。

参考与延伸阅读

Brealey, R. A., Myers, S. C., Allen, F., & Edmans, A. Principles of Corporate Finance, 14th ed. McGraw Hill, 2022. 第 2 章 "How to Calculate Present Values"——现值、年金与折现因子的标准推导。
Wikipedia, Present value（访问日期：2026-09-09）——现值与折现因子。
Wikipedia, Net present value（访问日期：2026-09-09）——NPV 定义与 IRR 的关系。