如何测量图形
- 01选择标签——Triangle、Plane、Solid 或 Coordinate——在 Plane 或 Solid 内再选择形状。
- 02填写已知字段：**填写已知字段：**三角形的
a, b, c, A, B, C 中任意三个，立体的所需尺寸，坐标工具的点。 - 03先读取检测到的情形。**先读取检测到的情形。**三角形结果上方，面板会输出类似
Detected case: SAS — two sides + included angle → law of cosines 的一行。 - 04读取各卡片：**读取各卡片：**面积、周长、半径、高、中线、角平分线和中心表；三角形按比例绘制，并带有 Incircle、Circumcircle 和 Medians 开关。
验证过的读数
每一行都由该面板生成；相同输入即可复现。
| 工具 |
输入 |
读数 |
| Triangle (SAS) |
a = 5, b = 7, C = 60° |
c = 6.245；A = 43.8979°、B = 76.1021°；面积 15.1554；外接圆半径 3.60555 |
| Triangle (SSA) |
a = 8, b = 10, A = 40° |
两个解：面积 39.9269（锐角）和 9.31348（钝角） |
| Coordinate line |
P₁(0, 1), P₂(2, 5) |
y = 2x + 1；斜率 2；倾角 63.4349°；距离 4.472136 |
| Polygon area |
(0, 0), (4, 0), (4, 3), (0, 3) |
面积 12；带符号面积 12（CCW）；质心 (2, 1.5) |
SAS 情形正是余弦定理的应用：缺失的边是 6.245，其余角由它推出。
数字止步之处
- 三个要素，而不是三个角。
A = 50°, B = 60°, C = 70° 返回 AAA fixes only the shape — supply one side；边必须满足三角不等式，角保持在 180° 以下。- 坐标是规范化的。
- **坐标是规范化的。**三角形以 A 在原点、B 在 +x 轴上重建（标签为
Centre (A at origin, B on +x)），因此绘制出的坐标是标准摆法，不是原始测量位置；真实点请用 Coordinate。 - 它不做什么：
- **它不做什么：**分析类标签只返回固定测量值，不是可拖拽的作图，也不检查 3D 模型——同一页面的 Dynamic Geometry 和 Model Inspector 界面负责这些。坐标旋转是矩阵运算，在矩阵面板中核对。
SSA 情形确实有歧义
已知两边和一个非夹角时，正弦定理可以拟合出两个不同的三角形，面板也会说明：Detected case: SSA — two sides + opposite angle → may be ambiguous · ambiguous: two solutions。对于 a = 8, b = 10, A = 40°，一个解是锐角不等边三角形（B = 53.4641°、C = 86.5359°、面积 39.9269），另一个是钝角不等边三角形（B = 126.536°、C = 13.4641°、面积 9.31348）。两者都满足数据并共享外接圆半径 6.2229，因此需要额外条件（高、最大角或示意图）来选定一个。
适用场景
框架与桁架
以两根构件和夹角给出的开间（a = 5, b = 7, C = 60°）可得出第三根构件 6.245 和面积 15.1554——足够在不下图的情况下裁出支撑。
圆形布局与地块面积
位于 (0, 0)、(4, 0) 和 (0, 3) 的销钉定义 (x − 2)² + (y − 1.5)² = 6.25：中心 (2, 1.5)，半径 2.5，面积 19.63495。逐行输入的角点——(0, 0)、(4, 0)、(4, 3)、(0, 3)——给出面积 12，方向 CCW；顺时针输入时带符号值会翻转。r = 3、h = 4 的圆锥返回体积 37.69911 和表面积 75.39822。
隐私
所有标签都在你的浏览器中计算；输入的测量值和结果绝不会被上传。
参考文献
- Wikipedia, Solution of triangles, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— SSS、SAS、ASA、AAS 和 SSA 情形。
- Wikipedia, Law of sines, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 有歧义的 SSA 配置。
- Wikipedia, Shoelace formula, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— 带符号多边形面积与方向。
- Eric W. Weisstein, Triangle, MathWorld, mathworld.wolfram.com （访问日期：2026-10-01）— 外接圆半径、内切圆半径与派生长度。
本页计算器
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