运行某种模式
- 01选择模式：导数、积分、极限或泰勒。
- 02输入 `f(x)` 与变量。语法为计算器风格（
x^2、sin(x)*x、(e^x - 1)/x）；变量默认为 x。 - 03填写该模式的字段（积分为
a 与 b，极限为趋近点，泰勒为阶数与展开点），然后点击计算。 - 04读取结果。积分会附加误差行，极限会打印左右两侧的值，
⚠ 行标记奇点或不收敛。 - 05修改字段并重新计算。面板不保留历史，请先复制读数。
已验证的读数
相同输入可复现下表每一行。
| 模式 |
输入 |
读数 |
| 导数 |
f(x) = sin(x)*x，变量 x |
cos(x) * x + sin(x) |
| 积分 |
f(x) = 1/x，a = 1，b = 2 |
∫ ≈ 0.6931471806；Error estimate: ±7.27e-13 |
| 极限 |
sin(x)/x，x → 0 |
lim x→0 = 1；Left limit ≈ 1、Right limit ≈ 1、Extrapolation error estimate: ±8.88e-16 |
| 极限 |
(3*x^2 + 2)/(x^2 - 1)，x → +∞ |
lim x→+∞ = 3；Extrapolation error estimate: ±2.66e-15 |
| 泰勒 |
sin(x)，5 阶，在 0 处 |
x -0.166667x^3 +0.008333x^5 |
导数结果是精确代数，只是重新排序而完全等价。1/x 在 [1, 2] 上的积分是 ln 2，打印为 0.6931471806 并附有自己的误差。在 +∞ 处没有左右行：只有一个方向可供采样。
“计算”在做什么
导数模式进行符号求导，因此答案是公式。其余三种是数值方法：积分在估计误差最大处细化一种开型求积规则，极限在逐步缩小的尺度上采样两侧并外推，泰勒反复求导。这就是积分与极限带有误差估计，而导数从不需要的原因。
数字止于何处
- 误差行是答案的一部分。
1/x 在 [1, 2] 上读作 0.6931471806，误差 ±7.27e-13；该行之外的数位属于方法本身。- 发散会被拒绝，而不是糊弄过去。
1/x 在 [0, 1] 上失败，提示 "Singularity at the left endpoint x = 0 is not integrable: after 21 halvings the tail is still 1.00× its initial value instead of vanishing"；ln(x) 在 [0, 1] 上也失败，而不是返回 −1。- 双侧极限可能不存在。
abs(x)/x 在 0 处打印 Left limit ≈ -1、Right limit ≈ 1，并警告双侧极限不存在。- 它不做的事：
- 不返回原函数公式，也从不出示推导步骤。每一步的规则请用分步求解，查看函数请用图形计算器，行列式、秩或特征值请用矩阵面板。
泰勒输出被截断并取整
标志性的陷阱在泰勒模式。sin(x) 在 0 处展开到 5 阶读作 x -0.166667x^3 +0.008333x^5：真实系数 1/6 与 1/120 被舍入到六位小数，低于 1e-12 的系数会在没有提示的情况下被丢弃。结果是局部近似，而不是级数恒等式——请以这个前提对它积分或求导，并结合你输入的阶数与展开点一起阅读。
它适合哪里
核对手算导数
把 sin(x)*x 与 cos(x) * x + sin(x) 对照，或把变量换成 t：t^3 - 2*t 返回 3 * t ^ 2 - 2，能抓住对错误字母求导的错误。
积分与展开
1/x 一行展示“值加误差”的模式；没有闭式时，这条误差行告诉你打印的数位是否有意义。e^x 在 0 处展开到 4 阶读作 1 +x +0.5x^2 +0.166667x^3 +0.041667x^4，足够做线性化。
隐私
四种模式都在你的浏览器中计算；表达式与每个结果都留在设备上。
参考文献
- Wikipedia，Taylor series，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）——截断、系数与余项。
- Wikipedia，Integral，en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）——定积分与端点可积性。
- NIST，Digital Library of Mathematical Functions，§3.5 Quadrature，dlmf.nist.gov （访问日期：2026-10-01）——求积中的误差估计。
- P. J. Davis 与 P. Rabinowitz，Methods of Numerical Integration，第 2 版，Academic Press，1984，sciencedirect.com （访问日期：2026-10-01）——自适应规则与误差控制。
本页计算器
精选工具,点开即用;小工具可直接试算,数值会带入完整计算器。