如何运行一次比较
- 01选择预设或输入模型。预设包含 y = x²、x₁·x₂ 和单摆，因此有意思的失败只差一次点击。
- 02给每个输入一个分布。正态、矩形、三角、缩放平移 t、对数正态或反正弦，已知时给出 ν。
- 03设置 M、种子和包含概率。默认是 100,000 次试验、种子 20250101 和 95%。
- 04读两行结果。y、u(y)、对称区间和 §8 差值；判定文字说明如何解读。
- 05决定报告什么。端点差值在容差内时引用一阶结果；超出时引用蒙特卡洛。
计算示例
种子 20250101，M = 100,000，95% 包含；δ 是对标准不确定度的 §8 数值容差。
| 模型 |
GUM u(y) |
MC u(y) |
MC 95% 区间 |
相对 δ = 5.00e-2 的端点差 |
判定 |
x^2，x ~ N(0, 1) |
0 |
1.41508161 |
[0.00092727, 5.05221926] |
9.27e-4 / 5.05——一致：否 |
非线性：改用 MC（偏度 2.7978） |
x1 * x2，N(10, 1)、N(5, 0.5) |
7.07106781 |
7.0995449 |
[36.9247005, 64.60907171] |
7.84e-1 / 7.50e-1——此 M 下未解决 |
提高 M |
x1 + x2 + x3 + x4，四个 N(0, 1) |
2 |
2.00529595 |
[−3.90620878, 3.96027218] |
1.37e-2 / 4.03e-2——在 δ 之内 |
一阶验证通过 |
平方预设是整个科学板块最干净的失败案例：在 x = 0 处导数 2x 消失，GUM 一行读到 u = 0 和零宽区间，而真实分布近似 χ²，均值 1.00083028、标准不确定度 1.41508161，95% 区间从 0.00092727 到 5.05221926。蒙特卡洛也识别出形状：偏度 2.7978，以及比对称区间窄得多的最短区间 [0，3.84543713]。
§8 检验及其前提
JCGM 101 §8 规定数值容差 δ = ½·10^l，其中 u(y) = c·10^l，c 为所选位数的整数——这些例子中为 5.00e-2。只有当区间两个端点与蒙特卡洛端点的差别都不超过 δ 时，一阶结果才获得验证。要让这一比较有意义，必须满足两个条件：蒙特卡洛噪声相对 δ 足够小，且两个区间是同一类型。标签页还会报告比较是否已解决——要求 δ ≥ 3× 采样噪声 u(y)/√M——因为在 M 很小时判定会随机翻转，而不是在衡量非线性。平方预设在 M = 10⁴ 到 10⁶ 之间保持已解决状态，却每次都通不过一致性；乘积预设的 u 与 GUM 值的差异仅为蒙特卡洛值的 0.4011%（标签页以 u_MC 为基准衡量差距），但在 M = 100,000 时判定未解决，因为端点差（0.784 和 0.750）远大于 δ，而噪声（2.25e-2）对干净的判断来说太大。
限制与不做的事
- 蒙特卡洛的成色取决于输入分布。
- 矩形分布不等于同 σ 的正态分布，包含区间也随之改变形状——见四个均匀输入，其区间 [−3.86488045, 3.90530028] 比相同 u 下正态情形的 ±3.92 更窄。
- 模型必须是带类型的表达式。
- 相关性以显式输入的矩阵进入；输入共享漂移却没有记录相关性的测量会悄悄变得乐观。
陷阱：微小的 u 差异不是通过
乘积预设的标准不确定度与蒙特卡洛值只相差 0.4011%——小到看起来像一致——但 §8 检查比较的是区间而不是 u，于是失败。反过来，一致也可能是 M 有利的巧合：引用已验证判定之前，请先读解决与否那一行。第三个陷阱藏在平方预设的零里：u = 0 不是有力主张，只是线性化在报告评估点处斜率为平，对 1.4 个单位之外的展宽只字未提。
使用场景
校准与试验报告
为弯曲模型引用线性化不确定度的报告，第二位数字就可能出错。同时跑两种方法并附上 §8 判定，结果的选择就变得可审计。
讲解为什么导数不够用
平方与乘积预设小到可以手算：一个展示消失的导数，另一个展示缺失的 u₁²u₂² 项。它们把「改用蒙特卡洛」从口号变成演示出来的失败。
隐私
解析、采样和比较都在你的浏览器中借助带种子的生成器运行；模型和输入从不上传。
参考文献
- BIPM JCGM，JCGM 100:2008——GUM 一阶方法。bipm.org （访问日期：2026-10-07）
- BIPM JCGM，JCGM 101:2008——蒙特卡洛传播、§7.9 容差与 §8 验证。bipm.org （访问日期：2026-10-07）
- NIST，Technical Note 1297——不确定度的评定与表达。nist.gov （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，Propagation of uncertainty——线性化及其失效。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，Monte Carlo method——让模型进行采样。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
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