如何进行传播计算
- 01写出测量函数。计算器能接受的任何表达式，例如
(1/2)*m*v^2；变量名会被自动识别。 - 02每个变量填一行。在同一单位下填入值与标准不确定度 σ；σ 是一个标准不确定度，不是范围或公差。
- 03读取两个主要数字。f 及其合成标准不确定度 σ_f，还有以百分比表示的相对不确定度。
- 04读取贡献卡片。每张卡片显示偏导数 ∂f/∂xᵢ 及其占总方差的百分比。
- 05先修正最大的项。百分比说明更好的仪器或更多重复测量在哪里最能提升精度。
计算示例
| 模型 |
输入 |
结果 |
份额 |
a - b |
a = 100 ± 0.1, b = 99 ± 0.1 |
1 ± 0.14142136 — 相对 14.142136% |
a 50%，b 50% |
(1/2)*m*v^2 |
m = 2 ± 0.002 kg, v = 30 ± 0.3 m/s |
900 ± 18.02248596 J — 相对 2.002498% |
v 99.7506%（∂ = 60，项 324），m 0.2494%（∂ = 450，项 0.81） |
m/V |
m = 250 ± 0.5 g, V = 100 ± 0.1 mL |
2.5 ± 0.00559017 g/mL — 相对 0.223607% |
m 80%，V 20% |
x + y |
x = 10 ± 0.1, y = 20 ± 0.2 |
30 ± 0.2236068 — 相对 0.745356% |
y 80%，x 20% |
动能那一行最值得细看。质量偏导数是 450——远大于速度的 60——但质量只占方差的 0.2494%，因为它的不确定度是 0.1%，而速度的 1% 被平方放大了一倍。单摆默认值给出 9.81065219 ± 0.02188481 m/s²，相对 0.223072%，其中时间项占 79.904%，长度项占 20.096%。
导数是权重，不是重要程度
对于相互独立的输入，一阶定律为 σ_f² = Σ (∂f/∂xᵢ)²·σᵢ²。导数把输入的微小变化转换为输出的变化；乘以 σᵢ 把几何关系变成不确定度；平方使求和成为平方和开方。由此得到两条捷径。对于乘积或商，相对不确定度按平方和开方相加：除以 V 贡献 σ_V/V，幂 p 贡献 |p|·σ_x/x——这就是 v² 使速度相对误差翻倍的原因。对于和或差，绝对不确定度按平方和开方相加，结果的相对误差等于绝对误差除以结果自身的量值。
限制与不做的事
- 一阶且相互独立。
- 该公式是在测量值处的线性化，并假设输入不相关；共同的校准或共同的漂移需要一个本面板不建模的协方差项。
- 每个输入一个标准不确定度。
- 非对称误差、置信区间和分布会在输入前被归为单个 σ；±0.5% 的规格说明与均匀分布不是同一个陈述。
陷阱：减法会放大不确定度
让和式的平方和开方变得温和的同一条公式，让差式变得残酷。把两个约 100 的读数相减，各自 σ = 0.1，绝对误差只有 0.14142136，但结果是 1，所以相对误差是 14.142136%。把差再缩小——1.02 减 1.00，σ = 0.01——答案 0.02 就带着 70.710678%。这就是为什么测量设计应让目标量不是大数的小差值；实验毁掉的位数，再谨慎的算术也找不回来。第二个更隐蔽的陷阱：偏导数只在中心值处计算一次，因此即使每个输入都独立，强弯曲的模型也可能出错。
适用场景
仪器预算
份额卡片指出该升级哪台仪器。在单摆中，计时占方差的 79.904%：把 σ_T 从 2 ms 缩短到 1 ms，比任何尺子的改进都更有效。
讲授测量的微积分
学生手算一个偏导数并与卡片核对。动能示例让链式法则变得具体：½mv² 对 v 求导得 mv = 60，平方带来的因子 2 表现为相对误差翻倍。
隐私
解析、微分和平方和开方都在你的浏览器中运行；你输入的值和不确定度从不上传。
参考文献
- BIPM JCGM，JCGM 100:2008 — 不确定度传播定律。bipm.org （访问日期：2026-10-07）
- NIST，Technical Note 1297 — 不确定度的评定与表示。nist.gov （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，Propagation of uncertainty — 一阶方差公式与积、商规则。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，Partial derivative — 为每个输入赋权的局部敏感度。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，Significant figures — 两数之差为何丢位数。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
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