如何使用各个选项卡
- 01检查一个方程。在
= 两侧写出两边，并给每个符号指定物理量；面板会打印每一边的量纲和任何缺失的因子。 - 02识别一个单位。输入
N 这样的单位或物理量名称，查看它的量纲向量以及所有共享该量纲的具名物理量。 - 03带单位计算。输入带单位后缀的普通算术：
5 m/s * 3 s、5 km + 300 m，或用 to 换算。 - 04约化一个模型。在 Buckingham 选项卡中列出每个变量的名称和物理量；独立无量纲群的数目会显示在 Π 表上方。
- 05审计公式库。审计选项卡对产品自己的公式表运行同样的检查，并标出两边不一致的每个方程。
计算示例
船体的兴波阻力：变量表 F（力）、ρ（密度）、v（速度）、L（长度）、g（加速度）给出 n = 5 个变量和秩 r = 3，所以定理预测 2 个独立群：
| Π 群 |
表达式 |
指数（F, ρ, v, L, g） |
量纲 |
| Π₁ |
F/(ρ·v²·L²) |
(1, −1, −2, −2, 0) |
1 |
| Π₂ |
F·g²/(ρ·v⁶) |
(1, −1, −6, 0, 2) |
1 |
其他预设展示了这一计数如何工作：ρ、v、D、μ 的管流有 n = 4、r = 3，一个群——Π₁ = ρ·v·D/μ，即雷诺数。h、L、k、ρ、v、μ、c_p 的对流有 n = 7、r = 4 和 3 个群——h·L/k、L·ρ·v/μ 和 h/(ρ·v·c_p)。单位算术由同一套机制检查：5 m/s * 3 s 读作 15 m，5 km + 300 m 读作 5.3 km，100 degC to degF 读作 212 degF，(1/2) * 1200 kg * (30 m/s)^2 to kJ 读作 540 kJ。
齐次性只是过滤器，不是证明
每个物理变量都是七维指数空间中的一个点，有效的方程必须相加位于同一点的项——F = m*a 成立是因为两边都是 M·L·T⁻²，而 F = m*v 会留下一个多余的 T，检查会点名缺失的因子。Buckingham 定理更进一步：构造变量量纲的矩阵——每个变量一列、每个基本量纲一行；它的秩 r 数出变量实际张成的量纲方向，n − r 个独立的指数向量留在其零空间中。每个幸存者都是一个无量纲乘积，任何物理定律都只能联系这些乘积——所以无论用什么单位，兴波阻力实验都约化为一条 Π 对另一个 Π 的曲线。群是一组基，不是正典：兴波阻力的 Π₂ 可以用同样的张成换成 Froude 数 v²/(gL)。
限制与不做的事
- 是量纲，不是物理。
- 齐次性无法告诉你常数是 2 还是 ½π、符号是否写错、模型是否因果；它只排除在任何缩放都不可能成立的东西。
- 公式库审计只与其映射一样好。
- 没有单位元数据的公式会作为未映射报告，而不是失败，所以干净的审计不是正确性的证明。
陷阱：一个量纲，多个物理量
量纲向量会重合。能量、功、热量和力矩都约化为 M·L²·T⁻²，所以输入该向量返回的是列表而不是名称——面板会说明这一点，而不是替你选一个。第二个陷阱是：n − r 不是 n 减去你碰巧用到的基本量纲数，而是实际变量矩阵的秩。去掉一个承载方向的变量，计数就会上升；对流预设的七个变量只张成四个方向，所以即使表里出现四个基本量纲，仍然剩下三个群。
适用场景
抓住代数失误
写下每一行推导就立即检查。缺失的长度因子会在代入任何数字之前表现为量纲不匹配，而建议的缺失因子往往直接指向被漏掉的那一项。
规划缩比实验
在建造模型之前列出变量并读取 n − r。两个群意味着实验是一个参数下的一族曲线；三个群意味着一个曲面。Π 表就是试验矩阵的设计表。
隐私
所有解析、指数运算和审计都在你的浏览器中运行；你输入的任何内容都不会被上传。
参考文献
- Wikipedia，《Buckingham π theorem》— n 个变量、秩 r、n − r 个群。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，《Dimensional analysis》— 齐次性与缩比建模。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
- NIST，《Special Publication 811》— 用于量纲向量的 SI 单位。nist.gov （访问日期：2026-10-07）
- BIPM，《The International System of Units (SI Brochure)》— 七个基本量。bipm.org （访问日期：2026-10-07）
- Wikipedia，《Reynolds number》— 一个算出的无量纲群。en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）
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