Relationen & Logik: Wahrheitstafeln, Mengen & Verwandtschaft

Relationen & Logik bündelt fünf diskrete Mathe-Tools unter einer Tab-Leiste: Familie, Aussagen, Mengen, Symbolik und Boolesch. Jede Antwort entsteht durch Aufzählung oder exakte Regeln, nie durch Stichproben. Familie verwandelt eine Kette von Verwandten in einen Verwandtschaftsbegriff; Aussagen erstellt die vollständige Wahrheitstabelle einer Formel und klassifiziert sie als Tautologie, Kontradiktion oder Erfüllbar (kontingent); Mengen berechnet Vereinigung, Schnitt, Differenz, symmetrische Differenz, Potenzmengen und kartesische Produkte; Symbolik führt Computeralgebra-Aufgaben von der Vereinfachung bis zu Laplace-Transformationen aus; Boolesch wertet eine Belegung eines Ausdrucks aus. Jeder Tab hat eine eigene Adresse — /math/relogic/proposition ist ein Beispiel —, sodass ein Ergebnis als Lesezeichen gespeichert oder geteilt werden kann.

更新 2026-10-016 个来源约 5 分钟读完

So verwenden Sie die fünf Tabs

Tab auswählenin der oberen Leiste oder die URL direkt öffnen.
Familie — Kette aufbauen.Klicken Sie Verwandte der Reihe nach ab „Ich“ an: Father und dann Elder Brother ergibt Father's Elder Brother (Uncle). ↩ Rückgängig entfernt den letzten Schritt; Zurücksetzen löscht die Kette.
Aussagen — Wahrheitstabelle erzeugen.Geben Sie einen Ausdruck ein und drücken Sie dann Wahrheitstabelle erzeugen für das Ergebnis, die Anzahl wahrer Zeilen und die erste fehlschlagende Zeile.
Mengen — Elemente eingeben.Trennen Sie sie mit Kommas, Leerzeichen oder Semikolons oder geben Sie Klammern wie {1, 2} ein; Duplikate fallen zusammen. Wählen Sie Operationen, Potenzmenge oder Kartesisches Produkt und dann Berechnen.
Symbolik — eine Operation wählen.Zwölf Modi decken Vereinfachen, Ausmultiplizieren, Faktorisieren, Lösen, Gleichungssysteme, Ableitungen, Integrale, Partialbrüche, Laplace-Transformationen und Summen ab; Ergebnisse lassen sich als Text oder LaTeX kopieren.
Boolesch — Variablen setzen.Schalten Sie jede vom Parser gefundene Variable zwischen 1 und 0 um und drücken Sie dann Auswerten.

Rechenbeispiele

Jede Anzeige unten stammt aus den live laufenden Tabs; dieselbe Eingabe erzeugt sie erneut.

Tab · Eingabe	Anzeige
Familie · Father → Elder Brother	Father's Elder Brother (Uncle)
Aussagen · `(A -> B) & A -> B`	Tautologie, 4 / 4 Zeilen wahr
Aussagen · `A -> B`	Erfüllbar (kontingent), 3 / 4 Zeilen wahr; Gegenbeispiel A=T, B=F
Aussagen · `!(A & B) <-> (!A \| !B)`	Tautologie, 4 / 4 Zeilen wahr
Mengen · A = `1, 2, 3, 4, 5`, B = `3, 4, 5, 6, 7`	A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∩ B = {3, 4, 5}, A △ B = {1, 2, 6, 7}, \|A × B\| = 25
Mengen · Potenzmenge von A = `1, 2`	\|P(A)\| = 4 (2^2): ∅, {1}, {2}, {1, 2}
Symbolik · Vereinfachen `(x^2 - 1)/(x - 1)`	1+x
Symbolik · Faktorisieren `x^2 - 5x + 6`	*(-2+x)(-3+x)**
Symbolik · Lösen `x^2 - 4 = 0`	[2,-2]
Symbolik · Defint `x^2`, 0 bis 1	1/3
Symbolik · Summe `k^2`, k = 1 bis 10	385
Boolesch · `(A \| B) & !C` mit A=1, B=0, C=0	(A \| B) & !C = TRUE (1)

Die Symbolik-Tabs geben in der kanonischen Reihenfolge der Algebra-Engine aus: (x + 1)^3 wird zu 1+3x+3x^2+x^3 (aufsteigende Potenzen) und (x + 1)/(x^2 - 1) zerfällt in Partialbrüche zu (-1+x)^(-1). Wahrheitstabellen füllen sich von „alle falsch“ nach unten, deshalb meldet A -> B A=T, B=F. Eine Mengendifferenz, die alles entfernt, gibt A − B = {} aus.

Was jeder Tab berechnet

Familie löst anhand einer Tabelle mit 80 benannten Kombinationen auf und gibt jede Kette, die es nicht benennen kann, unverändert zurück, etwa Husband → Husband. Aussagen und Boolesch teilen einen Parser: ! bindet am stärksten, dann &, ^, |, ->, <->, wobei -> nach rechts gruppiert; Wortoperatoren (NOT, AND, NAND) und Symbole ¬, ∧, ∨, ⊕, ↑, ↓ werden ebenfalls geparst. Mengen behandelt Elemente als Text und entfernt Duplikate; Symbolik liefert geschlossene Formen, die unter ihren Umschreibungsregeln exakt sind.

Grenzen im Blick behalten

Endliche Eingaben, endliche Listen.: Mengen entfernt doppelte Elemente und behandelt jedes Element als Text: 1, 1, 2 ist eine zweielementige Menge, und 01 ist ein anderes Element als 1. Eine Potenzmenge ist auf zwölf Elemente begrenzt — Set too large for power set (max 12 elements) —, und eine kartesische Paarliste gibt die ersten 256 Paare aus, auch wenn die Größenzeile ein größeres Produkt meldet: zwei Mengen mit je 20 Elementen ergeben |A × B| = 400 mit abgeschnittener Liste.
Was es nicht tut: numerische oder statistische Arbeit.: Nichts hier integriert numerisch, schätzt einen Grenzwert, fittet eine Regression oder berechnet eine Verteilung. Für numerische Analysis und Schritt-für-Schritt-Herleitungen nutzen Sie Math Tools; für Statistik, Hypothesentests und Verteilungen Statistics. Für alltägliche getippte Arithmetik mit Prozent nutzen Sie den wissenschaftlichen Rechner.

Die Acht-Variablen-Obergrenze

Das Wahrheitstafel-Ergebnis ist ein Aufzählungsergebnis: Aussagen wertet jede Zeile aus — zuerst alle falsch — und gibt erst dann Tautologie, Kontradiktion oder Erfüllbar aus. Dadurch ist die Grenze scharf. Eine Formel mit mehr als acht Variablen wird mit Too many variables (max 8) abgelehnt, statt angenähert zu werden, sodass eine Tautologie über neun Variablen hier nicht zertifiziert werden kann. Innerhalb der Grenze ist die Suche erschöpfend — höchstens 256 Zeilen —, und das kleinste Gegenbeispiel ist die erste fehlschlagende Zeile; lesen Sie beides, bevor Sie ein Ergebnis zitieren.

Wofür es passt

Logikübungen und Mengenidentitäten prüfen

De Morgans Gesetze bestehen in einem Durchgang: !(A & B) <-> (!A | !B) liest sich als Tautologie, 4 / 4 Zeilen wahr, während A & !A Kontradiktion ergibt, 0 / 2 Zeilen wahr. Mit A = 1, 2 und B = 1, 2, 3 antwortet dasselbe Panel A ⊆ B: Ja, B ⊆ A: Nein und A △ B = {3}.

Boolesche Bedingungen im Code

Klären Sie eine Bedingung, bevor Sie sie umschreiben: A NAND B mit A=1, B=1 ergibt FALSE (0), und klein geschriebenes a AND !b wird genau wie die Großform ausgewertet, weil Variablen einzelne Buchstaben ohne Beachtung der Groß-/Kleinschreibung sind. Die Wahrheitstabelle zeigt dann, welche Zeilen ein Refactoring erhalten muss.

Quellen

Wikipedia, Wahrheitstafel, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— Zeilen und Wahrheitsbedingungen.
Wikipedia, Mengenalgebra, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— Vereinigung, Schnitt, Differenz und De-Morgan-Identitäten.
Wikipedia, Boolesche Algebra, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— Konnektive und Rangfolge.
Wikipedia, Verwandtschaftsterminologie, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— englische Begriffe für Verwandte durch Blut und Heirat.
Wikipedia, Computeralgebra, en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-01）— exakte symbolische Manipulation gegen numerische Näherung.
Stanford Encyclopedia of Philosophy, Propositional Logic, plato.stanford.edu （访问日期：2026-10-01）— Erfüllbarkeit, Tautologie und Gegenmodelle.