Calculadora de arco y sector: longitud, área y cuerda
Descripción de la calculadora La calculadora de arco y sector obtiene tres cosas a partir del radio r r r θ \theta θ L L L A A A
Sirve para cualquier «parte de una circunferencia»: la distancia que recorre la aguja de un reloj, la longitud de una curva de carretera, el área de una porción de pizza, el ángulo correspondiente a un paso de diente en un engranaje o cuántos kilómetros se recorren sobre la superficie terrestre a lo largo de un meridiano al avanzar 1°. Es además el lugar donde se relacionan de verdad las dos unidades de ángulo, el grado y el radián: la definición del radián es precisamente la razón entre la longitud del arco y el radio.
Lo que no hace: no calcula el perímetro ni el área de la circunferencia completa (basta con introducir un ángulo de 360°), ni el área del segmento circular (la parte entre el arco y la cuerda), aunque esta página da la fórmula: basta restar el área del triángulo al área del sector; no normaliza el ángulo al intervalo 0°–360° ni convierte unidades.
Cómo calcular en esta calculadora 01 Abrir el panel esta página corresponde a «Herramientas de matemáticas → Fórmulas → Arco / sector» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arc-sector). Al abrirla, el radio r = 10 y el ángulo 60° ya están rellenos, y la longitud de arco, el área del sector y la cuerda se calculan automáticamente. 02 Calcular la longitud de arco, el área y la cuerda cambia el radio y el ángulo (el ángulo en grados , no en radianes) y los tres campos con la etiqueta «Calcular» se actualizan al instante, con 8 decimales como máximo y sin ceros finales. 03 Despejar el ángulo a partir de la longitud del arco vacía «ángulo (°)», introduce la longitud de arco conocida en «longitud de arco» y conserva el radio; el campo del ángulo pasa a «Calcular» y muestra los grados. En ese momento el área del sector y la cuerda muestran 0 (el motor calcula con un ángulo desconocido igual a 0): ignóralas o introduce de vuelta el ángulo despejado en el campo del ángulo para leerlas. 04 Circunferencia completa y semicircunferencia con un ángulo de 360 se obtienen el perímetro y el área del círculo (la cuerda es teóricamente 0 y la interfaz puede mostrar un residuo de coma flotante como 1.469576e-15, es decir, 0); con 180 se obtienen la longitud y el área de la semicircunferencia y el diámetro. 05 Calcular el área del segmento circular resta al área del sector la del triángulo 1 2 r 2 sin θ \tfrac12 r^2 \sin\theta 2 1 r 2 sin θ 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) Ejemplos Los cuatro ejemplos se han recalculado con el método compute del motor arc-sector; el criterio de presentación es de 8 decimales como máximo, sin ceros finales.
Ejemplo 1: radio 6 y ángulo central 60°
Radián: θ = 60 × π / 180 = π / 3 ≈ 1.04719755 \theta = 60 \times \pi/180 = \pi/3 \approx 1.04719755 θ = 60 × π /180 = π /3 ≈ 1.04719755
Longitud de arco: L = 6 × π / 3 = 2 π ≈ 6.28318531 L = 6 \times \pi/3 = 2\pi \approx 6.28318531 L = 6 × π /3 = 2 π ≈ 6.28318531
Área del sector: A = 1 2 × 36 × π / 3 = 6 π ≈ 18.84955592 A = \tfrac12 \times 36 \times \pi/3 = 6\pi \approx 18.84955592 A = 2 1 × 36 × π /3 = 6 π ≈ 18.84955592
Cuerda: = 2 × 6 × sin 30 ° = 12 × 0.5 = 6 = 2 \times 6 \times \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6 = 2 × 6 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6
La interfaz muestra: longitud de arco 6.28318531 , área del sector 18.84955592 , cuerda 6 . Con un ángulo central de 60°, los dos radios y la cuerda forman un triángulo equilátero, así que la cuerda mide exactamente lo mismo que el radio.
Figura 1: ejemplo 1. La longitud de arco y el área se calculan con el ángulo en radianes; la cuerda usa 2r·sin(θ/2), y θ/2 puede ir en grados o en radianes siempre que coincida con el criterio del seno Ejemplo 2: valores predeterminados del panel, radio 10 y 60°
L = 10 × π / 3 ≈ 10.47197551 L = 10 \times \pi/3 \approx 10.47197551 L = 10 × π /3 ≈ 10.47197551 A = 1 2 × 100 × π / 3 ≈ 52.35987756 A = \tfrac12 \times 100 \times \pi/3 \approx 52.35987756 A = 2 1 × 100 × π /3 ≈ 52.35987756 Cuerda = 20 sin 30 ° = 10 = 20 \sin 30° = 10 = 20 sin 30° = 10
La interfaz muestra: 10.47197551 , 52.35987756 y 10 . En comparación con el ejemplo 1, el radio se multiplica por 10 / 6 10/6 10/6 ( 10 / 6 ) 2 = 2.78 (10/6)^2 = 2.78 ( 10/6 ) 2 = 2.78
Ejemplo 3: arco mayor — radio 1.5 y 270°
θ = 270 × π / 180 = 3 π / 2 ≈ 4.71238898 \theta = 270 \times \pi/180 = 3\pi/2 \approx 4.71238898 θ = 270 × π /180 = 3 π /2 ≈ 4.71238898 L = 1.5 × 3 π / 2 ≈ 7.06858347 L = 1.5 \times 3\pi/2 \approx 7.06858347 L = 1.5 × 3 π /2 ≈ 7.06858347 A = 1 2 × 2.25 × 3 π / 2 ≈ 5.3014376 A = \tfrac12 \times 2.25 \times 3\pi/2 \approx 5.3014376 A = 2 1 × 2.25 × 3 π /2 ≈ 5.3014376 Cuerda = 3 sin 135 ° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034 = 3 \sin 135° = 3 \times 0.70710678 \approx 2.12132034 = 3 sin 135° = 3 × 0.70710678 ≈ 2.12132034
La interfaz muestra: 7.06858347 , 5.3014376 y 2.12132034 . A partir de 180° la cuerda empieza a disminuir: la cuerda de 270° mide lo mismo que la de 90°, porque son la misma cuerda vista desde el otro lado.
Ejemplo 4: despejar el ángulo a partir de la longitud del arco
¿A qué ángulo central corresponde un arco de longitud 5 con radio 10? Vacía el ángulo e introduce la longitud de arco 5 y el radio 10.
θ = L / r = 0.5 \theta = L/r = 0.5 θ = L / r = 0.5 θ deg = 0.5 × 180 / π ≈ 28.64788976 ° \theta_{\deg} = 0.5 \times 180/\pi \approx 28.64788976° θ d e g = 0.5 × 180/ π ≈ 28.64788976°
La interfaz muestra: ángulo 28.64788976 . En ese momento los campos del área del sector y de la cuerda muestran 0, que es el criterio del modo de despeje (véase «Supuestos»). Si se introduce 28.64788976 de vuelta en el campo del ángulo se obtienen un área del sector de 25 y una cuerda de 4.94808114.
Un minuto de arco en la Tierra
Aproximando la Tierra como una esfera de radio 6371 km, introduce r = 6371 y un ángulo de 1: la longitud del arco recorrido 1° sobre un círculo máximo es 111.19492664 km. Si el ángulo pasa a 1/60 (1 minuto de arco), la longitud de arco es 1.85324878 km: este es el origen de la milla náutica, que hoy se define como 1852 m.
Con el radio fijo en 6, se recorre el ángulo central de 0° a 360°: la longitud de arco crece linealmente con el ángulo (de 0 a 37.70) y la cuerda primero crece y luego disminuye, alcanza su máximo de 12 (el diámetro) en 180° y vuelve a 0 en 360°. Con ángulos pequeños las dos curvas casi coinciden: la razón entre cuerda y arco sin ( θ / 2 ) / ( θ / 2 ) \sin(\theta/2)/(\theta/2) sin ( θ /2 ) / ( θ /2 )
Fundamentos y deducción Longitud de arco: una parte del perímetro
La circunferencia completa 2 π r 2\pi r 2 π r θ deg \theta_{\deg} θ d e g θ deg / 360 \theta_{\deg}/360 θ d e g /360
L = θ deg 360 × 2 π r = r × ( θ deg × π 180 ) = r θ L = \frac{\theta_{\deg}}{360} \times 2\pi r = r \times \left(\theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180}\right) = r\,\theta L = 360 θ d e g × 2 π r = r × ( θ d e g × 180 π ) = r θ La cantidad entre paréntesis es el radián. Definición del radián : la razón entre la longitud del arco y el radio, θ = L / r \theta = L/r θ = L / r 2 π 2\pi 2 π L = r θ L = r\theta L = r θ
Área del sector: una parte del área del círculo
Con la misma proporción: A = θ deg 360 π r 2 = 1 2 r 2 θ A = \dfrac{\theta_{\deg}}{360}\,\pi r^2 = \tfrac12 r^2 \theta A = 360 θ d e g π r 2 = 2 1 r 2 θ r d θ r\,d\theta r d θ r r r 1 2 r ⋅ r d θ \tfrac12 r \cdot r\,d\theta 2 1 r ⋅ r d θ 1 2 r 2 θ \tfrac12 r^2 \theta 2 1 r 2 θ A = 1 2 L r A = \tfrac12 L r A = 2 1 L r
Cuerda: un triángulo isósceles
El centro y los dos extremos del arco forman un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden r r r θ \theta θ r r r θ / 2 \theta/2 θ /2 = r sin ( θ / 2 ) = r\sin(\theta/2) = r sin ( θ /2 ) = 2 r sin ( θ / 2 ) = 2r\sin(\theta/2) = 2 r sin ( θ /2 ) θ = 180 ° \theta = 180° θ = 180° sin 90 ° = 1 \sin 90° = 1 sin 90° = 1 = 2 r = 2r = 2 r
Área del segmento circular
La región limitada por el arco y la cuerda se llama segmento circular. Es igual al sector menos el triángulo isósceles: como el área del triángulo es = 1 2 r 2 sin θ = \tfrac12 r^2 \sin\theta = 2 1 r 2 sin θ A segmento = 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) A_{\text{segmento}} = \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) A segmento = 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 - 15.58845727 = 3.26109865 = 18.84955592 − 15.58845727 = 3.26109865
Aproximación para ángulos pequeños
Cuando θ \theta θ sin θ ≈ θ \sin\theta \approx \theta sin θ ≈ θ 1 2 r 2 ⋅ θ 3 / 6 \tfrac12 r^2 \cdot \theta^3/6 2 1 r 2 ⋅ θ 3 /6
Por qué una vuelta son 360°
El 360 proviene del sistema sexagesimal babilónico y de la observación aproximada de que el año tiene unos 360 días; tiene 24 divisores, lo que facilita dividir la circunferencia en partes iguales, pero es una convención humana, no un hecho geométrico. El radián, en cambio, lo determina la propia proporción del círculo: una vuelta completa son 2 π 2\pi 2 π
Supuestos
El ángulo central se introduce en grados : el motor lo multiplica internamente por π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π No se normaliza el ángulo : introducir 400° se calcula como «una vuelta y 40°»; la longitud de arco y el área siguen creciendo y la cuerda se calcula con sin 200 ° \sin 200° sin 200° 0 ° < θ ≤ 360 ° 0° < \theta \le 360° 0° < θ ≤ 360° Radio positivo : r > 0 r > 0 r > 0 r = 0 r = 0 r = 0 El despeje solo afecta al campo del ángulo : al obtener el ángulo a partir de la longitud del arco, el área del sector y la cuerda se calculan con «ángulo = 0» y muestran 0; hay que ignorarlas.Misma unidad de longitud : el radio, la longitud de arco y la cuerda comparten unidad, y el área es su cuadrado. Alcance y limitaciones
Puede calcular la longitud de arco, el área del sector y la cuerda para cualquier radio positivo y cualquier ángulo central (en grados); el ángulo central a partir de la longitud de arco y el radio. Los resultados tienen 8 decimales como máximo.
Solo aproximado la cuerda de la circunferencia completa (360°) es teóricamente 0 y la interfaz puede mostrar residuos de coma flotante como 1.469576e-15; hay que leerlos como 0.
No puede calcular el área del segmento circular (se calcula a mano con la fórmula de esta página), el ángulo o el radio a partir de la cuerda o del área, arcos de elipse, longitudes de espiral ni arcos sobre superficies tridimensionales.
No hace no limita el ángulo a 0°–360°, no acepta entradas en grados/minutos/segundos ni en radianes y no convierte unidades. Valores con combinaciones de radio muy grande y ángulo muy pequeño, la precisión relativa de sin ( θ / 2 ) \sin(\theta/2) sin ( θ /2 ) Errores habituales
Introducir radianes en «ángulo (°)» : introducir 1.0472 corresponde a 1.0472°, y la longitud de arco es solo 0.1097 (con radio 6) en lugar de 2π. Este campo está en grados.Olvidar pasar a radianes al calcular a mano : L = r θ L = r\theta L = r θ Tomar la cuerda por la longitud del arco : con ángulos pequeños son parecidas, pero con ángulos grandes difieren mucho; con 180° y radio 6 la cuerda es 12 y el arco 18.85.Pasar de 360° : el motor no reduce el ángulo, y la cuerda de 400° sale negativa. Resta primero las vueltas completas.Leer el área y la cuerda en modo de despeje : que muestren 0 es un criterio de presentación, no un hecho geométrico.Escalar el área por la razón del radio : si el radio se duplica, la longitud de arco y la cuerda se duplican, pero el área del sector se multiplica por 4.Tomar el residuo de coma flotante de la circunferencia completa por una cuerda : 1.469576e-15 es 0, no una «cuerda muy pequeña». Casos de uso típicos Docencia: qué es exactamente un radián Introduce un radio de 1 y un ángulo de 57.29577951 (un radián) y verás que la longitud de arco es exactamente 1; introduce después 360 y verás que la longitud de arco pasa a 6.28318531 = 2π. El radián es «medir el arco con el radio como regla».
Reparto justo de pizzas y tartas Una pizza de 30 cm de diámetro cortada en 8 porciones: r = 15 y ángulo 45°, cada porción tiene un área de 88.35729338 cm², un arco exterior de 11.78097245 cm y una cuerda entre los bordes rectos de 11.4805 cm. Son exactamente un octavo del área total, 706.86 cm².
Curvas de carretera, arcos y relojes El radio y el ángulo de giro de una curva dan su longitud; el radio y la apertura de un arco dan la longitud del arco (material necesario) y la cuerda (luz); el horario gira 30° por hora y el minutero 120° en 20 minutos; con la longitud de las agujas se obtiene la distancia recorrida por la punta.
La Tierra y la navegación Con r = 6371 km, la longitud de arco de 1 minuto de arco (1/60°) es 1.8532 km, el origen de la milla náutica; una diferencia de latitud de 1° sobre un meridiano son unos 111.19 km. En ingeniería y topografía, el error de sustituir el arco por la cuerda es despreciable con ángulos pequeños.
Preguntas frecuentes ¿El ángulo se introduce en grados o en radianes? En grados. El motor lo multiplica internamente por π / 180 \pi/180 π /180 180 / π 180/\pi 180/ π
¿Cómo se calculan el perímetro y el área de la circunferencia completa? Introduciendo un ángulo de 360: la longitud de arco es el perímetro 2 π r 2\pi r 2 π r π r 2 \pi r^2 π r 2
¿Cómo se calcula el área del segmento circular (entre el arco y la cuerda)? Restando al área del sector la del triángulo: 1 2 r 2 ( θ − sin θ ) \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta) 2 1 r 2 ( θ − sin θ ) θ \theta θ
¿Por qué la cuerda de 270° mide lo mismo que la de 90°? Porque son la misma cuerda: la cuerda divide la circunferencia en dos arcos, y el arco menor de 90° y el arco mayor de 270° comparten la misma cuerda; sin 135 ° = sin 45 ° \sin 135° = \sin 45° sin 135° = sin 45°
¿Por qué al despejar el ángulo el área y la cuerda pasan a 0? En el modo de despeje el motor calcula las demás salidas con un ángulo desconocido igual a 0 y obtiene valores sin sentido. Introduce de vuelta el ángulo despejado en el campo del ángulo y aparecerán el área y la cuerda correctas.
¿Se puede despejar el ángulo a partir de la cuerda? Esta calculadora no (solo despeja a partir de la longitud de arco). A mano: θ = 2 arcsin ( cuerda / ( 2 r ) ) \theta = 2\arcsin\big(\text{cuerda}/(2r)\big) θ = 2 arcsin ( cuerda / ( 2 r ) )
Referencias y lecturas
Definición arc-sector en el código del motor de CalcX src/data/formulas.ts (el ángulo se introduce en grados y se convierte internamente a radianes; los tres objetivos arcLen, sectorArea y chordLen y el despeje del ángulo a partir de la longitud de arco); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor.
Wikipedia, Circular sector （访问日期：2026-09-08）— fórmulas del área del sector y de la longitud de arco.
Wikipedia, Arc length （访问日期：2026-09-08）— longitud de un arco de circunferencia y de una curva general.
Wikipedia, Radian （访问日期：2026-09-08）— definición, historia y conversión del radián.
Wikipedia, Circular segment （访问日期：2026-09-08）— fórmulas del área del segmento circular y de la cuerda.
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