Calculadora de cilindro y cono: volumen y superficie

La calculadora de cilindro y cono reúne en un mismo panel dos cuerpos de revolución «con la misma base y la misma altura»: introduce el radio de la base r y la altura h y obtiene de una vez el volumen del cilindro \pi r^2 h, la superficie del cilindro 2\pi r(r+h), el volumen del cono \tfrac13 \pi r^2 h y la superficie del cono \pi r(r + l), donde la generatriz l = \sqrt{r^2 + h^2} la calcula automáticamente el motor. Si se conocen el volumen del cilindro y la altura, también puede despejar el radio.

Calculadora de cilindro y cono: volumen y superficie

Descripción de la calculadora

La calculadora de cilindro y cono reúne en un mismo panel dos cuerpos de revolución «con la misma base y la misma altura»: introduce el radio de la base $r$ y la altura $h$ y obtiene de una vez el volumen del cilindro $\pi r^2 h$ , la superficie del cilindro $2\pi r(r+h)$ , el volumen del cono $\tfrac13 \pi r^2 h$ y la superficie del cono $\pi r(r + l)$ , donde la generatriz $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ la calcula automáticamente el motor. Si se conocen el volumen del cilindro y la altura, también puede despejar el radio.

Los vasos, las latas de refresco, las tuberías, los depósitos de aceite y el cuerpo cilíndrico de un silo son cilindros; los embudos, los cucuruchos, los conos de tráfico y el tejado cónico de un silo son conos. Ambos comparten la misma base circular, así que lo más cómodo es calcularlos juntos: el volumen de un silo es «volumen del cilindro + volumen del cono», y basta con calcular cada parte con el mismo par de valores $r$ y $h$ y sumarlas.

Lo que no hace: no trata cilindros ni conos oblicuos (la fórmula del volumen sigue valiendo, pero la de la superficie no), tampoco troncos de cono, ni el volumen de la pared de un tubo hueco, ni convierte unidades: el volumen se expresa en el cubo de la unidad de longitud con que se midan el radio y la altura, y el área, en su cuadrado.

Fórmula y variables

V_{\text{cil}} = \pi r^2 h,\qquad S_{\text{cil}} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r\,(r + h)

V_{\text{cono}} = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h,\qquad l = \sqrt{r^2 + h^2},\qquad S_{\text{cono}} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r\,(r + l)

Despeje del radio a partir del volumen del cilindro:

r = \sqrt{\frac{V_{\text{cil}}}{\pi h}}

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$r$	radio de la base	radio r	longitud	$r > 0$ ; predeterminado 3. Es el radio, no el diámetro
$h$	altura (axial)	altura h	longitud	$h > 0$ ; predeterminado 10. La altura del cono es la distancia perpendicular del vértice al centro de la base, no la generatriz
$V_{\text{cil}}$	volumen del cilindro	volumen del cilindro	longitud³	salida; entrada en modo de despeje
$S_{\text{cil}}$	superficie total del cilindro	superficie del cilindro	longitud²	salida, incluye las dos bases
$V_{\text{cono}}$	volumen del cono	volumen del cono	longitud³	salida, exactamente $\tfrac13$ del cilindro de la misma base y altura
$S_{\text{cono}}$	superficie total del cono	superficie del cono	longitud²	salida, incluye una base
$l$	generatriz (altura inclinada)	(no se muestra)	longitud	distancia del vértice a la circunferencia de la base, $l = \sqrt{r^2+h^2}$ , obtenida con el teorema de Pitágoras
$2\pi r h$	área lateral del cilindro	(no se muestra)	longitud²	se desarrolla como un rectángulo de $2\pi r \times h$
$\pi r l$	área lateral del cono	(no se muestra)	longitud²	se desarrolla como un sector circular de radio $l$ y arco $2\pi r$

Cómo calcular en esta calculadora

Abrir el panelesta página corresponde a «Herramientas de matemáticas → Fórmulas → Cilindro / cono» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.cylinder-cone). Al abrirla, «radio r» = 3 y «altura h» = 10 ya están rellenos, y los cuatro campos de resultado muestran su valor a la vez con la etiqueta «Calcular».
Hallar volúmenes y superficiesbasta con cambiar el radio y la altura y los cuatro resultados se actualizan al instante. Si lo que se ha medido es el diámetro, divídelo entre 2 antes de introducirlo.
Despejar el radio a partir del volumen del cilindrovacía «radio r», introduce el volumen conocido en «volumen del cilindro» y conserva «altura h»; el campo del radio pasa a «Calcular» y da $\sqrt{V/(\pi h)}$ . En ese momento los otros tres campos muestran 0, porque el motor los calcula con el radio sin rellenar tomado como 0: es un criterio de presentación, no un resultado; introduce el radio despejado de vuelta en «radio r» y vacía el campo del volumen para ver las cuatro cifras completas.
Si solo se necesita una partepara el «área lateral del cilindro», resta a la superficie las dos bases $2\pi r^2$ ; para el «área lateral del cono», resta a la superficie del cono la base $\pi r^2$ ; para un «cilindro sin tapa» (un cubo), resta una base.
Leer los resultadoslos valores conservan como máximo 8 decimales y eliminan los ceros finales; el volumen se expresa en el cubo de la unidad de longitud y la superficie, en su cuadrado. 1 m³ = 1000 L, 1 dm³ = 1 L, 1 cm³ = 1 mL.
Copiar la fórmulael botón de copiar situado a la derecha del título del panel copia V_cyl=πr²h, V_cone=πr²h/3 al portapapeles.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos se han recalculado con el método compute del motor cylinder-cone; el criterio de presentación es de 8 decimales como máximo, sin ceros finales.

Ejemplo 1: entradas predeterminadas r = 3, h = 10

Entradas: $r = 3$ , $h = 10$ .

Área de la base: $\pi r^2 = 9\pi = 28.27433388$ .
Volumen del cilindro: $V_{\text{cil}} = 9\pi \times 10 = 90\pi = 282.74333882$ .
Superficie del cilindro: $S_{\text{cil}} = 2\pi \times 3 \times (3 + 10) = 78\pi = 245.04422698$ .
Volumen del cono: $V_{\text{cono}} = 90\pi / 3 = 30\pi = 94.24777961$ .
Generatriz: $l = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} = 10.44030651$ ; superficie del cono $S_{\text{cono}} = \pi \times 3 \times (3 + 10.44030651) = 126.67190457$ .

La interfaz muestra: volumen del cilindro 282.74333882, superficie del cilindro 245.04422698, volumen del cono 94.24777961, superficie del cono 126.67190457. Desglosado, el área lateral del cono es $\pi r l = 98.39757069$ y el ángulo central del sector en que se desarrolla es $360^\circ \times r/l = 103.45^\circ$ .

Ejemplo 2: r = 3, h = 4 — el cono 3-4-5

Entradas: $r = 3$ , $h = 4$ .

$V_{\text{cil}} = \pi \times 9 \times 4 = 36\pi = 113.09733553$ .
$S_{\text{cil}} = 2\pi \times 3 \times 7 = 42\pi = 131.94689145$ : lateral $24\pi = 75.39822369$ más las dos bases $18\pi = 56.54866776$ .
$V_{\text{cono}} = 12\pi = 37.69911184$ .
$l = \sqrt{9 + 16} = 5$ (la terna pitagórica 3-4-5) y $S_{\text{cono}} = \pi \times 3 \times (3 + 5) = 24\pi = 75.39822369$ .

La interfaz muestra: volumen del cilindro 113.09733553, superficie del cilindro 131.94689145, volumen del cono 37.69911184, superficie del cono 75.39822369. Curiosa coincidencia: la superficie total de este cono, $24\pi$ , es exactamente igual que el área lateral del cilindro $2\pi r h = 24\pi$ . El área lateral del cono es $\pi r l = 15\pi = 47.12388980$ ; al desarrollarla como un sector de radio 5, el arco es igual al perímetro de la base $6\pi$ y el ángulo central es $= 6\pi / 5 \text{ rad} = 216^\circ$ .

Figura 1: el cilindro del ejemplo 1 y el cono del ejemplo 2. El desarrollo lateral del cono es un sector circular: el radio es la generatriz l y el arco es el perímetro de la base 2πr, así que el área lateral = ½ · 2πr · l = πrl

Ejemplo 3: volumen conocido 1000 y altura 10, despejar el radio

Entradas: volumen del cilindro $V_{\text{cil}} = 1000$ , $h = 10$ (con el radio vacío).

$r = \sqrt{\dfrac{1000}{\pi \times 10}} = \sqrt{31.83098862} = 5.64189584$ .

La interfaz muestra: radio r 5.64189584; la superficie del cilindro, el volumen del cono y la superficie del cono muestran 0 (véase el criterio del paso 3). Si se introduce 5.64189584 de vuelta en el radio y se vacía el campo del volumen, la interfaz muestra un volumen del cilindro de 1000.0000016 (la cola de redondeo que deja reemplazar el radio con 8 decimales), una superficie del cilindro de 554.49077079, un volumen del cono de 333.33333387 y una superficie del cono de 303.50903342. Si la unidad es el centímetro, esto es un vaso de 1 L de capacidad y 10 cm de altura, con un diámetro de unos 11.3 cm.

Ejemplo 4: el mismo volumen, formas distintas

Entradas: $r = 6$ , $h = 2.5$ .

$V_{\text{cil}} = \pi \times 36 \times 2.5 = 90\pi = 282.74333882$ , exactamente igual que en el ejemplo 1, porque $36 \times 2.5 = 9 \times 10 = 90$ .
$S_{\text{cil}} = 2\pi \times 6 \times 8.5 = 102\pi = 320.44245067$ , un 31 % mayor que el $78\pi$ del ejemplo 1.
$l = \sqrt{36 + 6.25} = 6.5$ y $S_{\text{cono}} = \pi \times 6 \times 12.5 = 75\pi = 235.61944902$ .

La interfaz muestra: volumen del cilindro 282.74333882, superficie del cilindro 320.44245067, volumen del cono 94.24777961, superficie del cono 235.61944902. Con el mismo volumen de 90π unidades, el bote bajo y ancho gasta más material: es el punto de partida del problema de diseño de envases «cómo gastar el mínimo material para un volumen dado» (la respuesta es $h = 2r$ ; véanse las preguntas frecuentes).

Veamos ahora una tubería: con $r = 0.5$ m y $h = 100$ m, la interfaz muestra un volumen del cilindro de 78.53981634 (m³, es decir, 78,540 L) y una superficie del cilindro de 315.73006169, de la cual el área lateral es $100\pi = 314.16$ m²: es la cifra que hace falta para pintar de antioxidante, y los $0.5\pi$ m² de los dos extremos pueden despreciarse.

Las entradas del ejemplo 1 pueden introducirse directamente en el panel para reproducirlo; cambia el radio de 3 a 6 (con la misma altura) y observa cómo el volumen se multiplica por 4 mientras la superficie no llega a multiplicarse por 3; cambia la altura de 10 a 20 y el volumen y el área lateral se duplican exactamente.

Fundamentos y deducción

Cilindro: «empujar» la base una altura

El cilindro es el cuerpo que resulta de trasladar la base circular una altura $h$ en dirección perpendicular. El volumen de cualquier «prisma recto o cilindro recto» así es el área de la base por la altura: dividiéndolo en muchas láminas finas, todas son el mismo círculo, y el volumen $= \pi r^2 \times h$ . Si se corta la superficie lateral a lo largo de una generatriz y se aplana, se obtiene un rectángulo de ancho $2\pi r$ (el perímetro de la base) y altura $h$ , así que el área lateral es $2\pi r h$ ; sumando las dos bases $2\pi r^2$ se obtiene la superficie total $2\pi r(r+h)$ .

Por qué el volumen del cono es exactamente un tercio

Es lo que más merece la pena recordar de esta página. Tres formas de verlo:

Comparación de secciones (principio de Zu Geng / Cavalieri). Colocando el cono junto al cilindro de la misma base y altura y cortando a una altura $x$ del vértice: la sección del cono es un círculo de radio $r x / h$ y área $\pi r^2 x^2/h^2$ , que crece con $x$ de forma cuadrática, mientras que la sección del cilindro es siempre $\pi r^2$ . Sumando (integrando):

V_{\text{cono}} = \int_0^h \pi r^2 \frac{x^2}{h^2}\,\mathrm dx = \pi r^2 \cdot \frac{h^3}{3h^2} = \tfrac13 \pi r^2 h

Analogía con las pirámides. Un cubo puede cortarse en tres pirámides cuadrangulares congruentes (con el vértice en el centro del cubo), así que el volumen de una pirámide es $\tfrac13$ del prisma de la misma base y altura; cambiando la base cuadrada por un círculo, la conclusión no varía (Euclides demostró en los Elementos, libro XII, proposición 10, con el método de exhaución que el cono es un tercio del cilindro).

Comprobación práctica. Con un recipiente cónico de la misma base y altura que uno cilíndrico, verter agua del cono al cilindro llena este exactamente en tres veces: el experimento clásico de aula.

Por qué el desarrollo lateral del cono es un sector circular

Si se corta la superficie lateral del cono a lo largo de una generatriz y se aplana, el vértice se convierte en el centro de un sector circular y todas las generatrices miden $l$ , así que el radio del sector es $l$ ; la circunferencia de la base se transforma en el arco del sector, de longitud $2\pi r$ . El área del sector $= \tfrac12 \times \text{arco} \times \text{radio} = \tfrac12 \times 2\pi r \times l = \pi r l$ . El ángulo central del sector (en radianes) $= 2\pi r / l$ ; de ahí salen los $216^\circ$ del ejemplo 2 en la parte derecha de la figura 1. La deducción completa de la longitud de arco, el área del sector y el sistema en radianes está en longitud de arco y sector; aquí solo se usan los resultados.

La generatriz: un triángulo rectángulo

Al cortar el cono por su eje, la sección es un triángulo isósceles cuya mitad es un triángulo rectángulo: los dos catetos son $r$ y $h$ y la hipotenusa es la generatriz $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ . Esto no es más que el teorema de Pitágoras. En el ejemplo 2 se eligieron $r = 3$ y $h = 4$ precisamente para que $l = 5$ fuera entero.

Leyes de escala

Si el radio y la altura se multiplican a la vez por $k$ , la superficie se multiplica por $k^2$ y el volumen por $k^3$ : el volumen del cilindro con $r = 6$ y $h = 20$ es 2261.94671058, 8 veces el del ejemplo 1. Si solo se multiplica el radio, el volumen crece como $r^2$ (cambiando en el ejemplo 1 a $r = 6$ se multiplica por 4) y si solo se multiplica la altura, crece linealmente con $h$ : estas dos reglas son las que usan las fábricas de conservas al cambiar el tamaño de los envases.

Supuestos

Cilindro y cono rectos: el eje es perpendicular a la base. Las fórmulas del volumen siguen valiendo para cilindros y conos oblicuos (las mismas áreas de sección), pero las de la superficie no.
El cono es completo: del vértice a la base. Un tronco de cono requiere $V = \tfrac13\pi h (R^2 + Rr + r^2)$ y queda fuera del alcance de esta calculadora.
La superficie es la total: el cilindro incluye las dos bases y el cono, una. Para recipientes abiertos hay que restar según el paso 4.
Espesor de pared nulo: se calcula el volumen geométrico o la superficie exterior, sin distinguir diámetro interior y exterior.
Misma unidad: $r$ y $h$ comparten unidad; el volumen es su cubo y el área, su cuadrado.
Criterio del despeje: solo se admite despejar el radio a partir del volumen del cilindro y la altura; al hacerlo, los otros tres campos se calculan con radio 0 y muestran 0.

Alcance y limitaciones

Puede calcular: el volumen y la superficie total del cilindro y del cono para cualesquiera $r$ y $h$ positivos; el radio a partir del volumen del cilindro y la altura.
Solo aproximado: los recipientes reales tienen paredes, esquinas redondeadas y deformaciones por estirado; la capacidad nominal de una lata de refresco puede diferir varios puntos porcentuales de su volumen geométrico.
No puede calcular: troncos de cono, cilindros oblicuos, el volumen de la pared de un tubo hueco (cilindro exterior menos interior, se pueden calcular por separado y restar) ni los despejes del cono (obtener $r$ o $h$ a partir del volumen del cono exige calcular a mano $r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ), ni despejar nada a partir de la superficie.
No hace: no muestra magnitudes intermedias como la generatriz, el área lateral, el área de la base o el ángulo central del sector desarrollado; si se necesitan, se calculan a mano con las fórmulas.
Valores: con $r$ y $h$ muy grandes o muy pequeños los resultados se muestran en notación científica (valor absoluto $\ge 10^{12}$ o $< 10^{-8}$ ).

Errores habituales

Tomar el diámetro por el radio: lo que se mide suele ser el diámetro $d$ , y el volumen es $\pi (d/2)^2 h = \pi d^2 h/4$ . Introducir $d$ directamente en «radio» multiplica el volumen por 4.
Tomar la generatriz por la altura: la altura del cono es la distancia perpendicular del vértice al centro de la base; lo que se mide en un cucurucho de papel es la generatriz $l$ , y la altura se obtiene con $h = \sqrt{l^2 - r^2}$ .
Olvidar dividir entre 3 el volumen del cono: $\pi r^2 h$ es el volumen del cilindro de la misma base y altura.
Contar mal las bases en la superficie: un cubo sin tapa solo tiene una base, $S = \pi r^2 + 2\pi r h$ ; una tienda de campaña cónica no tiene base, solo el área lateral $\pi r l$ .
Convertir unidades de volumen por 10: 1 m = 100 cm, pero 1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L; el factor de conversión del volumen es el cubo del factor de conversión de longitud.
Tomar los tres ceros del modo de despeje por resultados: son el valor de reserva del motor para el radio sin rellenar; basta con introducir de vuelta el radio.

Casos de uso típicos

Capacidad de recipientes

Vasos, depósitos de agua, bidones de aceite y silos (cilindro + tejado cónico, calculando los dos tramos por separado y sumándolos); a partir de una capacidad y una altura objetivo, despejar el radio necesario.

Cantidad de material

Superficie de chapa de un depósito cilíndrico (superficie total), área de pintura del exterior de una tubería (área lateral), superficie de tela o de chapa de una tienda cónica o un embudo (área lateral del cono $\pi r l$ ).

Ingeniería y movimiento de tierras

Estimación del volumen de un montón cónico de arena o de carbón (midiendo el perímetro de la base se obtiene $r$ , y midiendo la altura, $h$ ); volumen de hormigón de un pilote (cilindro).

Docencia

Experimentar que «el cono es un tercio del cilindro», las leyes de escala cuadrática y cúbica y la relación entre el desarrollo lateral y el sector circular; junto con longitud de arco y sector, calcular el ángulo central del sector desarrollado.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se obtiene por separado el área lateral del cilindro?

Restando a la superficie del cilindro las dos bases: $S_{\text{cil}} - 2\pi r^2 = 2\pi r h$ . En el ejemplo 1, $245.04 - 56.55 = 188.50$ .

¿El área lateral del cono y el ángulo central del sector desarrollado?

El área lateral es $\pi r l = S_{\text{cono}} - \pi r^2$ ; el ángulo central es $\theta = 2\pi r / l$ (radianes) $= 360^\circ \cdot r / l$ . Ejemplo 2: $216^\circ$ ; ejemplo 1: $103.45^\circ$ .

Con un volumen fijo, ¿cómo gastar el mínimo material en un cilindro?

Con un volumen $V$ fijo, la superficie total $2\pi r^2 + 2V/r$ es mínima cuando $h = 2r$ (la altura igual al diámetro). El ejemplo 4 y el ejemplo 1 tienen el mismo volumen: la superficie de $r = 3$ , $h = 10$ (245) es menor que la de $r = 6$ , $h = 2.5$ (320), pero todavía no es la óptima; el óptimo es $r = \sqrt[3]{45} \approx 3.557$ y $h \approx 7.11$ . Las latas reales son más altas y esbeltas porque la chapa de la tapa es más gruesa y el coste se cuenta aparte.

Conocido el volumen del cono, ¿cómo se despeja el radio?

$r = \sqrt{3V/(\pi h)}$ ; el motor no ofrece este despeje, hay que calcularlo a mano e introducirlo.

¿Cómo se calcula un tronco de cono?

$V = \tfrac13\pi h(R^2 + Rr + r^2)$ , área lateral $\pi (R + r)\,l$ y $l = \sqrt{(R-r)^2 + h^2}$ . Esta calculadora no lo admite, pero se puede resolver restando «el cono grande menos el cono pequeño» en dos pasos.

¿Qué relación tienen la semiesfera, la esfera, el cilindro y el cono?

El volumen de la esfera de radio $r$ es $\tfrac43\pi r^3$ , exactamente $\tfrac23$ del cilindro de altura $h = 2r$ , $2\pi r^3$ ; el volumen del cono del mismo radio con $h = r$ es $\tfrac13\pi r^3$ , la mitad de la semiesfera $\tfrac23\pi r^3$ . Arquímedes consideraba «cono : esfera : cilindro = 1 : 2 : 3» (con $h = 2r$ ) su descubrimiento más logrado.

Referencias y lecturas

Definición cylinder-cone en el código del motor de CalcX src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) produce cylVol / cylSurf / coneVol / coneSurf y admite el despeje de r a partir de cylVol y h); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor.
Wikipedia, Cylinder（访问日期：2026-09-09）— volumen, superficie y notas sobre el cilindro oblicuo.
Wikipedia, Cone — Volume（访问日期：2026-09-09）— deducción del volumen del cono por integración y generatriz.
Euclides, Elementos, Libro XII, proposición 10, edición comentada de D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）— demostración por exhaución de que «todo cono es un tercio del cilindro de la misma base y altura».
Wikipedia, Cavalieri's principle（访问日期：2026-09-09）— principio de Zu Geng: si las secciones a la misma altura tienen la misma área, los volúmenes son iguales.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time — definiciones de las magnitudes y unidades de longitud, área y volumen.
Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes — texto clásico sobre la razón entre los volúmenes de la esfera, el cilindro y el cono.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09