Calculadora de polígonos regulares: área y ángulos

Descripción de la calculadora

La calculadora de polígonos regulares, a partir del número de lados $n$ y de la longitud del lado $s$ , da el área del polígono regular $A = \dfrac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}$ , el perímetro $P = ns$ y cada ángulo interior $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}$ ; también puede despejar la longitud del lado a partir del área y del número de lados.

«Polígono regular» significa un polígono con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, hexágono regular (tuercas, panales), octógono regular (señales de stop)… Basta con que la figura cumpla esas dos condiciones para que midiendo un lado se sepa todo lo demás. Esta página enlaza la «geometría de primaria» del triángulo y el cuadrado con la circunferencia (el límite cuando $n \to \infty$ ) y es el punto de partida para entender «aproximar el círculo con polígonos».

Lo que no hace: no trata polígonos irregulares (las figuras con lados o ángulos distintos deben dividirse en triángulos y calcularse uno a uno), no trata polígonos estrellados ni convierte unidades: el área se expresa en el cuadrado de la unidad con que se mida el lado.

Fórmula y variables

Sea un polígono regular de $n$ lados con longitud de lado $s$ , sea $R$ la distancia del centro a cada vértice (radio de la circunferencia circunscrita) y sea $a$ la distancia del centro al punto medio de cada lado (apotema, radio de la circunferencia inscrita):

A = \frac{n\,s^2}{4\tan(\pi/n)},\qquad P = n\,s,\qquad \theta_{\text{int}} = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}

Tres magnitudes auxiliares y dos formas equivalentes del área (la calculadora solo usa internamente la primera; las demás sirven para el cálculo a mano y la comprobación):

a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)},\qquad A = \tfrac{1}{2}\,P\,a = \tfrac{1}{2}\,n\,R^2 \sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)

Despeje del lado a partir del área:

s = \sqrt{\frac{4A\tan(\pi/n)}{n}}

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$n$	número de lados	número de lados n	unidades	entero, $n \ge 3$ ; predeterminado 6. El campo tiene la indicación `min: 3`, pero el motor no impide valores no enteros
$s$	longitud del lado	lado s	longitud	$s > 0$ ; predeterminado 5
$A$	área	área	longitud²	salida; entrada en modo de despeje
$P$	perímetro	perímetro	longitud	salida, $P = ns$
$\theta_{\text{int}}$	ángulo interior	ángulo interior (°)	grados	salida, $(n-2)\cdot 180^\circ/n$ , tiende a 180° cuando $n$ crece
$a$	apotema (radio de la circunferencia inscrita)	(no se muestra)	longitud	distancia perpendicular del centro al lado; la «altura» al calcular el área a mano
$R$	radio de la circunferencia circunscrita	(no se muestra)	longitud	distancia del centro a un vértice; en el hexágono regular se cumple $R = s$
$\pi/n$	mitad del ángulo central	(magnitud intermedia)	radianes	el $\tan(\pi/n)$ de la fórmula va en radianes; a mano, en grados se escribe $\tan(180^\circ/n)$

Cómo calcular en esta calculadora

Abrir el panelesta página corresponde a «Herramientas de matemáticas → Fórmulas → Polígono regular» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.regular-polygon). Al abrirla, «número de lados n» = 6 y «lado s» = 5 ya están rellenos, y el área, el perímetro y el ángulo interior se calculan de inmediato.
Hallar área, perímetro y ángulo interiorcambia el número de lados y la longitud del lado; los que llevan la etiqueta «Entrada» son los que introduces y los tres campos con la etiqueta «Calcular» se actualizan al instante. Introduce un número entero de 3 o más lados.
Despejar el lado a partir del áreavacía «lado s», introduce el área conocida en «área» y conserva el «número de lados n»; el campo del lado pasa a «Calcular» y muestra el resultado. Ten en cuenta que entonces el «perímetro» muestra 0 (el motor calcula el perímetro con el lado sin rellenar tomado como 0 y el lado despejado no se escribe de vuelta); introduce el resultado a mano en el campo del lado para ver el perímetro.
Leer los resultadoslos valores conservan como máximo 8 decimales y eliminan los ceros finales; por ejemplo, el área de un hexágono regular de lado 5 muestra 64.95190528; cuando $n$ es entero, el ángulo interior suele ser entero o decimal finito (108 en el pentágono regular, 128.57142857 en el heptágono regular).
Copiar la fórmulael botón de copiar situado a la derecha del título del panel copia el texto de la fórmula A = n×s²/(4tan(π/n)) al portapapeles.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos se han recalculado con el método compute del motor regular-polygon; el criterio de presentación es de 8 decimales como máximo, sin ceros finales.

Ejemplo 1: entradas predeterminadas, hexágono regular de lado 5

Entradas: $n = 6$ , $s = 5$ .

Mitad del ángulo central $\pi/6 = 30^\circ$ , $\tan 30^\circ = 0.57735027$ .
Área $A = \dfrac{6 \times 25}{4 \times 0.57735027} = \dfrac{150}{2.30940108} = 64.95190528$ .
Perímetro $P = 6 \times 5 = 30$ .
Ángulo interior $= (6-2)\times 180^\circ / 6 = 120^\circ$ .

La interfaz muestra: área 64.95190528, perímetro 30, ángulo interior 120. Comprobación a mano: apotema $a = 5/(2\tan 30^\circ) = 4.33012702$ y área $= \tfrac12 \times 30 \times 4.33012702 = 64.95190528$ , coinciden; radio de la circunferencia circunscrita $R = 5/(2\sin 30^\circ) = 5 = s$ : el hexágono regular es el único polígono regular en el que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado, porque se compone de 6 triángulos equiláteros.

Figura 1: el hexágono regular del ejemplo 1. Área = 6 triángulos isósceles de «base s y altura a»

Ejemplo 2: triángulo equilátero y cuadrado — comprobación con fórmulas conocidas

Con $n = 3$ y $s = 4$ :

$\tan(\pi/3) = \tan 60^\circ = 1.73205081$ .
$A = \dfrac{3 \times 16}{4 \times 1.73205081} = \dfrac{48}{6.92820323} = 6.92820323$ .

La interfaz muestra: área 6.92820323, perímetro 12, ángulo interior 60. Coincide con la fórmula de secundaria $\dfrac{\sqrt 3}{4}s^2 = \dfrac{\sqrt 3}{4}\times 16 = 4\sqrt 3 = 6.92820323$ .

Con $n = 4$ y $s = 4$ : $\tan 45^\circ = 1$ , $A = 4 \times 16 / 4 = 16 = s^2$ ; la interfaz muestra área 16, perímetro 16, ángulo interior 90: la fórmula del cuadrado $s^2$ es el caso particular de la fórmula general cuando $n = 4$ .

Ejemplo 3: la señal de stop — octógono regular de lado 10

Entradas: $n = 8$ , $s = 10$ .

$\tan(\pi/8) = \tan 22.5^\circ = 0.41421356 = \sqrt 2 - 1$ .
$A = \dfrac{8 \times 100}{4 \times 0.41421356} = \dfrac{800}{1.65685425} = 482.84271247$ .
$P = 80$ , ángulo interior $= 6 \times 180^\circ / 8 = 135^\circ$ .

La interfaz muestra: área 482.84271247, perímetro 80, ángulo interior 135. En forma cerrada, $A = 2(1+\sqrt 2)s^2 = 200(1+\sqrt 2) = 482.84271247$ . Si el lado se mide en centímetros, una señal así tiene un área de unos 0.048 m²; la apotema es $a = 10/(2\tan 22.5^\circ) = 12.07106781$ , de modo que la «distancia entre caras» (la forma de medir de una llave) es $2a = 24.14$ .

Ejemplo 4: despeje del lado y aproximación al círculo con n muy grande

Entradas: área $A = 100$ , $n = 6$ (vaciando el lado).

$s = \sqrt{\dfrac{4 \times 100 \times \tan 30^\circ}{6}} = \sqrt{\dfrac{230.94010768}{6}} = \sqrt{38.49001795} = 6.20403239$ .

La interfaz muestra: lado s 6.20403239 y ángulo interior 120; el «perímetro» muestra 0 (véase el criterio del paso 3). Si se introduce 6.20403239 a mano en el campo del lado, el perímetro muestra 37.22419436.

Con $n = 360$ y $s = 1$ : área 10312.97851164, perímetro 360, ángulo interior 179. El área del círculo con ese mismo perímetro 360 es $360^2/(4\pi) = 10313.24031235$ : el polígono solo es un 0.0025 % menor que el círculo; cuantos más lados, más indistinguibles son el polígono regular y el círculo, que es justamente la idea con la que Arquímedes acotó $\pi$ con un polígono de 96 lados.

Las entradas del ejemplo 1 pueden introducirse directamente en el panel para reproducirlo; cambia el número de lados de 6 a 8, 12 y 100 y observa cómo el ángulo interior se acerca a 180° y el área se aproxima cada vez más a la del «círculo con el mismo perímetro».

Fundamentos y deducción

Dividir en n triángulos isósceles

Si se unen el centro del polígono regular de $n$ lados con cada vértice se obtienen $n$ triángulos isósceles congruentes: la base es $s$ , los dos lados iguales son $R$ y el ángulo del vértice es el ángulo central que resulta de repartir 360° en $n$ partes, $2\pi/n$ . Si desde el centro se traza la perpendicular a la base, cada triángulo isósceles se divide en dos triángulos rectángulos cuyos catetos son $s/2$ y la apotema $a$ , y cuyo ángulo agudo es $\pi/n$ . Por tanto,

\tan\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{a}\;\Rightarrow\; a = \frac{s}{2\tan(\pi/n)},\qquad \sin\frac{\pi}{n} = \frac{s/2}{R}\;\Rightarrow\; R = \frac{s}{2\sin(\pi/n)}

El área de cada triángulo isósceles es $\tfrac12 s a$ y la de los $n$ juntos:

A = n \cdot \tfrac12 s a = \tfrac12 (ns)\,a = \tfrac12 P a = \frac{n s^2}{4\tan(\pi/n)}

La forma «área = perímetro × apotema ÷ 2» es completamente isomorfa a la del círculo $A = \tfrac12 \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$ : el círculo es el «polígono infinito» cuya apotema es el radio y cuyo perímetro es $2\pi r$ .

Por qué el ángulo interior es (n − 2)·180° / n

Si se trazan diagonales de un vértice a todos los demás, cualquier polígono de $n$ lados queda dividido en $n - 2$ triángulos; como los ángulos interiores de cada triángulo suman 180°, los del polígono suman $(n-2)\cdot 180^\circ$ . En un polígono regular todos los ángulos son iguales, así que basta repartir esa suma entre $n$ para obtener cada uno. Otra forma de verlo: cada ángulo exterior mide $360^\circ/n$ (al recorrer el polígono se gira en total 360°) y el ángulo interior es $180^\circ - 360^\circ/n$ , que simplificado coincide con la fórmula anterior. Para $n = 3, 4, 5, 6, 8$ se obtienen 60°, 90°, 108°, 120° y 135°.

Qué polígonos regulares permiten teselar el plano

Al juntar varios polígonos regulares iguales en un vértice, la suma de los ángulos interiores debe ser exactamente 360°. $360^\circ / \theta_{\text{int}}$ tiene que ser un número entero: el triángulo equilátero (6), el cuadrado (4) y el hexágono regular (3) lo cumplen; el pentágono regular $360/108 = 3.33$ y el octógono regular $360/135 = 2.67$ no, así que solo estos tres polígonos regulares teselan el plano por sí solos. Que el panal de abejas elija el hexágono regular no es casualidad: de los tres, es el que encierra la misma área con el perímetro más corto (la «conjetura del panal», demostrada por Hales en 1999).

Aproximación al círculo: del polígono a π

Con un perímetro $P$ fijo, el área del polígono regular de $n$ lados es $A_n = \dfrac{P^2}{4n\tan(\pi/n)}$ . Cuando $n \to \infty$ , $n\tan(\pi/n) \to \pi$ y por tanto $A_n \to P^2/(4\pi)$ , que es exactamente el área del círculo de perímetro $P$ . En el ejemplo 4, con $n = 360$ , la diferencia ya es solo del 0.0025 %. Arquímedes acotó en La medida del círculo con polígonos regulares inscritos y circunscritos de 96 lados que $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}$ , usando esta misma convergencia; el «método del corte del círculo» de Liu Hui obtuvo $\pi \approx 3.1416$ con un polígono de 3072 lados.

Partir del radio de la circunferencia circunscrita o de la apotema

Si en lugar del lado se conocen $R$ (por ejemplo, un polígono regular inscrito en una circunferencia) o $a$ (por ejemplo, la distancia entre caras de una tuerca), se puede convertir primero a la longitud del lado y usar la calculadora: $s = 2R\sin(\pi/n)$ , $s = 2a\tan(\pi/n)$ . Las fórmulas directas equivalentes son $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ y $A = na^2\tan(\pi/n)$ .

Supuestos

La figura es realmente un polígono regular: todos los lados iguales y todos los ángulos interiores iguales. Si solo se cumple una condición (por ejemplo, un rombo con lados iguales pero ángulos distintos), no se aplica.
Polígono convexo: las fórmulas son para polígonos regulares convexos; el «área» de polígonos estrellados como el pentagrama tiene otra definición y queda fuera.
Geometría plana: en el plano euclídeo; sobre una esfera los ángulos interiores de un polígono regular suman más.
Número de lados entero y no menor que 3: el motor no comprueba nada y la salida con $n$ no entero carece de significado geométrico.
Misma unidad: el lado, la apotema y el radio usan la misma unidad de longitud y el área es su cuadrado.
Criterio del despeje: al obtener el lado a partir del área, el campo del perímetro se calcula con el lado sin rellenar (0) y muestra 0; eso no significa que el perímetro sea cero.

Alcance y limitaciones

Puede calcular: el área, el perímetro y el ángulo interior de cualquier polígono regular con $n \ge 3$ a partir del lado; el lado a partir del área y del número de lados.
Solo aproximado: un polígono «regular» medido en la realidad siempre tiene errores de fabricación; el error relativo del área es el doble que el del lado ( $\Delta A/A \approx 2\,\Delta s/s$ ).
No puede calcular: polígonos irregulares (divídelos en triángulos o usa la «fórmula del cordón» con coordenadas), la entrada directa de $R$ o $a$ (conviértelos antes a $s$ con las fórmulas anteriores), polígonos estrellados ni áreas de poliedros tridimensionales.
No hace: no muestra magnitudes auxiliares como la apotema, el radio de la circunferencia circunscrita, los ángulos exteriores o el número de diagonales ( $n(n-3)/2$ ); si se necesitan, se calculan a mano con las fórmulas.
Valores: cuando $n$ es muy grande, $\tan(\pi/n)$ es muy pequeño; en doble precisión sigue habiendo más de 8 cifras significativas hasta $n$ del orden de $10^7$ , así que el uso cotidiano no se ve afectado.

Errores habituales

Usar grados a mano y escribir tan(π/n): $\pi/n$ está en radianes. Con una calculadora normal en modo grados hay que pulsar $\tan(180^\circ/n)$ ; en el hexágono se introduce $\tan(30^\circ)$ , no $\tan(0.5236^\circ)$ .
Tomar el radio de la circunferencia circunscrita por el lado: solo en el hexágono regular $R = s$ . En el cuadrado $R = s/\sqrt 2$ , en el triángulo equilátero $R = s/\sqrt 3$ y en el octógono regular $R = 1.3066\,s$ .
Tomar la «distancia entre caras» por el lado: la medida nominal de una tuerca (por ejemplo, los 17 mm de una tuerca M10) es la distancia entre caras $2a$ , no el lado. El lado es $s = 2a\tan(\pi/n)$ ; en el hexágono regular $s = 2a \times 0.57735 = 1.1547\,a$ : para una tuerca de 17 mm, $a = 8.5$ mm y el lado mide 9.81 mm.
Aplicar la fórmula a una figura irregular: un pentágono con los cinco lados iguales a 5 pero ángulos distintos tiene menos área que el pentágono regular; la fórmula solo vale para polígonos regulares.
Olvidar el cuadrado en las unidades del área: el área de un hexágono regular de lado 5 cm es 64.95 cm², no 64.95 cm.
Introducir un número de lados decimal o menor que 3: el motor calcula igualmente, pero el resultado no tiene sentido (véase el aviso que sigue al ejemplo 4).
Leer el perímetro 0 en modo de despeje: es un criterio de presentación, no un resultado; introduce de vuelta el lado despejado y aparecerá.

Casos de uso típicos

Docencia: del triángulo y el cuadrado al círculo

Comprueba primero las fórmulas conocidas con $n = 3$ y $4$ , y sube después $n$ hasta 100 y 1000 para ver cómo el ángulo interior tiende a 180° y el área se acerca a la del círculo con el mismo perímetro: una forma de experimentar el límite y el origen de $\pi$ .

Arquitectura y jardinería: glorietas, parterres, baldosas

Calcular el área del suelo de una glorieta hexagonal conociendo el lado (para el material del pavimento); el perímetro de un parterre octogonal (para el borde); decidir qué polígonos regulares permiten cubrir el suelo sin juntas (solo los de 3, 4 y 6 lados).

Mecánica y ferretería: tuercas y agujeros de eje

La tuerca es un hexágono regular: convertir la distancia entre caras en lado y área de la sección; lo mismo para los estriados o las bocas de llave octogonales y dodecagonales.

Señalización y diseño

Conversión de medidas y estimación de áreas para señales de stop (octógono regular), motivos de panal (hexágono regular) y emblemas (pentágono y decágono regulares).

Preguntas frecuentes

Conocido el radio de la circunferencia circunscrita R, ¿cómo se calcula el área?

Con $A = \tfrac12 nR^2\sin(2\pi/n)$ o calculando antes el lado $s = 2R\sin(\pi/n)$ e introduciéndolo en la calculadora. En el hexágono regular con $R = 5$ , $s = 5$ y el área es 64.95.

¿Y si lo que se conoce es la apotema (radio de la circunferencia inscrita) a?

$A = na^2\tan(\pi/n)$ , o bien $s = 2a\tan(\pi/n)$ . En el hexágono regular con $a = 4.3301$ , $s = 5$ .

¿Por qué el ángulo interior muestra decimales como 128.57142857?

El ángulo interior del heptágono regular es $= 5 \times 180^\circ / 7 = 900^\circ/7$ , que no es entero; el ángulo interior solo es entero cuando $n$ divide a 360 ( $n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, \dots$ ).

¿Qué tiene más área, un polígono regular o un círculo?

Con el mismo perímetro, el círculo es el que más área tiene; cuanto más lados tiene el polígono regular, más se acerca al círculo (desigualdad isoperimétrica). En el ejemplo 4, el polígono de 360 lados solo es un 0.0025 % menor que el círculo.

¿Se pueden calcular polígonos irregulares?

No. Si se conocen las coordenadas de los vértices, se usa la fórmula del cordón $A = \tfrac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ ; si se conocen lados y ángulos, se divide en triángulos.

¿Qué pasa si se introduce 2 o 1 como número de lados?

Con $n = 2$ , $\tan(\pi/2)$ es infinito, el área es 0 y el ángulo interior es 0; con $n = 1$ , $\tan\pi = 0$ y el área es infinita. Ninguno tiene significado geométrico; el valor mínimo que indica el campo es 3.

Referencias y lecturas

Definición regular-polygon en el código del motor de CalcX src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) admite area / perimeter / intAngle y despeja s a partir de area); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor.
Wikipedia, Regular polygon（访问日期：2026-09-09）— distintas fórmulas equivalentes del área, la apotema y el radio de la circunferencia circunscrita.
Wikipedia, Apothem（访问日期：2026-09-09）— deducción de $A = \tfrac12 Pa$ .
Euclides, Elementos, Libro IV, edición comentada de D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-09）— construcciones con regla y compás de polígonos regulares inscritos y circunscritos a una circunferencia.
Wikipedia, Honeycomb conjecture（访问日期：2026-09-09）— el hexágono regular es el de menor perímetro en una partición de igual área; demostrado por Hales en 1999.
Wikipedia, Euclidean tilings by convex regular polygons（访问日期：2026-09-09）— solo el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular teselan el plano por sí solos.
La medida del círculo de Arquímedes, proposición 3, y el método del corte del círculo en el comentario de Liu Hui a Los nueve capítulos del arte matemático — textos clásicos que aproximan el círculo con polígonos.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09