Calculadora de Pitágoras: hipotenusa, catetos y área

Descripción de la calculadora

La calculadora del teorema de Pitágoras obtiene el tercer lado de un triángulo rectángulo a partir de dos cualesquiera de sus lados: conocidos los dos catetos $a$ y $b$ , calcula la hipotenusa $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; conocidos la hipotenusa y un cateto, despeja el otro cateto; y además da el área del triángulo $ab/2$ .

Basta con que aparezca un ángulo recto —una pared y el suelo, la anchura y la altura de una pantalla, dos desplazamientos sobre los ejes de coordenadas, una escalera apoyada en el muro— para poder usarla: se miden dos lados y el tercero ya no hace falta medirlo. Es también el punto de partida de conceptos como la distancia entre dos puntos, el teorema del coseno o el módulo de un vector; quien lo entiende, entiende cómo se define la «longitud» en un sistema de coordenadas rectangulares.

Lo que no hace: no trata triángulos que no sean rectángulos (para eso están el teorema del coseno o el teorema del seno), no decide si tres lados dados pueden formar un triángulo y no convierte unidades: los tres lados deben usar la misma unidad de longitud.

Fórmulas y variables

Sea un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$ e hipotenusa $c$ (el lado opuesto al ángulo recto y también el más largo):

a^2 + b^2 = c^2

De ahí salen las tres direcciones de resolución y el área:

c = \sqrt{a^2 + b^2},\qquad a = \sqrt{c^2 - b^2},\qquad b = \sqrt{c^2 - a^2},\qquad S = \tfrac{1}{2}\,ab

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$a$	uno de los catetos	Cateto a	longitud	$a > 0$ ; por defecto 3
$b$	el otro cateto	Cateto b	longitud	$b > 0$ ; por defecto 4
$c$	hipotenusa	Hipotenusa c	longitud	$c > a$ y $c > b$ ; al despejar, si $c \le$ el cateto conocido no hay solución
$S$	área	Área	longitud²	salida, $S = ab/2$ , solo tiene sentido cuando se conocen los dos catetos

Los tres lados deben usar la misma unidad de longitud (todos metros, todos centímetros, todos píxeles…), y la unidad del área es esa unidad al cuadrado.

Cómo se usa esta calculadora

Abre el panelesta página corresponde a «Herramientas matemáticas → Fórmulas → Teorema de Pitágoras» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.pythagorean). Al abrirla, los dos primeros campos traen los valores por defecto $a = 3$ y $b = 4$ , y la hipotenusa y el área se calculan solas.
Calcular la hipotenusacambia «Cateto a» y «Cateto b»; los campos marcados como «entrada» son los que rellenas y los marcados como «calculado» se actualizan en tiempo real. La hipotenusa $c$ y el área aparecen a la vez.
Despejar un catetovacía «Cateto a» (o b), escribe la longitud de la hipotenusa en «Hipotenusa c» y deja el otro cateto; el lado vacío pasa a «calculado» y muestra el resultado.
Lee el resultadolos valores se muestran con un máximo de 8 decimales y sin ceros finales; por ejemplo, $\sqrt{2}$ aparece como 1.41421356. Si al despejar la hipotenusa no es mayor que el cateto conocido, el campo queda vacío: esas entradas no forman un triángulo rectángulo.
Copia la fórmulael botón de copiar a la derecha del título del panel copia al portapapeles el texto a² + b² = c², cómodo para pegar en un ejercicio o un documento.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos han sido recalculados por el método compute del motor pythagorean; el criterio de visualización es de 8 decimales como máximo y sin ceros finales.

Ejemplo 1: el clásico 3-4-5

Entradas: $a = 3$ , $b = 4$ .

$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$ .
$c = \sqrt{25} = 5$ .
Área $S = 3 \times 4 / 2 = 6$ .

La interfaz muestra: hipotenusa 5, área 6. Es la terna pitagórica entera más pequeña; el clásico chino Zhoubi Suanjing ya la recoge con la regla «tres para el cateto corto, cuatro para el largo y cinco para la hipotenusa».

Figura 1: el triángulo rectángulo del ejemplo 1. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto y siempre el más largo

Ejemplo 2: despejar un cateto conociendo la hipotenusa

Entradas: $c = 13$ , $b = 5$ (con a vacío).

$c^2 - b^2 = 169 - 25 = 144$ .
$a = \sqrt{144} = 12$ .

La interfaz muestra: cateto a 12. Ojo: en este caso el campo «Área» muestra 0, porque el motor solo calcula el área cuando los dos catetos son entradas; el $a$ despejado no participa en el área. Para ver el área, escribe 12 en «Cateto a» y vacía la hipotenusa: dará 30.

Ejemplo 3: el problema de la escalera

Una escalera de 6.5 m apoyada en una pared, con el pie a 2.5 m del muro: ¿a qué altura llega? Aquí la hipotenusa es la escalera y los catetos, la distancia al muro y la altura.

Entradas: $c = 6.5$ , $a = 2.5$ (con b vacío).

$c^2 - a^2 = 42.25 - 6.25 = 36$ .
$b = \sqrt{36} = 6$ .

La interfaz muestra: cateto b 6. A la inversa, conocidos 2.5 m de separación y 6 m de altura, con $a = 2.5$ y $b = 6$ se obtiene una hipotenusa de 6.5 y un área de 7.5.

Ejemplo 4: resultados irracionales y la diagonal de una pantalla

Entradas: $a = 1$ , $b = 1$ : $c = \sqrt{2}$ , la interfaz muestra 1.41421356 (8 decimales) y un área de 0.5. Es la primera longitud de la historia que se demostró que «no era una fracción».

Entradas: $a = 1920$ , $b = 1080$ (la anchura y la altura en píxeles de una pantalla 1080p): la diagonal mide 2202.90717008 píxeles. Si esa pantalla se anuncia como de 27 pulgadas (27 in de diagonal), con $c = 27$ y $b = 13.24$ (la altura) se despeja una anchura de 23.53088184 in: «27 pulgadas» se refiere a la diagonal, no a la anchura.

Las entradas del ejemplo 1 se pueden escribir directamente en el panel para reproducirlo; pon a y b en 1 y la hipotenusa pasa a ser 1.41421356.

Fundamentos y deducción

Por qué la suma de los cuadrados de los catetos es el cuadrado de la hipotenusa

La demostración más intuitiva es la de reordenación. Toma un cuadrado grande de lado $a + b$ y córtalo de dos maneras:

Primer corte: marca un punto en cada uno de los cuatro lados y divide el cuadrado grande en cuatro triángulos rectángulos congruentes (catetos $a$ y $b$ ) y un cuadrado inclinado en el centro. El lado de ese cuadrado inclinado es justamente la hipotenusa $c$ del triángulo rectángulo, así que su área es $c^2$ .
Segundo corte: junta los mismos cuatro triángulos de dos en dos para formar dos rectángulos de $a \times b$ y colócalos en dos esquinas del cuadrado grande; lo que queda son exactamente un cuadrado de $a \times a$ y otro de $b \times b$ , con un área total de $a^2 + b^2$ .

Los cuatro triángulos son idénticos en los dos cortes y el cuadrado grande también, de modo que las áreas restantes tienen que ser iguales: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Figura 2: dos cortes del mismo cuadrado de lado (a+b). Los cuatro triángulos son iguales, luego c² = a² + b²

La proposición 47 del libro I de los Elementos de Euclides ofrece otra demostración: levantar cuadrados sobre los tres lados y probar que la suma de las áreas de los dos pequeños es la del grande; la proposición 48 demuestra el recíproco: si un triángulo cumple $a^2 + b^2 = c^2$ , entonces es rectángulo. El recíproco es la base del truco de obra «3-4-5 para trazar un ángulo recto»: se miden tres longitudes de 3, 4 y 5 y el ángulo entre los dos lados menores es de 90° exactos.

En realidad es la definición de «distancia»

En un sistema de coordenadas rectangulares, los desplazamientos que llevan de $(x_1, y_1)$ a $(x_2, y_2)$ — $\Delta x$ y $\Delta y$ — son perpendiculares, así que la distancia en línea recta entre los dos puntos es la hipotenusa: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . Esa es la fórmula de la calculadora de distancia entre dos puntos; extenderla a tres dimensiones es aplicar Pitágoras una vez más (primero la diagonal de la base y después un nuevo triángulo rectángulo con la altura). El módulo de un vector, el módulo de un número complejo y la desviación típica de la estadística (la raíz de la suma de las desviaciones al cuadrado) son la misma expresión.

Relación con el teorema del coseno

Para cualquier triángulo, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Cuando el ángulo $C = 90°$ , se tiene $\cos C = 0$ y el último término desaparece: queda el teorema de Pitágoras. Así pues, el teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno; a la inversa, la comparación de $c^2$ con $a^2 + b^2$ permite saber si el ángulo es agudo ( $c^2 < a^2+b^2$ ) u obtuso ( $c^2 > a^2+b^2$ ).

Ternas pitagóricas

Los triángulos rectángulos con los tres lados enteros se llaman ternas pitagóricas. Las más pequeñas:

$(a, b, c)$	Comprobación
(3, 4, 5)	$9 + 16 = 25$
(5, 12, 13)	$25 + 144 = 169$
(8, 15, 17)	$64 + 225 = 289$
(7, 24, 25)	$49 + 576 = 625$
(20, 21, 29)	$400 + 441 = 841$

La fórmula de Euclides genera todas las ternas primitivas: con enteros positivos $m > n$ coprimos y de distinta paridad, se define $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ y $c = m^2 + n^2$ . Con $m = 2, n = 1$ sale (3, 4, 5), y con $m = 3, n = 2$ , (5, 12, 13). Cualquier terna escalada sigue siendo una terna: (6, 8, 10) y (0.3, 0.4, 0.5) también dan resultados redondos en la calculadora.

Historia

La tablilla babilónica Plimpton 322 (hacia el año 1800 a. C.) ya enumera muchas ternas pitagóricas; el Zhoubi Suanjing chino recoge la regla «tres, cuatro, cinco», y el capítulo «Gou Gu» del Jiuzhang Suanshu (Los nueve capítulos del arte matemático) sistematiza los métodos de resolución con este teorema; el «diagrama de la hipotenusa» que Zhao Shuang dibujó al comentarlo es precisamente la demostración por reordenación de arriba. A la escuela pitagórica (siglo VI a. C.) se le atribuye la primera demostración general y también, a raíz del descubrimiento de $\sqrt{2}$ , la constatación de que existen longitudes que no pueden escribirse como fracción. En la tradición china, «gou» y «gu» son los nombres antiguos de los dos catetos (el corto es el gou y el largo, el gu) y «xian» es la hipotenusa.

Solo vale en el plano

El teorema de Pitágoras es un teorema de la geometría plana euclídea. Sobre una esfera, dos arcos de círculo máximo perpendiculares $a$ y $b$ y el tercer lado $c$ cumplen $\cos c = \cos a \cos b$ (esfera unitaria), y solo se recupera aproximadamente $a^2 + b^2 = c^2$ cuando los tres lados son mucho menores que el radio. En un mapa se puede usar Pitágoras con tranquilidad dentro de unas decenas de kilómetros; para distancias entre continentes hay que usar la fórmula esférica.

Supuestos

Es realmente un triángulo rectángulo: el ángulo entre $a$ y $b$ es de 90° exactos. Con unos pocos grados de diferencia, la hipotenusa se aparta de $\sqrt{a^2+b^2}$ (el desvío puede estimarse con el teorema del coseno).
Geometría plana: los tres lados están en un mismo plano, y ese plano es euclídeo; sobre una superficie curva (la Tierra a gran escala) no se cumple.
La misma unidad: los tres lados se introducen en la misma unidad de longitud y la unidad del área es su cuadrado.
Reales positivos y finitos: los lados son positivos; el motor no impide los negativos ni el 0, pero un lado nulo o negativo no tiene significado geométrico.
Criterio del área: el área se calcula solo con los dos catetos que son entradas; en el modo de despeje el campo del área muestra 0, lo que no significa que el área sea cero.

Alcance y limitaciones

Sí calcula: el tercer lado y el área de cualquier triángulo rectángulo del que se conozcan dos lados, incluido el despeje de un cateto; el resultado se muestra con 8 decimales (sin ceros finales).
Solo aproxima: si las medidas llevan error, el error del resultado es aproximadamente $\Delta c \approx (a\,\Delta a + b\,\Delta b)/c$ ; los 8 decimales que se muestran no representan la precisión de la medida.
No calcula: triángulos no rectángulos (teorema del coseno), casos con un solo lado y un ángulo (trigonometría) ni «triángulos» sobre esferas o superficies curvas.
No hace: no comprueba si tres lados cumplen la desigualdad triangular, no convierte unidades y no devuelve ángulos.
Numérico: al elevar al cuadrado valores enormes (por ejemplo $10^{200}$ ) se desborda a infinito; el motor usa directamente $a^2 + b^2$ en lugar de un hypot numéricamente más estable, lo que no afecta a las magnitudes cotidianas.

Errores frecuentes

Escribir la hipotenusa en un campo de cateto: la hipotenusa es siempre el lado más largo y el opuesto al ángulo recto. Si se pone 5 en a y 3 en b, la «hipotenusa» 5.83 no es ninguno de los lados del triángulo original.
Despejar con una hipotenusa más corta que el cateto: $c^2 - b^2$ sale negativo y el resultado queda vacío. Comprueba antes cuál es la hipotenusa.
Mezclar unidades entre lados: uno en metros y otro en centímetros da un resultado sin sentido. Unifica las unidades antes de introducir los datos.
Olvidar la raíz cuadrada: $3^2 + 4^2 = 25$ es $c^2$ , no $c$ ; la calculadora ya hace la raíz, pero al calcular a mano es el paso que más se olvida.
Usarlo con triángulos no rectángulos: para un triángulo isósceles o cualquiera no sirve, salvo que antes se demuestre que tiene un ángulo recto.
El área 0 en el modo de despeje: véanse los supuestos; es el criterio del motor, no que el área sea cero.
Tomar «27 pulgadas» por la anchura: el tamaño nominal de pantallas y televisores es la diagonal; la anchura y la altura se deducen con Pitágoras y la proporción de aspecto.

Casos de uso típicos

Enseñanza: de los números a las figuras

Introduce primero varias ternas pitagóricas (3-4-5, 5-12-13) para ver resultados enteros, después 1-1 para ver $\sqrt{2}$ y, por último, fija $a$ y ve aumentando $b$ para observar cómo la hipotenusa se acerca a $b$ : es la forma más directa de sentir la suma de cuadrados, la raíz y el límite.

Obra y reformas: trazar ángulos rectos y medir diagonales

Mide 3 m y 4 m en el suelo: si la diagonal sale exactamente 5 m, hay un ángulo recto; al colocar baldosas o armar muebles, la diagonal sirve para comprobar que todo está a escuadra. A la inversa, conocidas la longitud y la anchura de una habitación, la calculadora da la diagonal para saber si un tablero entero entra en diagonal por la puerta.

Pantallas y formatos

Obtener la diagonal en píxeles a partir de la anchura y la altura (y combinarla con el tamaño nominal para calcular la densidad de píxeles, PPI), o deducir la anchura y la altura reales a partir de la diagonal en pulgadas y la proporción de aspecto.

Coordenadas y navegación

La distancia en línea recta entre dos puntos en coordenadas cartesianas, el desplazamiento resultante de dos ejes de un robot y el triángulo de impedancias de un circuito (resistencia, reactancia, impedancia) son aplicaciones directas del teorema de Pitágoras.

Preguntas frecuentes

¿Se puede calcular conociendo solo un lado y un ángulo?

Con esta calculadora, no: necesita dos lados. Con un lado y un ángulo agudo hay que usar trigonometría: cateto opuesto = hipotenusa × sen(ángulo), cateto contiguo = hipotenusa × cos(ángulo).

Si conozco los tres lados, ¿cómo sé si el triángulo es rectángulo?

Toma el lado más largo como $c$ y comprueba si $a^2 + b^2$ es igual a $c^2$ (con un margen para el error de medida). Si coinciden, es rectángulo (recíproco); si la suma se queda corta, es obtusángulo, y si se pasa, acutángulo.

¿Por qué el resultado tiene tantos decimales?

La hipotenusa de la mayoría de los triángulos rectángulos es un número irracional con infinitos decimales no periódicos; la interfaz conserva un máximo de 8 y elimina los ceros finales. En la práctica, basta con redondear según la precisión de la medida.

¿Por qué el área muestra 0 al despejar?

Porque el motor calcula el área solo con los dos catetos que son entradas y el lado despejado no se rellena. Si copias el resultado en el campo del cateto y vacías la hipotenusa, el área se muestra correctamente.

¿Qué pasa si introduzco números negativos?

Al elevarlos al cuadrado se pierde el signo, la hipotenusa sale igual que con números positivos y el área se vuelve negativa. Una longitud negativa no tiene sentido geométrico: introduce valores positivos.

¿Cómo se calcula una diagonal en tres dimensiones?

Calcula primero la diagonal de la base con dos de sus lados y vuelve a aplicar Pitágoras con esa diagonal y la altura; o usa directamente la calculadora de distancia entre dos puntos con coordenadas tridimensionales.

Referencias y lecturas adicionales

Definición pythagorean del código del motor de CalcX, src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) resuelve a / b / c en las tres direcciones y el área); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor.
Euclides, Elementos, libro I, Proposición 47 y proposición 48, edición comentada por D. E. Joyce, Clark University（访问日期：2026-09-08）— la demostración clásica del teorema y de su recíproco.
Wikipedia, Pythagorean theorem（访问日期：2026-09-08）— diversas demostraciones, generalizaciones e historia.
Wikipedia, Pythagorean triple（访问日期：2026-09-08）— la fórmula generadora de Euclides y las ternas primitivas.
Wikipedia, Zhoubi Suanjing（访问日期：2026-09-08）— el Zhoubi Suanjing y la regla «tres, cuatro, cinco».
Jiuzhang Suanshu (Los nueve capítulos del arte matemático), libro IX, «Gou Gu», con los comentarios de Liu Hui, y el comentario de Zhao Shuang al Zhoubi Suanjing, el «diagrama de la hipotenusa»: las fuentes clásicas de la demostración por reordenación.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09