Calculadora de distancia 2D/3D y punto medio

Descripción de la calculadora

La calculadora de distancia entre dos puntos toma las coordenadas cartesianas $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ y obtiene la distancia en línea recta entre ellos (distancia euclídea) $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ , además de las coordenadas $x$ e $y$ del punto medio del segmento. Si se ponen los dos $z$ en 0, es la distancia entre dos puntos del plano.

Problemas para los que sirve: cuánto distan dos puntos de un mapa o de un plano, la separación entre dos píxeles de la pantalla, el desplazamiento entre dos posiciones del extremo de un brazo robótico, la longitud de una arista entre dos vértices de un modelo 3D o «cuánto se parecen» dos muestras en análisis de datos. Todo lo que se pueda escribir como coordenadas se puede medir con esta herramienta.

Lo que no hace: no calcula el recorrido por una carretera o una cuadrícula (eso es la distancia Manhattan o la planificación de rutas), no calcula la distancia de círculo máximo entre dos puntos de la superficie terrestre (para latitud y longitud se necesita la fórmula esférica), no devuelve la coordenada $z$ del punto medio y no convierte unidades: todas las coordenadas deben usar la misma unidad de longitud.

Fórmulas y variables

Distancia euclídea entre dos puntos del espacio tridimensional:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Cuando $z_1 = z_2$ (por ejemplo, ambos 0) se reduce a la fórmula de la distancia en el plano: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ . El punto medio del segmento es la media aritmética de las coordenadas de los extremos:

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2}\right)

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$x_1, y_1, z_1$	Coordenadas del primer punto	x₁, y₁, z₁	longitud	Cualquier número real; por defecto (0, 0, 0); en problemas planos z₁ = 0
$x_2, y_2, z_2$	Coordenadas del segundo punto	x₂, y₂, z₂	longitud	Cualquier número real; por defecto (3, 4, 0); en problemas planos z₂ = 0
$\Delta x, \Delta y, \Delta z$	Diferencias entre coordenadas	(valores intermedios)	longitud	El signo no importa: desaparece al elevar al cuadrado
$d$	Distancia entre los dos puntos	Distancia d	longitud	Salida, $d \ge 0$ ; es 0 si los puntos coinciden
$M_x, M_y$	Coordenadas x e y del punto medio	Punto medio X, Punto medio Y	longitud	Salida; el motor no da la $z$ del punto medio, hay que calcular $(z_1+z_2)/2$ a mano

Las seis coordenadas deben usar la misma unidad de longitud; la distancia queda en esa misma unidad.

Cómo se usa esta calculadora

Abre el panelesta página corresponde a «Herramientas de matemáticas → Fórmulas → Calculadora de distancia (2D/3D)» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.distance). Al abrirlo solo están rellenos x₁ = 0 e y₁ = 0; las otras cuatro coordenadas están vacías y cuentan como 0, así que la distancia inicial que se muestra es 0: rellena las seis coordenadas.
Introduce los dos puntosen problemas planos pon z₁ y z₂ en 0; en problemas tridimensionales, la altura real. Las coordenadas pueden ser negativas y decimales.
Lee la distancia«Distancia d» se actualiza en tiempo real con la etiqueta «calculado», con un máximo de 8 decimales y sin ceros finales.
Lee el punto medio«Punto medio X» y «Punto medio Y» son la media de las coordenadas correspondientes de los extremos; para la $z$ del punto medio en problemas tridimensionales, calcula $(z_1 + z_2)/2$ por tu cuenta.
Compruebasi intercambias los dos puntos, ni la distancia ni el punto medio cambian; si pones las mismas coordenadas en ambos, la distancia debe ser 0.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos se han recalculado con el compute del motor distance; el criterio de visualización es de hasta 8 decimales sin ceros finales.

Ejemplo 1: del origen a (3, 4, 12)

Datos: $(0, 0, 0)$ y $(3, 4, 12)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 12$ .
Suma de cuadrados: $9 + 16 + 144 = 169$ .
$d = \sqrt{169} = 13$ ; punto medio $(1.5, 2, 6)$ .

La pantalla muestra: Distancia 13, Punto medio X 1.5, Punto medio Y 2. Este ejemplo se puede ver como dos veces el teorema de Pitágoras: la diagonal de la base es $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , y con la altura 12 forma un nuevo triángulo rectángulo, $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ .

Figura 1: la distancia tridimensional es la diagonal espacial del ortoedro, igual a aplicar otra vez Pitágoras a la diagonal de la base

Ejemplo 2: (1, 2) y (4, 6) en el plano

Datos: $(1, 2, 0)$ y $(4, 6, 0)$ .

$\Delta x = 3$ , $\Delta y = 4$ , $\Delta z = 0$ .
$d = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; punto medio $\big((1+4)/2, (2+6)/2\big) = (2.5, 4)$ .

La pantalla muestra: Distancia 5, Punto medio X 2.5, Punto medio Y 4. Comparación: recorriendo la cuadrícula (3 en horizontal y luego 4 en vertical) la distancia Manhattan es 7, y la distancia en línea recta, 5, nunca es mayor.

Ejemplo 3: puntos tridimensionales con coordenadas negativas

Datos: $(-2, 3, 1)$ y $(4, -1, 5)$ .

$\Delta x = 4 - (-2) = 6$ , $\Delta y = -1 - 3 = -4$ , $\Delta z = 5 - 1 = 4$ .
Suma de cuadrados: $36 + 16 + 16 = 68$ .
$d = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8.2462$ ; punto medio $(1, 1, 3)$ .

La pantalla muestra: Distancia 8.24621125, Punto medio X 1, Punto medio Y 1. El signo negativo desaparece al elevar al cuadrado: a la distancia solo le importa el tamaño de la diferencia entre coordenadas.

Ejemplo 4: diagonales del cuadrado y del cubo unitarios

Con $(0, 0, 0)$ y $(1, 1, 0)$ : distancia 1.41421356 ( $\sqrt 2$ ). Con $(0, 0, 0)$ y $(1, 1, 1)$ : distancia 1.73205081 ( $\sqrt 3$ ). La diagonal del cubo unitario de $n$ dimensiones es $\sqrt n$ : cuanto más alta es la dimensión, más larga es la diagonal en relación con la arista.

Los datos del ejemplo 1 se pueden introducir directamente en el panel para reproducirlo; pon z₂ en 0 y la distancia vuelve a ser 5 en el plano.

Fundamentos y deducción

Del teorema de Pitágoras a la fórmula de la distancia

En el plano, con dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ , se traza la horizontal por $P_1$ y la vertical por $P_2$ , que se cortan en $Q(x_2, y_1)$ . $P_1 Q$ mide $|\Delta x|$ y $Q P_2$ mide $|\Delta y|$ ; como son perpendiculares, $P_1 P_2$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo: $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ . Es el teorema de Pitágoras con otro lenguaje.

En tres dimensiones se aplica otra vez: primero se obtiene la diagonal de la base $z = z_1$ como $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ ; como es perpendicular a la dirección vertical $\Delta z$ , resulta $d^2 = (\Delta x^2 + \Delta y^2) + \Delta z^2$ . Cada dimensión perpendicular añade un término cuadrado dentro de la raíz: por eso la distancia euclídea en un espacio de $n$ dimensiones es $\sqrt{\sum_i (\Delta x_i)^2}$ , y la «distancia» entre dos vectores de 100 características en ciencia de datos sigue usando la misma fórmula.

Por qué el punto medio es la media

Al avanzar por el segmento desde $P_1$ hasta $P_2$ , la coordenada pasa de $x_1$ a $x_2$ de forma lineal; al llegar a la mitad, cada coordenada está justo en el centro entre ambos extremos, es decir, $(x_1 + x_2)/2$ . En general, el punto del segmento a una proporción $t$ es $P_1 + t\,(P_2 - P_1)$ ; $t = 1/2$ da el punto medio y $t = 1/3$ , el que divide el segmento en tres partes: es la forma geométrica de la proporción y de la interpolación lineal.

Qué debería cumplir una «distancia»

En matemáticas se llama distancia (métrica) a cualquier función que cumpla estas cuatro propiedades: no ser negativa; valer 0 si y solo si los puntos coinciden; ser simétrica ( $d(P, Q) = d(Q, P)$ ); y cumplir la desigualdad triangular ( $d(P, R) \le d(P, Q) + d(Q, R)$ : dar un rodeo no acerca). La distancia euclídea cumple las cuatro, y es la formulación precisa de la intuición «el camino más corto es la línea recta». La desigualdad triangular explica por qué en el ejemplo 2 la distancia Manhattan, 7, es mayor que la distancia en línea recta, 5.

Más allá de la distancia euclídea

Distancia Manhattan $|\Delta x| + |\Delta y|$ : el recorrido cuando solo se puede avanzar por una cuadrícula (un tablero de ajedrez, manzanas de una ciudad, cierto cableado de circuitos).
Distancia de Chebyshov $\max(|\Delta x|, |\Delta y|)$ : el número de jugadas que tarda el rey de ajedrez en ir de una casilla a otra.
Distancia de círculo máximo: el camino más corto entre dos puntos de la superficie terrestre siguiendo la esfera; latitud y longitud hay que convertirlas antes y la fórmula es la haversine de trigonometría esférica, que esta calculadora no hace. En distancias pequeñas (unas decenas de kilómetros) se puede aproximar con la distancia euclídea tras convertir latitud y longitud a coordenadas métricas planas de forma proporcional.

Todas ellas cumplen, igual que la euclídea, las cuatro propiedades de una métrica, pero dan valores distintos; cuál usar depende de «cómo se puede ir» de un punto a otro.

Relación con la pendiente

$\Delta x$ y $\Delta y$ determinan dos cosas a la vez: la raíz de la suma de sus cuadrados es la distancia y su cociente es la pendiente. En el mismo triángulo rectángulo, la distancia se lee en la hipotenusa y la pendiente, en la razón entre los dos catetos.

Supuestos

Sistema de coordenadas cartesianas: los tres ejes son perpendiculares y usan la misma escala. Las coordenadas inclinadas o con escalas distintas (latitud y longitud, coordenadas logarítmicas) no se pueden sustituir directamente.
Espacio euclídeo: la «distancia» entre dos puntos es la longitud del segmento recto y el espacio es plano.
Misma unidad: las seis coordenadas usan la misma unidad de longitud y la distancia queda en esa unidad.
z = 0 significa plano: en problemas bidimensionales se pone z₁ = 0 y z₂ = 0 (o el mismo número en ambos).
Hay que rellenar las seis coordenadas: el panel solo prerrellena x₁ e y₁; el resto cuenta como 0. Conviene introducirlas todas como «entrada».
El punto medio solo se da en x e y: la $z$ del punto medio se calcula a mano con $(z_1 + z_2)/2$ .

Alcance y limitaciones

Se puede calcular: la distancia euclídea y el punto medio en x, y de cualquier par de puntos (coordenadas cartesianas en 2D o 3D); el resultado conserva hasta 8 decimales.
Solo aproximado: si las coordenadas proceden de mediciones, el error de la distancia es aproximadamente la suma de las proyecciones de los errores de cada coordenada sobre la dirección del segmento; al aproximar la superficie terrestre con coordenadas planas en zonas pequeñas, el error crece con la extensión.
No se puede calcular: recorridos por cuadrícula o carretera, distancias de círculo máximo, distancia de un punto a una recta o a un plano, caminos más cortos entre varios puntos.
No hace: no da la $z$ del punto medio, ni ángulos o vectores de dirección, ni convierte unidades, ni juzga si la entrada es razonable.
Numérico: con coordenadas enormes (como $10^{200}$ ) el cuadrado se desborda a infinito; en magnitudes cotidianas no ocurre.

Errores frecuentes

Rellenar solo dos coordenadas: el panel solo prerrellena x₁ e y₁ y el resto cuenta como 0, así que la distancia 0 que muestra entonces no significa nada. Hay que rellenar los seis campos.
Olvidar elevar al cuadrado antes de la raíz: $\Delta x + \Delta y$ no es la distancia; 3 + 4 = 7 es la distancia Manhattan y la euclídea es 5.
Asustarse con los signos negativos: una diferencia negativa no es problema, porque al cuadrado se vuelve positiva; en el ejemplo 3, $\Delta y = -4$ aporta $+16$ .
Usar latitud y longitud como coordenadas: 1° de longitud equivale a unos 111 km en el ecuador, pero solo a unos 56 km a 60° de latitud; sustituirlas directamente distorsiona mucho el resultado. Primero hay que pasar a coordenadas métricas planas o usar la fórmula del círculo máximo.
Mezclar unidades de las coordenadas: x en metros e y en centímetros da un resultado sin sentido. Unifica las unidades antes.
Confundir el punto medio con la mitad de la distancia: el punto medio es un punto (unas coordenadas) y la mitad de la distancia es una longitud; no son la misma magnitud.
Esperar la $z$ del punto medio: el motor solo da el punto medio en x e y; la $z$ hay que calcularla a mano.

Casos de uso típicos

Docencia: el Pitágoras tridimensional

Con (0, 0, 0)–(3, 4, 0) se obtiene 5 y cambiando z₂ a 12 se obtiene 13, para que el alumnado vea los dos pasos: primero la diagonal de la base y después la diagonal espacial.

Planos, pantallas y CAD

La distancia en línea recta entre dos puntos acotados o entre dos píxeles; el punto medio como eje de simetría o posición de una cota. Que el eje y de las coordenadas de pantalla apunte hacia abajo no afecta a la distancia.

Mecánica y robótica

El tamaño del desplazamiento entre dos poses del efector final, la distancia entre los centros de dos taladros o la separación entre dos puntos de una nube de puntos de un escaneo 3D.

Análisis de datos

La distancia euclídea entre dos muestras en el espacio de características es la base de algoritmos como los k vecinos más cercanos o el agrupamiento; la fórmula tridimensional de esta calculadora es su versión de baja dimensión.

Preguntas frecuentes

¿Por qué al abrir se muestra una distancia de 0?

Porque el panel solo prerrellena x₁ e y₁; el resto de coordenadas están vacías y cuentan como 0, de modo que los dos puntos coinciden en el origen. Al completar las seis coordenadas se muestra el resultado correcto.

¿Qué pongo en z en un problema bidimensional?

Pon 0 en las dos z (o el mismo número en ambas): $\Delta z = 0$ no afecta al resultado.

¿Se puede calcular la distancia entre dos puntos con latitud y longitud?

No directamente. Latitud y longitud son coordenadas angulares sobre la esfera; hay que pasar antes a coordenadas métricas planas (zonas pequeñas) o usar la fórmula del círculo máximo (zonas grandes).

¿Dónde está la Z del punto medio?

El motor no la da. Basta con calcular $(z_1 + z_2)/2$ a mano; en el ejemplo 1, la z del punto medio es 6.

¿Qué diferencia hay entre distancia y desplazamiento?

Esta calculadora obtiene la longitud recta entre dos puntos, que es un escalar. El desplazamiento tiene además dirección: el vector de desplazamiento es $(\Delta x, \Delta y, \Delta z)$ y su longitud es la distancia que se calcula aquí.

¿Por qué el resultado no es entero?

La distancia de la mayoría de combinaciones de coordenadas es un número irracional (como $\sqrt 2$ o $\sqrt{68}$ ); solo ternas pitagóricas como 3-4-5 o 5-12-13 dan enteros. La interfaz conserva hasta 8 decimales.

Referencias y lecturas adicionales

Definición distance del código del motor CalcX en src/data/formulas.ts ( $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ , con punto medio X / Y como media de las coordenadas de los extremos); todos los números de esta página se han recalculado con ese motor.
Wikipedia, Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）——fórmulas en 2D, 3D y $n$ dimensiones; propiedades de métrica.
Wikipedia, Midpoint（访问日期：2026-09-08）——fórmula del punto medio y sus generalizaciones.
Wikipedia, Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）——comparación entre la distancia Manhattan y la euclídea.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8.ª ed. Cengage, 2016. §12.1 «Three-Dimensional Coordinate Systems»——deducción de la fórmula de la distancia en 3D y del punto medio.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Euclidean distance（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Midpoint（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Taxicab geometry（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8.ª ed., Cengage, 2016, §12.1 «Three-Dimensional Coordinate Systems»