Calculadora de pendiente y ecuación de la recta

Descripción de la calculadora

La calculadora de pendiente toma dos puntos de una recta, $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ , y obtiene la pendiente $m$ y la ordenada en el origen $b$ , es decir, permite escribir la recta en la forma $y = mx + b$ .

La pendiente responde a «cuánto cambia $y$ por cada unidad que aumenta $x$ »: cuánto sube una rampa por cada 100 m de avance, cuántos grados Fahrenheit cambian por cada grado Celsius o cuánto aumenta la velocidad por cada segundo. Si dos magnitudes guardan una relación lineal, midiendo dos puntos se obtiene la recta completa, y a partir de ahí cualquier $y$ correspondiente a un $x$ se calcula con la ecuación.

Lo que no hace: no juzga si los dos puntos están realmente sobre la misma recta (dos puntos siempre determinan una recta), no trata rectas verticales (pendiente indefinida), no calcula el punto de corte entre dos rectas y no ajusta curvas: con tres o más puntos no alineados hace falta una regresión, no esta calculadora.

Fórmulas y variables

La pendiente es la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal (rise over run):

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Sustituyendo cualquier punto conocido en $y = mx + b$ se despeja la ordenada en el origen:

b = y_1 - m\,x_1

La ecuación de la recta queda así: $y = mx + b$ . Relación entre la pendiente, el ángulo de inclinación $\theta$ (el que forma la recta con el sentido positivo del eje $x$ ) y el porcentaje de pendiente:

m = \tan\theta,\qquad \theta = \arctan m,\qquad \text{pendiente en porcentaje} = m \times 100\%

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$x_1, y_1$	coordenadas del primer punto	x₁, y₁	la del eje correspondiente	cualquier número real; por defecto (1, 2)
$x_2, y_2$	coordenadas del segundo punto	x₂, y₂	la del eje correspondiente	cualquier número real; por defecto (4, 8); se exige $x_2 \ne x_1$
$\Delta x$	cambio horizontal (run)	(variable intermedia)	unidad de x	$x_2 - x_1$ ; si es 0 la recta es vertical y la pendiente no está definida
$\Delta y$	cambio vertical (rise)	(variable intermedia)	unidad de y	$y_2 - y_1$
$m$	pendiente	Pendiente m	unidad de y / unidad de x	salida; positiva si sube, negativa si baja y 0 si es horizontal
$b$	ordenada en el origen (el valor de $y$ donde la recta corta el eje $y$ )	Ordenada en el origen b	unidad de y	salida; el valor de $y$ cuando $x = 0$

La pendiente tiene unidades: si $x$ está en segundos e $y$ en metros, $m$ se mide en m/s. Solo cuando los dos ejes usan la misma unidad (coordenadas puramente geométricas) $m$ es adimensional y se puede convertir en un ángulo.

Cómo se usa esta calculadora

Abre el panelesta página corresponde a «Herramientas matemáticas → Fórmulas → Pendiente / ecuación de la recta» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.slope). Al abrirlo solo están rellenos x₁ = 1 e y₁ = 2; rellena también x₂ e y₂ (4 y 8 en el ejemplo por defecto): el resultado solo tiene sentido cuando las cuatro coordenadas se han introducido como datos.
Introduce los dos puntosen cualquier orden; al intercambiarlos, $\Delta y$ y $\Delta x$ cambian de signo a la vez y la pendiente no cambia.
Lee la pendiente y la ordenada«Pendiente m» y «Ordenada en el origen b» se actualizan al instante con la etiqueta «calculado», con un máximo de 8 decimales y sin ceros finales. Sustituyéndolas en $y = mx + b$ se obtiene la ecuación de la recta.
Recta verticalcon $x_1 = x_2$ la pendiente muestra ∞ y la ordenada también muestra ∞: esa recta es $x = x_1$ y no tiene forma punto-pendiente.
Convertir en ángulo o porcentajeeste panel no da el ángulo directamente; conviértelo con $\theta = \arctan m$ (la tecla tan⁻¹ de la calculadora científica) y el porcentaje de pendiente es $m \times 100$ .

Ejemplos

Los cuatro ejemplos han sido recalculados por el método compute del motor slope; el criterio de visualización es de 8 decimales como máximo y sin ceros finales. Los ángulos se convierten aparte con $\arctan m$ .

Ejemplo 1: los valores por defecto del panel, (1, 2) y (4, 8)

$\Delta x = 4 - 1 = 3$ , $\Delta y = 8 - 2 = 6$ .
$m = 6/3 = 2$ .
$b = y_1 - m x_1 = 2 - 2 \times 1 = 0$ .

La interfaz muestra: pendiente 2, ordenada en el origen 0. La recta es $y = 2x$ y pasa por el origen; el ángulo de inclinación es $\arctan 2 = 63.43°$ .

Figura 1: ejemplo 1. La pendiente es la razón entre la subida y el avance, y la ordenada en el origen es el punto donde la recta corta el eje y

Ejemplo 2: una recta descendente por (2, 5) y (6, 3)

$\Delta x = 4$ , $\Delta y = 3 - 5 = -2$ .
$m = -2/4 = -0.5$ .
$b = 5 - (-0.5)(2) = 6$ .

La interfaz muestra: pendiente −0.5, ordenada en el origen 6. La ecuación es $y = -0.5x + 6$ ; el ángulo es $\arctan(-0.5) = -26.57°$ (inclinación descendente). Una recta perpendicular tendría pendiente $-1/m = 2$ .

Ejemplo 3: pendiente y ángulo

Una carretera que avanza 100 m en horizontal y sube 6 m: se introducen $(0, 0)$ y $(100, 6)$ .

La interfaz muestra: pendiente 0.06, ordenada en el origen 0. El porcentaje de pendiente es $0.06 \times 100\% = 6\%$ y el ángulo, $\arctan 0.06 = 3.43°$ . Ojo: un 6% de pendiente no son 6°; el porcentaje es $\tan\theta$ y el ángulo es $\theta$ ; con ángulos pequeños, $\theta(\text{rad}) \approx \tan\theta$ , así que un 6% ≈ 0.06 rad ≈ 3.4°. Un tejado con pendiente «4:12» tiene $4/12 = 0.333$ y un ángulo de 18.43°.

Ejemplo 4: una conversión de unidades es una recta

Celsius y Fahrenheit: el punto de congelación del agua es $(0\,°\text{C}, 32\,°\text{F})$ y el de ebullición, $(100\,°\text{C}, 212\,°\text{F})$ .

La interfaz muestra: pendiente 1.8, ordenada en el origen 32. Se obtiene $F = 1.8\,C + 32$ : la pendiente de 1.8 °F/°C significa «por cada 1 °C, 1.8 °F», y la ordenada 32 es la temperatura Fahrenheit correspondiente a 0 °C. Aquí $m$ tiene unidades (°F/°C) y no se puede convertir en un ángulo.

Las entradas del ejemplo 1 se pueden introducir directamente en el panel para reproducirlo; cambia y₂ a 2 y la pendiente pasa a 0 (recta horizontal).

Fundamentos y deducción

La pendiente es una razón de cambio

La esencia de una recta es que « $y$ cambia de forma uniforme con $x$ »: midiendo con dos puntos cualesquiera, $\Delta y / \Delta x$ es siempre el mismo. Esa razón constante es la pendiente, y unifica la «inclinación» geométrica con el cambio de $y$ por unidad de $x$ del álgebra. En física, la pendiente de una gráfica desplazamiento–tiempo es la velocidad y la de una gráfica velocidad–tiempo es la aceleración; en economía, la pendiente de la recta coste–producción es el coste marginal. El cálculo extiende la idea a las curvas: la derivada en un punto es la pendiente de la tangente en ese punto.

Por qué bastan dos puntos

Por un punto pasan infinitas rectas, pero al añadir otro punto solo queda una. Con triángulos semejantes se ve por qué la pendiente no depende de los dos puntos elegidos: tomando dos pares cualesquiera de la recta, los dos triángulos rectángulos que forman con los ejes son semejantes (tienen los ángulos correspondientes iguales), así que la razón «cateto vertical / cateto horizontal» coincide. Eso explica también por qué al intercambiar los puntos el resultado no cambia: el numerador y el denominador cambian de signo a la vez.

Varias formas de escribir la ecuación de una recta

Forma	Ecuación	Cuándo resulta cómoda
Forma pendiente-ordenada en el origen	$y = mx + b$	conocidas la pendiente y la ordenada en el origen; es la salida de esta calculadora
Forma punto-pendiente	$y - y_1 = m(x - x_1)$	conocidas la pendiente y un punto cualquiera
Por dos puntos	$\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$	solo se conocen dos puntos y no se quiere calcular $m$ antes
General	$Ax + By + C = 0$	incluye las rectas verticales ( $B = 0$ ); pendiente $-A/B$
Forma simétrica	$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$	conocidos los cortes con los ejes, $(a, 0)$ y $(0, b)$

Multiplicando la forma por dos puntos por $(y_2 - y_1)$ y ordenando se llega a la forma con un punto; desarrollándola se obtiene la forma punto-pendiente, con $b = y_1 - m x_1$ , que es exactamente como calcula el motor la ordenada en el origen.

Paralelismo, perpendicularidad y ángulo

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales, y perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es $-1$ ( $m_2 = -1/m_1$ ). La condición de perpendicularidad sale de girar una recta 90°: el «avance $\Delta x$ , subida $\Delta y$ » se convierte en «avance $-\Delta y$ , subida $\Delta x$ », y la nueva pendiente es $\Delta x / (-\Delta y) = -1/m$ . El ángulo entre dos rectas cumple $\tan\varphi = \left|\dfrac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|$ .

Ángulo, porcentaje y «tanto por ciento»

$m = \tan\theta$ relaciona la pendiente con el ángulo. En ingeniería se usa más el porcentaje de pendiente, $m \times 100\%$ : una pendiente del 6% sube 6 m por cada 100 m, una del 45° es el 100%, y una pared vertical tiene pendiente infinita, no 100%. Los ferrocarriles usan «tanto por mil» (‰), los tejados «tanto a doce» (rise : 12) y el montañismo, ángulos: son distintas formas de escribir el mismo $m$ . Con ángulos pequeños, $\tan\theta \approx \theta$ (en radianes), por eso un 6% es ≈ 3.4° y no 6°.

Relación con la fórmula de la distancia

$\Delta x$ y $\Delta y$ son los dos catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia entre los dos puntos, $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ (véase la calculadora de distancia entre dos puntos). La pendiente usa solo la razón entre los catetos y la distancia usa la raíz de la suma de sus cuadrados: con el mismo par de puntos, las dos calculadoras leen caras distintas del mismo triángulo.

Supuestos

Dos puntos determinan una recta única: dos puntos distintos cualesquiera determinan una recta; la calculadora no comprueba que procedan de una recta «real» (por ejemplo, unos datos de medida con ruido).
Coordenadas cartesianas y ejes lineales: las coordenadas son cartesianas normales; en coordenadas logarítmicas o polares, la «pendiente» significa otra cosa.
$x_2 \ne x_1$ : dos puntos con la misma coordenada horizontal determinan una recta vertical, la pendiente no está definida y la interfaz muestra ∞.
Las unidades siguen a los ejes: la pendiente se mide en unidad de $y$ / unidad de $x$ ; solo se puede convertir en un ángulo cuando ambos ejes usan la misma unidad.
Hay que rellenar las cuatro coordenadas: al abrir el panel solo se prerrellenan x₁ e y₁, y las coordenadas que faltan cuentan como 0; el ejemplo por defecto casualmente da el mismo resultado que (1, 2)-(4, 8), pero en general conviene introducir los cuatro campos como datos.

Alcance y limitaciones

Sí calcula: la pendiente y la ordenada en el origen de la recta determinada por dos puntos cualesquiera del plano cartesiano (con abscisas distintas); el resultado conserva hasta 8 decimales.
Solo aproxima: cuando los puntos proceden de medidas, el error de la pendiente es del orden de $(|\Delta y|\,\varepsilon_x + |\Delta x|\,\varepsilon_y)/\Delta x^2$ ; cuanto más cerca están los dos puntos, más se amplifica el error.
No calcula: la ecuación de una recta vertical (se escribe $x = x_1$ ), la recta que mejor ajusta tres o más puntos (se usa la regresión lineal) ni la pendiente de la tangente a una curva en un punto (se usa la derivada).
No hace: no da el ángulo ni el porcentaje de pendiente (se convierten a mano), no calcula el corte con el eje $x$ ( $-b/m$ ), no comprueba si los puntos están alineados y no convierte unidades.
Numérico: con dos puntos muy próximos, $\Delta x$ se acerca a 0, el error de coma flotante se amplifica y el resultado puede tener mucho ruido numérico.

Errores frecuentes

Invertir el orden en el numerador o el denominador: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ ; los dos restas deben llevar los subíndices en el mismo orden; escrito como $(y_2 - y_1)/(x_1 - x_2)$ el signo se invierte.
Poner $\Delta x$ en el numerador: la pendiente es «subida / avance», no «avance / subida»; lo segundo es la inversa de la pendiente.
Tomar el porcentaje de pendiente como un ángulo: un 6% es $\tan\theta = 0.06$ , es decir, 3.4°; una pendiente del 100% son 45°, no 90°.
Olvidar sustituir un punto para hallar la ordenada en el origen: $b$ no es $y_1$ , sino $y_1 - m x_1$ ; solo coinciden cuando $x_1 = 0$ .
Leer ∞ en una recta vertical y seguir usando la forma punto-pendiente: la recta $x = 3$ no tiene forma $y = mx + b$ ; el ∞ es un aviso, no un número utilizable.
Rellenar solo las dos primeras coordenadas: el panel solo prerrellena x₁ e y₁ y las otras dos cuentan como 0; hay que escribir también x₂ e y₂.
Hablar de ángulos con ejes de unidades distintas: el «1.8» de una gráfica temperatura–Fahrenheit son °F/°C, no $\tan 61°$ .

Casos de uso típicos

Enseñanza: de dos puntos a la ecuación

Con (1, 2) y (4, 8) se obtiene $y = 2x$ ; cambiando y₂ a 5, 2 y −1 se ve la pendiente pasar de positiva a cero y a negativa; cambiando x₂ a 1 aparece ∞: es la demostración intuitiva de que «una recta vertical no tiene pendiente».

Carreteras, rampas y tejados

Se miden la distancia horizontal y el desnivel (en la misma unidad) y se introducen como (0, 0) y (run, rise): la pendiente multiplicada por 100 es el porcentaje y $\arctan$ da el ángulo. Una rampa accesible 1:12 corresponde a una pendiente de 0.0833, un 8.3% y un ángulo de 4.76°.

Calibración de relaciones lineales

Con dos puntos de calibración (por ejemplo, los puntos de congelación y ebullición de dos escalas de temperatura, o dos lecturas de un sensor) se obtiene la fórmula de conversión $y = mx + b$ , y a partir de ahí cualquier lectura se sustituye directamente. Si la ordenada es 0, se reduce a una simple relación de proporcionalidad.

La pendiente de una gráfica física

Tomando dos puntos de una gráfica velocidad–tiempo, la pendiente es la aceleración; la de una gráfica desplazamiento–tiempo es la velocidad; la de una gráfica $U$ – $I$ de una resistencia es el valor de la resistencia. Sirven dos puntos cualesquiera de la gráfica, pero cuanto más separados, menor es el error.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa una pendiente negativa?

Que al aumentar $x$ , $y$ disminuye: la recta baja de izquierda a derecha. Cuanto mayor es el valor absoluto de la pendiente, más inclinada es la recta.

¿Por qué la pendiente muestra ∞?

Porque los dos puntos tienen la misma abscisa, $\Delta x = 0$ , y la división no está definida. Esa recta es la vertical $x = x_1$ , no tiene ecuación punto-pendiente ni ordenada en el origen (salvo que sea el propio eje $y$ ).

¿Cómo se obtiene el ángulo de inclinación?

$\theta = \arctan m$ . Una pendiente de 2 corresponde a 63.43°, una de 1 a 45° y una de 0.06 a 3.43°. Solo tiene sentido geométrico si los dos ejes usan la misma unidad.

¿Cómo se calcula el corte con el eje x?

Haciendo $y = 0$ : $x = -b/m$ . En el ejemplo 2, $x = -6/(-0.5) = 12$ .

¿Cómo se comprueba si tres puntos están alineados?

Se calcula la pendiente con dos pares de puntos distintos; si coinciden, están alineados (admitiendo una pequeña diferencia por el error de coma flotante). Con tres o más puntos no alineados hay que usar una regresión lineal para la recta «más próxima»; esta calculadora no lo hace.

¿Es fiable el resultado cuando los dos puntos están muy cerca?

No mucho. Cuando $\Delta x$ es muy pequeño, un error mínimo en las coordenadas se amplifica al dividir y la pendiente puede desviarse bastante. Conviene elegir puntos lo más alejados posible.

Referencias y lecturas adicionales

Definición slope del código del motor de CalcX, src/data/formulas.ts ( $m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ , $b = y_1 - m x_1$ ); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor y los ángulos se han convertido con $\arctan m$ .
Wikipedia, Slope（访问日期：2026-09-08）— definición, ángulo, paralelismo y perpendicularidad, y relación con la derivada.
Wikipedia, Linear equation（访问日期：2026-09-08）— las distintas formas de la ecuación de una recta.
Wikipedia, Grade (slope)（访问日期：2026-09-08）— conversión entre porcentaje de pendiente, proporción y ángulo.
Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals, 8.ª ed. Cengage, 2016. Apéndice B «Coordinate Geometry and Lines» — deducción estándar de la pendiente, la ecuación de la recta y las condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipedia: Slope（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Linear equation（访问日期：2026-09-08）
Wikipedia: Grade (slope)（访问日期：2026-09-08）
Stewart, J., Calculus: Early Transcendentals, 8.ª ed., Cengage, 2016, apéndice B «Coordinate Geometry and Lines»