Calculadora de proporciones: cuarto término y regla de tres

Descripción de la calculadora

La calculadora de proporciones resuelve $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ : conocidos tres de los cuatro números, da el cuarto. Es la «regla de tres» que se usa desde la escuela: escalar una receta, leer una distancia en un mapa a partir de su escala, medir la altura de un árbol por su sombra o convertir una fracción en porcentaje son, en el fondo, lo mismo: dos razones iguales y una incógnita.

La palabra «proporción» tiene dos sentidos. $A : B$ es una razón, y su cociente $k = A/B$ es un número; « $A : B = C : D$ » es una proporción, es decir, la igualdad de dos razones. La calculadora toma por defecto $A$ y $B$ como el par conocido y $C$ y $D$ como el par que hay que igualar; lo más habitual es rellenar $A$ , $B$ y $C$ para hallar $D$ .

Lo que no hace: solo trata la proporcionalidad directa (cuando una cantidad crece, la otra lo hace en la misma medida); la proporcionalidad inversa (más obreros, menos días), el reparto proporcional (dividir un total en dos partes según $2:3$ ) y las razones compuestas ( $A : B : C$ ) hay que convertirlos antes a una proporción directa, como se explica en los errores frecuentes y en las preguntas frecuentes.

Fórmulas y variables

\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\;\Longleftrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C

De «el producto de los extremos es igual al producto de los medios» se despeja cualquier término:

D = \frac{B\,C}{A},\qquad C = \frac{A\,D}{B},\qquad A = \frac{B\,C}{D},\qquad B = \frac{A\,D}{C}

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$A$	numerador del primer par (primer término, extremo)	A	cualquiera	por defecto 3. No puede ser 0 cuando es el denominador para hallar $D$
$B$	denominador del primer par (segundo término, medio)	B	cualquiera	por defecto 4. Va en las mismas unidades que $A$ , o en las mismas que $D$
$C$	numerador del segundo par (tercer término, medio)	C	cualquiera	del mismo tipo que $A$ (misma unidad)
$D$	denominador del segundo par (cuarto término, extremo)	D	cualquiera	del mismo tipo que $B$ ; por defecto se obtiene de $A$ , $B$ y $C$
$k$	constante de proporcionalidad	(no se muestra)	unidad = la de $A$ / la de $B$	$k = A/B = C/D$ , «por cada 1 de $B$ , cuánto corresponde a $A$ »

Regla de unidades: $A$ y $C$ van en la misma unidad, y $B$ y $D$ en la misma unidad (en horizontal: 3 huevos / 300 g de harina = 5 huevos / 750 g de harina); o bien $A$ y $B$ van en la misma unidad y $C$ y $D$ en la misma (en vertical: 1 cm en el plano / 25000 cm en la realidad). Las dos formas de colocarlo dan el mismo número siempre que la correspondencia entre las cuatro casillas sea la correcta.

Cómo se usa esta calculadora

Abre el panelesta página corresponde a «Herramientas matemáticas → Fórmulas → Calculadora de proporciones» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.proportion). Al abrirla solo están rellenos «A» = 3 y «B» = 4, y los campos C y D aparecen marcados como «calculado» con 0, porque aún no hay un tercer dato conocido y el motor trata los campos vacíos como 0.
Hallar D(lo más frecuente): escribe el valor conocido en «C» y «D» pasa al instante a $BC/A$ . Por ejemplo, con 6 se obtiene 8.
Hallar Cdeja C sin rellenar, escribe el valor en «D» y el campo «C» pasa a «calculado» y muestra $AD/B$ .
Hallar A o Bvacía el término que quieras despejar y rellena los otros tres; el campo vacío se convierte en «calculado». Las combinaciones son libres: el motor tiene fórmulas para las cuatro direcciones.
Lee el resultadolos valores se muestran con un máximo de 8 decimales y sin ceros finales ( $4 \times 100 / 3 = 133.33333333$ ). Si un denominador es 0, aparece ∞ o 0 (véanse los errores frecuentes).
Copia la fórmulael botón de copiar a la derecha del título del panel copia al portapapeles A/B = C/D → D = B×C/A.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos han sido recalculados por el método compute del motor proportion; el criterio de visualización es de 8 decimales como máximo y sin ceros finales.

Ejemplo 1: entradas por defecto, 3 : 4 = 6 : D

Entradas: $A = 3$ , $B = 4$ , $C = 6$ .

Multiplicación en cruz: $3 \times D = 4 \times 6 = 24$ .
$D = 24 / 3 = 8$ .

La interfaz muestra: D 8. Comprobación: $3/4 = 0.75$ , $6/8 = 0.75$ , las dos razones son iguales. La constante de proporcionalidad es $k = 0.75$ , lo que también se puede leer como « $C$ es el doble de $A$ , así que $D$ también es el doble de $B$ »: el camino del «factor horizontal» y el de la «razón vertical» llevan forzosamente al mismo resultado.

Para hallar $C$ en su lugar: deja $A = 3$ y $B = 4$ , vacía C y escribe 12 en D; la interfaz muestra C 9 ( $3 \times 12 / 4$ ).

Ejemplo 2: escalar una receta: 2 huevos por 300 g de harina, ¿cuántos huevos para 750 g?

Entradas: $A = 2$ (huevos), $B = 300$ (g de harina), $D = 750$ (g de harina), hallar $C$ .

$C = A D / B = 2 \times 750 / 300 = 1500 / 300 = 5$ .

La interfaz muestra: C 5. Aquí $A$ y $C$ son números de huevos y $B$ y $D$ , gramos de harina; la unidad «horizontal» es coherente. El factor es $750 / 300 = 2.5$ y los huevos se multiplican también por 2.5. Si el resultado no es entero (por ejemplo, 4.67 huevos para 700 g de harina), significa que la receta no se puede escalar en un número exacto de veces y habrá que redondear o cambiar la cantidad de harina.

Ejemplo 3: medir la altura de un árbol por su sombra (triángulos semejantes)

A la misma hora, la luz del sol es paralela: un poste de 3 m proyecta una sombra de 4.5 m y un árbol cercano, una sombra de 12 m. ¿Cuánto mide el árbol?

Entradas: $A = 3$ (poste), $B = 4.5$ (sombra del poste), $D = 12$ (sombra del árbol), hallar $C$ (altura del árbol).

Los dos triángulos rectángulos son semejantes y sus lados correspondientes son proporcionales: $\dfrac{3}{4.5} = \dfrac{C}{12}$ .
Multiplicación en cruz: $4.5\,C = 3 \times 12 = 36$ , $C = 36 / 4.5 = 8$ .

La interfaz muestra: C 8. La constante de proporcionalidad es $k = 3 / 4.5 = 0.66666667$ : cada metro de sombra corresponde a 0.667 m de altura, así que 12 m de sombra corresponden a 8 m. Es el método con el que Tales midió la altura de las pirámides y no ha cambiado en más de dos mil años.

Figura 1: ejemplo 3. Luz solar paralela ⇒ triángulos semejantes ⇒ lados correspondientes proporcionales. A y C son «alturas», B y D son «sombras» y las unidades horizontales coinciden

Ejemplo 4: escalas de mapas y porcentajes

Escala: en un mapa a escala 1 : 25000, dos puntos distan 3.6 cm. ¿Cuál es la distancia real? Entradas: $A = 1$ , $B = 25000$ , $C = 3.6$ ; la interfaz muestra D 90000 (cm), es decir, 900 m. Aquí $A$ y $B$ son longitudes y $C$ y $D$ también: la unidad «vertical» coincide (centímetros del plano frente a centímetros reales).

Porcentajes: ¿qué porcentaje es 45 de 60? Un porcentaje es una razón «con denominador 100»; se plantea $\dfrac{45}{60} = \dfrac{C}{100}$ : con $A = 45$ , $B = 60$ y $D = 100$ , la interfaz muestra C 75, es decir, 75%. Si se pone el 100 en C en lugar de en D ( $A = 45$ , $B = 60$ , $C = 100$ ), la interfaz muestra D 133.33333333: eso responde a «¿qué porcentaje es 60 de 45?», que es la pregunta al revés. Para más detalles sobre aumentos, disminuciones y operaciones inversas con porcentajes, véase la calculadora de porcentajes.

Las entradas del ejemplo 1 se pueden escribir directamente en el panel para reproducirlo; cambia C de 6 a 3, 9 o 12 y observa que D es siempre $4/3$ de C: la constante de proporcionalidad no cambia, que es la seña de la proporcionalidad directa.

Fundamentos y deducción

Por qué se puede multiplicar en cruz

En $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ se multiplican los dos miembros por $BD$ (con $B$ y $D$ distintos de 0): el primer miembro queda $\dfrac{A}{B} \cdot BD = AD$ y el segundo, $\dfrac{C}{D} \cdot BD = BC$ , de modo que $AD = BC$ . Euclides, en el libro V de los Elementos, lo formula como «el producto de los extremos es igual al producto de los medios»: escritos $A : B = C : D$ en una línea, $A$ y $D$ están en los extremos y $B$ y $C$ , en el medio. A la inversa, dividiendo $AD = BC$ por $BD$ se vuelve a la proporción original, así que las dos escrituras son equivalentes. Para despejar un término, divide $AD = BC$ por el número que lo acompaña.

Constante de proporcionalidad y proporcionalidad directa

$A/B = C/D = k$ significa que $A = kB$ y $C = kD$ : «el numerador es siempre $k$ veces el denominador». Dos magnitudes que cumplen $y = kx$ son directamente proporcionales: huevos y harina, distancia en el plano y distancia real, sombra y altura. Dibujadas en unos ejes, $(B, A)$ y $(D, C)$ caen sobre la misma recta que pasa por el origen con pendiente $k$ ; por eso la proporcionalidad directa se puede comprobar con la pendiente: tomando dos puntos cualesquiera, si la pendiente vale $k$ y la recta pasa por el origen, la relación es directa.

La proporcionalidad inversa no sigue esta fórmula

«4 obreros tardan 6 días; 8 obreros, ¿cuántos días?»: cuantos más obreros, menos días, y el producto (24 jornadas-persona) no cambia; es una proporcionalidad inversa, $xy = c$ . Si se mete tal cual en esta calculadora con $A = 4$ , $B = 6$ y $C = 8$ , sale D 12, justo al revés. Lo correcto es reescribirla como una proporción directa: $4 \times 6 = 8 \times D$ , es decir, $\dfrac{4}{D} = \dfrac{8}{6}$ , con $A = 4$ , $B = D$ (la incógnita), $C = 8$ y $D = 6$ : hay que hallar B, y salen 3 días. El criterio es sencillo: solo hay proporcionalidad directa cuando al crecer una magnitud también crece la otra.

Triángulos semejantes: la fuente geométrica más importante de proporciones

Si dos triángulos tienen los tres ángulos iguales, sus lados correspondientes son proporcionales (libro VI, proposición 4 de los Elementos). En el ejemplo 3, el triángulo que forman el poste, su sombra y el rayo de luz y el que forman el árbol, su sombra y el rayo comparten un ángulo recto y el mismo ángulo de elevación del sol, de modo que el tercer ángulo también coincide; por eso la razón «altura : sombra» es la misma en los dos. Todas las mediciones en las que se usa lo pequeño para deducir lo grande —estimar una distancia con la anchura de un dedo, medir un objeto desconocido a partir de otro conocido en una foto, ampliar con un proyector, formar una imagen en una cámara— descansan en esta proposición.

De la proporción a la función

Si en una proporción se toma $D$ como variable independiente y $C$ como variable dependiente, $C = (A/B) \cdot D$ es la función lineal más simple (una función de proporcionalidad directa). La función lineal que se estudia después, $y = kx + b$ , añade un término independiente, y la progresión aritmética $a_n = a_1 + (n-1)d$ es una función lineal cuyo argumento solo toma enteros positivos; véase la sucesión aritmética. La proporción es el primer paso de toda esta cadena de conceptos.

Supuestos

La relación es realmente de proporcionalidad directa: al multiplicar una cantidad por $k$ , la otra también se multiplica por $k$ . Que una receta se pueda escalar en un número exacto de veces, que la escala de un mapa sea la misma en todas partes o que los rayos del sol sean paralelos son hipótesis previas que la calculadora no puede comprobar.
Los cuatro términos se colocan en el mismo orden: $A$ se corresponde con $C$ y $B$ con $D$ , tratándose de magnitudes del mismo tipo. Si se colocan mal, se responde a otra pregunta (véase el caso de los porcentajes en el ejemplo 4).
Denominadores distintos de cero: para hallar $D$ , $A \ne 0$ ; para hallar $C$ , $B \ne 0$ ; para hallar $A$ , $D \ne 0$ , y para hallar $B$ , $C \ne 0$ .
Los números son exactos: los errores de medida se propagan en proporción, y el error relativo de $C$ es aproximadamente la suma de los errores relativos de $A$ , $B$ y $D$ .
Criterio de la interfaz: solo se rellenan $A$ y $B$ de antemano; los campos vacíos participan en el motor como 0 (salvo al hallar $D$ , cuando $A$ se toma como 1), por eso al abrir el panel C y D muestran 0.

Alcance y limitaciones

Sí calcula: cualquiera de los términos de $A/B = C/D$ , incluso con varios campos vacíos a la vez para obtener resultados parciales.
Solo aproxima: en la práctica, las relaciones suelen ser directas solo de forma aproximada (los grandes pedidos llevan descuento, las proyecciones de los mapas deforman, la sombra del árbol puede caer en una pendiente).
No calcula: proporcionalidad inversa (reescríbela antes como directa, véanse los fundamentos), reparto proporcional (calcula primero «cuánto por parte» y multiplica), razones compuestas $A : B : C$ (divídelas en dos proporciones) ni proporciones compuestas (varias magnitudes que cambian a la vez).
No hace: no simplifica razones ( $6 : 8 \to 3 : 4$ ), no muestra la constante de proporcionalidad $k$ ni convierte unidades.
Numérico: el resultado se muestra con 8 decimales; si un denominador es 0, aparece ∞ (por ejemplo, con $A = 0$ al hallar $D$ ).

Errores frecuentes

Tomar una proporción inversa por directa: obreros y días, velocidad y tiempo, número de dientes de un engranaje y velocidad de giro son relaciones inversas; aplicar la fórmula directamente da el resultado al revés (los 12 días frente a los 3 días de los fundamentos).
Colocar mal los cuatro términos: en el ejemplo 4, poner el 100 en C o en D es la diferencia entre 75 y 133.33. Antes de escribir la proporción, di en voz alta «quién es a quién».
Unidades que no emparejan: si $A$ va en kg y $C$ en g, la diferencia es de un factor 1000. Las magnitudes del mismo tipo deben usar la misma unidad; las de tipos distintos (huevos y gramos de harina) pueden convivir en una proporción si se alinean en horizontal.
Leer una razón como una fracción y simplificar mal: $3 : 4 = 6 : 8$ es correcto, pero $3 : 4 = 4 : 3$ no: las razones tienen dirección.
Denominador 0: con $A = 0$ al hallar $D$ aparece ∞, y con $B = 0$ al hallar $D$ aparece 0 ( $0 \times C / A$ ). Los dos casos indican que el planteamiento tiene un problema, no que ese sea el resultado.
Confundir porcentajes y proporciones: 45 es el 75% de 60, 60 es el 133.33% de 45, «ha aumentado un 33.33%» y «ha disminuido un 25%»: la misma pareja de números admite cuatro preguntas y da cuatro respuestas.

Casos de uso típicos

Cocina y recetas

Escalar una receta al alza o a la baja según los comensales, ajustar la concentración de una bebida (sirope : agua) o preparar mezclas de pintura o de hormigón.

Mapas, planos y maquetas

Convertir distancias de un plano a la realidad y viceversa, leer cotas en planos de arquitectura y relacionar las medidas de una maqueta con las del objeto real.

Medición y figuras semejantes

Medir alturas por la sombra, estimar el tamaño de un objeto en una fotografía a partir de otro de tamaño conocido o calcular el factor de ampliación de un proyector.

Precios y tipos de cambio

5 kg cuestan 42.5; ¿cuánto cuestan 8 kg? (68). Si 1 dólar equivale a 7.2, ¿a cuánto equivalen 250 dólares? (1800). Comprobar compras y presupuestos con precio unitario constante.

Enseñanza

Comprobar por qué funciona la multiplicación en cruz, distinguir la proporcionalidad directa de la inversa y ver que en triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales.

Preguntas frecuentes

¿Se puede calcular conociendo solo dos números?

No. Una proporción tiene cuatro términos y hacen falta al menos tres datos. Si solo se rellenan $A$ y $B$ , que C y D muestren 0 significa «aún no hay datos», no que esa sea la respuesta.

¿Cómo se reparte 120 en dos partes según 2 : 3?

Calcula primero cuánto vale cada parte: $120 / (2 + 3) = 24$ , y las dos partes son 48 y 72. También se puede usar esta calculadora: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{C}{120}$ , con $A = 2$ , $B = 5$ y $D = 120$ , da $C = 48$ .

¿Cómo se usa la calculadora con una proporcionalidad inversa?

Reescribe «productos iguales» como una proporción: $x_1 y_1 = x_2 y_2 \Rightarrow \dfrac{x_1}{x_2} = \dfrac{y_2}{y_1}$ . Fíjate en que el numerador y el denominador del segundo miembro van intercambiados.

¿Cómo se calcula una razón triple A : B : C = 2 : 3 : 5?

Divídela en dos proporciones, $A : B = 2 : 3$ y $B : C = 3 : 5$ ; conocido un término cualquiera se obtienen los otros dos en cadena.

¿Por qué aparece ∞ cuando el denominador es 0?

El motor calcula $D = BC/A$ , y con $A = 0$ divide entre cero. Matemáticamente, $0 : B = C : D$ solo tiene sentido cuando $C = 0$ (y entonces $D$ es cualquiera), algo que la calculadora no puede expresar; por eso muestra ∞.

¿En qué se diferencia de la calculadora de porcentajes?

Un porcentaje es una proporción «con el denominador fijo en 100»; la calculadora de porcentajes se ocupa de «qué porcentaje es $A$ de $B$ », de «qué valor de $B$ corresponde a un $p\%$ » y de los aumentos y disminuciones. Esta es más general, pero hay que colocar bien los cuatro términos.

Referencias y lecturas adicionales

Definición proportion del código del motor de CalcX, src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) resuelve a / b / c / d en las cuatro direcciones y usa 1 como valor por defecto cuando falta un denominador); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor.
Wikipedia, Proportionality (mathematics)（访问日期：2026-09-09）— proporcionalidad directa e inversa y constante de proporcionalidad.
Wikipedia, Cross-multiplication（访问日期：2026-09-09）— deducción y condiciones de la multiplicación en cruz.
Euclides, Elementos, libro V, edición comentada por D. E. Joyce（访问日期：2026-09-09）— la teoría de las proporciones de Eudoxo y la formulación original de «producto de extremos = producto de medios».
Euclides, Elementos, libro VI, proposición 4（访问日期：2026-09-09）— en los triángulos semejantes, los lados correspondientes son proporcionales.
Wikipedia, Rule of three (mathematics)（访问日期：2026-09-09）— historia y algoritmo de la regla de tres.
Jiuzhang Suanshu (Los nueve capítulos del arte matemático), libro II, «Su Mi»: el «método de lo que se tiene», el algoritmo de proporciones de la antigua China (multiplicar la cantidad conocida por la razón buscada y dividir por la razón conocida).

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来源与审阅

更新: 2026-09-09