Calculadora de progresión aritmética: aₙ, Sₙ y despejes

La calculadora de progresiones aritméticas trabaja con sucesiones en las que «cada término tiene la misma diferencia con el anterior»: introduce el primer término a1, la diferencia común d y el número de términos n y obtiene el término n-ésimo an = a1 + (n-1)d y la suma de los n primeros términos Sn = \dfrac{n(a1 + an)}{2}; si se conoce el último término, también puede despejar el número de términos n o la diferencia común d.

Calculadora de progresión aritmética: aₙ, Sₙ y despejes

Descripción de la calculadora

La calculadora de progresiones aritméticas trabaja con sucesiones en las que «cada término tiene la misma diferencia con el anterior»: introduce el primer término $a_1$ , la diferencia común $d$ y el número de términos $n$ y obtiene el término n-ésimo $a_n = a_1 + (n-1)d$ y la suma de los $n$ primeros términos $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$ ; si se conoce el último término, también puede despejar el número de términos $n$ o la diferencia común $d$ .

1, 3, 5, 7, … (los impares), un teatro con 2 butacas más en cada fila que en la anterior, ahorrar 50 unidades más cada mes que el anterior, un entrenamiento que reduce 1.5 km cada día: siempre que el incremento sea constante estamos ante una progresión aritmética. Es la sucesión más sencilla y el punto de partida para entender la «suma acumulada»: la idea de emparejar el primer término con el último que hay detrás de la fórmula de la suma es (según la leyenda) la que se le ocurrió a Gauss con 8 años.

Lo que no hace: no trata progresiones geométricas (en las que cada término es un múltiplo fijo del anterior, como el interés compuesto), ni diferencias de segundo orden (cuando la diferencia de las diferencias es constante), ni sucesiones recurrentes como la de Fibonacci, ni enumera todos los términos: solo da el término n-ésimo y la suma total.

Fórmula y variables

a_n = a_1 + (n-1)\,d,\qquad S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = n\,a_1 + \frac{n(n-1)}{2}\,d

Despejes a partir del último término:

n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1,\qquad d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$a_1$	primer término	primer término a₁	cualquiera	predeterminado 1; puede ser negativo o decimal
$d$	diferencia común (diferencia entre términos consecutivos $a_{k+1} - a_k$ )	diferencia común d	la misma que $a_1$	predeterminado 2; $d > 0$ creciente, $d < 0$ decreciente, $d = 0$ constante
$n$	número de términos	número de términos n	unidades	entero positivo, $n \ge 1$ ; el motor no comprueba si es entero. El campo tiene valor predeterminado 10, pero la interfaz solo rellena previamente los dos primeros campos, así que al abrir aparece vacío
$a_n$	término n-ésimo (último término)	término n aₙ	la misma que $a_1$	salida; entrada en modo de despeje
$S_n$	suma de los $n$ primeros términos	suma S	la misma que $a_1$	salida, suma de los $n$ términos

Las dos formas de escribir la suma son equivalentes: la primera usa la media del primer y el último término multiplicada por el número de términos y la segunda solo $a_1$ , $d$ y $n$ ; el motor calcula con la primera y la segunda sirve para comprobar a mano.

Cómo calcular en esta calculadora

Abrir el panelesta página corresponde a «Herramientas de matemáticas → Fórmulas → Progresión aritmética» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.arithmetic-seq). Al abrirla solo están rellenos «primer término a₁» = 1 y «diferencia común d» = 2, mientras que «número de términos n» está vacío; en ese momento el término n-ésimo muestra −1 y la suma muestra 0: el motor sustituye la $n$ vacía por 0 en $a_1 + (0-1)d$ , así que no es un resultado; en cuanto se introduce $n$ todo funciona con normalidad.
Hallar el término n-ésimo y la sumaintroduce un entero positivo en «número de términos n» y los dos campos de resultado con la etiqueta «Calcular» se actualizan a la vez.
Despejar el número de términosvacía «número de términos n», introduce el último término en «término n aₙ» y conserva $a_1$ y $d$ ; el campo del número de términos pasa a «Calcular». Ten en cuenta que entonces «suma» muestra 0 (el motor toma 0 como valor de reserva para la $n$ vacía); introduce el número de términos calculado en su campo y vacía $a_n$ para obtener la suma.
Despejar la diferencia comúnvacía «diferencia común d», introduce $a_1$ , $n$ y $a_n$ y el campo de la diferencia da $(a_n - a_1)/(n-1)$ . En ese momento la «suma» se calcula con $d = 0$ y muestra $n \cdot a_1$ , que tampoco es la suma real; introduce de vuelta $d$ para verla.
Leer los resultadoslos valores conservan como máximo 8 decimales y eliminan los ceros finales. Si la $n$ despejada no es entera (por ejemplo, 16.66666667), significa que el $a_n$ introducido no es un término de esta sucesión.
Copiar la fórmulael botón de copiar situado a la derecha del título del panel copia aₙ = a₁ + (n-1)d, S = n(a₁+aₙ)/2 al portapapeles.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos se han recalculado con el método compute del motor arithmetic-seq; el criterio de presentación es de 8 decimales como máximo, sin ceros finales.

Ejemplo 1: 3, 7, 11, 15, 19, 23 — seis términos

Entradas: $a_1 = 3$ , $d = 4$ , $n = 6$ .

Término 6.º: $a_6 = 3 + (6-1) \times 4 = 3 + 20 = 23$ .
Suma: $S_6 = \dfrac{6 \times (3 + 23)}{2} = \dfrac{6 \times 26}{2} = 78$ .

La interfaz muestra: término n 23, suma 78. Comprobación con la segunda forma: $6 \times 3 + \dfrac{6 \times 5}{2} \times 4 = 18 + 60 = 78$ . Con el método de emparejar: $3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15 = 26$ , tres pares de 26 cada uno, en total 78.

Figura 1: ejemplo 1. A la izquierda, el emparejamiento de Gauss (el primer y el último término siempre suman a₁ + aₙ); a la derecha, la versión geométrica: dos escaleras forman un rectángulo de área n(a₁ + aₙ), y la mitad es Sₙ

Ejemplo 2: entradas predeterminadas y el 1 al 100 de Gauss

Entradas: $a_1 = 1$ , $d = 2$ , $n = 10$ (valor predeterminado). Término 10.º $= 1 + 9 \times 2 = 19$ , suma $= 10 \times (1 + 19) / 2 = 100$ . La interfaz muestra: término n 19, suma 100. La suma de los 10 primeros impares es exactamente $10^2$ ; si se cambia a $n = 100$ , la interfaz muestra término n 199 y suma 10000: la suma de los $n$ primeros impares es siempre $n^2$ (se ve apilando capas en forma de L de números impares hasta formar un cuadrado).

Con $a_1 = 1$ , $d = 1$ y $n = 100$ : la interfaz muestra término n 100 y suma 5050. Es el problema que, según la leyenda, el pequeño Gauss resolvió en un instante ante su maestro: « $1 + 100 = 2 + 99 = \cdots = 50 + 51$ , 50 pares de 101 cada uno».

Ejemplo 3: butacas de teatro y sucesión decreciente

Teatro: 20 butacas en la primera fila y 2 más en cada fila siguiente, 15 filas en total. Con $a_1 = 20$ , $d = 2$ y $n = 15$ : la última fila tiene $20 + 14 \times 2 = 48$ butacas y el total es $15 \times (20 + 48)/2 = 510$ . La interfaz muestra: término n 48, suma 510.

Decreciente: un inventario de 100 kg del que cada día salen 7 kg fijos, ¿qué queda y cuánto se ha acumulado tras 12 días? Con $a_1 = 100$ , $d = -7$ y $n = 12$ : el día 12 quedan $100 - 77 = 23$ y la suma de los 12 días es $12 \times (100 + 23)/2 = 738$ (kg·día, «inventario medio de 61.5 kg × 12 días»). La interfaz muestra: término n 23, suma 738. Con diferencia negativa la fórmula sigue valiendo tal cual; solo que la sucesión va bajando.

Ahorrar 50 más cada mes: 100 el primer mes y 50 más cada mes siguiente, ¿cuánto hay al cabo de un año? Con $a_1 = 100$ , $d = 50$ y $n = 12$ : el mes 12 se ahorran 650 y el total anual es 4500.

Ejemplo 4: despejar el número de términos y la diferencia

Despejar n: ¿qué término de la sucesión 5, 8, 11, … es 50? Con $a_1 = 5$ , $d = 3$ y $a_n = 50$ (vacía n): $n = (50 - 5)/3 + 1 = 16$ . La interfaz muestra: número de términos n 16 y suma 0 (véase el criterio del paso 3). Si se introduce 16 de vuelta en el número de términos y se vacía $a_n$ : término n 50 y suma 440.

Si se pregunta por 52: $n = (52 - 5)/3 + 1 = 16.66666667$ , que no es entero; 52 no está en esta sucesión (el término 16 es 50 y el 17 es 53).

Despejar d: partiendo de 2, tras 8 términos se llega a 30, ¿cuál es la diferencia común? Con $a_1 = 2$ , $n = 8$ y $a_n = 30$ (vacía d): $d = (30 - 2)/(8 - 1) = 4$ . La interfaz muestra: diferencia común d 4 y suma 16 (el motor calcula aquí la suma con $d = 0$ , $8 \times 2 = 16$ , que no es la suma real). Si se introduce 4 de vuelta en la diferencia y se vacía $a_n$ : término n 30 y suma 128.

Las entradas del ejemplo 1 pueden introducirse directamente en el panel para reproducirlo; cambia $n$ de 6 a 12, 24 y 48 y observa cómo el término n-ésimo crece linealmente con $n$ mientras la suma crece como $n^2$ (al duplicar el número de términos, la suma se multiplica aproximadamente por 4).

Fundamentos y deducción

Término general: de la recursión a la fórmula directa

La definición es recursiva: $a_{k+1} = a_k + d$ . Para ir de $a_1$ a $a_n$ hay que sumar $d$ un total de $n - 1$ veces, así que $a_n = a_1 + (n-1)d$ . Fíjate en que es $n - 1$ y no $n$ : entre 6 barras solo hay 5 intervalos (los cinco «+4» de la figura 1), que es el clásico problema de los postes: hay un término más que intervalos.

Si se toma $n$ como variable independiente, $a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$ es una recta: la pendiente es la diferencia común $d$ y la ordenada en el origen es $a_1 - d$ (el «término 0»). Una progresión aritmética es una función lineal cuyo dominio son solo los enteros positivos, y las cimas de las barras de la izquierda de la figura 1, unidas, forman una recta. La pendiente calculada entre dos términos cualesquiera es la diferencia común, y la fórmula del despeje $d = (a_n - a_1)/(n-1)$ es exactamente «la diferencia de ordenadas dividida entre la diferencia de abscisas».

La suma: el emparejamiento de Gauss

Escribiendo $S_n$ una vez en orden y otra al revés, y sumando las dos:

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + (a_n - d) + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \\ 2S_n &= (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + \cdots + (a_1 + a_n) = n\,(a_1 + a_n) \end{aligned}

Cada columna suma $a_1 + a_n$ : lo que un término gana en $d$ lo pierde el de enfrente. Hay $n$ columnas, así que $S_n = n(a_1 + a_n)/2$ . Cuando el número de términos es impar, el término central se empareja consigo mismo (es exactamente $(a_1 + a_n)/2$ , la media de todos los términos) y la fórmula no cambia. La parte derecha de la figura 1 es la versión geométrica de este álgebra: una escalera normal y otra invertida forman un rectángulo de $n \times (a_1 + a_n)$ .

Sustituyendo $a_n = a_1 + (n-1)d$ se obtiene la segunda forma, $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2} d$ : $n$ copias de $a_1$ más $0 + 1 + \cdots + (n-1) = n(n-1)/2$ copias de $d$ . Esto indica que $S_n$ es cuadrática en $n$ : al duplicar el número de términos, la suma se multiplica aproximadamente por 4.

La lectura «media × número de términos»

$S_n = n \cdot \dfrac{a_1 + a_n}{2}$ : la suma es la «media del primer y el último término» multiplicada por el número de términos. En una progresión aritmética, la media del primer y el último término es la media de todos los términos, porque los términos se distribuyen simétricamente alrededor del punto medio. En el problema del inventario del ejemplo 3, 738 = 61.5 × 12 es «inventario medio × días», una lectura que es lo mismo que el área del trapecio (base mayor más base menor por altura partido por dos) y que el desplazamiento en el movimiento uniformemente acelerado (velocidad media por tiempo).

Aritmética y geométrica: interés simple y compuesto

Una progresión aritmética suma una cantidad fija en cada paso; una geométrica multiplica por un factor fijo. Un capital de 1000 al 5 % de interés simple genera 50 fijos cada año y sus saldos anuales 1050, 1100, 1150, … forman una progresión aritmética, con 1500 al cabo de 10 años; al 5 % de interés compuesto se forma una progresión geométrica $1000 \times 1.05^n$ , con 1628.89 al cabo de 10 años. La primera es una recta y la segunda una curva exponencial, y la diferencia crece con el tiempo; puede verse en detalle en la calculadora de interés compuesto.

Supuestos

Diferencia constante: la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. Basta con que falle en un punto para que el término general y la fórmula de la suma dejen de valer.
El número de términos es un entero positivo: el motor no lo comprueba y con $n = 2.5$ da cifras sin sentido.
Se cuenta desde el término 1: $a_1$ es el primer término, no el término 0; algunos manuales o programas (los índices de los vectores) cuentan desde 0, y entonces $a_n = a_0 + nd$ .
La suma es de los $n$ primeros términos: desde $a_1$ hasta $a_n$ ; para sumar del término $m$ al $n$ se calcula $S_n - S_{m-1}$ .
Criterio de la interfaz: los campos sin rellenar entran en el motor como 0, así que al despejar $n$ o $d$ la «suma» mostrada no es la suma real (pasos 3 y 4).

Alcance y limitaciones

Puede calcular: el término n-ésimo y la suma de los $n$ primeros términos para cualesquiera $a_1$ y $d$ reales y un $n$ entero positivo; $n$ a partir de $a_n$ (requiere $d \ne 0$ ) o $d$ a partir de $a_n$ (requiere $n \ne 1$ ).
Solo aproximado: las «diferencias constantes» de la realidad suelen ser aproximaciones (filas de butacas, salidas de inventario); la fórmula da el valor del modelo.
No puede calcular: progresiones geométricas (hay otra calculadora), progresiones de segundo orden ( $1, 3, 6, 10, \ldots$ ), sumas parciales $a_m + \cdots + a_n$ (se calculan dos sumas y se restan) ni el despeje de $n$ o $d$ a partir de $S_n$ (requiere resolver una ecuación de segundo grado; se hace a mano).
No hace: no enumera los términos ni decide si un número pertenece a la sucesión (eso se ve comprobando si la $n$ despejada es entera).
Valores: cuando $n$ es muy grande y $S_n$ supera $10^{12}$ se muestra en notación científica; en doble precisión el cálculo sigue siendo exacto hasta $n$ del orden de $10^7$ .

Errores habituales

Escribir el término general como $a_1 + nd$ : falta el $-1$ y cada término sale con una $d$ de más. Seis términos solo tienen 5 intervalos.
Tomar por respuesta una $n$ despejada decimal: $n = 16.67$ significa que el último término introducido no está en la sucesión, no que sea el «término 16.67».
Tomar la «suma» del modo de despeje por resultado: es el valor de reserva del motor con $n = 0$ o $d = 0$ ; la suma real aparece al introducir de vuelta el valor despejado.
Introducir la diferencia con signo positivo en una sucesión decreciente: la diferencia de 100, 93, 86, … es $-7$ ; con 7 se obtienen los resultados de una sucesión creciente.
Olvidar dividir entre 2 en la fórmula de la suma: $n(a_1 + a_n)$ es el área del rectángulo formado por las dos escaleras, y hay que tomar la mitad.
Tratar una progresión geométrica como aritmética: el interés compuesto, el crecimiento de la población y la reproducción bacteriana son progresiones geométricas; usar esta calculadora las subestima gravemente.

Casos de uso típicos

Docencia

De la recursión al término general y del emparejamiento a la fórmula de la suma; comprobar que la suma de los $n$ primeros impares es $n^2$ ; entender que una progresión aritmética es una «función lineal sobre los enteros».

Recuento y ordenaciones

Butacas que aumentan fila a fila en un teatro o un estadio, pilas piramidales de madera o de latas (que disminuyen en cada capa), número de personas de una formación.

Planificación y presupuestos

Planes de ahorro o de pago que crecen cada mes, inventarios o volúmenes de entrenamiento que disminuyen, ingresos acumulados con subidas de sueldo de incremento fijo.

Interés simple y amortización

Los intereses simples se acumulan de forma aritmética; en la depreciación lineal el valor contable disminuye una cantidad fija cada año y el valor del año $n$ es el término $n$ .

Preguntas frecuentes

¿Por qué al abrir el panel el término n-ésimo muestra −1?

Porque todavía no se ha introducido el número de términos y el motor sustituye $n$ por 0 en $1 + (0-1) \times 2 = -1$ . En cuanto se introduce el número de términos todo funciona con normalidad.

¿Cómo se sabe si un número pertenece a la sucesión?

Vacía $n$ , introduce ese número en «término n aₙ» y comprueba si la $n$ despejada es un entero positivo. 50 está en 5, 8, 11, … ( $n = 16$ ) y 52 no ( $n = 16.67$ ).

¿Cómo se calcula la suma del término 5 al término 12?

Se calculan $S_{12}$ y $S_4$ y se restan. O bien se toma el término 5 como nuevo primer término y se repite el cálculo con 8 términos.

Conocidos la suma, el primer término y la diferencia, ¿cómo se despeja el número de términos?

Resolviendo la ecuación de segundo grado $\dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac d2\right)n - S_n = 0$ y tomando la raíz entera positiva. La calculadora no admite este despeje.

¿Por qué la suma crece de forma cuadrática?

$S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$ contiene un término en $n^2$ . Intuitivamente, la suma es el área bajo el diagrama de escalera y la escalera es el área bajo una recta: el área crece con el cuadrado de la anchura.

¿Cómo elegir entre una progresión aritmética y una geométrica?

Fíjate en si los términos consecutivos se diferencian en una cantidad fija o se dividen por un factor fijo: sumar 50 cada año es aritmética y multiplicar por 1.05 cada año es geométrica.

Referencias y lecturas

Definición arithmetic-seq en el código del motor de CalcX src/data/formulas.ts (compute(known, solveFor) produce an / sum y admite el despeje de n y d a partir de an); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor.
Wikipedia, Arithmetic progression（访问日期：2026-09-09）— término general, las dos formas de la suma y su deducción.
Wikipedia, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯（访问日期：2026-09-09）— los números triangulares $n(n+1)/2$ y la anécdota de Gauss.
Brian Hayes, «Gauss's Day of Reckoning», American Scientist 94(3), 2006（访问日期：2026-09-09）— revisión histórica de las distintas versiones de la historia de la suma de Gauss.
Wikipedia, Rhind Mathematical Papyrus（访问日期：2026-09-09）— problemas de reparto aritmético de alrededor del año 1550 a. C. (problemas 40 y 64).
Los nueve capítulos del arte matemático, capítulo III «Reparto proporcional» y capítulo VI «Transporte equitativo» — reparto y sumas aritméticas en la China antigua.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09