Calculadora de desplazamiento s = v₀t + ½at²

La calculadora de desplazamiento con aceleración constante resuelve s = v0 t + \tfrac12 a t^2: conocidos la velocidad inicial v0, la aceleración constante a y el tiempo t, obtiene el desplazamiento s en ese intervalo; a la inversa, a partir del desplazamiento y el tiempo puede obtener la velocidad inicial o la aceleración: cuánto cae una piedra en 3 segundos, qué distancia recorre un coche que frena desde 100 km/h o qué aceleración media hace falta para correr 100 m en 8 segundos.

Calculadora de desplazamiento s = v₀t + ½at²

Descripción de la calculadora

La calculadora de desplazamiento con aceleración constante resuelve $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ : conocidos la velocidad inicial $v_0$ , la aceleración constante $a$ y el tiempo $t$ , obtiene el desplazamiento $s$ en ese intervalo; a la inversa, a partir del desplazamiento y el tiempo puede obtener la velocidad inicial o la aceleración: cuánto cae una piedra en 3 segundos, qué distancia recorre un coche que frena desde 100 km/h o qué aceleración media hace falta para correr 100 m en 8 segundos.

Es la segunda de las cuatro fórmulas básicas de la cinemática y va emparejada con la calculadora de velocidad final ( $v = v_0 + at$ ): una dice cómo cambia la velocidad y la otra, cuánto se ha avanzado. Las dos fórmulas tienen el mismo contenido físico —aceleración constante— y solo cambia la magnitud que se pregunta. El desplazamiento es el área bajo la recta de la gráfica v–t, y esa interpretación geométrica es la idea central de esta página y su vínculo, poco evidente, con el área del trapecio.

Lo que no hace: no despeja el tiempo a partir del desplazamiento (eso es una ecuación de segundo grado y el procedimiento a mano se explica en esta página); no calcula la velocidad final (se usa la calculadora emparejada); no trata movimientos con aceleración variable; solo trabaja en una dimensión —en un tiro oblicuo o horizontal hay que calcular por separado la dirección horizontal y la vertical—; y no convierte unidades.

Fórmulas y variables

s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

Despejes (el motor implementa estos dos):

v_0 = \frac{s - \tfrac12 a t^2}{t},\qquad a = \frac{2\,(s - v_0 t)}{t^2}

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$v_0$	velocidad inicial (en $t = 0$ )	Velocidad inicial v₀ (m/s)	m/s	cualquier número real; por defecto 0. El signo negativo indica sentido contrario al positivo
$a$	aceleración (constante)	Aceleración a (m/s²)	m/s²	cualquier número real; por defecto 9.8. Negativa cuando va en sentido contrario a $v_0$
$t$	tiempo transcurrido	Tiempo t (s)	s	$t \ge 0$ ; sin valor por defecto, vacío al abrir
$s$	desplazamiento (distancia con signo respecto al punto de partida en el instante $t$ )	Desplazamiento s (m)	m	salida; en modo despeje sirve de entrada. Lleva signo

Comprobación dimensional: $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$ y $\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}$ ; los dos términos son longitudes. El $\tfrac12$ procede del área del triángulo (véanse los fundamentos).

Cómo se usa esta calculadora

Abre el panelesta página corresponde a «Herramientas matemáticas → Fórmulas → Desplazamiento con aceleración constante» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-displacement). Al abrirlo, «Velocidad inicial v₀» = 0 y «Aceleración a» = 9.8 ya están rellenos y «Tiempo t» está vacío; en ese momento el campo «Tiempo» está vacío y «Desplazamiento» muestra 0 con la etiqueta «calculado», porque el motor no despeja el tiempo y la $t$ vacía entra como 0: $s = 0$ . No es un resultado.
Calcular el desplazamientointroduce los segundos en «Tiempo t» y el desplazamiento se actualiza al instante. Para movimientos que frenan, escribe la $a$ en negativo; el desplazamiento puede ser negativo (si se vuelve por debajo del punto de partida).
Despejar la aceleraciónvacía «Aceleración a» y rellena $v_0$ , $t$ y $s$ ; el campo de la aceleración pasa a «calculado» y muestra $2(s - v_0 t)/t^2$ .
Despejar la velocidad inicialvacía «Velocidad inicial v₀» y rellena $a$ , $t$ y $s$ ; el campo de la velocidad inicial muestra $(s - \tfrac12 at^2)/t$ .
Calcular el tiempoel motor no lo admite. Si se vacía $t$ , el campo se queda vacío. A mano: $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ , $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ (la raíz positiva); o se despeja antes $t$ a partir de $v$ con la calculadora de velocidad final y se vuelve a esta página.
Lee el resultadolos valores se muestran con un máximo de 8 decimales y sin ceros finales.
Copia la fórmulael botón de copiar a la derecha del título del panel copia al portapapeles el LaTeX s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos han sido recalculados por el método compute del motor phys-displacement; el criterio de visualización es de 8 decimales como máximo y sin ceros finales, con unidades en m/s, m/s², s y m.

Ejemplo 1: el 1 : 4 : 9 de la caída libre

Entradas: $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 1$ . $s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 4.9.

Cambiando el tiempo a 2 y 3, la interfaz muestra 19.6 y 44.1 sucesivamente. La razón entre los tres números es $4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9$ : la distancia de caída es proporcional al cuadrado del tiempo. La distancia añadida en cada segundo es 4.9, 14.7 y 24.5, en la proporción 1 : 3 : 5: es la «ley de los números impares» que Galileo resumió en 1638 a partir de sus experimentos con planos inclinados y la base con la que concluyó que «la velocidad es proporcional al tiempo (y no a la distancia)».

Ejemplo 2: la distancia de frenado desde 100 km/h

Un coche circula a 100 km/h ( $27.78\ \text{m/s}$ ) y frena con $-5\ \text{m/s}^2$ . Primero se despeja en la calculadora de velocidad final el tiempo hasta parar, 5.55555556 s, y luego se vuelve a esta página: $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 5.55555556$ . $s = 27.78 \times 5.56 - \tfrac12 \times 5 \times 5.56^2 = 154.32 - 77.16 = 77.16$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 77.16049384.

Comprobación: la fórmula sin tiempo, $v^2 = v_0^2 + 2as$ , da $s = 27.78^2 / (2 \times 5) = 77.1604938$ , que coincide; y la velocidad media $\tfrac12 \times 27.78 = 13.89\ \text{m/s}$ multiplicada por 5.56 s también da 77.16. La distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad: al duplicar la velocidad, la distancia se cuadruplica. Es la base física de los límites de velocidad.

Figura 1: el desplazamiento es el área bajo la gráfica v–t (izquierda: el triángulo de la frenada del ejemplo 2); la gráfica s–t es una parábola (derecha: la caída libre del ejemplo 1, 1 : 4 : 9)

Ejemplo 3: despejar la aceleración y la velocidad inicial a partir del desplazamiento

Despejar la aceleración: un coche arranca desde el reposo y recorre 100 m en 8 segundos: ¿qué aceleración media tiene? Vacía $a$ y pon $v_0 = 0$ , $t = 8$ , $s = 100$ : $a = 2 \times 100 / 64 = 3.125$ . La interfaz muestra: aceleración a 3.125.

Compárese con el $a = 3.47222222$ de «0 a 100 km/h en 8 segundos» de la calculadora de velocidad final: en esos mismos 8 segundos, aquel coche recorre $\tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11$ m. Introduciendo $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ y $t = 8$ , la interfaz muestra un desplazamiento de 111.11111104: el 04 final es la cola de redondeo de reemplazar la aceleración con 8 decimales, no un error.

Despejar la velocidad inicial: un objeto que frena con $a = -5$ recorre 50 m en 2 segundos: ¿a qué velocidad salió? Vacía $v_0$ y pon $a = -5$ , $t = 2$ , $s = 50$ : $v_0 = (50 + 10)/2 = 30$ . La interfaz muestra: velocidad inicial v₀ 30.

Ejemplo 4: lanzamiento vertical y tren

Lanzamiento vertical (hacia arriba positivo, $a = -9.8$ ): una pelota lanzada a 19.6 m/s, en $t = 2$ , $s = 39.2 - 19.6 = 19.6$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 19.6: el punto más alto está a 19.6 m (ahí $v = 0$ ; véase el ejemplo 3 de la calculadora de velocidad final). En $t = 4$ , $s = 78.4 - 78.4 = 0$ . La interfaz muestra: 0: la pelota ha vuelto a la altura de salida. El desplazamiento es cero, pero el recorrido de la pelota ha sido 39.2 m: el desplazamiento es el cambio neto con signo y el recorrido, la longitud total.

Tren: un tren que circula a 20 m/s acelera a 0.5 m/s² durante 1 minuto. $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $s = 1200 + 900 = 2100$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 2100. La parte de velocidad constante (1200 m) y la aportada por la aceleración (900 m) son sendos términos.

Las entradas del ejemplo 1 se pueden introducir directamente en el panel para reproducirlo; cambia el tiempo a 1, 2 y 4 y observa cómo el desplazamiento crece en la proporción 1 : 4 : 9 : 16; cambia la aceleración a 1.62 (Luna) y verás que en los mismos 3 segundos solo cae 7.29 m.

Fundamentos y deducción

El desplazamiento es el área bajo la gráfica v–t

En un movimiento uniforme, el desplazamiento es $= vt$ , el área de un rectángulo en la gráfica v–t. Con aceleración constante la velocidad cambia, pero se puede dividir el tiempo en muchos intervalos pequeños, aproximar cada uno por un movimiento uniforme y sumar los desplazamientos, que es el área del trapecio bajo la recta. La recta sube de $v_0$ a $v_0 + at$ , y el área del trapecio es $= \tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ : de ahí viene el $\tfrac12$ . El triángulo de frenada del lado izquierdo de la figura 1 es el caso particular de $v_0 = 27.78$ que baja a 0: área $\tfrac12 \times 27.78 \times 5.56$ . La calculadora de área del trapecio calcula exactamente lo mismo.

Entenderlo con la velocidad media

Con aceleración constante, la velocidad media es justo la media aritmética de la inicial y la final, $\bar v = \tfrac12 (v_0 + v)$ , y el desplazamiento es $= \bar v\, t$ . Sustituyendo $v = v_0 + at$ se vuelve a $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ . Es también la cuarta fórmula cinemática, $s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t$ . Solo vale con aceleración constante: con aceleración variable, la velocidad media ya no es el punto medio entre la inicial y la final.

Eliminar el tiempo: $v^2 = v_0^2 + 2as$

Despejando $t = (v - v_0)/a$ en $v = v_0 + at$ , sustituyendo en la fórmula del desplazamiento y simplificando se obtiene $v^2 = v_0^2 + 2as$ , sin tiempo. En el ejemplo 2 se usó para comprobar la distancia de frenado. Multiplicando ambos lados por $\tfrac12 m$ queda $\tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs$ : el teorema del trabajo y la energía, según el cual el trabajo de la fuerza neta es igual a la variación de la energía cinética. La calculadora de energía cinética continúa desde ahí.

La gráfica s–t es una parábola

$s$ es una función cuadrática de $t$ y su gráfica es una parábola (lado derecho de la figura 1). Con $v_0 = 0$ , el vértice está en el origen y la apertura la marca el signo de $a$ . La pendiente de la tangente en cualquier punto es la velocidad en ese instante: en $t = 0$ , la pendiente es $v_0$ . En un lanzamiento vertical, la gráfica s–t es una parábola abierta hacia abajo, el vértice es el punto más alto y el segundo corte con el eje horizontal es el momento de volver a la altura de salida ( $t = 4$ en el ejemplo 4).

Por qué despejar el tiempo es una ecuación de segundo grado

Dados $s$ , $v_0$ y $a$ , hay que resolver $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ . Puede tener dos raíces positivas (la pelota pasa dos veces por la misma altura: al subir y al bajar) o ninguna (la pelota no llega a esa altura). El motor prefiere no dar una única respuesta en el campo para no descartar una raíz en silencio; cuando haga falta, se calcula a mano como en el paso 5 de «Cómo se usa esta calculadora» y se miran las dos raíces.

El plano inclinado de Galileo

La caída libre es demasiado rápida y en 1638 no había relojes capaces de medirla. Galileo dejó rodar bolas por un plano inclinado pulido y midió el tiempo con un reloj de agua: descubrió que la distancia era proporcional al cuadrado del tiempo y que las distancias recorridas en intervalos iguales consecutivos guardaban la proporción 1 : 3 : 5 : 7, y que la proporción no cambiaba al aumentar la inclinación. De ahí dedujo que la caída vertical (90° de inclinación) se comportaba igual. La $g$ de $s = \tfrac12 g t^2$ no se midió con precisión hasta después de 1638.

Supuestos

Aceleración constante: $a$ no cambia en todo el intervalo $t$ . La aceleración real de un vehículo varía con la velocidad y lo que se calcula es un valor medio equivalente.
Movimiento rectilíneo y unidimensional: desplazamiento, velocidad y aceleración son colineales y el sentido se indica con el signo.
El movimiento continúa hasta $t$ : la fórmula no se detiene cuando el cuerpo se para (véase el aviso tras el ejemplo 4).
Sin resistencia: los ejemplos de caída libre no incluyen la resistencia del aire.
Unidades del SI: m/s, m/s², s y m; sin conversiones.
Criterio de la interfaz: la $t$ vacía entra como 0, por lo que al abrir el panel el desplazamiento muestra 0; en los despejes, el denominador $t$ vacío usa 1 como valor por defecto.

Alcance y limitaciones

Sí calcula: $s$ a partir de $v_0$ , $a$ y $t$ ; $a$ o $v_0$ a partir de $s$ , $t$ y la otra magnitud; admite valores y desplazamientos negativos.
Solo aproxima: los movimientos con aceleración variable solo se pueden aproximar por tramos; tomar $g = 9.8$ introduce una diferencia de valor de aproximadamente el 0.1%.
No calcula: el tiempo a partir del desplazamiento (ecuación de segundo grado, a mano); la velocidad final (calculadora emparejada); tiros bidimensionales (por direcciones); el recorrido (la suma de los valores absolutos del desplazamiento, que exige saber si hubo cambio de sentido).
No hace: conversión de unidades; no comprueba si el movimiento ya se ha detenido.
Numérico: reemplazar los 8 decimales genera una cola de redondeo en el último dígito (el 111.11111104 del ejemplo 3).

Errores frecuentes

Olvidar el ½: $s = at^2$ calcularía la caída libre de 3 segundos como 88.2 m, el doble del valor real. El $\tfrac12$ viene del área del triángulo y no es opcional.
Tomar el desplazamiento por el recorrido: al lanzar hacia arriba y volver al punto de partida, el desplazamiento es 0, pero el recorrido no (ejemplo 4).
Seguir calculando después de frenar: si $t$ supera el tiempo de parada, la fórmula hace retroceder al coche (aviso tras el ejemplo 4).
Sustituir km/h directamente: escribir 100 km/h como 100 convierte la distancia de frenado en 1000 m. Primero hay que pasar a 27.78 m/s.
Olvidar el signo al frenar: la $a$ de una frenada es $-5$ ; si se escribe $+5$ , el resultado se aleja cada vez más.
Usar la velocidad final en lugar de la inicial: la $v_0$ de la fórmula es la velocidad al comienzo de este intervalo.
Elevar al cuadrado algo que no sea el tiempo: en $\tfrac12 a t^2$ solo se eleva $t$ al cuadrado.

Casos de uso típicos

Enseñanza

El 1 : 4 : 9 de la caída libre y la ley de los números impares; el método del área en la gráfica v–t; desplazamiento y recorrido; la simetría del lanzamiento vertical; el origen del teorema del trabajo y la energía.

Seguridad vial

La distancia de frenado para una velocidad y una deceleración dadas (junto con el tramo a velocidad constante del tiempo de reacción $= v \times t_\text{reacción}$ ); explicación intuitiva de la relación cuadrática entre límite de velocidad y distancia de frenado.

Ingeniería

El recorrido de los tramos de aceleración y frenado de ascensores y cintas transportadoras; la longitud de posicionamiento de grúas y avances de máquinas herramienta; la aceleración necesaria para un recorrido y un tiempo dados.

Deporte y vida diaria

Estimación del tiempo y la velocidad de entrada al agua según la altura de la plataforma; la altura máxima de un lanzamiento; estimación de la profundidad de un pozo o de la altura de un edificio a partir del tiempo de caída (teniendo en cuenta el tiempo que tarda el sonido en volver).

Preguntas frecuentes

¿Por qué al abrir el panel el desplazamiento es 0 y el tiempo está vacío?

Porque el tiempo todavía no se ha introducido y el motor trata $t$ como 0; el motor no despeja el tiempo a partir del desplazamiento, así que el campo del tiempo sigue vacío. Al escribir el tiempo, funciona con normalidad.

¿Cómo se obtiene el tiempo a partir del desplazamiento?

Resolviendo la ecuación de segundo grado $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ : $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ ; con $v_0 = 0$ se simplifica a $t = \sqrt{2s/a}$ . O se despeja antes $t$ a partir de $v$ con la calculadora de velocidad final.

¿Qué diferencia hay entre desplazamiento y distancia?

El desplazamiento es la distancia recta con signo entre el punto final y el inicial; el recorrido es la longitud total de la trayectoria. En un movimiento recto sin cambio de sentido coinciden; tras un cambio de sentido, el desplazamiento empieza a disminuir mientras el recorrido sigue aumentando.

¿Por qué la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad?

En $v^2 = v_0^2 + 2as$ , con $v = 0$ : $s = v_0^2 / (2|a|)$ . Al duplicar la velocidad, $v_0^2$ se cuadruplica.

En un lanzamiento vertical, ¿la pelota recorre lo mismo al subir que al bajar?

Sin resistencia al aire, sí: la parábola s–t es simétrica respecto al punto más alto. Con resistencia, el tramo de bajada es más lento y dura más.

¿Se puede usar con mucha resistencia del aire?

No. La resistencia crece con la velocidad y la aceleración deja de ser constante. Gotas de lluvia, paracaidistas y plumas no son movimientos uniformemente acelerados.

Referencias y lecturas adicionales

Definición phys-displacement del código del motor de CalcX, src/data/formulasScience.ts (compute(known, solveFor) obtiene s / v₀ / a); todas las cifras de esta página han sido recalculadas por ese motor.
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）— tabla completa de las cinco magnitudes y las cuatro fórmulas, con su deducción.
Wikipedia, Displacement (geometry)（访问日期：2026-09-09）— definiciones de desplazamiento y recorrido.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, traducción inglesa de Crew y de Salvio（访问日期：2026-09-09）— texto original de la ley de los números impares y del experimento del plano inclinado.
Wikipedia, Braking distance（访问日期：2026-09-09）— fórmula de la distancia de frenado, distancia de reacción y deceleraciones típicas.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time — definición de las magnitudes y unidades de desplazamiento, velocidad y aceleración.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09