Calculadora de desplazamiento (MRUA): s = v₀t + ½at²

La calculadora de desplazamiento con aceleración constante resuelve s = v0 t + \tfrac12 a t^2: conocidas la velocidad inicial v0, la aceleración constante a y el tiempo t, obtiene el desplazamiento s en ese intervalo; también puede hacer lo contrario, hallar la velocidad inicial o la aceleración a partir del desplazamiento y el tiempo: cuánto cae una piedra en 3 segundos, cuántos metros recorre un coche que frena desde 100 km/h, qué aceleración media hace falta para correr 100 m en 8 s.

Calculadora de desplazamiento (MRUA): s = v₀t + ½at²

Descripción de la calculadora

La calculadora de desplazamiento con aceleración constante resuelve $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ : conocidas la velocidad inicial $v_0$ , la aceleración constante $a$ y el tiempo $t$ , obtiene el desplazamiento $s$ en ese intervalo; también puede hacer lo contrario, hallar la velocidad inicial o la aceleración a partir del desplazamiento y el tiempo: cuánto cae una piedra en 3 segundos, cuántos metros recorre un coche que frena desde 100 km/h, qué aceleración media hace falta para correr 100 m en 8 s.

Es la segunda de las cuatro ecuaciones básicas de la cinemática y va emparejada con la calculadora de velocidad final ( $v = v_0 + at$ ): aquella dice cómo cambia la velocidad y esta, cuánto se avanza. Las dos tienen el mismo contenido físico —aceleración constante— y solo cambian la magnitud que se pregunta. El desplazamiento es el área bajo la recta del gráfico v–t; esta interpretación geométrica recorre toda la página y es también su vínculo, poco evidente, con el área del trapecio.

Lo que no hace: no despeja el tiempo a partir del desplazamiento (es una ecuación de segundo grado; la parte de cálculo manual de esta página explica cómo hacerlo); no calcula la velocidad final (para eso, la calculadora de velocidad final emparejada); no trata movimientos con aceleración variable en el tiempo; solo calcula en una dimensión (un tiro oblicuo o horizontal exige calcular por separado la componente horizontal y la vertical); no convierte unidades.

Fórmula y variables

s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

Despejes (los dos que implementa el motor):

v_0 = \frac{s - \tfrac12 a t^2}{t},\qquad a = \frac{2\,(s - v_0 t)}{t^2}

Símbolo	Significado	Campo de la calculadora	Unidad	Rango y notas
$v_0$	velocidad inicial (en $t = 0$ )	velocidad inicial v₀ (m/s)	m/s	cualquier número real; por defecto 0. Un signo negativo indica sentido contrario al positivo
$a$	aceleración (constante)	aceleración a (m/s²)	m/s²	cualquier número real; por defecto 9.8. Negativa si va en sentido contrario a $v_0$
$t$	tiempo transcurrido	tiempo t (s)	s	$t \ge 0$ ; sin valor por defecto, al abrir está vacío
$s$	desplazamiento (distancia con signo respecto al punto de partida en el instante $t$ )	desplazamiento s (m)	m	salida; en modo despeje se usa como entrada. Lleva signo

Comprobación de dimensiones: $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$ y $\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}$ ; ambos términos son longitudes. El $\tfrac12$ viene del área del triángulo (véase el fundamento).

Cómo se usa esta calculadora

Abrir el panelesta página corresponde a «Herramientas matemáticas → Fórmulas → Desplazamiento con aceleración constante» (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-displacement). Al abrirlo, «velocidad inicial v₀» = 0 y «aceleración a» = 9.8 ya están rellenos, y «tiempo t» está vacío; con el tiempo vacío, «desplazamiento», marcado como «calculado», muestra 0: el motor no despeja el tiempo y el $t$ vacío cuenta como 0, de modo que $s = 0$ . No es un resultado.
Hallar el desplazamientoescribe los segundos en «tiempo t» y el desplazamiento se actualiza al instante. En un movimiento que frena, introduce $a$ negativa; el desplazamiento puede ser negativo (cuando se vuelve por debajo del punto de partida).
Despejar la aceleraciónvacía «aceleración a», introduce $v_0$ , $t$ y $s$ ; el campo de la aceleración pasa a «calculado» y muestra $2(s - v_0 t)/t^2$ .
Despejar la velocidad inicialvacía «velocidad inicial v₀», introduce $a$ , $t$ y $s$ ; el campo de la velocidad inicial muestra $(s - \tfrac12 at^2)/t$ .
Hallar el tiempoel motor no lo admite; con $t$ vacío, el campo se queda vacío. A mano: $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ , $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ (la raíz positiva); o despeja primero $t$ a partir de $v$ en la calculadora de velocidad final y vuelve después a esta página.
Leer el resultadohasta 8 decimales, sin ceros finales.
Copiar la fórmulael botón de copiar a la derecha del título del panel copia el LaTeX s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 al portapapeles.

Ejemplos

Los cuatro ejemplos se recalculan con compute del motor phys-displacement; se muestran con un máximo de 8 decimales, sin ceros finales, en m/s, m/s², s y m.

Ejemplo 1: la caída libre 1 : 4 : 9

Entradas: $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 1$ . $s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 4.9.

Cambia el tiempo a 2 y 3: la interfaz muestra 19.6 y 44.1. La razón entre los tres números es $4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9$ : la distancia caída es proporcional al cuadrado del tiempo. La distancia añadida en cada segundo es 4.9, 14.7 y 24.5, en razón 1 : 3 : 5: es la «ley de los números impares» que Galileo dedujo en 1638 de sus experimentos con el plano inclinado y la base que usó para concluir que «la velocidad es proporcional al tiempo (y no a la distancia)».

Ejemplo 2: la distancia de frenado desde 100 km/h

Un coche circula a 100 km/h ( $27.78\ \text{m/s}$ ) y frena con $-5\ \text{m/s}^2$ . Primero se despeja en la calculadora de velocidad final el tiempo hasta parar, 5.55555556 s, y se vuelve a esta página: $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 5.55555556$ . $s = 27.77777778 \times 5.55555556 - \tfrac12 \times 5 \times 5.55555556^2 = 154.32098779 - 77.16049395 = 77.16049384$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 77.16049384. (En toda la cadena se usan los valores mostrados con 8 decimales; volver a 27.78 y 5.56 a mitad del cálculo da 77.1728 y el último dígito no coincide.)

Comprobación: la fórmula sin tiempo $v^2 = v_0^2 + 2as$ da $s = 27.77777778^2 / (2 \times 5) = 77.16049384$ , que coincide; la velocidad media $\tfrac12 \times 27.77777778 = 13.88888889\ \text{m/s}$ multiplicada por 5.55555556 s también da 77.16. La distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad: al doble de velocidad, el cuádruple de distancia; esta es la justificación física de los límites de velocidad.

Figura 1: el desplazamiento es el área bajo el gráfico v–t (izquierda: el triángulo de frenado del ejemplo 2); el gráfico s–t es una parábola (derecha: la caída libre del ejemplo 1, 1 : 4 : 9)

Ejemplo 3: despejar la aceleración y la velocidad inicial desde el desplazamiento

Despeje de la aceleración: un coche arranca desde el reposo y recorre 100 m en 8 s, ¿qué aceleración media tiene? Vacía $a$ e introduce $v_0 = 0$ , $t = 8$ y $s = 100$ : $a = 2 \times 100 / 64 = 3.125$ . La interfaz muestra: aceleración a 3.125.

Compara con la $a = 3.47222222$ del «0 a 100 km/h en 8 s» de la calculadora de velocidad final: en los mismos 8 s, aquel coche recorre $\tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11$ m. Introduce $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ y $t = 8$ : la interfaz muestra desplazamiento 111.11111104; el 04 final es una cola de redondeo que deja la aceleración de 8 decimales al sustituirla, no un error.

Despeje de la velocidad inicial: un objeto que frena con $a = -5$ recorre 50 m en 2 s, ¿a qué velocidad salió? Vacía $v_0$ e introduce $a = -5$ , $t = 2$ y $s = 50$ : $v_0 = (50 + 10)/2 = 30$ . La interfaz muestra: velocidad inicial v₀ 30.

Ejemplo 4: lanzamiento vertical y un tren

Lanzamiento vertical (hacia arriba positivo, $a = -9.8$ ): una pelota lanzada a 19.6 m/s, en $t = 2$ tiene $s = 39.2 - 19.6 = 19.6$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 19.6 — la altura máxima es de 19.6 m (en ese punto $v = 0$ ; véase el ejemplo 3 de la calculadora de velocidad final). En $t = 4$ , $s = 78.4 - 78.4 = 0$ ; la interfaz muestra 0: la pelota ha vuelto a la altura de la mano. El desplazamiento es nulo, pero la distancia recorrida por la pelota es 39.2 m: el desplazamiento es el cambio neto con signo y la distancia recorrida, la longitud total del camino.

Un tren: un tren que circula a 20 m/s acelera a 0.5 m/s² durante 1 minuto. $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $s = 1200 + 900 = 2100$ . La interfaz muestra: desplazamiento s 2100. La parte uniforme (1200 m) y la aportada por la aceleración (900 m) son sendos sumandos.

Las entradas del ejemplo 1 se pueden introducir directamente en el panel para reproducirlo; cambia el tiempo a 1, 2 y 4 y observa cómo el desplazamiento crece en la proporción 1 : 4 : 9 : 16; pon la aceleración en 1.62 (la Luna) y en los mismos 3 segundos solo caerá 7.29 m.

Fundamento y deducción

El desplazamiento es el área bajo el gráfico v–t

En el movimiento uniforme, el desplazamiento $= vt$ es el área de un rectángulo en el gráfico v–t. Con aceleración constante la velocidad cambia, pero se puede dividir el tiempo en muchos intervalos pequeños, aproximar cada uno como uniforme y sumar los desplazamientos: el resultado es el área de ese trapecio bajo la recta. La recta sube de $v_0$ hasta $v_0 + at$ y el área del trapecio es $= \tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ : de ahí viene el $\tfrac12$ . El triángulo de frenado de la izquierda de la figura 1 es el caso particular que va de $v_0 = 27.78$ a 0: área $\tfrac12 \times 27.78 \times 5.56$ . La calculadora del área del trapecio calcula exactamente lo mismo.

Entenderlo con la velocidad media

Con aceleración constante, la velocidad media es justo la media aritmética de la inicial y la final, $\bar v = \tfrac12 (v_0 + v)$ , y el desplazamiento es $= \bar v\, t$ . Sustituyendo $v = v_0 + at$ se vuelve a $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ . Esa es también la cuarta ecuación de la cinemática, $s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t$ . Solo vale con aceleración constante: si la aceleración varía, la velocidad media ya no es el punto medio entre la inicial y la final.

Eliminar el tiempo: $v^2 = v_0^2 + 2as$

De $v = v_0 + at$ se despeja $t = (v - v_0)/a$ ; sustituyendo en la fórmula del desplazamiento y simplificando se llega a $v^2 = v_0^2 + 2as$ , sin tiempo. El ejemplo 2 la usó para comprobar la distancia de frenado. Multiplicando los dos miembros por $\tfrac12 m$ queda $\tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs$ : el teorema de la energía cinética, el trabajo de la fuerza neta es igual a la variación de energía cinética. La calculadora de energía cinética continúa desde aquí.

El gráfico s–t es una parábola

$s$ es una función cuadrática de $t$ y su gráfica es una parábola (figura 1, derecha). Con $v_0 = 0$ el vértice está en el origen y la apertura la decide el signo de $a$ . La pendiente de la tangente en cualquier punto de la parábola es la velocidad en ese instante: en $t = 0$ la pendiente es $v_0$ . En un lanzamiento vertical, el gráfico s–t es una parábola abierta hacia abajo cuyo vértice es la altura máxima y cuyo segundo corte con el eje horizontal es el instante en que se vuelve a la altura de lanzamiento ( $t = 4$ en el ejemplo 4).

Por qué despejar el tiempo lleva a una ecuación de segundo grado

Dados $s$ , $v_0$ y $a$ , hallar $t$ exige resolver $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ . Puede tener dos raíces positivas (la pelota pasa dos veces por la misma altura: subiendo y bajando) o ninguna (la pelota no llega a esa altura). El motor prefiere no dar una única respuesta en el campo para no descartar una raíz en silencio; si hace falta, se calcula a mano como en el paso 5 de «Cómo se usa esta calculadora» y hay que mirar las dos raíces.

El plano inclinado de Galileo

La caída libre es demasiado rápida y en 1638 no había relojes capaces de medirla. Galileo hizo rodar bolas por un plano inclinado liso, cronometró con un reloj de agua y descubrió que la distancia era proporcional al cuadrado del tiempo y que las distancias en intervalos consecutivos iguales seguían la razón 1 : 3 : 5 : 7, sin cambiar la proporción al aumentar la inclinación. De ahí dedujo que la caída vertical (90°) se comportaría igual. La $g$ de $s = \tfrac12 g t^2$ no se midió con precisión hasta después de 1638.

Supuestos

Aceleración constante: $a$ no cambia durante todo el intervalo $t$ . La aceleración real de un vehículo varía con la velocidad, así que el resultado es un valor medio equivalente.
Movimiento rectilíneo, una dimensión: desplazamiento, velocidad y aceleración son colineales y la dirección se expresa con signos.
El movimiento continúa hasta $t$ : la fórmula no se corta cuando el objeto se detiene (véase el aviso tras el ejemplo 4).
Se desprecia la resistencia: los ejemplos de caída libre no incluyen la resistencia del aire.
Unidades del SI: m/s, m/s², s, m; sin conversiones.
Criterio de la interfaz: el $t$ vacío cuenta como 0, por eso al abrir el panel el desplazamiento muestra 0; al despejar, un denominador $t$ vacío se sustituye por 1.

Alcance y limitaciones

Se puede calcular: $s$ a partir de $v_0$ , $a$ y $t$ ; $a$ o $v_0$ a partir de $s$ , $t$ y la otra magnitud; admite valores y desplazamientos negativos.
Solo aproximado: un movimiento con aceleración variable solo se aproxima por tramos; tomar $g = 9.8$ introduce una diferencia de alrededor del 0.1 %.
No se puede calcular: el tiempo a partir del desplazamiento (ecuación de segundo grado, se hace a mano); la velocidad final (para eso, la calculadora emparejada); un tiro bidimensional (hay que separar componentes); la distancia recorrida (suma de valores absolutos, exige saber si hubo cambio de sentido).
No hace: no convierte unidades ni decide si el movimiento ya se ha detenido.
Numérico: sustituir valores con 8 decimales deja colas de redondeo en el último dígito (el 111.11111104 del ejemplo 3).

Errores frecuentes

Olvidar el ½: $s = at^2$ hace que la caída libre de 3 s dé 88.2 m, el doble del valor real. El $\tfrac12$ viene del área del triángulo, no es opcional.
Tomar el desplazamiento por la distancia recorrida: una pelota lanzada hacia arriba y recogida en el punto de partida tiene desplazamiento 0, pero distancia recorrida distinta de 0 (ejemplo 4).
Seguir calculando después de frenar: con $t$ mayor que el tiempo de frenado, la fórmula hace retroceder al coche (aviso tras el ejemplo 4).
Introducir km/h directamente: 100 km/h como 100 convierte la distancia de frenado en 1000 m. Hay que pasar antes a 27.78 m/s.
Olvidar el signo negativo al frenar: la $a$ del frenado es $-5$ ; con $+5$ la distancia crece sin parar.
Usar la velocidad final en lugar de la inicial: la $v_0$ de la fórmula es la velocidad al comienzo del intervalo.
Elevar al cuadrado algo que no sea el tiempo: en $\tfrac12 a t^2$ solo se eleva $t$ al cuadrado.

Casos de uso típicos

Enseñanza

La caída libre 1 : 4 : 9 y la ley de los números impares; el método del área en el gráfico v–t; desplazamiento y distancia recorrida; la simetría del lanzamiento vertical; el origen del teorema de la energía cinética.

Seguridad vial

La distancia de frenado para una velocidad y una deceleración dadas (sumando el tramo uniforme del tiempo de reacción $= v \times t_\text{reacción}$ ); explicación intuitiva de la relación cuadrática entre límite de velocidad y distancia de frenado.

Ingeniería

El recorrido de los tramos de aceleración y frenado de ascensores y cintas transportadoras; longitudes de posicionamiento en grúas y máquinas herramienta; retrocalcular la aceleración necesaria a partir de un recorrido y un tiempo.

Deporte y vida diaria

Estimar el tiempo y la velocidad de entrada al agua desde una plataforma de saltos; la altura máxima de un tiro; estimar la profundidad de un pozo o la altura de un edificio a partir del tiempo de caída (teniendo en cuenta el tiempo que tarda en volver el sonido).

Preguntas frecuentes

¿Por qué al abrir el panel el desplazamiento es 0 y el tiempo está vacío?

Porque aún no hay tiempo y el motor trata $t$ como 0; el motor no despeja el tiempo a partir del desplazamiento, así que el campo del tiempo se queda vacío. Al escribir el tiempo, todo funciona con normalidad.

¿Cómo se obtiene el tiempo a partir del desplazamiento?

Resolviendo la ecuación de segundo grado $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ : $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ ; con $v_0 = 0$ se simplifica a $t = \sqrt{2s/a}$ . O despeja primero $t$ a partir de $v$ en la calculadora de velocidad final.

¿Qué diferencia hay entre desplazamiento y distancia?

El desplazamiento es la distancia recta con signo entre el punto final y el inicial; la distancia recorrida es la longitud total del camino. En un movimiento recto sin cambiar de sentido coinciden; tras un cambio de sentido, el desplazamiento empieza a disminuir mientras la distancia sigue aumentando.

¿Por qué la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad?

En $v^2 = v_0^2 + 2as$ , con $v = 0$ , $s = v_0^2 / (2|a|)$ . Al doble de velocidad, $v_0^2$ se multiplica por cuatro.

¿Una pelota lanzada hacia arriba recorre lo mismo subiendo que bajando?

Sin resistencia, sí: la parábola s–t es simétrica respecto a la altura máxima. Con resistencia, el descenso es más lento y dura más.

¿Se puede usar con mucha resistencia del aire?

No. La resistencia crece con la velocidad y la aceleración deja de ser constante. Las gotas de lluvia, el paracaidismo o una pluma no son movimientos uniformemente acelerados.

Referencias y lecturas adicionales

Definición phys-displacement en el código del motor CalcX src/data/formulasScience.ts (compute(known, solveFor) para s / v₀ / a); todos los números de esta página los recalcula ese motor.
Wikipedia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）— tabla completa de las cinco magnitudes y las cuatro fórmulas, con sus deducciones.
Wikipedia, Displacement (geometry)（访问日期：2026-09-09）— definición de desplazamiento y de distancia recorrida.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, trad. inglesa de Crew y de Salvio（访问日期：2026-09-09）— texto original de la ley de los números impares y los experimentos del plano inclinado.
Wikipedia, Braking distance（访问日期：2026-09-09）— fórmula de la distancia de frenado, distancia de reacción y deceleraciones típicas.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time — definición de las magnitudes y unidades de desplazamiento, velocidad y aceleración.

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Sources & review

Updated: 2026-09-09

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