Calculateur de dilution C₁V₁ = C₂V₂ : volume prélevé

Le calculateur de dilution résout C1 V1 = C2 V2 : on prélève un volume V1 d'une solution mère de concentration C1, on ajoute du solvant jusqu'au volume total V2 et l'on obtient la concentration C2. Trois des quatre grandeurs suffisent pour retrouver la quatrième — jusqu'à quel volume faut-il diluer 10 mL d'acide chlorhydrique concentré à 12 mol/L pour obtenir 1 mol/L, quel volume prélever pour préparer 250 mL d'une solution à 0.5 mol/L, quelle était la concentration d'un échantillon mesuré à 0.1 mol/L après une dilution de 20 fois.

Calculateur de dilution C₁V₁ = C₂V₂ : volume prélevé

À propos de ce calculateur

Le calculateur de dilution résout $C_1 V_1 = C_2 V_2$ : on prélève un volume $V_1$ d'une solution mère de concentration $C_1$ , on ajoute du solvant jusqu'au volume total $V_2$ et l'on obtient la concentration $C_2$ . Trois des quatre grandeurs suffisent pour retrouver la quatrième — jusqu'à quel volume faut-il diluer 10 mL d'acide chlorhydrique concentré à 12 mol/L pour obtenir 1 mol/L, quel volume prélever pour préparer 250 mL d'une solution à 0.5 mol/L, quelle était la concentration d'un échantillon mesuré à 0.1 mol/L après une dilution de 20 fois.

La relation ne dit qu'une chose : la quantité de soluté ne change pas lors de la dilution, seul le volume varie. Comme c'est une proportion, la concentration n'est pas limitée aux mol/L : fraction massique (acide chlorhydrique à 37 %), g/L, mg/mL, ppm, facteurs « 10× » des tampons s'utilisent directement, à condition que $C_1$ et $C_2$ partagent la même unité et $V_1$ , $V_2$ la leur. Ce qu'est une mole, comment convertir les différentes concentrations et pourquoi le volume doit être « complété au trait » plutôt qu'additionné sont traités dans le calculateur de concentration molaire, page d'ancrage du pôle chimie ; ici, ces points ne sont rappelés qu'en passant.

Ce qu'il ne fait pas : pas de calcul du solvant à ajouter ( $V_2 - V_1$ , un calcul à la main, voir l'exemple 1) ; pas de vérification que la concentration cible est inférieure à celle de la solution mère (une dilution ne peut que diluer : avec $C_2 > C_1$ , le résultat n'a aucune signification physique, voir l'exemple 4) ; pas de volumes non additifs, de dégagement de chaleur ni de volatilité ; pas de conversion mL ↔ L ; inutilisable pour les « concentrations » à échelle logarithmique comme le pH.

Formules et variables

C_1 V_1 = C_2 V_2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \text{facteur de dilution}\ \frac{C_1}{C_2} = \frac{V_2}{V_1}

Les quatre résolutions inverses (toutes implémentées dans le moteur) :

V_2 = \frac{C_1 V_1}{C_2},\quad C_2 = \frac{C_1 V_1}{V_2},\quad V_1 = \frac{C_2 V_2}{C_1},\quad C_1 = \frac{C_2 V_2}{V_1}

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$C_1$	Concentration de la solution mère (stock)	Concentration initiale C₁ (mol/L)	mol/L (ou toute unité de concentration cohérente avec $C_2$ )	$C_1 > 0$ ; 12 par défaut (acide chlorhydrique concentré du commerce, environ 12 mol/L)
$V_1$	Volume prélevé dans la solution mère	Volume prélevé V₁ (mL)	mL (ou toute unité de volume cohérente avec $V_2$ )	$V_1 > 0$ ; 10 par défaut
$C_2$	Concentration cible après dilution	Concentration cible C₂ (mol/L)	identique à $C_1$	$0 < C_2 < C_1$ ; sans valeur par défaut
$V_2$	Volume total après dilution (volume final complété au trait, pas le volume de solvant ajouté)	Volume final V₂ (mL)	identique à $V_1$	$V_2 > V_1$ ; sans valeur par défaut

Les unités affichées sur le panneau sont mol/L et mL, mais les grandeurs de même nature se divisent et les unités s'annulent : on peut saisir des %, des g/L ou des L, à condition d'être cohérent des deux côtés. Solvant à ajouter $= V_2 - V_1$ (quand les volumes sont additifs).

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Loi de dilution » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.chem-dilution). À l'ouverture, « Concentration initiale C₁ » = 12 et « Volume prélevé V₁ » = 10 sont préremplis, et « Concentration cible C₂ » comme « Volume final V₂ » portent la mention « calculé » et affichent 120 — ces deux 120 ne sont pas des résultats : quand l'autre inconnue est vide, le moteur la remplace par 1, d'où $12 \times 10 / 1 = 120$ . L'affichage ne devient significatif qu'après la saisie de $C_2$ ou de $V_2$ .
Calculer le volume final(l'usage le plus courant) : saisissez la concentration cible $C_2$ ; le champ du volume final affiche $C_1 V_1 / C_2$ . Le solvant à ajouter vaut $V_2 - V_1$ .
Calculer la concentration ciblevidez $C_2$ et saisissez le volume final $V_2$ ; le champ de la concentration cible affiche $C_1 V_1 / V_2$ .
Résoudre le volume à prélever(la question la plus fréquente en préparation) : videz « Volume prélevé V₁ », saisissez $C_1$ , $C_2$ et $V_2$ ; le champ affiche $C_2 V_2 / C_1$ — le volume de solution mère à pipeter.
Résoudre la concentration initialevidez « Concentration initiale C₁ », saisissez $V_1$ , $C_2$ et $V_2$ ; le champ affiche $C_2 V_2 / V_1$ — remonter à la solution mère à partir de la concentration mesurée après dilution.
Les quatre champs remplistous affichent la valeur saisie, le moteur ne calcule plus et ne vérifie pas leur cohérence. Pour recalculer, videz la grandeur cherchée.
Lire le résultatla valeur s'affiche avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés. Avec $C_2 = 0$ , $V_2$ affiche ∞ — diluer jusqu'à une concentration nulle exigerait un volume infini.
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place le LaTeX C_1 V_1 = C_2 V_2 dans le presse-papiers.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur chem-dilution ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés, avec des unités cohérentes entre $C_1$ et $C_2$ d'une part, $V_1$ et $V_2$ d'autre part.

Exemple 1 : diluer de l'acide chlorhydrique à 12 mol/L en solution à 1 mol/L

Entrées : $C_1 = 12$ , $V_1 = 10$ , $C_2 = 1$ . $V_2 = 12 \times 10 / 1 = 120$ . Affichage : volume final V₂ 120. Les 10 mL de solution mère contiennent $12 \times 0.010 = 0.12$ mol de HCl ; après complément à 120 mL, il y a toujours 0.12 mol, soit $0.12 / 0.120 = 1$ mol/L. L'eau à ajouter est $120 - 10 = 110$ mL, pas 120 mL — $V_2$ est le volume total.

Vérification inverse : videz $C_2$ et saisissez $V_2 = 120$ : $C_2 = 12 \times 10 / 120 = 1$ . Affichage : concentration cible C₂ 1. Facteur de dilution $C_1/C_2 = V_2/V_1 = 12$ .

Figure 1 : exemple 1. Le nombre de points de soluté est identique des deux côtés (24) : ils sont simplement séparés par plus d’eau — c’est cela, C₁V₁ = C₂V₂

Exemple 2 : la question inverse — quel volume prélever

Résoudre le volume prélevé : pour préparer 250 mL d'acide chlorhydrique à 0.5 mol/L à partir d'une solution mère à 12 mol/L, videz $V_1$ et saisissez $C_1 = 12$ , $C_2 = 0.5$ , $V_2 = 250$ : $V_1 = 0.5 \times 250 / 12 = 10.41666667$ . Affichage : volume prélevé V₁ 10.41666667 — impossible à mesurer à la pipette de 10 mL ; au laboratoire, on prendra une pipette graduée de 25 mL pour prélever 10.4 mL, ou l'on choisira une combinaison divisant $C_1$ juste.

Autre exemple : préparer 500 mL d'une solution à 0.1 mol/L à partir d'un stock à 1 mol/L. Videz $V_1$ et saisissez $C_1 = 1$ , $C_2 = 0.1$ , $V_2 = 500$ : $V_1 = 50$ . Affichage : 50 — prélever 50 mL de stock dans une fiole jaugée de 500 mL, puis compléter au trait. Dilution d'un facteur 10.

Résoudre la concentration initiale : un échantillon de concentration inconnue est prélevé à 5 mL puis dilué à 100 mL, et la mesure donne 0.1 mol/L. Videz $C_1$ et saisissez $V_1 = 5$ , $C_2 = 0.1$ , $V_2 = 100$ : $C_1 = 0.1 \times 100 / 5 = 2$ . Affichage : concentration initiale C₁ 2. C'est l'usage le plus courant en chimie analytique : un échantillon trop concentré fausse la mesure, on dilue puis on mesure, et on multiplie à la fin par le facteur de dilution 20.

Exemple 3 : dilution en série — dix fois, dix fois, encore dix fois

Pour le comptage microbien ou la mesure d'activité enzymatique, il faut descendre de plusieurs ordres de grandeur ; prélever 1 μL dans 10 L d'un coup n'est pas réaliste, alors on procède par étapes. D'une solution à 0.1 mol/L, prélever 1 mL et compléter à 10 mL : $C_1 = 0.1$ , $V_1 = 1$ , $V_2 = 10$ : $C_2 = 0.01$ . Affichage : concentration cible C₂ 0.01. En prenant cette solution 0.01 comme nouveau $C_1$ et en prélevant à nouveau 1 mL dans 10 mL : $C_1 = 0.01$ , $V_1 = 1$ , $V_2 = 10$ : l'interface affiche 0.001. Chaque étape dilue d'un facteur 10 ; après $n$ étapes le facteur total vaut $10^n$ , soit 1000 pour trois étapes.

En pratique, chaque étape est « 1 mL d'échantillon + 9 mL de diluant » — le diluant ajouté est $V_2 - V_1 = 9$ , pas 10. L'erreur de pipetage d'une étape est amplifiée telle quelle par toutes les suivantes : chaque étape exige donc une pipette étalonnée.

Exemple 4 : les pourcentages aussi, et deux « impossibles »

Fraction massique, directement : un désinfectant à préparer à 0.5 % à partir d'eau de Javel à 5 %, en prélevant 100 mL. $C_1 = 5$ , $V_1 = 100$ , $C_2 = 0.5$ : $V_2 = 1000$ . Affichage : volume final V₂ 1000 — 100 mL d'eau de Javel complétés à 1 L d'eau, dilution d'un facteur 10. L'unité est le %, la formule s'en moque.

500 mL d'alcool à 70 % à partir d'alcool à 95 % : videz $V_1$ et saisissez $C_1 = 95$ , $C_2 = 70$ , $V_2 = 500$ : $V_1 = 70 \times 500 / 95 = 368.42105263$ . Affichage : volume prélevé V₁ 368.42105263 — mesurer 368 mL d'alcool puis compléter à 500 mL. On ne peut pas « ajouter 132 mL d'eau » : le mélange éthanol-eau se contracte, 368 + 132 donne moins de 500 mL et la concentration finale dépasserait légèrement 70 %.

Impossible de concentrer : $C_1 = 1$ , $V_1 = 10$ , $C_2 = 2$ : le moteur renvoie $V_2 = 5$ . Affichage 5 — moins que le volume prélevé. La formule est algébriquement valable, mais physiquement elle exigerait de « retirer 5 mL d'eau » : c'est une évaporation, pas une dilution. Quand la concentration cible dépasse celle de la solution mère, le résultat n'a pas de sens.

Inutilisable pour le pH : diluer 10 fois un acide à pH 1 donne pH 2, et non « pH 10 ». Le pH est le logarithme négatif de $[\text{H}^+]$ ; $C_1 V_1 = C_2 V_2$ ne vaut que pour des concentrations proportionnelles à la quantité de soluté. Il faut d'abord revenir à $[\text{H}^+] = 10^{-\text{pH}}$ , diluer, puis reprendre le logarithme.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; passez la concentration cible à 0.5, 0.1 puis 0.01 et observez le volume final croître en raison inverse : 240, 1200 puis 12000 mL ; passez la concentration initiale à 37 (fraction massique) et la cible à 10 : les pourcentages fonctionnent aussi.

Principes et démonstration

De « le soluté ne change pas » à $C_1V_1 = C_2V_2$

La concentration est définie par $c = n/V$ (concentration molaire), donc la quantité de soluté dans une solution vaut $n = cV$ . Diluer consiste simplement à ajouter du solvant : pas une molécule de soluté en plus, pas une en moins. Avant la dilution $n = C_1 V_1$ , après $n = C_2 V_2$ , et les deux sont égaux — toute la démonstration tient là. Les 24 points de part et d'autre de la figure 1 illustrent cette phrase.

Les deux membres étant le même $n$ , l'égalité vaut pour toute concentration de la forme « quantité = concentration × volume » : concentration massique (g/L × L = g), fraction massique (approximativement, si la densité de la solution varie peu), ppm, unités d'activité/mL, colonies/mL. C'est pourquoi le panneau, bien qu'étiqueté mol/L et mL, accepte des % et des L.

Facteur de dilution et proportionnalité inverse

En réécrivant l'égalité sous la forme $C_2 / C_1 = V_1 / V_2$ : le facteur de réduction de la concentration égale le facteur d'augmentation du volume. À $n$ fixé, $C$ et $V$ sont en proportionnalité inverse. « Dilution 12 fois », « dilution 1 : 11 », « stock 12× » désignent tous $V_2 / V_1 = 12$ — attention, « 1 : 11 » signifie 1 partie de solution mère plus 11 parties de solvant, soit 12 parties au total, et non « 1 : 12 » (13 parties). Les deux écritures existent dans les cahiers de laboratoire : à vérifier avant usage.

Pourquoi « compléter au trait » plutôt qu'« ajouter tant d'eau »

$V_2$ est le volume total de la solution après dilution. La méthode la plus fiable est la fiole jaugée : verser la solution mère, compléter au trait avec le solvant, homogénéiser. $V_2$ est alors la contenance nominale de la fiole, que les volumes soient additifs ou non. « Ajouter $V_2 - V_1$ d'eau » n'est équivalent que si les volumes s'additionnent — c'est presque vrai pour les solutions aqueuses diluées, faux pour l'éthanol et l'eau ou les acides concentrés (l'alcool de l'exemple 4). Les fioles jaugées sont étalonnées à 20 °C (ISO 1042) ; une fiole de 250 mL de classe A tolère ±0.15 mL, et chaque écart de 10 °C par rapport à 20 °C entraîne une dérive de volume d'environ 0.2 %.

Les mathématiques de la dilution en série

Si $n$ étapes appliquent des facteurs $d_i$ , le facteur total est le produit $\prod d_i$ ; avec des facteurs de 10, il vaut $10^n$ . Les erreurs se propagent aussi de façon multiplicative : 1 % d'erreur relative par étape donne environ 3 % après trois étapes. C'est pourquoi les comptages microbiologiques font souvent des dilutions parallèles de plusieurs ordres différents pour se recouper. La dilution en série s'est imposée en bactériologie avec les méthodes de comptage sur milieu solide de l'époque de Koch (années 1880) et reste aujourd'hui le prétraitement standard des numérations de colonies.

Un peu d'histoire

L'analyse volumétrique — doser une solution par une autre de concentration connue — a été systématisée par Gay-Lussac vers 1824, qui a aussi donné son nom à la pipette et à la burette. C'est avec des pipettes et des fioles jaugées précises que « prélever $V_1$ et compléter à $V_2$ » est devenu une opération reproductible, et que $C_1 V_1 = C_2 V_2$ est passée d'identité algébrique à outil quotidien du laboratoire.

Hypothèses

Conservation du soluté : pendant la dilution, le soluté ne s'évapore pas, ne réagit pas, ne précipite pas et n'est pas adsorbé par le récipient.
$V_2$ est le volume total après complément au trait : pas le volume de solvant ajouté.
Concentration proportionnelle à la quantité de soluté : mol/L, g/L, %, ppm conviennent ; les échelles logarithmiques comme pH ou pKa, non.
Cohérence des unités de même nature : $C_1$ et $C_2$ dans la même unité, $V_1$ et $V_2$ dans la même unité ; les mol/L et mL du panneau ne sont que des étiquettes.
Température constante : les volumes sont définis à la même température.
Convention de l'interface : avec $C_2$ et $V_2$ vides, les deux affichent 120 (dénominateur remplacé par 1) ; $C_2 = 0$ affiche ∞ ; les quatre champs remplis ne sont ni calculés ni vérifiés.

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: une des quatre grandeurs connaissant les trois autres ; tout nombre positif ; toute unité de concentration linéaire ; la dilution en série étape par étape.
Ce qu'il ne peut qu'approximer: remplacer le complément au trait par « ajouter $V_2 - V_1$ de solvant » donne une très petite erreur dans les solutions aqueuses diluées, mais ne convient pas aux solvants organiques ni aux acides et bases concentrés ; la fraction massique suppose que la densité de la solution varie peu.
Ce qu'il ne peut pas calculer: le volume de solvant à ajouter (à la main, $V_2 - V_1$ ) ; le résultat du mélange de deux solutions de concentrations différentes (c'est une moyenne pondérée, $C = (C_1 V_1 + C_2 V_2)/(V_1 + V_2)$ ) ; une concentration ( $C_2 > C_1$ n'a pas de sens) ; la dilution d'un pH (revenir d'abord à $[\text{H}^+]$ ) ; le soluté consommé par une réaction.
Ce qu'il ne fait pas: les conversions d'unités ; les jugements de sécurité.
Numérique: 8 décimales, zéros de fin supprimés.

Erreurs fréquentes

Prendre $V_2$ pour l'eau à ajouter : l'exemple 1 demande d'ajouter 110 mL, pas 120 (figure 1).
Unités incohérentes entre les deux membres : $V_1$ en mL et $V_2$ en L donnent un écart d'un facteur 1000 ; $C_1$ en mol/L et $C_2$ en % n'ont aucun sens. Il suffit que les grandeurs de même nature partagent la même unité.
Croire que le panneau n'accepte que des mol/L : %, g/L et ppm s'y saisissent aussi, la formule est une proportion (exemple 4).
Utiliser la formule pour « concentrer » : avec $C_2 > C_1$ , le $V_2 < V_1$ obtenu n'a pas de sens physique (exemple 4).
Appliquer $C_1V_1$ à un pH : le pH est logarithmique ; diluer 10 fois fait varier le pH de 1, pas d'un facteur 10.
Additionner des volumes de solvants organiques : éthanol et eau se contractent ; compléter au trait plutôt qu'ajouter un volume fixe d'eau (exemple 4).
Prendre le 120 affiché à l'ouverture pour un résultat : il vient du dénominateur remplacé par 1 ; il ne vaut qu'après saisie de $C_2$ ou de $V_2$ .
Les deux lectures de « 1 : 10 » : 1 + 9 ou 1 + 10, à confirmer avant de calculer.

Cas d'usage typiques

Pédagogie

De la conservation du soluté à $C_1V_1 = C_2V_2$ ; facteur de dilution et proportionnalité inverse ; complément au trait et volumes non additifs ; pourquoi le pH ne se dilue pas directement.

Préparation au laboratoire

Préparer des solutions de travail à partir d'acides, de bases et de stocks du commerce : résoudre le volume à prélever ; remonter à la concentration d'origine après une pré-dilution d'échantillon ; passer d'un tampon 10× à un tampon 1×.

Biologie et microbiologie

Numération de colonies après dilutions décimales en série ; dilutions en gradient d'enzymes, d'anticorps ou d'ADN ; ajustement d'une suspension cellulaire à une densité cible (les cellules/mL relèvent de la même formule).

Vie quotidienne et désinfection

Diluer eau de Javel, désinfectants, pesticides et produits d'entretien selon les pourcentages de l'étiquette ; préparer de l'alcool à 70–75 % à partir d'alcool à 95 %.

Questions fréquentes

Pourquoi la concentration cible et le volume final affichent-ils 120 à l'ouverture ?

Les deux inconnues étant vides, le moteur remplace celle qui manque par 1 : $12 \times 10 / 1 = 120$ . Dès que $C_2$ ou $V_2$ est saisi, l'autre devient le vrai résultat.

Quelle quantité d'eau faut-il ajouter ?

$V_2 - V_1$ . Dans l'exemple 1, $120 - 10 = 110$ mL. Le panneau ne donne que le volume total.

La concentration doit-elle être en mol/L et le volume en mL ?

Non. Il suffit que $C_1$ et $C_2$ soient dans la même unité et $V_1$ , $V_2$ dans la même unité : %, g/L, ppm et L conviennent.

Que faire si la concentration cible est supérieure à celle de la solution mère ?

La dilution ne le permet pas ; le $V_2 < V_1$ renvoyé par la formule n'a pas de sens. Il faut évaporer du solvant ou refaire la solution.

Diluer 100 fois un acide à pH 2 donne quel pH ?

Environ pH 4 : $[\text{H}^+]$ passe de $10^{-2}$ à $10^{-4}$ . On ne peut pas injecter la valeur de pH dans $C_1V_1 = C_2V_2$ .

Pourquoi insister sur le « complément au trait » ?

Les volumes ne s'additionnent pas toujours : l'éthanol se contracte dans l'eau, un acide concentré libère de la chaleur et se dilate. C'est en complétant au trait dans une fiole jaugée que $V_2$ est exact.

Comment calculer le mélange de deux solutions de concentrations différentes ?

Ce n'est pas une dilution mais un mélange : $C = (C_1V_1 + C_2V_2)/(V_1 + V_2)$ , à calculer à la main.

Références et pour aller plus loin

Code source du moteur CalcX : définition chem-dilution dans src/data/formulasScience.ts (compute(known, solveFor) résout dans les quatre sens V₂ / C₂ / V₁ / C₁, avec dénominateur vide remplacé par 1) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Dilution (equation)（访问日期：2026-09-09）——démonstration de $C_1V_1 = C_2V_2$ , facteur de dilution et conditions d'application.
Wikipédia, Serial dilution（访问日期：2026-09-09）——facteurs des dilutions en série, propagation des erreurs et usage en numération microbienne.
Wikipédia, Volumetric flask（访问日期：2026-09-09）——complément au trait, tolérances des classes A/B et étalonnage à 20 °C.
Wikipédia, Titration（访问日期：2026-09-09）——histoire de l'analyse volumétrique fondée par Gay-Lussac en 1824, qui a nommé la pipette et la burette.
Wikipédia, Sulfuric acid（访问日期：2026-09-09）——chaleur dégagée par la dilution des acides concentrés et règle de sécurité « l'acide dans l'eau ».
ISO 1042:1998, Laboratory glassware — One-mark volumetric flasks——tolérances de contenance des fioles jaugées à un trait et température de référence de 20 °C.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09

Wikipédia : Dilution (equation)（访问日期：2026-09-09）
Wikipédia : Serial dilution（访问日期：2026-09-09）
Wikipédia : Volumetric flask（访问日期：2026-09-09）
Wikipédia : Titration — History (analyse volumétrique de Gay-Lussac, 1824)（访问日期：2026-09-09）
Wikipédia : Sulfuric acid — Safety (dilution des acides concentrés et règle « l'acide dans l'eau »)（访问日期：2026-09-09）
ISO 1042:1998 Laboratory glassware — One-mark volumetric flasks (tolérances des fioles jaugées à un trait et température d'étalonnage de 20 °C)