Calculateur v = v₀ + at : vitesse finale et accélération

À propos de ce calculateur

Le calculateur de mouvement rectiligne uniformément accéléré résout $v = v_0 + at$ : connaissant la vitesse initiale $v_0$ , l'accélération $a$ et la durée $t$ , il donne la vitesse finale $v$ ; trois des quatre grandeurs suffisent pour retrouver la quatrième — combien de secondes pour s'arrêter, quelle accélération pour passer de 0 à 100 km/h en 8 s, à quelle vitesse part une balle qui s'immobilise 2 s après le lancer.

« Mouvement uniformément accéléré » signifie accélération constante : chute libre ( $a = g$ ), accélération et freinage réguliers d'une voiture, train qui entre en gare, lancer vertical vers le haut s'en approchent tous. C'est la plus fondamentale des formules de cinématique — la définition de l'accélération écrite autrement — et le point de départ de toutes les formules du mouvement : la formule du déplacement $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ se trouve dans le calculateur de déplacement uniformément accéléré ; l'origine de l'accélération ( $a = F/m$ ), les unités et les conventions vectorielles sont traitées dans la deuxième loi de Newton.

Ce qu'il ne fait pas : pas de déplacement ni de distance ; pas de mouvement à accélération variable (chute où la résistance de l'air est notable, démarrage irrégulier) ; uniquement à une dimension — les mouvements courbes et les composantes horizontale et verticale d'un projectile se traitent séparément ; pas de conversion d'unités (convertir d'abord les km/h en m/s).

Formules et variables

v = v_0 + a\,t \qquad\Longleftrightarrow\qquad a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{\Delta v}{\Delta t}

Résolutions inverses :

t = \frac{v - v_0}{a},\qquad a = \frac{v - v_0}{t},\qquad v_0 = v - a\,t

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$v_0$	Vitesse initiale (à $t = 0$ )	Vitesse initiale v₀ (m/s)	m/s	Réel quelconque ; 0 par défaut. Un signe négatif indique un sens opposé à l'orientation positive
$a$	Accélération (constante)	Accélération a (m/s²)	m/s²	Réel quelconque ; 9.8 par défaut. Positive si elle va dans le sens de la vitesse (accélération), négative sinon (freinage)
$t$	Durée écoulée	Temps t (s)	s	$t \ge 0$ ; sans valeur par défaut, champ vide à l'ouverture
$v$	Vitesse finale (à l'instant $t$ )	Vitesse finale v (m/s)	m/s	Résultat ; en résolution inverse, sert d'entrée

Cohérence des unités : $\text{m/s}^2 \times \text{s} = \text{m/s}$ . L'accélération par défaut, 9.8, est la valeur scolaire de l'accélération de la pesanteur ; la valeur standard est $g_0 = 9.806\,65$ et la discussion des valeurs retenues figure dans la deuxième loi de Newton.

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Mouvement uniformément accéléré » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-uniform-accel). À l'ouverture, « Vitesse initiale v₀ » = 0 et « Accélération a » = 9.8 sont préremplis et « Temps t » est vide ; « Temps t » et « Vitesse finale v » portent alors la mention « calculé » et affichent 0 — le moteur traite le $t$ vide comme 0, $v = 0 + 9.8 \times 0 = 0$ , ce n'est pas un résultat.
Calculer la vitesse finalesaisissez le nombre de secondes dans « Temps t » ; la vitesse finale se met à jour immédiatement. Pour un freinage, saisissez une valeur négative pour $a$ .
Résoudre le tempsvidez « Temps t » et saisissez « Vitesse finale v » (0 pour un arrêt) ; le champ du temps passe à « calculé » et affiche $(v - v_0)/a$ .
Résoudre l'accélérationvidez « Accélération a », saisissez $v_0$ , $v$ et $t$ ; le champ de l'accélération affiche $(v - v_0)/t$ .
Résoudre la vitesse initialevidez « Vitesse initiale v₀ », saisissez $a$ , $t$ et $v$ ; le champ de la vitesse initiale affiche $v - at$ .
Lire le résultatla valeur s'affiche avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés. Avec $a = 0$ , le temps inverse vaut $0/0$ et le champ reste vide — dans un mouvement uniforme, « à quel instant atteindre une vitesse donnée » n'a pas de réponse unique.
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place le LaTeX v = v_0 + at dans le presse-papiers.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur phys-uniform-accel ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés, avec les unités m/s, m/s² et s.

Exemple 1 : chute libre de 3 s

Entrées : $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 3$ . $v = 0 + 9.8 \times 3 = 29.4$ . Affichage : vitesse finale v 29.4 — environ 106 km/h. Chaque seconde, la vitesse augmente de 9.8 m/s : voilà ce que signifie « accélération de 9.8 m/s² » — de combien la vitesse change chaque seconde. Une chute de 10 étages (environ 30 m) dure à peu près 2.5 s et atteint 24 m/s.

Exemple 2 : une voiture atteint 100 km/h en 8 s, puis freine

Résoudre l'accélération : videz $a$ , saisissez $v_0 = 0$ , $v = 27.77777778$ (100 km/h) et $t = 8$ : $a = 27.77777778 / 8 = 3.47222222$ . Affichage : accélération a 3.47222222. Ressaisissez ces valeurs pour vérifier ( $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ , $t = 8$ ) : l'interface affiche une vitesse finale de 27.77777776 — le 6 final est une queue d'arrondi due au report de l'accélération arrondie à 8 décimales, pas une erreur.

Freinage en cours de route : $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 3$ : $v = 27.78 - 15 = 12.77777778$ . Affichage : vitesse finale v 12.77777778 (environ 46 km/h).

Résoudre le temps d'arrêt : videz $t$ , saisissez $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ et $v = 0$ : $t = (0 - 27.78)/(-5) = 5.55555556$ . Affichage : temps t 5.55555556. Le quotient de deux nombres négatifs est positif — le temps l'est évidemment aussi. Les 77.16 m parcourus pendant ce freinage se calculent avec le calculateur de déplacement.

Figure 1 : sur un graphique v–t, un mouvement uniformément accéléré est une droite dont la pente est l’accélération. À gauche : la voiture de l’exemple 2 ; à droite : la balle lancée verticalement de l’exemple 3 — quand la vitesse passe par zéro, l’accélération vaut toujours −9.8 et la droite ne présente aucune cassure

Exemple 3 : lancer vertical — l'accélération n'est pas nulle au sommet

En prenant le sens vers le haut comme positif, $a = -9.8$ . Une balle lancée atteint son sommet au bout de 2 s ( $v = 0$ ) : à quelle vitesse est-elle partie ? Videz $v_0$ , saisissez $v = 0$ , $a = -9.8$ et $t = 2$ : $v_0 = 0 - (-9.8)(2) = 19.6$ . Affichage : vitesse initiale v₀ 19.6.

À la 3e seconde : $v_0 = 19.6$ , $a = -9.8$ , $t = 3$ : $v = 19.6 - 29.4 = -9.8$ . Affichage : vitesse finale v −9.8 — le signe négatif indique que la balle redescend. L'accélération vaut $-9.8$ pendant tout le mouvement, y compris à l'instant du sommet ; seule la vitesse change de signe. La droite de droite sur la figure 1 traverse le zéro sans aucune cassure.

Exemple 4 : un train, et le cas limite du mouvement uniforme

Train : un train roulant à 20 m/s accélère à 0.5 m/s² pendant 1 minute. $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $v = 20 + 30 = 50$ . Affichage : vitesse finale v 50 (180 km/h). Une accélération faible ne signifie pas une petite variation de vitesse — sur une longue durée, l'effet reste notable.

Mouvement uniforme : $v_0 = 5$ , $a = 0$ , on cherche « quand atteindre $v = 5$ » ; le champ du temps reste vide : $0/0$ n'est pas défini, en mouvement uniforme la vitesse vaut 5 m/s à tout instant.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau pour le reproduire ; passez le temps à 1, 2, 4, 5 et observez la vitesse finale croître par multiples entiers de 9.8 ; remplacez l'accélération par 1.62 (Lune) pour voir qu'en 3 s la vitesse n'atteint que 4.86 m/s.

Principes et démonstration

Cette formule est la définition de l'accélération

L'accélération est définie comme le taux de variation de la vitesse : $a = \Delta v / \Delta t$ . À accélération constante, $\Delta v = a\Delta t$ ; en partant de $v_0$ à $t = 0$ , on a $v = v_0 + at$ au bout de $t$ secondes. Il n'y a pas de « démonstration » à faire : c'est la définition, réarrangée. L'affirmation qui a réellement du contenu est « l'accélération est constante » — une hypothèse sur le mouvement, garantie par la deuxième loi de Newton : si la résultante des forces est constante (la gravité par exemple), l'accélération l'est aussi.

Graphique v–t : droite et pente

En traçant la vitesse en fonction du temps, un mouvement uniformément accéléré est une droite dont l'ordonnée à l'origine est $v_0$ et la pente $a$ . Sur la droite de gauche de la figure 1 (la voiture), deux points quelconques donnent $\Delta v / \Delta t = 13.89 / 4 = 3.47$ , soit exactement l'accélération obtenue par résolution inverse — c'est précisément ce que fait le calculateur de pente. Une pente négative (figure 1, à droite) signifie un freinage ou une accélération en sens inverse ; lorsque la droite traverse l'axe horizontal, la vitesse change de sens. L'aire sous la droite est le déplacement : ce sera l'objet de la page suivante.

Convention de signes : vecteurs à une dimension

La vitesse et l'accélération sont des vecteurs ; à une dimension, le sens est porté par le signe. On choisit d'abord une orientation positive (en général celle de la vitesse initiale ou « vers le haut »), puis : si $a$ et $v$ ont le même signe, la norme de la vitesse augmente ; si les signes diffèrent, elle diminue. Dans l'exemple 3, la balle monte avec $v > 0$ et $a < 0$ (ralentissement), puis redescend avec $v < 0$ et $a < 0$ (accélération de même signe) — l'accélération n'a pas changé d'un bout à l'autre. La « décélération » n'est pas une autre grandeur physique : c'est simplement une accélération négative.

Galilée et la chute libre

« Tous les corps, quelle que soit leur masse, tombent avec la même accélération » : c'est la conclusion que Galilée tire en 1638 dans les Discorsi. Il « dilue » la gravité avec un plan incliné pour la mesurer et constate que la vitesse est proportionnelle au temps (et non à la distance). $a = g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$ est la valeur approchée à la surface de la Terre ; elle vaut 1.62 sur la Lune et 3.72 sur Mars. Quand la résistance de l'air est notable (plume, goutte de pluie, parachutiste), l'accélération diminue à mesure que la vitesse augmente jusqu'à s'annuler (vitesse limite) : le mouvement n'est plus uniformément accéléré.

Lien avec les autres formules cinématiques

À côté des quatre grandeurs $v_0$ , $v$ , $a$ et $t$ , il y a le déplacement $s$ : cinq grandeurs reliées par quatre formules usuelles, chacune en omettant une : $v = v_0 + at$ (sans $s$ ), $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ (sans $v$ ), $v^2 = v_0^2 + 2as$ (sans $t$ ) et $s = \tfrac12(v_0 + v)t$ (sans $a$ ). Ce calculateur est la première ; la deuxième est dans le calculateur de déplacement ; la troisième s'obtient en éliminant $t$ entre les deux premières, et c'est l'origine de la formule de l'énergie cinétique $\tfrac12 mv^2$ .

Hypothèses

Accélération constante : $a$ ne change pas pendant tout l'intervalle. L'accélération réelle d'un véhicule varie avec le rapport engagé et la vitesse ; la valeur calculée est une moyenne.
Mouvement rectiligne, une dimension : vitesse et accélération sont colinéaires, le sens est donné par le signe.
Frottements négligés : les exemples de chute libre ne tiennent pas compte de la résistance de l'air.
Unités SI : m/s, m/s², s ; aucune conversion.
Convention de l'interface : un champ vide compte pour 0 dans le moteur (et le dénominateur est ramené à 1 en résolution inverse) ; c'est pourquoi la vitesse finale affiche 0 à l'ouverture du panneau.

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: trouver l'une des grandeurs $v_0$ , $a$ , $t$ , $v$ connaissant les trois autres, valeurs négatives comprises.
Ce qu'il ne peut qu'approximer: un mouvement à accélération variable ne peut être approché que par morceaux ; prendre $g = 9.8$ introduit un écart d'environ 0.1 %.
Ce qu'il ne peut pas calculer: le déplacement (utiliser le calculateur de déplacement), les relations sans temps comme $v^2 = v_0^2 + 2as$ (à la main), les projectiles à deux dimensions (calculer chaque direction séparément), les mouvements à accélération variable dans le temps.
Ce qu'il ne fait pas: les conversions d'unités ; avec $a = 0$ , la résolution du temps n'a pas de solution.
Numérique: le report d'une valeur à 8 décimales produit une queue d'arrondi (27.77777776 dans l'exemple 2).

Erreurs fréquentes

Prendre des km/h pour des m/s : « l'accélération » obtenue a pour unité (km/h)/s et un nombre 3.6 fois trop grand (encadré de l'exemple 4).
Croire l'accélération nulle au sommet : à l'instant où la vitesse s'annule, l'accélération vaut toujours $-9.8$ (exemple 3).
Oublier le signe négatif en freinage : pour freiner, $a$ est négatif ; une valeur positive ferait accélérer le mobile.
Confondre $v$ avec une norme : $v$ est une grandeur signée ; le $-9.8$ de l'exemple 3 signifie 9.8 m/s vers le bas, pas une « vitesse négative ».
Saisir le temps en minutes : 60 s ne vaut pas 1 ; dans l'exemple 4, saisir $t = 1$ pour le train ne donne que 20.5.
Prendre la vitesse moyenne pour la vitesse finale : d'une accélération uniforme de 0 à 27.78, la vitesse moyenne est 13.89 ; la vitesse finale est 27.78.

Cas d'usage typiques

Pédagogie

Rendre intuitive la définition de l'accélération ; pente d'un graphique v–t ; convention de signes et lancer vertical ; la chute libre de Galilée.

Transport

Convertir temps d'accélération et accélération moyenne sur 0–100 km/h ; temps d'arrêt pour une décélération donnée ; durée nécessaire à un train pour atteindre sa vitesse cible.

Sport et sécurité

Vitesse pendant la phase initiale d'un saut en parachute (avant la vitesse limite) ; estimation de l'accélération au départ d'un sprint ; estimation de la vitesse de chute (avec la page déplacement pour la hauteur).

Ingénierie

Dimensionner les temps d'accélération et de décélération d'ascenseurs, de convoyeurs et d'avances de machine-outil ; durée d'accélération pour une accélération maximale autorisée.

Questions fréquentes

Pourquoi la vitesse finale vaut-elle 0 à l'ouverture du panneau ?

Le temps n'est pas encore saisi et le moteur le compte pour 0. Une fois le temps rempli, l'affichage redevient normal.

Comment calculer un déplacement ou une distance ?

Avec le calculateur de déplacement uniformément accéléré ( $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ ) ; ou bien trouvez $t$ ici, puis multipliez la vitesse moyenne $\tfrac12(v_0 + v)$ par $t$ .

Une accélération négative signifie-t-elle toujours un freinage ?

Seulement si elle est de sens opposé à la vitesse. En prenant le sens vers le bas comme positif, la chute libre a une accélération positive ; avec « vers le haut » positif, elle est négative, alors que la vitesse augmente pendant la chute.

Pourquoi un lancer vertical met-il autant de temps à monter qu'à descendre ?

L'accélération est constante et les frottements négligés : $v$ est une fonction affine de $t$ , et passer de $v_0$ à 0 prend le même temps que passer de 0 à $-v_0$ (soit $v_0/g$ ).

Peut-on l'utiliser quand la résistance de l'air est forte ?

Non. La résistance croît avec la vitesse, l'accélération n'est plus constante et le corps finit par atteindre sa vitesse limite. Gouttes de pluie, parachutistes et plumes ne relèvent pas du mouvement uniformément accéléré.

Faut-il saisir 9.8 ou 9.81 pour $g$ ?

La valeur donnée par l'énoncé ou le référentiel ; l'écart entre les deux est de 0.1 %. La discussion des valeurs retenues figure dans la deuxième loi de Newton.

Références et pour aller plus loin

Code source du moteur CalcX : définition phys-uniform-accel dans src/data/formulasScience.ts (compute(known, solveFor) résout dans les quatre sens v / t / a / v0) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）——tableau complet des cinq grandeurs et des quatre formules.
Wikipédia, Acceleration（访问日期：2026-09-09）——définition, unités et nature vectorielle de l'accélération.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, traduction anglaise de Crew & de Salvio（访问日期：2026-09-09）——texte fondateur du mouvement uniformément accéléré et de la chute libre.
NIST, CODATA 2018: standard acceleration of gravity（访问日期：2026-09-09）—— $g_0 = 9.806\,65\ \text{m/s}^2$ .
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——définitions des grandeurs et unités de vitesse et d'accélération.

Confidentialité

Toutes les saisies et tous les calculs s'effectuent dans votre navigateur et ne sont jamais envoyés à un serveur ; le texte explicatif de cette page est un contenu statique qui ne contient ni n'enregistre aucune saisie utilisateur.

来源与审阅

更新: 2026-09-09