Énergie cinétique Eₖ = ½mv² : calculateur et unités
À propos de ce calculateur Le calculateur d'énergie cinétique résout E k = 1 2 m v 2 E_k = \tfrac12 m v^2 E k = 2 1 m v 2 m m m v v v E k E_k E k
Une voiture qui roule, une balle qui vole, une personne qui court, une goutte de pluie qui tombe, l'eau qui circule dans une conduite : tous portent de l'énergie cinétique. Cette page est aussi le point d'ancrage « travail et énergie » des calculateurs de physique du site : le théorème de l'énergie cinétique, les unités d'énergie et leurs conversions (J, kJ, kW·h, kcal, eV), la signification du caractère scalaire de l'énergie et les limites de validité de la formule classique y sont développés ; les pages énergie potentielle de pesanteur et quantité de mouvement ne les résument que brièvement et renvoient ici. Pour une présentation générale du SI, des dimensions et de la distinction entre vecteurs et scalaires, voir la deuxième loi de Newton .
Ce qu'il ne fait pas : il ne calcule pas l'énergie cinétique de rotation (1 2 I ω 2 \tfrac12 I\omega^2 2 1 I ω 2
Comment utiliser ce calculateur 01 Ouvrir le panneau cette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Énergie cinétique » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-kinetic). À l'ouverture, « Masse m » = 1 et « Vitesse v » = 10 sont préremplis, et « Énergie cinétique Eₖ » porte la mention « calculé » et affiche 50. 02 Calculer l'énergie cinétique modifiez la masse et la vitesse. Convertissez d'abord la vitesse en m/s (km/h ÷ 3.6) et la masse en kg. 03 Résoudre la vitesse videz « Vitesse v », saisissez « Énergie cinétique Eₖ » et « Masse m » ; le champ de vitesse passe en « calculé » et affiche 2 E k / m \sqrt{2E_k/m} 2 E k / m 04 Résoudre la masse videz « Masse m », saisissez « Énergie cinétique Eₖ » et « Vitesse v » ; le champ de masse affiche 2 E k / v 2 2E_k/v^2 2 E k / v 2 05 Lire le résultat la valeur s'affiche avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés. En résolution inverse de la vitesse, une énergie cinétique négative laisse le champ de vitesse vide (pas de racine carrée réelle d'un nombre négatif). 06 Copier la formule le bouton de copie à droite du titre du panneau place le LaTeX E_k = \tfrac{1}{2} m v^2 dans le presse-papiers. Exemples de calcul Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur phys-kinetic ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés, avec les unités kg, m/s et J.
Exemple 1 : valeurs par défaut, 1 kg lancé à 10 m/s
Entrées : m = 1 m = 1 m = 1 v = 10 v = 10 v = 10 E k = 1 2 × 1 × 10 2 = 50 E_k = \tfrac12 \times 1 \times 10^2 = 50 E k = 2 1 × 1 × 1 0 2 = 50 50 .
Entrées m = 2 m = 2 m = 2 v = 3 v = 3 v = 3 E k = 1 2 × 2 × 9 = 9 E_k = \tfrac12 \times 2 \times 9 = 9 E k = 2 1 × 2 × 9 = 9 9 . Avec v = − 3 v = -3 v = − 3 9 : l'énergie cinétique est un scalaire, elle ne dépend que de la norme de la vitesse, pas de sa direction.
Exemple 2 : quelle énergie une voiture doit-elle absorber pour s'arrêter à partir de 100 km/h
Une voiture de 1500 kg roule à 100 km/h.
Conversion : v = 100 / 3.6 = 27.77777778 v = 100 / 3.6 = 27.77777778 v = 100/3.6 = 27.77777778
Entrées m = 1500 m = 1500 m = 1500 v = 27.77777778 v = 27.77777778 v = 27.77777778 E k = 1 2 × 1500 × 27.77777778 2 = 578703.7037037 E_k = \tfrac12 \times 1500 \times 27.77777778^2 = 578703.7037037 E k = 2 1 × 1500 × 27.7777777 8 2 = 578703.7037037
Affichage : énergie cinétique Eₖ 578703.7037037 , soit environ 579 kJ, ou encore 0.161 kW·h ou 138 kcal — voilà l'énergie que les freins doivent transformer en chaleur. À 50 km/h (13.88888889 m/s), l'interface affiche 144675.92592593 : la vitesse est divisée par deux, l'énergie cinétique par quatre.
Si l'on oublie de convertir et que l'on saisit directement v = 100 v = 100 v = 100 7500000 , soit 3.6 2 = 12.96 3.6^2 = 12.96 3. 6 2 = 12.96
Figure 1 : la voiture de l'exemple 2. L'énergie cinétique croît comme le carré de la vitesse : de 50 à 100 km/h elle est multipliée par 4 ; de 100 à 120 km/h, 20 % de vitesse en plus font 44 % d'énergie en plus Exemple 3 : balle et coureur — qui a le plus d'énergie cinétique
Balle : m = 0.008 m = 0.008 m = 0.008 v = 400 v = 400 v = 400 E k = 1 2 × 0.008 × 160000 = 640 E_k = \tfrac12 \times 0.008 \times 160000 = 640 E k = 2 1 × 0.008 × 160000 = 640 640 .
Coureur : m = 70 m = 70 m = 70 v = 5 v = 5 v = 5 E k = 1 2 × 70 × 25 = 875 E_k = \tfrac12 \times 70 \times 25 = 875 E k = 2 1 × 70 × 25 = 875 875 .
Le coureur possède 37 % d'énergie cinétique de plus que la balle, mais leurs pouvoirs de destruction n'ont rien à voir : la balle concentre ses 640 J sur quelques millimètres carrés et les libère en quelques dizaines de microsecondes. L'énergie cinétique donne le « total » ; l'effet destructeur dépend aussi de la surface, du temps et du matériau, ce qui justifie de traiter séparément l'énergie cinétique, la quantité de mouvement et l'impulsion. Au passage : une balle de tennis de 58 g servie à 50 m/s a une énergie cinétique de 72.5 J.
Exemple 4 : résoudre la vitesse et la masse
Résoudre la vitesse : à quelle vitesse une personne de 80 kg doit-elle se déplacer pour posséder 1000 J d'énergie cinétique ? Videz v v v E k = 1000 E_k = 1000 E k = 1000 m = 80 m = 80 m = 80 v = 2 × 1000 / 80 = 25 = 5 v = \sqrt{2 \times 1000 / 80} = \sqrt{25} = 5 v = 2 × 1000/80 = 25 = 5 5 .
En inversant l'exemple 2 : E k = 578703.7037037 E_k = 578703.7037037 E k = 578703.7037037 m = 1500 m = 1500 m = 1500 27.77777778 , soit de nouveau 100 km/h. Autre question : « jusqu'à quelle vitesse 1 kW·h (3 600 000 J) peut-il accélérer une voiture de 1500 kg ? » L'interface affiche 69.2820323 m/s, soit environ 249 km/h — une valeur théorique, sans aucune perte, qui montre que 1 kW·h représente une quantité d'énergie considérable.
Résoudre la masse : énergie cinétique 9 J, vitesse 3 m/s, on vide m m m m = 2 × 9 / 9 = 2 m = 2 \times 9 / 9 = 2 m = 2 × 9/9 = 2 2 .
Deux conventions en résolution inverse
Avec une énergie cinétique négative (E k = − 10 E_k = -10 E k = − 10 m = 2 m = 2 m = 2
Version interactive de la figure 1 : faites glisser le curseur de masse, toute la parabole se dilate ; le pas de 1.3889 m/s en abscisse correspond à 5 km/h Principes et démonstration Le théorème de l'énergie cinétique : d'où vient ½mv²
Appliquons une force résultante constante F F F s s s W = F s W = Fs W = F s F = m a F = ma F = ma v 2 = 2 a s v^2 = 2as v 2 = 2 a s
W = F s = m a ⋅ v 2 2 a = 1 2 m v 2 W = Fs = ma \cdot \frac{v^2}{2a} = \tfrac12 m v^2 W = F s = ma ⋅ 2 a v 2 = 2 1 m v 2 Le travail de la force résultante s'est entièrement transformé en « énergie de mouvement » du corps, grandeur que l'on définit comme l'énergie cinétique. Si la vitesse initiale n'est pas nulle, la même démonstration donne W res = 1 2 m v 2 − 1 2 m v 0 2 = Δ E k W_{\text{res}} = \tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = \Delta E_k W res = 2 1 m v 2 − 2 1 m v 0 2 = Δ E k le travail de la force résultante est égal à la variation de l'énergie cinétique , c'est le théorème de l'énergie cinétique. Il résulte de l'intégration de F = m a F = ma F = ma W = ∫ F d s W = \int F\,\mathrm ds W = ∫ F d s
Le freinage est une application directe de ce théorème : les 578.7 kJ d'énergie cinétique de l'exemple 2 doivent être dissipés par le travail négatif de la force de freinage. Avec une force de freinage constante de 7500 N, la distance d'arrêt vaut s = E k / F = 578703.7 / 7500 = 77.16 s = E_k / F = 578703.7 / 7500 = 77.16 s = E k / F = 578703.7/7500 = 77.16 a = − 5 m/s 2 a = -5\ \text{m/s}^2 a = − 5 m/s 2 deuxième loi de Newton : deux méthodes pour un même phénomène.
Pourquoi un carré, et pourquoi le ½
Le carré : accélérer jusqu'à 2 v 2v 2 v v v v v v v 2 v 2v 2 v v v v E k ( 2 v ) = 4 E k ( v ) E_k(2v) = 4E_k(v) E k ( 2 v ) = 4 E k ( v )
Le ½ : Leibniz a proposé en 1686 la « force vive » (vis viva) m v 2 mv^2 m v 2 1 2 m v 2 \tfrac12 mv^2 2 1 m v 2 1 2 \tfrac12 2 1 v 2 = 2 a s v^2 = 2as v 2 = 2 a s
L'énergie cinétique est un scalaire
La vitesse est un vecteur, mais v 2 = v ⃗ ⋅ v ⃗ v^2 = \vec v \cdot \vec v v 2 = v ⋅ v quantité de mouvement p ⃗ = m v ⃗ \vec p = m\vec v p = m v
Unités et ordres de grandeur de l'énergie
Le joule est une unité dérivée : 1 J = 1 N⋅m = 1 kg⋅m 2 / s 2 1\ \text{J} = 1\ \text{N·m} = 1\ \text{kg·m}^2/\text{s}^2 1 J = 1 N⋅m = 1 kg⋅m 2 / s 2 10 5 10^5 1 0 5 10 6 10^6 1 0 6 3.6 × 10 6 3.6 \times 10^6 3.6 × 1 0 6 8 × 10 6 8 \times 10^6 8 × 1 0 6 1 W = 1 J/s 1\ \text{W} = 1\ \text{J/s} 1 W = 1 J/s
Les limites de la formule classique
1 2 m v 2 \tfrac12 mv^2 2 1 m v 2 ( γ − 1 ) m c 2 (\gamma - 1)mc^2 ( γ − 1 ) m c 2 v ≪ c v \ll c v ≪ c 3 4 ( v / c ) 2 \tfrac34 (v/c)^2 4 3 ( v / c ) 2 v = 0.1 c v = 0.1c v = 0.1 c v = 0.5 c v = 0.5c v = 0.5 c 10 − 4 c 10^{-4}c 1 0 − 4 c 1 2 I ω 2 \tfrac12 I\omega^2 2 1 I ω 2
Hypothèses
Translation d'un point matériel : le corps se déplace d'un bloc à la même vitesse, sans énergie cinétique de rotation ni mouvement interne.Vitesse v ≪ c v \ll c v ≪ c : domaine de la mécanique classique.m m m v v v La vitesse est relative à un référentiel : l'énergie cinétique dépend du référentiel ; un passager est immobile par rapport à la voiture (énergie cinétique nulle) mais pas par rapport au sol.Racine positive en résolution inverse : v = 2 E k / m v = \sqrt{2E_k/m} v = 2 E k / m Champ d'application et limites Ce qu'il sait calculer l'un des trois paramètres E k E_k E k m m m v v v Ce qu'il ne peut qu'approcher le devenir de l'énergie lors d'un freinage ou d'un choc réel (chaleur, déformation, son) reste hors de la formule ; la résistance de l'air fait qu'accélérer demande plus d'énergie que 1 2 m v 2 \tfrac12 mv^2 2 1 m v 2
Ce qu'il ne peut pas calculer l'énergie cinétique de rotation, l'énergie cinétique relativiste, l'énergie cinétique totale d'un système de plusieurs corps (à calculer corps par corps puis à additionner), la répartition des vitesses après un choc (conservation de la quantité de mouvement), l'énergie potentielle et la conservation de l'énergie mécanique (à traiter à la main avec la page énergie potentielle de pesanteur).
Ce qu'il ne fait pas les conversions d'unités (km/h, g, kW·h, kcal) ; une énergie cinétique négative ne donne aucun résultat en résolution inverse. Numérique les valeurs très grandes ou très petites s'affichent en notation scientifique (par exemple l'énergie cinétique d'un électron, ∼ 10 − 19 \sim 10^{-19} ∼ 1 0 − 19 Erreurs fréquentes
Ne pas convertir les km/h en m/s : l'erreur est élevée au carré et atteint un facteur 12.96 (7 500 000 contre 578 704 dans l'exemple 2).Oublier le ½ : m v 2 mv^2 m v 2 1 2 m v 2 \tfrac12 mv^2 2 1 m v 2 Croire que doubler la vitesse double l'énergie cinétique : c'est un facteur quatre. Distance de freinage et énergie d'impact suivent une loi quadratique : c'est le fondement physique des limitations de vitesse.Donner une direction à l'énergie cinétique : c'est un scalaire ; un mouvement en sens inverse donne la même énergie, et une « énergie cinétique négative » n'a pas de sens.Confondre énergie cinétique et quantité de mouvement : la quantité de mouvement m v mv m v v v v 1 2 m v 2 \tfrac12 mv^2 2 1 m v 2 v v v Calories et kilocalories : les « calories » des étiquettes alimentaires sont des kcal (4184 J), pas des cal. Cas d'usage typiques Sécurité routière Énergie cinétique et distance de freinage aux différentes vitesses ; montrer que « 20 % de vitesse en plus font 44 % d'énergie en plus » ; énergie que doivent absorber les structures de déformation lors d'un essai de choc.
Sport et matériel Énergie de lancer d'un ballon ou d'un engin (tennis, base-ball, javelot) ; énergie cinétique d'un coureur ou d'un cycliste selon la vitesse ; estimation de la puissance développée sur un appareil de fitness.
Mécanique et énergie Stockage par volant d'inertie (partie translation), énergie des écoulements d'eau et du vent (origine de la puissance 1 2 ρ A v 3 \tfrac12 \rho A v^3 2 1 ρ A v 3
Pédagogie Introduction du théorème de l'énergie cinétique ; intuition de la loi quadratique ; conversions entre J, kW·h et kcal ; comparaison scalaire/vecteur (en lien avec la page quantité de mouvement).
Questions fréquentes Pourquoi l'énergie cinétique est-elle positive quand la vitesse est négative ? La vitesse est élevée au carré dans la formule : ( − 3 ) 2 = 9 (-3)^2 = 9 ( − 3 ) 2 = 9
La résolution de la vitesse donne un nombre positif ; que faire si le corps se déplace dans le sens négatif ? Ajoutez vous-même le signe négatif. Le moteur ne renvoie que la racine carrée arithmétique.
Quelle différence entre énergie cinétique et quantité de mouvement ? La quantité de mouvement p = m v p = mv p = m v 1 2 m v 2 \tfrac12 mv^2 2 1 m v 2 E k = p 2 / ( 2 m ) E_k = p^2 / (2m) E k = p 2 / ( 2 m ) 41666.67 2 / 3000 = 578703.7 41666.67^2 / 3000 = 578703.7 41666.6 7 2 /3000 = 578703.7
Comment calculer une distance de freinage ? s = E k / F s = E_k / F s = E k / F
Comment calculer l'énergie cinétique d'un objet en rotation ? Additionnez la translation 1 2 m v 2 \tfrac12 mv^2 2 1 m v 2 1 2 I ω 2 \tfrac12 I\omega^2 2 1 I ω 2 3 4 m v 2 \tfrac34 mv^2 4 3 m v 2
À partir de quelle vitesse faut-il la formule relativiste ? L'erreur relative vaut environ 3 4 ( v / c ) 2 \tfrac34(v/c)^2 4 3 ( v / c ) 2 v < 0.115 c ≈ 3.5 × 10 7 v < 0.115c \approx 3.5 \times 10^7 v < 0.115 c ≈ 3.5 × 1 0 7
Références et pour aller plus loin
Code source du moteur CalcX src/data/formulasScience.ts, définition phys-kinetic (compute(known, solveFor) résolu dans les trois sens, la vitesse inverse prenant la racine positive Math.sqrt) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
BIPM, Le Système international d'unités (Brochure sur le SI) , 9e édition
NIST, CODATA 2018 : electron volt （访问日期：2026-09-09）——1 eV = 1.602 176 634 × 10 − 19 1\ \text{eV} = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19} 1 eV = 1.602 176 634 × 1 0 − 19
Wikipédia, Kinetic energy （访问日期：2026-09-09）——énergie cinétique classique et relativiste, énergie de rotation, relation avec la quantité de mouvement.
Wikipédia, Work (physics) — Work–energy principle （访问日期：2026-09-09）——démonstration du théorème de l'énergie cinétique.
Wikipédia, Vis viva （访问日期：2026-09-09）——histoire du m v 2 mv^2 m v 2 1 2 \tfrac12 2 1
ISO 80000-4:2019, Quantities and units — Part 4: Mechanics ——définition des grandeurs et unités du travail, de l'énergie et de la puissance.
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