Déplacement s = v₀t + ½at² : freinage et chute libre

Le calculateur de déplacement uniformément accéléré résout s = v0 t + \tfrac12 a t^2 : connaissant la vitesse initiale v0, l'accélération constante a et la durée t, il donne le déplacement s sur cet intervalle ; inversement, il retrouve v_0 ou a à partir du déplacement et de la durée — de quelle hauteur tombe une pierre en 3 s, quelle distance parcourt une voiture avant de s'arrêter depuis 100 km/h, quelle accélération moyenne permet de courir 100 m en 8 s.

Déplacement s = v₀t + ½at² : freinage et chute libre

À propos de ce calculateur

Le calculateur de déplacement uniformément accéléré résout $s = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ : connaissant la vitesse initiale $v_0$ , l'accélération constante $a$ et la durée $t$ , il donne le déplacement $s$ sur cet intervalle ; inversement, il retrouve $v_0$ ou $a$ à partir du déplacement et de la durée — de quelle hauteur tombe une pierre en 3 s, quelle distance parcourt une voiture avant de s'arrêter depuis 100 km/h, quelle accélération moyenne permet de courir 100 m en 8 s.

C'est la deuxième des quatre formules fondamentales de la cinématique, associée au calculateur de vitesse finale ( $v = v_0 + at$ ) : l'une dit comment la vitesse évolue, l'autre jusqu'où l'on va. Les deux formules ont le même contenu physique — accélération constante — et ne diffèrent que par la grandeur cherchée. Le déplacement est l'aire sous la droite du graphique v–t ; cette lecture géométrique est le fil conducteur de la page et le lien discret avec l'aire du trapèze.

Ce qu'il ne fait pas : pas de résolution de la durée à partir du déplacement (c'est une équation du second degré, la méthode manuelle est donnée ici) ; pas de vitesse finale (utiliser le calculateur associé) ; pas de mouvement à accélération variable ; uniquement à une dimension — un tir oblique ou horizontal se calcule en séparant les directions horizontale et verticale ; pas de conversion d'unités.

Formules et variables

s = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2

Résolutions inverses (les deux que le moteur implémente) :

v_0 = \frac{s - \tfrac12 a t^2}{t},\qquad a = \frac{2\,(s - v_0 t)}{t^2}

Symbole	Signification	Champ du calculateur	Unité	Plage et remarques
$v_0$	Vitesse initiale (à $t = 0$ )	Vitesse initiale v₀ (m/s)	m/s	Réel quelconque ; 0 par défaut. Un signe négatif indique un sens opposé à l'orientation positive
$a$	Accélération (constante)	Accélération a (m/s²)	m/s²	Réel quelconque ; 9.8 par défaut. Négative quand elle s'oppose à $v_0$
$t$	Durée écoulée	Temps t (s)	s	$t \ge 0$ ; sans valeur par défaut, champ vide à l'ouverture
$s$	Déplacement (distance orientée à l'instant $t$ par rapport au point de départ)	Déplacement s (m)	m	Résultat ; en résolution inverse, sert d'entrée. Grandeur signée

Vérification dimensionnelle : $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$ et $\text{m/s}^2 \times \text{s}^2 = \text{m}$ — les deux termes sont des longueurs. Le $\tfrac12$ vient de l'aire du triangle (voir les principes).

Comment utiliser ce calculateur

Ouvrir le panneaucette page correspond à « Outils mathématiques → Formules → Déplacement uniformément accéléré » (/#/mathtools/formula?calculator=calculator.phys-displacement). À l'ouverture, « Vitesse initiale v₀ » = 0 et « Accélération a » = 9.8 sont préremplis et « Temps t » est vide ; le champ du temps reste vide et « Déplacement » porte la mention « calculé » et affiche 0 — le moteur ne résout pas le temps à partir du déplacement, et le $t$ vide compte pour 0, donc $s = 0$ . Ce n'est pas un résultat.
Calculer le déplacementsaisissez les secondes dans « Temps t » ; le déplacement se met à jour immédiatement. Pour un freinage, saisissez une valeur négative pour $a$ ; le déplacement peut être négatif (retour en arrière du point de départ).
Résoudre l'accélérationvidez « Accélération a », saisissez $v_0$ , $t$ et $s$ ; le champ de l'accélération passe à « calculé » et affiche $2(s - v_0 t)/t^2$ .
Résoudre la vitesse initialevidez « Vitesse initiale v₀ », saisissez $a$ , $t$ et $s$ ; le champ de la vitesse initiale affiche $(s - \tfrac12 at^2)/t$ .
Calculer le tempsle moteur ne sait pas le faire. Le champ reste vide si l'on efface $t$ . À la main : $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ , soit $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ (racine positive) ; ou passez par le calculateur de vitesse finale pour résoudre $t$ à partir de $v$ , puis revenez ici.
Lire le résultatla valeur s'affiche avec au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés.
Copier la formulele bouton de copie à droite du titre du panneau place le LaTeX s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 dans le presse-papiers.

Exemples de calcul

Les quatre exemples sont recalculés par le compute du moteur phys-displacement ; l'affichage retient au plus 8 décimales, zéros de fin supprimés, avec les unités m/s, m/s², s et m.

Exemple 1 : la suite 1 : 4 : 9 de la chute libre

Entrées : $v_0 = 0$ , $a = 9.8$ , $t = 1$ . $s = 0 + \tfrac12 \times 9.8 \times 1 = 4.9$ . Affichage : déplacement s 4.9.

Avec 2 puis 3 secondes : l'interface affiche successivement 19.6 et 44.1. Ces trois nombres sont dans le rapport $4.9 : 19.6 : 44.1 = 1 : 4 : 9$ — la distance de chute est proportionnelle au carré du temps. Les distances gagnées à chaque seconde sont 4.9, 14.7 et 24.5, dans le rapport 1 : 3 : 5 : c'est la « loi des nombres impairs » que Galilée dégage en 1638 de ses expériences sur le plan incliné, et l'argument qui lui fait conclure que la vitesse est proportionnelle au temps (et non à la distance).

Exemple 2 : la distance de freinage depuis 100 km/h

Une voiture roule à 100 km/h ( $27.78\ \text{m/s}$ ) et décélère à $-5\ \text{m/s}^2$ . On résout d'abord le temps d'arrêt, 5.55555556 s, dans le calculateur de vitesse finale, puis on revient ici : $v_0 = 27.77777778$ , $a = -5$ , $t = 5.55555556$ . $s = 27.78 \times 5.56 - \tfrac12 \times 5 \times 5.56^2 = 154.32 - 77.16 = 77.16$ . Affichage : déplacement s 77.16049384.

Vérification : la formule sans temps $v^2 = v_0^2 + 2as$ donne $s = 27.78^2 / (2 \times 5) = 77.1604938$ , en accord ; la vitesse moyenne $\tfrac12 \times 27.78 = 13.89\ \text{m/s}$ multipliée par 5.56 s donne aussi 77.16. La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse : vitesse doublée, distance quadruplée — c'est la base physique des limitations de vitesse.

Figure 1 : le déplacement est l’aire sous le graphique v–t (à gauche : le triangle de freinage de l’exemple 2) ; le graphique s–t est une parabole (à droite : la chute libre de l’exemple 1, 1 : 4 : 9)

Exemple 3 : résoudre l'accélération et la vitesse initiale à partir du déplacement

Résoudre l'accélération : une voiture part de l'arrêt et parcourt 100 m en 8 s — quelle est son accélération moyenne ? Videz $a$ , saisissez $v_0 = 0$ , $t = 8$ et $s = 100$ : $a = 2 \times 100 / 64 = 3.125$ . Affichage : accélération a 3.125.

Comparez avec l'accélération $a = 3.47222222$ du « 0 à 100 km/h en 8 s » du calculateur de vitesse finale : en 8 s, cette voiture-là parcourt $\tfrac12 \times 3.47222222 \times 64 = 111.11$ m. Saisissez $v_0 = 0$ , $a = 3.47222222$ et $t = 8$ : l'interface affiche un déplacement de 111.11111104 — le 04 final est une queue d'arrondi due au report de l'accélération arrondie à 8 décimales, pas une erreur.

Résoudre la vitesse initiale : un objet parcourt 50 m en 2 s avec $a = -5$ ; à quelle vitesse est-il parti ? Videz $v_0$ , saisissez $a = -5$ , $t = 2$ et $s = 50$ : $v_0 = (50 + 10)/2 = 30$ . Affichage : vitesse initiale v₀ 30.

Exemple 4 : lancer vertical et train

Lancer vertical (vers le haut positif, $a = -9.8$ ) : une balle lancée à 19.6 m/s donne, à $t = 2$ , $s = 39.2 - 19.6 = 19.6$ . Affichage : déplacement s 19.6 — le sommet est à 19.6 m (la vitesse y est nulle, voir l'exemple 3 du calculateur de vitesse finale). À $t = 4$ , $s = 78.4 - 78.4 = 0$ . Affichage : 0 — la balle est revenue à sa hauteur de lancer. Le déplacement est nul, mais la distance parcourue vaut 39.2 m : le déplacement est la variation nette orientée, la distance la longueur totale du trajet.

Train : un train roulant à 20 m/s accélère à 0.5 m/s² pendant 1 minute. $v_0 = 20$ , $a = 0.5$ , $t = 60$ : $s = 1200 + 900 = 2100$ . Affichage : déplacement s 2100. Les 1200 m de la phase à vitesse constante et les 900 m gagnés par l'accélération forment les deux termes.

Les entrées de l'exemple 1 peuvent être saisies directement dans le panneau ; passez le temps à 1, 2, 4 et observez le déplacement croître comme 1 : 4 : 9 : 16 ; remplacez l'accélération par 1.62 (Lune) pour voir qu'en 3 s la chute ne fait que 7.29 m.

Principes et démonstration

Le déplacement est l'aire sous le graphique v–t

À vitesse constante, le déplacement $= vt$ est l'aire d'un rectangle sur le graphique v–t. En mouvement uniformément accéléré, la vitesse varie, mais on peut découper le temps en petites tranches quasi uniformes : la somme des déplacements est l'aire du trapèze sous la droite. La droite monte de $v_0$ à $v_0 + at$ , donc l'aire vaut $\tfrac12 (v_0 + v_0 + at)\,t = v_0 t + \tfrac12 a t^2$ — c'est de là que vient le $\tfrac12$ . Le triangle de freinage à gauche de la figure 1 est le cas particulier où $v_0 = 27.78$ tombe à 0 : aire $\tfrac12 \times 27.78 \times 5.56$ . Le calculateur d'aire du trapèze calcule exactement la même chose.

Comprendre avec la vitesse moyenne

Quand l'accélération est constante, la vitesse moyenne est exactement la moyenne arithmétique des vitesses initiale et finale, $\bar v = \tfrac12 (v_0 + v)$ , et le déplacement vaut $\bar v\, t$ . En remplaçant $v = v_0 + at$ , on retrouve $s = v_0 t + \tfrac12 at^2$ . C'est aussi la quatrième formule cinématique, $s = \tfrac12 (v_0 + v)\,t$ . Elle ne vaut que pour un mouvement uniformément accéléré — à accélération variable, la vitesse moyenne n'est plus le milieu des extrêmes.

Éliminer le temps : $v^2 = v_0^2 + 2as$

En tirant $t = (v - v_0)/a$ de $v = v_0 + at$ , en le reportant dans la formule du déplacement et en simplifiant, on obtient $v^2 = v_0^2 + 2as$ , sans temps. L'exemple 2 s'en sert pour vérifier la distance de freinage. En multipliant les deux membres par $\tfrac12 m$ , on obtient $\tfrac12 m v^2 - \tfrac12 m v_0^2 = mas = Fs$ — le théorème de l'énergie cinétique : le travail de la résultante est égal à la variation de l'énergie cinétique. Le calculateur d'énergie cinétique prend le relais.

Le graphique s–t est une parabole

$s$ est une fonction quadratique de $t$ , donc sa courbe est une parabole (figure 1, à droite). Pour $v_0 = 0$ , le sommet est à l'origine et l'ouverture dépend du signe de $a$ . La pente de la tangente en un point de la parabole est la vitesse à cet instant : en $t = 0$ , la pente vaut $v_0$ . Pour un lancer vertical, le graphique s–t est une parabole tournée vers le bas, dont le sommet est le point le plus haut et dont la seconde intersection avec l'axe horizontal est l'instant de retour à la hauteur de lancer ( $t = 4$ dans l'exemple 4).

Pourquoi la résolution du temps est une équation du second degré

Pour trouver $t$ connaissant $s$ , $v_0$ et $a$ , il faut résoudre $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ . L'équation peut avoir deux racines positives (une balle lancée passe deux fois à la même hauteur : à la montée et à la descente) ou aucune (la balle n'atteint pas cette hauteur). Le moteur préfère ne pas renvoyer une réponse unique dans le champ, pour ne pas perdre silencieusement une racine ; le cas échéant, calculez à la main comme à l'étape 5 de « Comment utiliser ce calculateur » et examinez les deux racines.

Le plan incliné de Galilée

La chute libre est trop rapide : en 1638, aucune horloge ne permet de la mesurer. Galilée fait rouler des billes sur un plan incliné poli, chronomètre avec un clepsydre et constate que la distance est proportionnelle au carré du temps et que les distances parcourues pendant des intervalles égaux successifs sont dans le rapport 1 : 3 : 5 : 7, quel que soit l'angle du plan. Il en déduit qu'il en va de même pour la chute verticale (angle de 90°). La valeur précise de $g$ dans $s = \tfrac12 g t^2$ n'a été mesurée qu'après 1638.

Hypothèses

Accélération constante : $a$ ne change pas pendant tout l'intervalle $t$ . L'accélération réelle d'un véhicule varie avec la vitesse ; la valeur calculée est une moyenne équivalente.
Mouvement rectiligne, une dimension : déplacement, vitesse et accélération sont colinéaires, le sens est porté par le signe.
Le mouvement dure jusqu'à $t$ : la formule ne s'arrête pas d'elle-même quand le corps s'immobilise (voir l'encadré après l'exemple 4).
Frottements négligés : les exemples de chute libre ne tiennent pas compte de la résistance de l'air.
Unités SI : m/s, m/s², s, m ; aucune conversion.
Convention de l'interface : un $t$ vide compte pour 0, donc le déplacement affiche 0 à l'ouverture ; en résolution inverse, un dénominateur $t$ vide est ramené à 1.

Champ d'application et limites

Ce qu'il sait calculer: $s$ à partir de $v_0$ , $a$ , $t$ ; $a$ ou $v_0$ à partir de $s$ , $t$ et de l'autre grandeur ; valeurs négatives et déplacements négatifs compris.
Ce qu'il ne peut qu'approximer: un mouvement à accélération variable ne peut être approché que par morceaux ; prendre $g = 9.8$ introduit un écart d'environ 0.1 %.
Ce qu'il ne peut pas calculer: le temps à partir du déplacement (équation du second degré, à la main) ; la vitesse finale (utiliser le calculateur associé) ; les projectiles à deux dimensions (par direction) ; la distance parcourue (somme des valeurs absolues des déplacements, qui exige de savoir s'il y a eu demi-tour).
Ce qu'il ne fait pas: les conversions d'unités ; vérifier si le mouvement s'est arrêté.
Numérique: le report d'une valeur à 8 décimales produit une queue d'arrondi (111.11111104 dans l'exemple 3).

Erreurs fréquentes

Oublier le ½ : $s = at^2$ donne 88.2 m pour 3 s de chute libre, soit le double de la vraie valeur. Le $\tfrac12$ vient de l'aire du triangle : ce n'est pas une option.
Confondre déplacement et distance : au retour au point de départ, le déplacement est nul mais la distance ne l'est pas (exemple 4).
Continuer le calcul après l'arrêt : au-delà du temps d'arrêt, la formule fait reculer la voiture (encadré après l'exemple 4).
Saisir des km/h tels quels : 100 km/h saisi comme 100 donne une distance de freinage de 1000 m. Convertir d'abord en 27.78 m/s.
Oublier le signe en freinage : l'accélération d'un freinage est $-5$ , et non $+5$ : sinon le mobile s'éloigne de plus en plus.
Utiliser la vitesse finale à la place de la vitesse initiale : $v_0$ est la vitesse au début de l'intervalle.
Élever au carré autre chose que le temps : dans $\tfrac12 a t^2$ , seul $t$ est au carré.

Cas d'usage typiques

Pédagogie

La suite 1 : 4 : 9 de la chute libre et la loi des nombres impairs ; la méthode de l'aire sous le graphique v–t ; déplacement et distance ; la symétrie du lancer vertical ; l'origine du théorème de l'énergie cinétique.

Sécurité routière

Distance de freinage pour une vitesse et une décélération données (complétée par le tronçon à vitesse constante pendant le temps de réaction $= v \times t_\text{réaction}$ ) ; démonstration intuitive du lien quadratique entre limitation de vitesse et distance d'arrêt.

Ingénierie

Courses des phases d'accélération et de décélération d'ascenseurs et de convoyeurs ; longueurs de positionnement en levage ou en avance de machine-outil ; accélération nécessaire pour une course et une durée données.

Sport et vie quotidienne

Temps et vitesse d'entrée dans l'eau pour un plongeoir d'une hauteur donnée ; hauteur maximale d'un projectile ; estimation de la profondeur d'un puits ou de la hauteur d'un immeuble à partir de la durée de chute (en tenant compte du temps de remontée du son).

Questions fréquentes

Pourquoi le déplacement vaut-il 0 et le temps est-il vide à l'ouverture ?

Le temps n'est pas encore saisi et le moteur le compte pour 0 ; comme il ne résout pas le temps à partir du déplacement, le champ du temps reste vide. Une fois le temps rempli, tout est normal.

Comment trouver le temps à partir du déplacement ?

Résolvez l'équation du second degré $\tfrac12 a t^2 + v_0 t - s = 0$ : $t = \dfrac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2as}}{a}$ ; pour $v_0 = 0$ , elle se simplifie en $t = \sqrt{2s/a}$ . On peut aussi passer par le calculateur de vitesse finale pour résoudre $t$ à partir de $v$ .

Quelle différence entre déplacement et distance ?

Le déplacement est la distance orientée en ligne droite entre le point de départ et le point d'arrivée, avec un signe ; la distance parcourue est la longueur totale du trajet. Pour un mouvement rectiligne sans changement de sens, les deux coïncident ; après un demi-tour, le déplacement diminue alors que la distance continue d'augmenter.

Pourquoi la distance de freinage est-elle proportionnelle au carré de la vitesse ?

Dans $v^2 = v_0^2 + 2as$ avec $v = 0$ , on a $s = v_0^2 / (2|a|)$ . En doublant la vitesse, $v_0^2$ est multiplié par quatre.

Une balle lancée verticalement parcourt-elle la même distance à la montée et à la descente ?

Sans frottements, oui : la parabole s–t est symétrique par rapport au sommet. Avec frottements, la descente est plus lente et dure plus longtemps.

Peut-on l'utiliser quand la résistance de l'air est forte ?

Non. La résistance croît avec la vitesse et l'accélération n'est plus constante. Gouttes de pluie, parachutistes et plumes ne relèvent pas du mouvement uniformément accéléré.

Références et pour aller plus loin

Code source du moteur CalcX : définition phys-displacement dans src/data/formulasScience.ts (compute(known, solveFor) en s / v₀ / a) ; tous les chiffres de cette page sont recalculés par ce moteur.
Wikipédia, Equations of motion — Constant translational acceleration in a straight line（访问日期：2026-09-09）——tableau complet des cinq grandeurs et des quatre formules, avec démonstrations.
Wikipédia, Displacement (geometry)（访问日期：2026-09-09）——définitions du déplacement et de la distance parcourue.
Galileo Galilei, Dialogues Concerning Two New Sciences (1638), Third Day, traduction anglaise de Crew & de Salvio（访问日期：2026-09-09）——texte fondateur de la loi des nombres impairs et des expériences sur le plan incliné.
Wikipédia, Braking distance（访问日期：2026-09-09）——formule de la distance de freinage, distance de réaction et décélérations typiques.
ISO 80000-3:2019, Quantities and units — Part 3: Space and time——définitions des grandeurs et unités de déplacement, de vitesse et d'accélération.

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来源与审阅

更新: 2026-09-09