Comment lancer un mode 01 Choisissez un mode dans la rangée d’onglets et remplissez ses champs ; les entrées strictement entières sont validées avant toute opération. 02 Premier : saisissez un entier, appuyez sur Calculer et lisez le verdict ainsi que les nombres premiers voisins. 03 Facteur : le résultat est n = produit de puissances de nombres premiers, suivi de tous les diviseurs triés par ordre croissant. 04 Modulaire : a et n donnent a mod n, a⁻¹ mod n lorsque gcd(a, n) = 1, φ(n) et a^φ(n) mod n lorsque n ≤ 10¹². 05 CRT : une paire « reste, module » par ligne ; la réponse est le plus petit x non négatif et le module combiné. 06 RSA / Crypto : p et q doivent passer les tests de primalité ; le message doit être inférieur à n ; l’aller-retour et l’identité de Bézout sont imprimés pour vérification. Lectures calculées
Mode · entrée
Lecture
Premier · 561
561 n’est PAS premier ✗ ; Premier précédent 557 ; Premier suivant 563
Facteur · 360
360 = 2^3 × 3^2 × 5 ; Diviseurs (24 ) : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, … 360
Modulaire · a 17, n 5
17 mod 5 = 2 ; Inverse modulaire 3 ; φ(5) = 4 ; 17^φ(5) mod 5 = 1
Modulaire · a 14, n 21
Inverse modulaire aucun (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1)
Base · 255, 10 → 16
Déc 255 ; Bin 11111111 ; Oct 377 ; Hex FF
φ(n) · 100
φ(100) = 40 ; Premier Non ; Facteurs 2 × 2 × 5 × 5
RSA · p 61, q 53, msg 42
n 3233 , φ 3120 , e 7 , d 1783 ; Chiffrer 42^7 mod 3233 = 240 ; Déchiffrer 240^1783 mod 3233 = 42 ; l’aller-retour concorde ✓
BigInt Crypto · a 123456789012345678901234567890, b 65537, m 998244353
gcd 1 ; Bézout a·(−30199) + b·(56888041432836827397323385503) = 1 ; a^b mod m = 825377327
CRT · 2,3 / 3,5 / 2,7
Solution générale x = 23 + 105·k
La ligne Modulaire est le petit théorème de Fermat en une ligne : φ(5) = 4 et 17⁴ mod 5 = 1 . La ligne CRT se vérifie de trois façons — 23 mod 3 = 2 , 23 mod 5 = 3 , 23 mod 7 = 2 — et l’aller-retour RSA renvoie le message d’origine 42 , ce qui justifie d’imprimer les deux sens.
Pourquoi 561 est le test intéressant 561 = 3 × 11 × 17 est un nombre de Carmichael : il vérifie a^560 ≡ 1 (mod 561) pour tout a premier avec lui, si bien qu’un test de Fermat naïf le déclare premier. Le panneau utilise Miller–Rabin avec un ensemble de bases fixe, qui détecte le composé et imprime NON premier , tandis que les nombres premiers voisins renvoyés sont 557 et 563 . Le même contrôle protège RSA : p et q sont refusés avant toute construction de clé si l’un des deux échoue, et e est choisi premier avec φ(n) par le pgcd, non par un test modulo.
Limites
La division par essais a un plafond. La factorisation et φ(n) par division par essais refusent n au-delà de 2⁵³ − 1 et φ(n) au-delà de 10¹² plutôt que de mal factoriser ; l’onglet BigInt Crypto gère toujours primalité et puissances modulaires pour des entrées plus grandes.
RSA est une démo pédagogique. p et q sont limités à 50 chiffres, le message doit être inférieur à n, et le panneau ne prétend jamais à la sécurité — il sert à vérifier l’arithmétique, pas à générer des clés. Ce qu’il ne fait pas. Il ne factorise pas de semipremiers de taille cryptographique, n’exécute ni méthodes sur courbes elliptiques ni méthodes de Pollard, et ne calcule pas de logarithmes discrets ; pour les fractions exactes, le pgcd et le ppcm, utilisez l’onglet arithmétique de pas à pas , pour la recherche de racines et les systèmes linéaires équations , et pour l’échantillonnage statistique sur des entiers statistiques . Le piège des nombres premiers entre eux Un inverse modulaire n’existe que lorsque gcd(a, n) = 1. Saisissez a = 14, n = 21 et le panneau répond aucun (gcd(14, 21) = 7 ≠ 1) au lieu d’un nombre qui ne redonnerait pas 1 par multiplication. La même garde explique le champ RSA : e = 65537 est remplacé lorsqu’il n’est pas premier avec φ(n) — pour p 61, q 53 le panneau retient e = 7 et d = 1783 , et 7 × 1783 = 12481 ≡ 1 (mod 3120).
Où cela sert Vérifier des devoirs sans empiler les calculatrices Les listes de premiers, de facteurs et de diviseurs répondent à la plupart des exercices élémentaires de théorie des nombres en une passe ; les lignes premier précédent/suivant accélèrent les questions d’écarts entre premiers, et la conversion de base couvre la plage 2–36.
Comprendre pourquoi la cryptographie exige plus qu’une démo L’onglet RSA montre chaque étape — n, φ, e, d, les deux puissances modulaires — et la ligne d’aller-retour est la preuve de correction. L’onglet BigInt montre ensuite que les mêmes primitives passent à l’échelle d’entrées de 30 chiffres : l’identité de Bézout renvoie toujours 1 et a^b mod m est exact, tandis que factoriser le module est exactement le problème dont le panneau refuse de faire semblant de venir à bout.
Confidentialité Toute l’arithmétique entière s’exécute dans votre navigateur ; rien de ce que vous saisissez n’est envoyé où que ce soit.
Références
Wikipédia, Miller–Rabin primality test , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— ensembles de bases déterministes et nombres probablement premiers.
Wikipédia, Carmichael number , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— les composés qui trompent les tests de Fermat.
Wikipédia, Modular multiplicative inverse , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— existence si et seulement si gcd = 1.
Wikipédia, Chinese remainder theorem , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— systèmes à modules premiers entre eux ou non.
Wikipédia, RSA (cryptosystem) , en.wikipedia.org （访问日期：2026-10-07）— génération de clés et la relation e·d ≡ 1.
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Sources & review
Updated 2026-10-07